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  • MATLAB提供了2种PDE解法,一种是pdepe()函数,他可以求解一般的peds,具有较大的通用性,但只支持命令形式调用;二是pde工具箱,但可以求解特殊PDE问题。
  • 非稳态的偏微分方程组是一个比较难解决的问题,也是在热质交换等方面的常常遇到的问题,因此需要一套程序来解决非稳态偏微分方程组的数值
  • MATLAB算法-求解微分方程数值解和解析解.ppt
  • function [u,x,y] = poisson(f,g,bx0,bxf,by0,byf,D,Mx,My,tol,MaxIter)%solve u_xx + u_yy + g(x,y)u = f(x,y)% over the region D = [x0,xf,y0,yf] = {(x,y) |x0 <= x <= xf, y0 <= y <...

    function [u,x,y] = poisson(f,g,bx0,bxf,by0,byf,D,Mx,My,tol,MaxIter)

    %solve u_xx + u_yy + g(x,y)u = f(x,y)

    % over the region D = [x0,xf,y0,yf] = {(x,y) |x0 <= x <= xf, y0 <= y <= yf}

    % with the boundary Conditions:

    % u(x0,y) = bx0(y), u(xf,y) = bxf(y)

    % u(x,y0) = by0(x), u(x,yf) = byf(x)

    % Mx = # of subintervals along x axis

    % My = # of subintervals along y axis

    % tol : error tolerance

    % MaxIter: the maximum # of iterations

    x0 = D(1); xf = D(2); y0 = D(3); yf = D(4);

    dx = (xf - x0)/Mx; x = x0 + [0:Mx]*dx;

    dy = (yf - y0)/My; y = y0 + [0:My]’*dy;

    Mx1 = Mx + 1; My1 = My + 1;

    %Boundary conditions

    for m = 1:My1, u(m,[1 Mx1])=[bx0(y(m)) bxf(y(m))]; end %left/right side

    for n = 1:Mx1, u([1 My1],n) = [by0(x(n)); byf(x(n))]; end %bottom/top

    %initialize as the average of boundary values

    sum_of_bv = sum(sum([u(2:My,[1 Mx1]) u([1 My1],2:Mx)’]));

    u(2:My,2:Mx) = sum_of_bv/(2*(Mx + My - 2));

    for i = 1:My

    for j = 1:Mx

    F(i,j) = f(x(j),y(i)); G(i,j) = g(x(j),y(i));

    end

    end

    dx2 = dx*dx; dy2 = dy*dy; dxy2 = 2*(dx2 + dy2);

    rx = dx2/dxy2; ry = dy2/dxy2; rxy = rx*dy2;

    for itr = 1:MaxIter

    for j = 2:Mx

    for i = 2:My

    u(i,j) = ry*(u(i,j + 1)+u(i,j - 1)) + rx*(u(i + 1,j)+u(i - 1,j))...

    + rxy*(G(i,j)*u(i,j)- F(i,j)); %Eq.(9.1.5a)

    end

    end

    if itr > 1 & max(max(abs(u - u0))) < tol, break; end

    u0 = u;

    end

    以上是possion.m文件,下面给个例子。

    %solve_poisson in Example 9.1

    f = inline(’0’,’x’,’y’); g = inline(’0’,’x’,’y’);

    x0 = 0; xf = 4; Mx = 20; y0 = 0; yf = 4; My = 20;

    bx0 = inline(’exp(y) - cos(y)’,’y’); %(E9.1.2a)

    bxf = inline(’exp(y)*cos(4) - exp(4)*cos(y)’,’y’); %(E9.1.2b)

    by0 = inline(’cos(x) - exp(x)’,’x’); %(E9.1.3a)

    byf = inline(’exp(4)*cos(x) - exp(x)*cos(4)’,’x’); %(E9.1.3b)

    D = [x0 xf y0 yf]; MaxIter = 500; tol = 1e-4;

    [U,x,y] = poisson(f,g,bx0,bxf,by0,byf,D,Mx,My,tol,MaxIter);

    clf, mesh(x,y,U), axis([0 4 0 4 -100 100])

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  • 这些由偏微分方程及边界条件、初始条件等组合成的数学模型,只有在十分特殊的条件下才能求得解析解。因此,在很长一段时间内,人们对于这一类问题是无能为力的。随着计算机技术的发展,各种数值方法应运而生,如有限...

    【实例简介】

    工程中有许多问题可以归结为偏微分方程问题,如弹塑性力学中研究对象(结构、边坡等)内部的应力应变问题、地下水渗流问题等。这些由偏微分方程及边界条件、初始条件等组合成的数学模型,只有在十分特殊的条件下才能求得解析解。因此,在很长一段时间内,人们对于这一类问题是无能为力的。随着计算机技术的发展,各种数值方法应运而生,如有限元法、有限差分法、离散元法、拉格朗日元法等等。利用数值法,可以求得这些问题的数值解。它不是问题的精确解,但可以无限接近精确解。Matlab采用有限元法求解偏微分方程的数值解

    偏微吩方程数宽解的 Matlab罢砚

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    中输入公式:C1-C2。

    3.3定义边界条件

    在 Boundary菜单中选择 Boundary mode选项或直接在工具条中单击a按钮,则显示几何模型的外

    边界和内边界。如图24所示。

    回区

    -1;

    11l=3,re,命,=|÷正m=:2-1

    〔!1〔2〕001〔E

    图24定义边界条件

    在图中单击边界,则边界线变成黑色,表示它被选中。按住 Shift键,可以连续选择多条边界线段。

    选择要定义的边界以后,双击边界或在 Specify Boundary conditions…近项,打开 Boundary Condition

    对话框,如图25所示。

    吧ndar丁 Condition

    瓦[

    F IrI dNrs I: ' ll 1(u-I

    cue

    11

    IuI-H

    图25 Boundary Condition对话框

    对话框中各选项的意义分别为:

    Boundary cond. cquation标签显示边界条件方程。

    Condition type在下面的两个单选钮中进行选择,确定边界条件类型。

    Neumann单选钮选择此项,将边界条件类型确定为 Neuman条仵。

    Dirichlet单选钮缺省时选此项。选择此项时,将边界条件类型确定为

    Dirichlet边界条件。

    ● Coelficient value栏在该栏中的对应文丕框中输入边界条件公式卬的系数值。

    本例中选择缺省设置。

    在 Boundary菜单中近择 Show Edge labels选项和 Show Subdomain labels选项,可以在图中显示

    边缘标签和子域标签。

    3.4定义PDE类型和PDE系数

    偏微分方覆憝宽解的 Matlab寥砚

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    在PDE菜单中选择 PdE mode选项,图形将显示为PE模式。选择 Show subdomain labels选项,将

    在图中显示子域标签。

    在工具条中单击r按钮或在PDE菜单中单击 PDE Specification…选项,可以打开PDE

    Specification对话框,如图26所丌。

    E日

    +改

    二1三

    图26 PDE Specification对话框

    对话框中各选项的意义分别为

    Equation标签该标签显示PDE方程表达式。

    Type of pD栏在该栏中进行选择,确定PDE问题的类型。

    ▲ Elliptic单选钮为缺省选项。选择此项,设置为椭圆型PD问题。

    Parabolic单选钮选摻此项,设置为抛物线型PDE问题。

    ▲ Hyperbolic单选钮选择此项,设置为双曲线型PDE问题。

    Eigenmodes单选钮选择此项,设置为特征值PE问题。

    ● Coefficient栏在该栏中设置PDE方程的系数值。

    3.5三角形网格剖分

    在工具烂中单击△按钮,或在Mesh菜单中选择 Initialize mesh选项,可以进行研究域的三角形

    网格初始化。如图27所示。

    四17训n小网

    [吕

    -s「∵斗-1.三卩U..甲亠[E了

    11

    在工具条中单击按钮或在Mesh菜单中选择 Refine mesh选项,可以对初始网格迸行加密。如图

    28所示。利用加密后的网格进行计算,可以获得具更高精度的解。

    11|」|

    偏微吩方程数宽解的 Matlab罢砚

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    在Mesh菜单中选择 Jiggle mesh选项,可以对网格进行微调。选择 Display triangle图29微调网

    Quality,将显示三角形的质量图。如图29所示。图中,将三角形的最好质量定为1,并用红色表

    ,最差质量为0,用兰色表示,二者之间的三角形质量根据质量得分的大小用红色和兰色的过度色表

    小。

    在Mesh菜单中选择 Show node labels近项,将在图中显示网格节点的编号,如图30所示。选择

    Show Subdomain labels选项,将显示各子域的编号。

    其司

    C

    h

    12111

    图30显示子域编号

    在Mesh菜单中选择 Parameters…选项,打开 Mesh parameters刘话框,如图31所示。在该对话框

    中进行设置,可以明确与网格剖分有关的参数。

    Hesh P

    Ah rate

    M Jiggle mesh

    ggm∈ sh parameters

    Jiggle mod

    Number of jiggle iterat ons

    Refinement method

    oK

    图31 Mesh Parameters对话框

    对话框叩各控件的意义分别为

    Maximun edge siκe文本框在该文本框中输入数值,确定最大边缘大小。

    Mesh growth rate文本框在该文本框中输入网格生长率。缺刍值为1.3。

    Jiggle mesh核选框迒择此项,微调网格。缺省时选择此项。

    Jiggle mode下拉式列表栏在其中进行选择,确定微调模式。可选模式有on、 optimize minimum

    和 optimize mean等三项。

    Number of jiggle iterations文木框在该文本框口输入微调迭代的次数。

    Refinement method下拉式列表框在该控件中进行冼择,确定进行网格加密的方法,包括

    regular和 longest两个选项。具体内容参见前面函数部分。

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    3.6PDE求解

    在工具条中单击=按钮或在 Solve菜单口选择 Solve pDe选项,可以对前面定义的PDE问题进行求

    解。本例的解如图32所示。

    1·3111

    图32问题的缺省图解(色谱图)

    在 Solve菜单中单击 Parameters…选项,打开 Solve parameters对话框,如图33所示。在该对话

    框中进行设置,可以确定求解方法和参数。

    rIlI Ir H■"l

    hlurIl'Itri ruri t-=ul lI-'iyle

    Ncnlliee l0ler3T

    1E4

    fuyi'nLrI rur=·urk'l≌.

    I'TilinI lill

    IIuII_.'Iuu

    laurI

    FI:h nr r h

    J

    图33 Solve Parameters对话框

    该对话框中各选项的意义分别为

    daptive mode核选框选择此项,即选择自适应模式,系统将自适应生成网格并进行求解。

    ● Maximum number of triangles文本框在其中输入三角形的最大个数。

    Maximum number of refinements文本框在其中输入网格加密的最大次数。

    Triangle selection method在下面的三个单选钮中进行选择,确定三角形的选择方法。

    Worst triangles单选钮为缺省选项。选择此项,根据最坏三角形进行迒择。

    ▲ Relate tolerance单选钮选此项,根据相对容限进行选择。

    ▲User- defined function单选钮选择此项,在下面的文本框中输入函数,用该函数选择三角

    Worst triangle fractions文本框在该文本框中翰入最坏三角形分量。

    Refinement method下拉式列表框在其中进行选择,确定进行网格加密的方法,有 regular

    和 longest两个选项。

    User nonlincar solver核选框选择此项,用非线性求解器进行求解。

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    onl inear tolerance文本框在该文本中输入非线性迭代终止的容限。缺省值为lE-4。

    Initial solution文本框在该文本框中输入问题的解的初值。

    Jacobian下拉式列表框在该控件中进行选择,确定雅可比矩阵的确定方式。有 fixed、 lumped

    和fu11三个选项。

    Norm文本框在其口输入范数值,缺省值为Inf(∞)。

    3.7解的图形表达

    PDE工具项提供了解的多种图形表达方式,上面显示的是彩色图,为缺省显示。单击顽按钮或在

    Solve菜单中单击 Parameters…选项,可以打开 Plot selection刈话框,如图34所示。

    图34P1 ot selection对话框

    F|t/∈

    P=:s;

    tional

    厂 AlmIr,Ad ITE:

    leigl H plot I

    cor:i I5 T

    厂 animato

    甲Flls-』 o- SucIm.l

    TIn 1.nn

    该对话框中各选项的意义分别为:

    Plot type控件列该列控件控制图形类型的选择。包括

    ▲ Color核选框选择此项,生成并显示解的彩色图。缺省时选择此项。

    Contour核选框选择此项,生成并显示解的等值线图。如图35所示。

    Δ rrows核选框选择此项,生成并显示解的矢量图。如图36所示

    De formed mesh核选框选择此项,生成并显示解的变形Ⅸ格图。如图37所示。

    ▲ Height(3- D plot)核选框选择此项,生成并显示解的三维图。如图38所示。

    Animation核选框选择此顶,生成解的系列演示图。

    Property空件列该列控件为一组下拉式列表框,定义对解的哪一部分进行图形显小。

    User entry控件列为一组文本框,在其中输入用户输入

    Plot style控件列该控件列控制前面选择图型的不冋风格。

    Plot in x- y grid核选框选择此项,在x-y网格中绘图。

    how mesh核选框选择此项,在当前图中显示网格。

    Color: u

    D

    0

    E

    0

    4

    0

    0.3

    "

    1-08-0.3-14-0.2C320.40.603112141161

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    图35色谱图叠加等值线图

    .2

    4

    U.2

    06

    n8-3-14∩.2C12自406811214161.8

    图36色谱图叠加矢量图

    Y

    K

    l

    4

    凵2「2:斗

    1叫1

    图37变形网格图

    E

    图38三维高程图

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    Contour plot levels文本框在其中输入等值线的水平数。

    Colormap下拉式列表框在该控件中选择绘彩色图的颜色。

    Plot solution automatically核选框选择此项,系统自动绘解的图形。

    4几种常见的偏微分方程数值求解问题

    4.1椭圆型问题

    4.1.1单位圆盘的泊松方程

    泊松方程是最简单的椭圆型PDE问颎。

    该问题的公式为

    △U=1

    边界上U=0。该问题的精确解为:

    U/(x,y)=

    y

    (1)、用图形用户界面计算

    在命令窗囗中输入 pdetool命令,选用 Generic scalar模式

    1.单击0 ption菜单,选择 add a grid选项,设置“snap-to-grid”特点。单击+按钮面一个圆,

    若该图不是标准的单位圆,双击该圆,打开一对话棰,在其中可以指定圆心的糈确位置和半径的

    大小\。

    2.通过单击2按钮来设置边界模式。分割的几何边界显示出来,并目外边界指定为缺省设置,即

    Dirichlet边界条件,u=0。本例中采月缺省设置,若边界条件不同,可以通过双击边界打开

    对话框,在其中入对应的边界条件。

    3.单击按丑,定义偏微分方稈,该操作打开一对话框,可以在其中定义PDE系数c,a和f。本

    例中,它们均为常数:c-1,f-1,a-0。

    4.单击△按扭或选择Mesh菜单中的 Initialize mesh选项,初始化显示三角形Ⅸ格。

    5.单击公按扭或在Mesh莫单中选择 Refine mesh选项,改进初始网格并显示新网格。

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    -0.2

    -0.4

    -0.6

    -0.8

    -0.5

    0.5

    图39初始化网格

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    6.单击=按扭进行求解,Mat1ab可以用图形来表示问题的解。单击按钮,打开 Plot selection

    对语框。利月该对话框,可以选择不同类型的解图。

    11

    [IT

    图40问题解的色谱图

    7.比较数值解与精确解之间的误差。

    为 Plot selecting对话框中的 Color选择 Property弹出式菜单中的 User entry。然后在 User entry

    编辑区中输入 Matlab表达式u-(1-x.2-y.2)/4。可以获得解的绝对误差的图形表示。

    图41解的绝对误差图形

    (二)、使用命令行函数

    首先必须创建 MATLAB函数,使二维几何模型参数化。

    M文件 circles.m返回单位圆盘边界点的坐标。下面是该文件的内容

    nbs=4

    if nargin==0

    x=nbs;%边界线段个数

    retur

    eI

    0000%参数初值

    1111%参数终值

    10

    【实例截图】

    【核心代码】

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  • matlab偏微分方程工具箱求解

    千次阅读 2020-12-14 18:13:50
    Matlab偏微分方程工具箱求解方法 这一节我们主要用matlab自带的偏微分方程的工具箱函数求解 一.偏微分方程组的matlab求解语句 ​ 该命令用以求解以下的PDEPDEPDE方程式: c(x,t,u,∂u∂x)∂u∂t=x−m∂(xmf(x,t,...

    Matlab的偏微分方程工具箱求解方法

    这一节我们主要用matlab自带的偏微分方程的工具箱函数求解

    一.偏微分方程组的matlab求解语句

    ​ 该命令用以求解以下的 P D E PDE PDE方程式:
    c ( x , t , u , ∂ u ∂ x ) ∂ u ∂ t = x − m ∂ ( x m f ( x , t , u , ∂ u ∂ x ) ) ∂ x + s ( x , t , u , ∂ u ∂ x ) c(x,t,u,\frac{\partial u }{\partial x})\frac{\partial u}{\partial t } = x^{-m}\frac{\partial (x^mf(x,t,u,\frac{\partial u}{\partial x}))}{\partial x }+s(x,t,u,\frac{\partial u }{\partial x}) c(x,t,u,xu)tu=xmx(xmf(x,t,u,xu))+s(x,t,u,xu)
    ​ 其中: t ∈ [ t 0 , t f ] , x ∈ [ a , b ] t \in [t_0,t_f],x \in [a,b] t[t0,tf],x[a,b]。偏微分方程的初解:
    u ( x , t 0 ) = v 0 ( x ) u(x,t_0) = v_0(x) u(x,t0)=v0(x)
    ​ 边界条件为:
    p ( x , t , u ) + q ( x , t ) f ( x , t , u , ∂ u ∂ x ) = 0 p(x,t,u) +q(x,t)f(x,t,u,\frac{\partial u}{\partial x}) = 0 p(x,t,u)+q(x,t)f(x,t,u,xu)=0
    ​ 下面介绍求解此类方程的函数用法:
    s o l = p d e p e ( m , p d e p e , i c f u n , b c f u n , x m e s h , t s p a n , o p t i o n s ) ; sol = pdepe(m,pdepe,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options); sol=pdepe(m,pdepe,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options);
    m : m: m:对称参数。

    x m e s h : xmesh: xmesh:位置向量, x m e s h = [ x 0 , x 1 , . . . x N ] , x 0 = a , x N = b xmesh = [x_0,x_1,...x_N],x_0 = a,x_N = b xmesh=[x0,x1,...xN],x0=a,xN=b

    t s p a n : tspan: tspan:时间变量 t t t的向量, t s p a n = [ t 0 , t 1 , . . . t M ] , t 0 = t 0 , t M = t f tspan = [t_0,t_1,...t_M],t_0 = t_0,t_M = t_f tspan=[t0,t1,...tM],t0=t0,tM=tf

    p d e f u n : pdefun: pdefun:用户提供的 p d e pde pde函数文件。函数格式如下:
    [ c , f , s ] = p d e f u n ( x , t , u , d u d x ) ; [c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx); [c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx);
    ​ 也就是说我们要自己设置相应的输出 c , f , s c,f,s c,f,s,且它们都是行向量。

    i c f u n : icfun: icfun:求解 u u u的起始值,格式为 u = i c f u n ( x ) u = icfun(x) u=icfun(x)。且 u u u是行向量。

    b c f u n : bcfun: bcfun:提供边界条件函数,格式:
    [ p l , q l , p r , q r ] = b c f u n ( x l , u l , x r , u r , t ) ; [pl,ql,pr,qr] = bcfun(xl,ul,xr,ur,t); [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t);
    p l , q l : pl,ql: pl,ql:左边界 p p p q q q的行向量。 p r , q r : pr,qr: pr,qr:右边界 p p p q q q的行向量。

    o p t i o n s : options: options:求解器相关解法参数,见 o d e s e t odeset odeset

    s o l : sol: sol:多维向量输出, s o l ( : , : , i ) sol(:,:,i) sol(:,:,i) u i u_i ui的输出,而 u i ( j , k ) = s o l ( j , k , i ) u_i(j,k) = sol(j,k,i) ui(j,k)=sol(j,k,i)表示在 t = t s p a n ( j ) , x = x m e s h ( k ) t = tspan(j),x = xmesh(k) t=tspan(j),x=xmesh(k)时候 的 u i u_i ui的值。

    ​ 要获得特定位置和时间的解用以下命令:
    [ u o u t , d u o u t d x ] = p d e v a l ( m , x m e s h , u i , x o u t ) ; [uout,duoutdx] = pdeval(m,xmesh,ui,xout); [uout,duoutdx]=pdeval(m,xmesh,ui,xout);
    x m e s h : [ x 0 , x 1 , . . . x N ] xmesh:[x_0,x_1,...x_N] xmesh:[x0,x1,...xN]

    u i : s o l ( j , : , i ) , ui:sol(j,:,i), ui:sol(j,:,i), i i i个输出 u i u_i ui在时间 t j t_j tj处的解。

    u o u t : uout: uout:在指定 t f t_f tf下对应指定位置 x o u t xout xout的值。

    d u o u t d x : duoutdx: duoutdx:相对应的 d u d x \frac{du}{dx} dxdu

    二.具体的用法

    ​ 1.求解以下偏微分方程(解析解为 u ( x , t ) = e − t s i n ( π x ) u(x,t) = e^{-t}sin(\pi x) u(x,t)=etsin(πx)):
    π 2 ∂ u ∂ t = ∂ 2 u ∂ x 2 \pi^2\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2u}{\partial x^2} π2tu=x22u
    ​ 其中 x ∈ [ 0 , 1 ] x \in[0,1] x[0,1],满足以下条件:
    u ( x , 0 ) = s i n ( π x ) u ( 0 , t ) = 0 π e − t + ∂ u ( 1 , t ) ∂ x = 0 u(x,0) = sin(\pi x)\\ u(0,t) = 0 \\ \pi e^{-t} + \frac{\partial u(1,t)}{\partial x} = 0 u(x,0)=sin(πx)u(0,t)=0πet+xu(1,t)=0

    s o l v e : solve: solve:

    ​ 改写以上偏微分方程到标准形式:
    π 2 ∂ u ∂ t = x 0 ∂ ∂ x ( x 0 ∂ u ∂ x ) + 0 \pi^2 \frac{\partial u}{\partial t} = x^0\frac{\partial}{\partial x}(x^0\frac{\partial u}{\partial x}) +0 π2tu=x0x(x0xu)+0
    ​ 具体的实现代码如下:

    function first
        %计算从t:0~3的值
        x = linspace(0,1,20);
        t = linspace(0,3,60);
        subplot(121);
        sol = pdepe(0,@firstPdefun,@firstIcfun,@firstBcfun,x,t);
        u = surf(x,t,sol(:,:,1));
        title('微分方程数值解');
        xlabel('x');
        ylabel('t');
        zlabel('u')
        subplot(122);
        [X,T] = meshgrid(x,t);
        U = exp(-T).*sin(pi*X);
        surf(X,T,U);
        title('微分方程解析解');
    end
    
    %方程段
    function [c,f,s] = firstPdefun(x,t,u,dudx)
        c = pi^2;
        f = dudx;
        s = 0;
    end
    %起始值条件段
    function u = firstIcfun(x)
        u = sin(pi*x);
    end
    %边界条件段
    function [pl,ql,pr,qr] = firstBcfun(xl,ul,xr,ur,t);
        pl = ul;
        ql = 0;
        pr = pi*exp(-t);
        qr = 1;
    end
    

    对比一下发现几乎和解析解一摸一样!

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-x1qgI86I-1607940760112)(D:\文件\2020 09 19\美赛软件\数值解.png)]
    2.求解以下偏微分方程的数值解:
    ∂ u 1 ∂ t = 0.024 ∂ 2 u 1 ∂ x 2 − F ( u 1 − u 2 ) ∂ u 2 ∂ t = 0.170 ∂ 2 u 2 ∂ x 2 + F ( u 1 − u 2 ) F ( u 1 − u 2 ) = e 5.73 ( u 1 − u 2 ) − e − 11.46 ( u 1 − u 2 ) \frac{\partial u_1}{\partial t} = 0.024\frac{\partial^2u_1}{\partial x^2} - F(u_1-u_2)\\ \frac{\partial u_2}{\partial t} = 0.170\frac{\partial^2u_2}{\partial x^2} + F(u_1-u_2)\\ F(u_1-u_2) = e^{5.73(u_1-u_2)} - e^{-11.46(u_1-u_2)} tu1=0.024x22u1F(u1u2)tu2=0.170x22u2+F(u1u2)F(u1u2)=e5.73(u1u2)e11.46(u1u2)
    初值条件:
    u 1 ( x , 0 ) = 1 u 2 ( x , 0 ) = 0 u_1(x,0) = 1\\ u_2(x,0) = 0 u1(x,0)=1u2(x,0)=0
    边值条件:
    ∂ u 1 ( 0 , t ) ∂ x = 0 u 2 ( 0 , t ) = 0 u 1 ( 1 , t ) = 1 ∂ u 2 ( 1 , t ) ∂ x = 0 \frac{\partial u_1(0,t)}{\partial x} = 0\\ u_2(0,t) = 0\\ u_1(1,t) = 1\\ \frac{\partial u_2(1,t)}{\partial x} = 0\\ xu1(0,t)=0u2(0,t)=0u1(1,t)=1xu2(1,t)=0
    S o l v e : Solve: Solve:

    ​ 化简上面的偏微分方程为标准形式:
    ( 1 1 ) . ∗ ∂ ∂ t ( u 1 u 2 ) = ∂ ∂ x ( 0.024 ∂ u 1 ∂ x 0.170 ∂ u 2 ∂ x ) + ( − F ( u 1 − u 2 ) F ( u 1 − u 2 ) ) \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}_.*\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix} u_1\\u_2 \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial x}\begin{pmatrix} 0.024\frac{\partial u_1}{\partial x}\\0.170\frac{\partial u_2}{\partial x} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -F(u_1-u_2)\\F(u_1-u_2) \end{pmatrix} (11).t(u1u2)=x(0.024xu10.170xu2)+(F(u1u2)F(u1u2))
    ​ 化简左边界条件也有:
    ( 0 u 2 ) + ( 1 0 ) . ∗ ( 0.024 ∂ u 1 ∂ x 0.170 ∂ u 2 ∂ x ) = ( 0 0 ) \begin{pmatrix} 0\\u_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_.* \begin{pmatrix} 0.024\frac{\partial u_1}{\partial x}\\0.170\frac{\partial u_2}{\partial x} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} (0u2)+(10).(0.024xu10.170xu2)=(00)
    ​ 化简右边界条件有:
    ( u 1 − 1 0 ) + ( 0 1 ) . ∗ ( 0.024 ∂ u 1 ∂ x 0.170 ∂ u 2 ∂ x ) = ( 0 0 ) \begin{pmatrix} u_1-1\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}_.* \begin{pmatrix} 0.024\frac{\partial u_1}{\partial x}\\0.170\frac{\partial u_2}{\partial x} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} (u110)+(01).(0.024xu10.170xu2)=(00)
    ​ 最后附上整个代码:

    function second
    xmesh  = linspace(0,1,20);
    tspan = linspace(0,3,60);
    sol = pdepe(0,@secondPdefun,@secondPdein,@secondPdebc,xmesh,tspan);
    subplot(121);
    surf(xmesh,tspan,sol(:,:,1));
    xlabel('x');
    ylabel('t');
    zlabel('u(1)');
    title('u(1)-x-t图像');
    subplot(122);
    surf(xmesh,tspan,sol(:,:,2));
    xlabel('x');
    ylabel('t');
    zlabel('u(2)');
    title('u(2)-x-t图像');
    end
    
    function [c,f,s] = secondPdefun(x,t,u,dudx)
    c = [1 1]';
    f = [0.024*dudx(1) 0.170*dudx(2)]';
    y = u(1) - u(2);
    stemp = exp(5.73*y) - exp(-11.46*y);
    s = [-stemp stemp]';
    end
    
    function up = secondPdein(x,t,u,dudx)
    up = [1 0]';
    end
    
    function [pl ql pr qr] = secondPdebc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl = [0 ul(2)]';
    ql = [1 0]';
    pr = [ur(1)-1 0]';
    qr = [0  1]';
    end
    
    

    最后的结果是:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-OmhTKc6e-1608001651080)(D:\文件\2020 09 19\美赛软件\偏微分解.png)]

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    微分方程概述及matlab代码(求解析解)

    【清风数学建模教程笔记】

    微分方程概述

    当我们描述实际对象的某些特性随时间(空间)而演变的过程,分析它的变化规律,预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。

    在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关系较为困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系式比较容易时,可以用建立微分方程模型的方法来研究该问题。

    1. 分类:常微分方程(未知函数是一个一元函数)和偏微分方程(未知函数是一个多元函数)
    2. 国赛趋势:越来越重视微分方程、物理领域等
    3. 解析解和数值解
      • 解析解(analytical solution)是严格按照公式逻辑推导得到的,具有基本的函数形式。给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解,他人可以利用这些公式计算各自的问题,具有广泛适用性;
      • 数值解(numerical solution)是采用某种计算方法,在特定的条件下得到的一个近似数值结果,如有限元法,数值逼近法,插值法等等得到的解。别人只能利用数值计算的结果,而不能随意给出自变量并求出计算值。
    4. 微分方程模型的应用十分广泛:例如人口预测模型、捕食者猎物模型、种群相互竞争\依存模型、传染病模型等

    关于传染病模型的学习资源

    1. 上海财经大学传染病模型讲解
    2. 上海市现代应用数学重点实验室对新冠肺炎的一些研究报告(emo 看不懂)

    引例:导弹射击问题

    在这里插入图片描述

    微分方程基本概念

    1. 微分方程:含导数或微分的方程称为微分方程,其一般形式为
      f ( x , y 1 , y 2 , . . . , y n ) = 0 f(x,y^1,y^2,...,y^{n})=0 f(x,y1,y2,...,yn)=0

    2. 微分方程的阶数:微分方程中所含导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数,例如下式是三阶微分方程。
      y ′ ′ ′ + 2 y ′ ′ − 2 x = 0 y'''+2y''-2x = 0 y+2y2x=0

    3. 微分方程的解:使得微分方程成立的函数称为微分方程的解。

    4. 微分方程的通解和特解:不含任意常数的解称为微分方程的特解;若解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等,则称此解为微分方程的通解。例如:
      y ′ − e x = 0 y'-e^x=0 yex=0
      特解为
      e x e^x ex
      通解为
      e x + C e^x+C ex+C

    5. 初值条件:能够确定通解中任意常数的条件称为微分方程的初值条件。

    6. 如何建立微分方程?

      • 按照专业知识、规律直接列方程。
      • 套用现有的微分方程模型。(根据具体问题改进)

    Matlab求微分方程的解析解

    解析解:即给出解的具体表达式,若给定初始条件,则能求出含具体常数的解。

    以下给出几个例子。

    例1:
    y − d y d x = 2 x y - \frac{dy}{dx}=2x ydxdy=2x

    clear;clc
    dsolve('y-Dy=2*x','x')  
    %此处要指定自变量为x
    % 输出 2*x + C1*exp(x) + 2  (这里的C1表示任意常数,有时候也会出现C2 C3等)
    % 如果不指定自变量的话,会默认自变量为t,x会看成一个常数
    
    % 下面这种写法是新版的matlab推荐的方式,注意:最新版本的matlab会逐渐淘汰上面那种写法
    syms y(x)
    eqn = (y - diff(y,x) == 2*x);    % 注意原来方程中的“=”一定要改成“==”
    dsolve(eqn)
    

    当微分方程中还有其他的未知参数时
    y − d y d x = a x y - \frac{dy}{dx}=ax ydxdy=ax

    % 方法1
    dsolve('y-Dy=a*x','x')  % a是一个未知的参数
    % 方法2
    syms y(x) a
    eqn = (y - diff(y,x) == a*x);  
    dsolve(eqn)
    

    例2:
    y − y ′ = 2 x 且 y ( 0 ) = 3 y-y' =2x且y(0)=3 yy=2xy(0)=3

    % 方法1
    dsolve('y-Dy=2*x','y(0)=3','x')
    % 输出:2*x + exp(x) + 2
    % 方法2
    syms y(x)
    eqn = (y - diff(y,x) == 2*x);  
    %初值条件
    cond = (y(0) == 3);
    dsolve(eqn,cond)
    % 2*x + exp(x) + 2
    

    例3:
    y ′ ′ + 4 y ′ + 29 y = 0 且 y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 15 y'' +4y'+29y=0且y(0)=0,y'(0)=15 y+4y+29y=0y(0)=0,y(0)=15

    % 方法1
    dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 
    % 3*sin(5*x)*exp(-2*x)
    % 方法2
    syms y(x)
    eqn = (diff(y,x,2) + 4 *diff(y,x) + 29*y  == 0);  
    Dy = diff(y,x); % 定义变量Dy为y的一阶导数
    cond = [(y(0) == 0) ,(Dy(0) ==15)] ; 
    % 有两个条件,可以写到一个向量中保存
    dsolve(eqn,cond)
    % 3*sin(5*x)*exp(-2*x)
    

    例4:

    微分方程组求解,具体见以下代码。

    % 方法1
    [x,y,z] = dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z+t','Dy=4*x-5*y+3*z+t','Dz=4*x-4*y+2*z+t','t') 
    
    % 方法2
    syms x(t) y(t) z(t)
    eqn1 = (diff(x,t)  == 2*x-3*y+3*z+t); 
    eqn2 = (diff(y,t)  == 4*x-5*y+3*z+t); 
    eqn3 = (diff(z,t)  == 4*x-4*y+2*z+t); 
    eqns = [eqn1 eqn2 eqn3];
    [x,y,z] = dsolve(eqns)
    % x = exp(2*t)*(C2- (exp(-2*t)*(2*t + 1))/4) + C3*exp(-t)
    % y = exp(2*t)*(C2 - (exp(-2*t)*(2*t + 1))/4) + C3*exp(-t) + C4*exp(-2*t)
    % z = exp(2*t)*(C2 - (exp(-2*t)*(2*t + 1))/4) + C4*exp(-2*t)
    

    关于mupad工具包以及不手打公式的工具等

    mupad  % 最新版本matlab可能会报错,将计算结果复制到里面,使结果可读。
    % 如果新版matlab用不了mupad的话,可以使用实时脚本(【新建】-【实时脚本】)
    simplify(y)  % simplify函数可以简化表达式
    latex(y) 
    % 转换成latex代码,复制到Axmath或者word自带的公式编辑器
    % 如果太过于复杂的话可能会报错,可以自己测试
    

    关于导弹射击问题的matlab求解

    % 假设 v=100
    [x,y] = dsolve('Dx = 3*100*(20+sqrt(2)/2*100*t-x)/sqrt((20+sqrt(2)/2*100*t-x)^2+(sqrt(2)/2*100*t-y)^2)','Dy = 3*100*(sqrt(2)/2*100*t-y)/sqrt((20+sqrt(2)/2*100*t-x)^2+(sqrt(2)/2*100*t-y)^2)','x(0)=0,y(0)=0','t')  
    % 警告: Explicit solution could not be found. 不能找到显示解
    

    此题无法使用求解析解的方法求解。

    关于Matlab求解析解的几点注意

    1. 自变量需要指定,当不指定时默认为t
    2. 初始条件不给时,算出来的是通解
    3. 可以用向量的方式保存微分方程组并求解
    4. 如果微分方程形式较为复杂,那么很大可能是得不到解析解的,则需要求数值解
    展开全文
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