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  • 积分求导过程

    万次阅读 2021-04-07 12:05:08
  • 定积分典型例题

    千次阅读 2021-01-12 15:00:57
    定积分典型例题例1求、分析将这类问题转化为定积分主要就是确定被积函数与积分上下限。若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间等分写出积分与,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限、解将...

    定积分典型例题

    例1

    求、

    分析

    将这类问题转化为定积分主要就是确定被积函数与积分上下限。若对题目中被

    积函数难以想到

    ,

    可采取如下方法

    :

    先对区间等分写出积分与

    ,

    再与所求极限相比较来找出被

    积函数与积分上下限、

    将区间等分

    ,

    则每个小区间长为

    ,

    然后把得一个因子乘入与式中各项

    .

    于就是将所求

    极限转化为求定积分。即

    ==.

    2

    _

    __

    __

    _

    __

    _

    .

    解法

    1

    由定积分得几何意义知

    ,

    等于上半圆周

    ()

    与轴所围成得图形得面积。故

    =

    .

    解法

    2

    本题也可直接用换元法求解

    .

    =(),

    =

    ===

    3

    比较

    ,,

    分析

    对于定积分得大小比较

    ,

    可以先算出定积分得值再比较大小

    ,

    而在无法求出积分值

    时则只能利用定积分得性质通过比较被积函数之间得大小来确定积分值得大小、

    解法

    1

    在上

    ,

    有、而令

    ,

    则、当时

    ,,

    在上单调递增

    ,

    从而

    ,

    可知在上

    ,

    .

    ,

    从而有

    .

    解法

    2

    在上

    ,

    .

    由泰勒中值定理得。注意到

    .

    因此

    4

    估计定积分得值、

    分析

    要估计定积分得值

    ,

    关键在于确定被积函数在积分区间上得最大值与最小值。

    ,

    因为

    ,

    ,

    求得驻点

    ,

    , , ,

    ,

    从而

    ,

    所以

    5

    ,

    在上连续

    ,

    ,.

    .

    由于在上连续

    ,

    则在上有最大值与最小值。由知

    ,

    。又

    ,

    由于

    ,

    =.

    6

    ,

    为自然数

    .

    分析

    这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难

    ,

    解决此类问题得常用方法就是

    利用积分中值定理与夹逼准则

    .

    解法1

    利用积分中值定理

    ,

    显然在上连续

    ,

    由积分中值定理得

    ,

    ,

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  • 热点题型分析 热点1 定积分的计算 方法结论 1.求定积分的四大常用方法 私戳【数学38】给我,即可获取~ 学姐整理资料不易,喜欢就帮忙点赞、分享吧! 点击头像关注我,我将每天为大家更新全面的学习资料,以及高效...

    高中数学是拉分学科,导数更是数学成绩的拉分项。大部分同学都只能做对导数答题的第一问,剩下的直接挂在那里,干瞪眼不会做。

    今天学姐要跟大家系统地分享一套导数的解题技巧,顺带帮助大家复习一下基础知识。

    导数基础很重要

    尽管学姐一直在强调方法和技巧的重要性,但在导数部分,明显两者不分伯仲。

    所以先给大家分享一份《导数简单题的一整套题型分析》。

    受到平台文件分享类型的限制了,这里只展示部分图片。

    需要完整的电子版

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    函数与导数

    1[考情分析]

    高考对该部分内容的考查主要有三个方面:

    1.对定积分的考查主要是利用微积分基本定理求积分值或面积;

    2.对导数几何意义的考查主要是求切线方程或根据切线方程求参数的取值;3.对导数综合应用的考查主要是围绕:

    (1)讨论、判断、证明函数的单调性;

    (2)利用函数的单调性求函数的极值或最值;

    (3)利用导数求参数的取值范围;

    (4)利用导数解决不等式问题及函数的零点、方程根的问题.

    热点题型分析

    热点1 定积分的计算

    方法结论

    1.求定积分的四大常用方法

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  • 多元函数求积分求导可以看到,需要求出抛物线和双曲线的交点 a 下面求抛物线和双曲线的交点 下面计算积分: 例 19 求二重积分 其中 由 围成. 解 先作出区域的图形. 需要求出这些曲线的交点 求交点的坐标 a.x b.x c.x...

    多元函数求积分求导

    可以看到,需要求出抛物线和双曲线的交点 a 下面求抛物线和双曲线的交点 下面计算积分: 例 19 求二重积分 其中 由 围成. 解 先作出区域的图形. 需要求出这些曲线的交点 求交点的坐标 a.x b.x c.x a.y b.y c.y 二、多元微分学 1.多元偏导和全微分 如同一元函数的导数, 多元函数的偏导仍用 表示. 例9 求函数 的偏导与全微分. 输入命令 结果为 在上例中继续可以求出二阶偏导: 继续执行命令 2.微分法在几何上的应用 ⑴绘制法线 功能:绘制(X,Y,Z)所表示的曲面的法 线,且在点(X,Y,Z)处曲面的法线。 格式: 例10 绘制圆柱面 的法线. 程序如下 图形为 ⑵切线与法平面 画切线与法平面需先求出它们的方程 设空间曲线 当 时, 相应的切线方程和法平面方 程为 切线方程 法平面方程为: 求切向量 的命令为: a的三个元素分别为三个导数 例11 设曲线 求曲线 在 所对应点的切线和法平面方程,并画出曲 切点的三个坐标 a1为切向量 线、切线和法平面方程. 故所求的切线方程为: 结果为: 法平面方程为: 下面画曲线,切线和法平面: 切线与法平面 ⑶切平面与法线 则曲面在点 处的法向量为 或 则相应的切平面为 或 设空间曲面 或 : 法线方程为 用 函数可求出给定函数的法向量. 例12: 结果为: 例12 求出曲面 在点 处的切平面 和法线方程,并画出曲面、切平面和法线. 解: 结果为: 因此所求切平面方程为 法线方程为: 下面画曲面、切平面和法线 图形为: 它的意义是:函数 f ( x, y )在点( x 0 , y 0 )处沿着这个梯度所指方向的变化率是最大的,这个变化率为该梯度的模。 在高数书中,梯度是一个这样的向量: 它称为函数 在点 的梯度. ⑷梯度 梯度的计算方法: 1)jacobian命令 函数 在点 梯度为: 数值梯度 格式 功能 对已知函数求两个方向上的梯度. 例13 已知二元函数 及区域 求梯度向量并作图. 程序为: 4.多元函数的极值 求极值方法 格式1 功能 用单纯性方法求函数在指定处附近的极值. 格式2 功能 用牛顿方法求函数在指定处附近的极值. /feisky/archive/2009/10/24/1589260.html 例 16 求函数 在原点附近 的极值. 先作出曲面大致图形, 观察到在原点附近有 极大值或极小值. 程序为: 结果为: 三、多元函数积分 1.二重积分计算 格式: 功能: 求函数 f 对变量 x 在指定区域上[a,b]的定积分. 例 17 计算二重积分 输入命令 注:积分区域为矩形 积分区域确定方法如下:先画出积分区域的边界. 注:要确定积分区域,才能使用int函数. 例18 求积分 其中 在第一象限 是由 围成的部分. 在matlab命令窗口中输入:

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空空如也

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