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  • 2018-10-05 21:49:43

    原文地址1:https://www.face2ai.com/Math-Probability-5-5-The-Negative-Binomial-Distribution转载请标明出处

    Abstract: 本文介绍负二项分布,几何分布的基础知识
    Keywords: The Negative Binomial Distribution,The Geometric Distribution

    负二项分布

    到目前为止,所有的分部都是从Bernoulli 分布衍生出来的:

    1. 二项分布, n n n 次Bernoulli试验的结果中,每次试验的分布不变,结果为1的次数 X X X 的分布
    2. 超几何分布, n n n 次Bernoulli试验,每次试验分布发生改变,结果为1的次数 X X X 的分布,当试验分布变化不大的时候和二项分布结果相同
    3. 泊松分布,用来在某种特殊情况下( n n n 比较大, p p p 比较小,而 n p np np 又不是很大的情况下)近似二项分布,当n趋近于无穷的时候等同于二项分布。

    今天我们还是从二项分布出发,研究这样一个事实,对于Bernoulli过程,我们设定,当某个结果出现固定次数的时候,整个过程的数量,比如我们生产某个零件,假设每个零件的合格与否都是相互独立的,且分布相同,那么当我们生产出了五个不合格零件时,一共生产了多少合格的零件,这个数量就是一个负二项分布。
    为什么叫负二项分布而不是正二项分布?
    有两种说法,第一我们上面说到的例子,多半是失败到了固定次数时 X X X 的分布,另一种是站在分布的系数上来观察的,在下面我们可以看得到。

    负二项分布的定义和含义 Definition and Interpretation

    废话中给出的生产零件的例子就是引出定义的关键。我们来先看一个定理,描述上面过程的定理:

    Theorem Sampling until a Fixed Number of Success.Suppose that an infinite sequence of Bernoulli trails with probability of success p p p are available.The number X X X of failures that occur before the r r rth success has the following p.d.f.
    f ( x ∣ r , p ) = { ( r + x − 1 x ) p r ( 1 − p ) x for  x = 0 , 1 , 2 , … 0 otherwise f(x|r,p)= \begin{cases} \begin{pmatrix} r+x-1\\ x \end{pmatrix}p^r(1-p)^x&\text{for }x=0,1,2,\dots\\ 0&\text{otherwise} \end{cases} f(xr,p)=(r+x1x)pr(1p)x0for x=0,1,2,otherwise

    证明如下
    首先我们必须分析一下这个过程,当成功的次数达到目标后停止试验,也就是说最后一次必然是成功的,不然试验不会结束,所以我们需要的是在已经进行了的 x + r − 1 x+r-1 x+r1 次实验中完成 r − 1 r-1 r1 次成功, x x x 次失败,那么从计数原理角度,概率为:
    P r ( A n ) = ( n − 1 r − 1 ) p r − 1 ( 1 − p ) ( n − 1 ) − ( r − 1 ) p = ( n − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) ( n − r ) p \begin{aligned} Pr(A_n)&=\begin{pmatrix}n-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r-1}(1-p)^{(n-1)-(r-1)}p\\ &=\begin{pmatrix}n-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r}(1-p)^{(n-r)}p \end{aligned} Pr(An)=(n1r1)pr1(1p)(n1)(r1)p=(n1r1)pr(1p)(nr)p
    然后这就是我们的目标了,n就是总的试验次数包括成功和失败。

    Definition Negative Binomial Distribution.A random variable X X X has the negative binomial distribution with parameters r r r and p p p ( r = 1 , 2 , … r=1,2,\dots r=1,2, and 0 < p < 1 0 < p < 1 0<p<1) if X X X has a discrete distribution for which the p.f. f ( x ∣ r , p ) f(x|r,p) f(xr,p) is as specified by theorem upside.

    定义,告诉你,上面定理里面的p.f.叫负二项分布
    因为存在关系:
    ( r + x − 1 x ) = ( x + r − 1 ) ⋯ ( r ) x ! = ( − 1 ) x ( − r ) ( − r − 1 ) ( − r − 2 ) ⋯ ( − r − k + 1 ) x ! = ( − 1 ) x ( − r x ) \begin{pmatrix} r+x-1\\ x \end{pmatrix}={\frac {(x+r-1)\dotsm (r)}{x!}}=(-1)^{x}{\frac {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)}{x!}}=(-1)^{x}{\binom {-r}{x}} (r+x1x)=x!(x+r1)(r)=(1)xx!(r)(r1)(r2)(rk+1)=(1)x(xr)
    所以负二项分布可以写成:
    f ( x ∣ r , p ) = { ( − 1 ) x ( − r x ) p r ( 1 − p ) x for  x = 0 , 1 , 2 , … 0 otherwise f(x|r,p)= \begin{cases} (-1)^{x}{\binom {-r}{x}}p^r(1-p)^x&\text{for }x=0,1,2,\dots\\ 0&\text{otherwise} \end{cases} f(xr,p)={(1)x(xr)pr(1p)x0for x=0,1,2,otherwise
    这就是命名的由来(参考《统计推断第二版》)

    几何分布 The Geometric Distribution

    我们先学了超几何分布然后又跑回来学几何分布,难道我们跑错了?当然不是,因为几何分布跟负二项分布非常相关。
    当负二项分布 r = 1 r=1 r=1 的时候产生的分布叫做几何分布,文字解释就是当我们第一个不合格的产品出现时,我们就停止生产,这是生产的合格产品的数量为随机变量 X X X

    Definition Geometric Distribution.A random varibale X has the geometric distribution with parameter p ( 0 < p < 1 0 < p < 1 0<p<1 )if X has a discrete distribution for which the p.f. f(x|1,p) is as follows:
    f ( x ∣ 1 , p ) = { p ( 1 − p ) x for  x = 0 , 1 , 2 , … 0 otherwise f(x|1,p)= \begin{cases} p(1-p)^x&\text{for }x=0,1,2,\dots\\ 0&\text{otherwise} \end{cases} f(x1,p)={p(1p)x0for x=0,1,2,otherwise

    这个跟负二项分布一模一样,所以就不再重复证明了

    Theorem if X 1 , … , X r X_1,\dots,X_r X1,,Xr are i.i.d. random variable and if each X i X_i Xi has the geometric distribution with parameter p p p ,then the sum X 1 + ⋯ + X r X_1+\dots+X_r X1++Xr has the negative binomial distribution with parameters r r r and $p

    又是加法规则,多个几何分布相加的结果是负二项分布。
    证明过程也就是分析过程,首先我们假设我们有一个Bernoulli过程,那么如果只要有0发生就停止,这样产生的是几何分布,如果第一个几何分布 X i X_i Xi 产生以后,我们继续按照规则进行,那么接着会产生 X 2 , … , X n X_2,\dots,X_n X2,,Xn 并且之间相互独立,而产生的到第 n n n 个的时候,就产生了一个当0发生 n n n 次的负二项分布。所以这 n n n 个随机变量相加就是负二项分布。

    这个证明不太严谨。但是从逻辑的角度上是成立的。

    负二项分布和几何分布的性质 Properties of Negative Binomial and Geometric Distributions

    接下来我们看看性质

    距生成函数 m.g.f.

    Theorem Moment Generating Function.If X has the negative binomial distribution with parameters r and p ,then the m.g.f. of X is as follow:
    ψ ( t ) = ( p 1 − ( 1 − p ) e t ) r  for  t < l o g ( 1 1 − p ) \psi(t)=(\frac{p}{1-(1-p)e^t})^r\text{ for } t< log(\frac{1}{1-p}) ψ(t)=(1(1p)etp)r for t<log(1p1)
    r = 1 r=1 r=1 的时候上述表达式为几何分布的p.d.f. ,有点复杂了,我们来证明下。

    证明:
    要用到m.g.f.的定理就是多个独立的随机变量和的m.g.f.是其m.g.f.的积:

    Teorem 4.4.4 Suppose that X 1 , … , X n X_1,\dots,X_n X1,,Xn are n n n independent random varibales;and for i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n . let ψ i \psi_i ψi denote the m.g.f. of X i X_i Xi .Let Y = X 1 + ⋯ + X n Y=X_1+\dots+X_n Y=X1++Xn ,and let the m.g.f. of Y Y Y be denoted by ψ \psi ψ .Then for every value of t such that ψ i ( t ) \psi_i(t) ψi(t) is finite for i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n ,
    ψ ( t ) = Π i = 1 n ψ i ( t ) \psi(t)=\Pi^{n}_{i=1}\psi_i(t) ψ(t)=Πi=1nψi(t)

    以及上面的定理:多个同参数 p p p 的独立几何分布的和是负二项分布,假设这些i.i.d的随机变量为 X 1 , … , X n X_1,\dots,X_n X1,,Xn
    于是:
    ψ i ( t ) = E ( e t X i ) = p ∑ x = 0 ∞ [ ( 1 − p ) e t ] x \psi_i(t)=E(e^{tX_i})=p\sum^{\infty}_{x=0}[(1-p)e^t]^x ψi(t)=E(etXi)=px=0[(1p)et]x
    为了使上面的表达式结果有限,或者说让 [ ( 1 − p ) e t ] x [(1-p)e^t]^x [(1p)et]x 收敛,我们应该有 0 < ( 1 − p ) e t < 1 0< (1-p)e^t < 1 0<(1p)et<1 得到 t < l o g ( 1 1 − p ) t<log(\frac{1}{1-p}) t<log(1p1)
    根据微积分中级数的原理,当 α ∈ ( 0 , 1 ) \alpha\in (0,1) α(0,1) 时:
    ∑ x = 0 ∞ α x = 1 1 − α \sum^{\infty}_{x=0}\alpha^x=\frac{1}{1-\alpha} x=0αx=1α1

    带入到 ψ i ( t ) \psi_i(t) ψi(t) 中就有
    ψ i ( t ) = p 1 − ( 1 − p ) e t \psi_i(t)=\frac{p}{1-(1-p)e^t} ψi(t)=1(1p)etp

    那么根据上面的定理4.4.4 我们就能得到结果
    ψ ( t ) = ( p 1 − ( 1 − p ) e t ) r  for  t < l o g ( 1 1 − p ) \psi(t)=(\frac{p}{1-(1-p)e^t})^r\text{ for } t< log(\frac{1}{1-p}) ψ(t)=(1(1p)etp)r for t<log(1p1)

    均值和方差 Mean and Variance

    Theorem if X X X has the negative binomial distribution with parameters r r r and p p p the mean and the varance of X X X must be
    E ( X ) = r ( 1 − p ) p  and  V a r ( X ) r ( 1 − p ) p 2 E(X)=\frac{r(1-p)}{p} \text{ and }Var(X)\frac{r(1-p)}{p^2} E(X)=pr(1p) and Var(X)p2r(1p)
    The mean and variance of the geometric distribution with parameter p p p are the special case of equation upsite with r = 1 r=1 r=1

    如果有了m.g.f.求均值和方差都不是大问题,就是求两个导数,所以就直接写结果了,但是我们有更简单的方法,继续把负二项分布拆成几何分布,然后计算均值和方差后按照均值和方差的加法原则求负二项分布的均值和方差:
    E ( X i ) = ψ i ′ ( 0 ) = 1 − p p V a r ( X i ) = ψ i ′ ′ ( 0 ) − [ ψ i ′ ( 0 ) ] 2 = 1 − p p 2 E(X_i)=\psi'_i(0)=\frac{1-p}{p}\\ Var(X_i)=\psi''_i(0)-[\psi'_i(0)]^2=\frac{1-p}{p^2} E(Xi)=ψi(0)=p1pVar(Xi)=ψi(0)[ψi(0)]2=p21p
    然后就是把 r r r X i X_i Xi 求和就得到订立中的结果了。

    集合分布的无记忆性 Memorless Property of Geometric Distributions

    这条性质是第一次出现,所以值得注意

    Theorem Memoryless Property of Geometric Distributions.Let X X X have the geometric distribution with parameter p p p ,and let k ≥ 0 k\geq 0 k0 .Then for every integer t ≥ 0 t\geq 0 t0 ,
    P r ( X = k + t ∣ X ≥ k ) = P r ( X = t ) Pr(X=k+t|X\geq k)=Pr(X=t) Pr(X=k+tXk)=Pr(X=t)

    这个证明是个习题,我还没有做(嘻嘻嘻,后面补上),但是要指出的是,我们学的这些分布中只有几何分布有这种性质。

    此处有坑,记得补上

    总结

    本文介绍了离散分布中最后两个,负二项分布,和几何分布,下一篇开始连续分布。

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    性质

      设p是随机变量等于1的概率,伯努利分布有一些特殊的性质:

      将上面的两个式子合并:

      伯努利变量是离散型,并且是一个0/1变量,它的数学期望是:

      方差是:

    极大似然

      最大似然估计(概率10)

      对于伯努利分布的质量函数来说,p是唯一的参数。如果给定N个独立同分布的样本 {x(1), x(2), ……, x(N)},x(t)是投硬币的结果,是随机变量,x(t)ϵ{0, 1},可以通过极大似然估计,根据样本推测出p的取值:

      取对数似然函数:

      这是个符合直觉的结果,即使没学过概率和极大似然也能得出这个结论。

    二项分布

      假设某个试验是伯努利试验,成功概率用p表示,那么失败的概率为1-p。现在进行了N次这样的试验,成功了x次,失败了N-x次,发生这种情况的概率是多少?

    质量函数

      对于每次实验来说,成功的概率都是p,失败的概率是1-p。假设已经完成了N次试验,并且前x次都成功了,后N-x次都失败了:

      x次成功的情况当然不止一种,比如成功和失败交叉在一起:

      这种成功和失败的排列顺序共有种不同的情况,因此对于任意N次伯努利试验,成功了x次的概率是:

      的另一种记法是 

      P(x)就是二项分布的质量函数,是N次伯努利试验中取得x次成功的概率。

    性质

      二项分布的均值和方差分别为Np和Np(1-p)。

      从二项分布的质量函数P(x)可知,概率分布只与试验次数N和成功概率p有关,p越接近0.5,二项分布将越对称。保持二项分布试验的次数N不变,随着成功概率p逐渐接近0.5,二项分布逐渐对称,且近似于均值为Np、方差为Np(1-p)的正态分布:

    多项分布

      多项分布是二项分布的扩展,其中随机试验的结果不是两种状态,而是K种互斥的离散状态,每种状态出现的概率为pi,p1 + p1 + … + pK = 1,在这个前提下共进行了N次试验,用x1~xK表示每种状态出现次数,x1 + x2 + …+ xK = N,称X=(x1, x2, …, xK)服从多项分布,记作X~PN(N:p1, p2,…,pn)。

    质量函数

      如果说二项分布的典型案例是扔硬币,那么多项分布就是扔骰子。骰子有6个不同的点数,扔一次骰子,每个点数出现的概率(对应p1~p6)都是1/6。重复扔N次,6点出现x次的概率是:  

     

      这和二项分布的质量函数类似。现在将问题扩展一下,扔N次骰子,1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是多少?

      仍然和二项式类似,假设前x1次都是1点,之后的x2次都是2点……最后x6次都是6点:

      1~6出现次数分别是x1~x6的情况不止一种,1点出现x1次的情况有种;在1点出现x1次的前提下,2点出现x2次的情况有种;在1点出现x1次且2点出现x2次的前提下,3点出现x3的情况有种……扔N次骰子,1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是:

      根据①:

      最终,扔骰子的概率质量函数是:

      把这个结论推广到多项分布:某随机实验如果有K种可能的结果C1~CK,它们出现的概率是p1~pK。在N随机试验的结果中,分别将C1~CK的出现次数记为随机变量X1~XK,那么C1出现x1次、C2出现x2次……CK出现xK次这种事件发生的概率是:

      其中x1 + x2 + …+ xK = N,p1 + p2 + …+ pK = 1。

    极大似然

      多项式的极大似然是指在随机变量X1=x1, X2=x2, ……, XK=xK时,最可能的p1~pK。

      对数极大似然:

      现在问题变成了求约束条件下的极值:

      根据拉格朗日乘子法:

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      根据约束条件:

      这也是个符合直觉的结论。面对有N个样本的K分类数据集,当pi = xi/N 时,Ci类最可能出现xi次。为了这个结论我们却大费周章,也许又有人因此而嘲笑概率简单了……


      出处:微信公众号 "我是8位的"

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    二项分布(Binomial Distribution)

    二项分布的基本描述:

       在概率论和统计学里面,带有参数n和p的二项分布表示的是n次独立试验的成功次数的概率分布。在每次独立试验中只有取两个值,表示成功的值的概率为p,那么表示试验不成功的概率为1-p。这样一种判断成功和失败的二值试验又叫做伯努利试验。特殊地,当n=1的时候,我们把二项分布称为伯努利分布。

       二项分布频繁地用于对以下描述的一种实验进行建模:从总数量大小为N的两个事物中进行n次放回抽样,以某一事物为基准,计算成功抽取这个事物的次数的概率。要注意的是必须进行的是放回抽样,对于不放回抽样我们一般用超几何分布来对这样的实验进行建模。


    二项分布的概率质量函数:

       一般来说,如果一个随机变量X满足二项分布的话,那么它一定有一个参数n∈ ℕ且还有一个参数p∈ [0,1]。这样的话,我们可以把关于X的二项分布写成X ~ B(np)。对应的概率质量函数如下。

    {\displaystyle Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}

       这里k = 0, 1, 2, ......, n,并且原括号是组合的表示形式,组合的计算公式如下。

    {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

       这个公式表示的从n个数中取k个数构成一个组合能有多少种不同的取法。整个二项分布我们可以描述为求n次独立的伯努利试验,成功k次的概率是多少。由于一次成功的概率是已知的,因此我们必须求出n次试验中,成功k次可能发生在哪次试验中,一共有多少种可能都要求出来,因此求的就是n取k组合数目。


    二项分布的均值:

       如果存在X~B(n, p)这样一个二项分布,也就是说X是呈现出二项分布的随机变量,n表示试验的总数,p表示每个试验中得到成功结果的概率,那么X的期望值如下。

    {\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}

       证明在最下面的维基百科链接中。


    二项分布的方差:

       同样的,如果存在X~B(n, p)这样一个二项分布,也就是说X是呈现出二项分布的随机变量,n表示试验的总数,p表示每个试验中得到成功结果的概率,那么X的方差如下。

    {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p).}

       证明在最下面的维基百科的链接中。


    二项分布的和:

       如果存在两个独立的二项分布X~(n, p)和Y~B(m, p),要注意的是它们在一次试验中成功的结果具有相同的概率p,那么X+Y也是一个二项分布。这样一个和的分布可以表示为Z=X+Y ~ B(n+m, p):

    {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}

       但是,如果X和Y一次试验成功的结果没有相同的概率p,那么X+Y的和的方差就会比B(n+m, p的均值)这样一个二项分布的方差要小。


    使用二项分布近似其它的分布:

       ①近似正态分布:当n足够大,且二项分布的近似曲线不是很弯曲的时候,我们可以用以下式子使二项分布B(n, p)近似于正态分布。并且我们可以用适当的连续性校正(continuity correction)来改善这样一个近似的正态分布。

    {\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),}

       ②近似泊松分布:在np固定不变,n趋于无穷大,p趋于0的时候,我们可以用一个二项分布来近似一个泊松分布。这样的话,泊松分布的λ=np。


    二项分布的属性图:

    二项分布概率图二项分布的属性


    参考资料:

    二项分布-维基百科  https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

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  • 多维高斯分布---【2

    2019-12-12 16:23:08
    一维高斯分布2.维高斯分布3.多维高斯分布4.心声 1.一维高斯分布 \qquad在介绍维高斯分布之前我们先介绍一下一维高斯分布的函数图像,如下所示: f(x)=12π⋅δ⋅e−(x−μ)22δ2 f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\...
  • 威布尔分布概率密度函数(PDF),广泛用于气象数据的研究。 通过使用威布尔分布对风速v进行统计分析,可以估算出平均风速,v周围的方差和风中的平均功率密度。 这些计算涉及伽玛函数Γ,特别是Γ(1 + 1 / k),Γ...
  • 0-1分布: 在一次试验中,要么为0要么为1的分布,叫0-1分布二项分布: 做n次伯努利实验,每次实验为1的...有k次为1,n-k次为0的概率,就是二项分布B(n,p,k)。 二项分布计算: B(n,p,k) =  换一种表达...
  • 离散型分布二项分布、多项分布、伯努利分布、泊松分布 连续型分布:均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布、偏态分布、贝塔分布、威布尔分布、卡方分布、F分布 连续型随机变量:若随机变量X的分布函数F(X)可以...
  • python 服从正态分布概率密度函数

    千次阅读 2019-10-11 00:13:40
    python 服从正态分布概率密度函数和累积密度函数 服从正太分布下,概率密度函数公式 公式解释: f(x): 是某样本(样本以数值形式表现)为某数值时发生的概率 0<f(x)<1 x: 是随机抽样的数值,取值范围从负...
  • 常见的几种概率分布 1 二项分布 所谓的二项分布就是只有两个可能结果的分布,例如:阴和阳、成功和失败、得到和丢失...将只有两种结果的独立实验重复N次,得到的概率分布叫做二项分布,对应的实验叫做N重伯努利实...
  • 伯努利分布:  首先说伯努利分布, 这个是最简单的分布,就是0-1分布 以抛硬币为例, 为正面的概率...那么二项分布求的就是进行n次伯努利分布,得到k次1的概率是多少 例如:单身汪找妹子要微信,假设妹子会给微信的概

空空如也

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二项分布的概率表达式

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