• 矩阵的谱半径
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2018-11-06 17:40:12
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矩阵谱半径指的是矩阵的最大特征值(含绝对值)。

它可以判断收敛性，也可以判断方程解的稳定性。

一般情况下，当存在一个单位矩阵减去另外一个矩阵的形式时， 谱半径小于一就是为了确保它们之间的差值为正这样逆矩阵才会存在，可以用来验证一个方案是否可行。

The radius  of the smallest closed disc in the plane that contains the spectrum of this element (cf. Spectrum of an element). The spectral radius of an element  is connected with the norms of its powers by the formula

which, in particular, implies that  . The spectral radius of a bounded linear operator on a Banach space is the spectral radius of it regarded as an element of the Banach algebra of all operators. In a Hilbert space, the spectral radius of an operator is equal to the greatest lower bound of the norms of the operators similar to it (see [2]):

If the operator is normal, then  (cf. Normal operator).

定义：

Let λ1, ..., λn be the (real or complex) eigenvalues of a matrix A ∈ Cn × n. Then its spectral radius ρ(A) is defined as:

The following lemma shows a simple yet useful upper bound for the spectral radius of a matrix:

性质1.

Lemma: Let A ∈ Cn × n be a complex-valued matrix, ρ(A) its spectral radius and ||·|| aconsistent matrix norm; then, for each k ∈ N:

Proof: Let (v, λ) be an eigenvector-eigenvalue pair for a matrix A. By the sub-multiplicative property of the matrix norm, we get:

and since v ≠ 0 for each λ we have

and therefore

The spectral radius is closely related to the behaviour of the convergence of the power sequence of a matrix; namely, the following theorem holds:

2.

Theorem: Let A ∈ Cn × n be a complex-valued matrix and ρ(A) its spectral radius; then

if and only if

Moreover, if ρ(A)>1,  is not bounded for increasing k values.

From the Jordan normal form theorem, we know that for any complex valued matrix  , a non-singular matrix  and a block-diagonal matrix  exist such that:

with

where

It is easy to see that

and, since  is block-diagonal,

Now, a standard result on the  -power of an  Jordan block states that, for  :

Thus, if  then  , so that

which implies

Therefore,

On the other side, if  , there is at least one element in  which doesn't remain bounded as k increases, so proving the second part of the statement

3

For any matrix norm ||·||, we have

In other words, Gelfand's formula shows how the spectral radius of A gives the asymptotic growth rate of the norm of Ak:

for

谱半径与范数的关系：

1.定义：A是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为ρ(A)。　注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即A^H*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。

2、谱半径和范数的关系是以下几个结论：

定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║。

因为任一特征对λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。

定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║

定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。

利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：

推论1：矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。

推论2：级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。

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摘自 程云鹏. 矩阵论(第二版)[M]// 矩阵论（第二版）. 西北工业大学出版社, 2000. p135~p137

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概述：本道作业题是应镜拇同学的课后练习，分享的知识点是谱半径，指导老师为鲁老师，涉及到的知识点涵盖：【什么是矩阵的谱半径？怎么求？】百度-谱半径，下面是应镜拇作业题的详细。

题目：【什么是矩阵的谱半径？怎么求？】百度-谱半径

矩阵的谱半径就是指矩阵的特征值中绝对值最大的那个.

矩阵A的特征值为λ1,λ2,……,λn,谱半径ρ(A)=max〔λi〕(i=1,2,……,n)

相关例题

题1：

【如何证明矩阵谱半径不是矩阵范数】

证明：

记λ为矩阵A的模最大特征值(谱半径),x为其对应的右特征向量,那么：

x\'A\' × Ax = |λ|#178; × x\'x => |λ| = ||Ax||#8322;/ ||x||#8322;

题2：

【请问如何证明,矩阵的任何范数都不小于它的谱半径?】[数学]

必须是相容范数

证明很容易,取一个模最大的特征值及相应的特征向量:Ax=λx

然后 ρ(A)||x|| = ||λx|| = ||Ax||

题3：

一个矩阵,每一行元素的和都是定值(设为a),请问谱半径是定值吗?为什么?RT,具体解释下,[数学]

很显然行和为常数的条件远不足以确定谱半径.

比如说,A=[1,-1; -1,1], B=[0,0; 0,0],都满足行和为0,但谱半径不同.

当然,只要再加一个条件就行了,对于非负矩阵而言行和为a一定能推出谱半径为a,因为a是特征值,而圆盘定理表明谱半径不超过a.

题4：

在做Jacobi迭代式得到的迭代矩阵谱半径为1,问,该迭代式能否收敛?[数学]

不管谱半径多大, 总是有可能收敛的.

只不过谱半径不小于1的时候一般不能保证对所有的初始向量都收敛而已.

谱半径等于1的情况下有可能出现对所有初始向量都收敛的情况, 但也可能出现不能保证收敛的情况, 取决于单位圆周上谱的分布.

题5：

一个矩阵谱半径详细过程11-51[数学]

所谓“谱半径”,就是最大特征值(对于实数而言).如果是特征值是复数的话,谱半径就是特征值的最大模.

所以求谱半径一般需要求出所有特征值才行.

本题：

求特征值,也就是求|A-xI|=0的根,解出来为：x1=1+(根号5)i,x2=1-(根号5)i

特征值是复数,那么求他们的模：求出|x1|=|x2|=根号6

所以本题谱半径就是(根号6)

思考：

思考1：matlab 中用那个函数计算矩阵的谱半径

提示：A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10]; b=[14 -5 14]\'; D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); B=D\(L+U);f=D\b; x=[0;0;0]; for k=1:9 x=B*x+f; x\' end 其中B矩阵的矩阵半径：R=max(abs(eig(B)))=0.3873

思考2：谱半径不大于任何一种矩阵范数，这句话对么

提示：是对的！ 谱半径不大于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║。 因为对任一特征值λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性(乘法三角不等式)即得结果。

思考3：矩阵谱半径的MATLAB中实例

提示：雅克比迭代求A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];b=[14 -5 14]\';D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);f=D\b;x=[0;0;0];for k=1:9x=B*x+f;x\'end 其中B矩阵的矩阵半径：R=max(abs(eig(B)))=0.3873

思考4：求谱半径的时候，矩阵的特征值出现复数，要怎样求...

提示：取模

思考5：matlab求矩阵谱半径 矩阵的谱半径怎么求

提示：雅克比迭代求A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];b=[14 -5 14]\';D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);f=D\b;x=[0;0;0];for k=1:9x=B*x+f;x\'end 其中B矩阵的矩阵半径：R=max(abs(eig(B)))=0.3873

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• ## matlab 矩阵谱半径

万次阅读 2013-11-08 10:02:07
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