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  • 偏微分方程数值解的MATLAB实现,提供了求解一维偏微分方程的函数和求解二维偏微分方程的工具箱
  • 双曲线型偏微分方程数值解的求解VC代码,有可视化界面的特点。注释比较详尽,程序阅读、修改比较容易。
  • 包含椭圆,抛物线,双曲线偏微分方程数值解法,隐式格式,显示格式等,应用于大学偏微分方程数值解报告的撰写
  • 1) 针对具体抛物型方程构造向前差分格式、向后差分格式、六点对称...2) 上机实现四种差分格式求解抛物型方程; 3) 利用MATLAB可视化窗口设计,利用向前差分格式实现求解在不同初始条件和边界条件下的不同抛物型方程
  • Matlab求解微分方程()及偏微分方程()
  • 非稳态的偏微分方程组是一个比较难解决的问题,也是在热质交换等方面的常常遇到的问题,因此需要一套程序来解决非稳态偏微分方程组数值解。
  • 偏微分方程数值求解 -- ING

    千次阅读 2019-07-06 15:53:35
    偏微分方程数值解法,本质是偏微分方程的近似求解。虽然是近似,但整个近似过程满足严格的数学要求,如稳定性、收敛性、相容性等,并非随意的近似。由于时间,精力以及个人需求,仅秉着“理解不深究”的态度,进行...

    偏微分方程的数值解法,本质是偏微分方程的近似求解。虽然是近似,但整个近似过程满足严格的数学要求,如稳定性、收敛性、相容性等,并非随意的近似。由于时间,精力以及个人需求,仅秉着“理解不深究”的态度,进行了简单学习,并作如下笔记。因此下面难免有不严谨的地方,甚至错误,请大家适当取舍。(如有错误,请不吝赐教)

    介绍的偏微分方程数值解法:有限差分法,有限元法(主要学习有限单元法),变分法与加权余量法

    有限差分法

    (1)基本思想

    根据偏微分的定义,利用差商值近似求解微分方程的解。
    (2)常微分方程的差分格式 

    最常见的有Euler差分格式和Runge-Kutta格式,简单介绍如下

    • Euler差分,有向前差分,向后差分,中心差分等;从几何角度,利用‘三角性面积’代替“不规则形状的真实面积”
    • Runge-Kutta差分,利用两点中间的几个位置点,求这些点斜率的平均值;从几何角度,利用‘平均斜率的矩形”代替“不规则的真实面积”
    • 为提高差分精度,及一些特殊要求,还有其他差分格式,如Gear方法,等

    (3)偏微分方程的差分格式

    偏微分方程是分类的,有椭圆形、双曲线性、抛物线形偏微分方程。不同方程有不同的差分格式,整体而言,差分格式分为显式差分和隐式差分。显示差分指根据“上一层“”推测“下一层”,逐层递推;隐式差分则需要根据求解层 “上下层” ,进行求解。此外,边界条件的网格也是重要问题。

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    扩展阅读

    【转】  有限差分法求解偏微分方程  https://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/53053747

     

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  • matlab解偏微分方程

    2018-09-17 21:51:49
    代码为2018年全国数学建模竞赛a题第一问matlab源程序,可动态生成三层隔热服距离与温度的关系图,以及三层隔热服的温度分布图。主要内容建立在一维非稳态热传导以及偏微分方程的解法程序
  • 偏微分方程数值解系列博文: 偏微分方程数值解(一):定解问题 & 差分解法 偏微分方程数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 偏微分方程数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应...

    偏微分方程的数值解系列博文:

    偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

    偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应装置内温度及转换率的分布

    偏微分方程的数值解(四): 化工应用————扩散系统之浓度分布

    偏微分方程的数值解(五): 二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法


    目录

    1 图形界面解法简介       

    2 图形界面解法的使用步骤


    1 图形界面解法简介

    对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:

    (1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。

    (2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。

    (3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。

    在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮

    2 图形界面解法的使用步骤

    要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:

    (1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω

    (2)利用 boundary 模式,指定边界条件

    (3)利用 PDE 模式指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

    在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解

    (1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。

    (2)在 solve 模式下,求解

    (3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。

    注意:

    1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。

    2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

    3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

    4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。

    (1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。

    (2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。


    例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                    例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

    边界条件为Dirichlet条件u = 0。

    解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

    1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

    2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。

    3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:

    function f=fun1(x,y);
    f=zeros(length(x),1);
    ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
    f(ix)=1; 

    其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:

    时间框中输入:linspace(0,0.1,20);

    初值框中输入:fun1。

    4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

    5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。


     

     


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  • 利用 MATLAB 求解常微分方程数值解 目录 1. 内容简介 把高等工程数学看了一遍增加对数学...实际问题中更多遇到的是利用数值求解偏微分方程问题但考虑到先从常微分方程下 手更为简单有效率所以本文只研究常微分方程的
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    偏微分方程的数值解系列博文:

    偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

    偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应装置内温度及转换率的分布

    偏微分方程的数值解(四): 化工应用————扩散系统之浓度分布

    偏微分方程的数值解(五): 二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法


    目录

    1 方程类型

    (i)椭圆型偏微分方程                                 (ii)抛物型偏微分方程          

    (iii)双曲型偏微分方程                                (iv)特征值问题

    (v)非线性椭圆偏微分方程                         (vi)方程组

    2 边界条件

    (i)Dirichlet 条件:​                     (ii)Neumann 条件: ​      

    (iii)对于偏微分方程组,混合边界条件为

    3 求解偏微分方程

    例 6 求解泊松方程                                                                 例7 考虑最小表面问题

    例8 求解正方形区域上的热传导方程                                  例9 求解正方形区域上的波方程

    例 10  求解泊松方程                                                           习题


    MATLAB 中的偏微分方程(PDE)工具箱是用有限元法寻求典型偏微分方程的数 值近似解,该工具箱求解偏微分方程具体步骤与用有限元方法求解偏微分方程的过程是 一致的,包括几个步骤,即几何描述、边界条件描述、偏微分方程类型选择、有限元划 分计算网格、初始化条件输入,最后给出偏微分方程的数值解(包括画图)。 下面我们讨论的方程是定义在平面上的有界区域Ω 上,区域的边界记作∂Ω 。

    1 方程类型

    MATLAB 工具箱可以解决下列类型的偏微分方程:

    (i)椭圆型偏微分方程

    其中c, a, f 和未知的u 可以是Ω 上的复值函数。

    (ii)抛物型偏微分方程

    其中c,a, f ,d 可以依赖于时间t 。

    (iii)双曲型偏微分方程

    (iv)特征值问题

    其中λ 是未知的特征值,d 是Ω 上的复值函数。

    (v)非线性椭圆偏微分方程

    其中c, a, f 可以是u 的函数。

    (vi)方程组

    2 边界条件

    边界条件有如下三种:

    (i)Dirichlet 条件:

    (ii)Neumann 条件:

    这里 \overrightarrow{n} 为区域的单位外法线,h,r, q, g 是定义在∂Ω 上的复值函数。

    对于二维方程组情形,Dirichlet 边界条件为    

    Neumann 边界条件为:

    (iii)对于偏微分方程组,混合边界条件为

    这里 μ 的计算是使得满足 Dirichlet 边界条件。

    3 求解偏微分方程

    例 6 求解泊松方程 

                          求解区域为单位圆盘,边界条件为在圆盘边界上u = 0。

    解 它的精确解为

    下面求它的数值解,编写程序如下:

    %(1)问题定义
    g='circleg'; %单位圆
    b='circleb1'; %边界上为零条件
    c=1;a=0;f=1;
    %(2)产生初始的三角形网格
    [p,e,t]=initmesh(g);
    %(3)迭代直至得到误差允许范围内的合格解
    error=[]; err=1;
    while err > 0.01,
    [p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t);
    u=assempde(b,p,e,t,c,a,f); %求得数值解
    exact=(1-p(1,:).^2-p(2,:).^2)/4;
    err=norm(u-exact',inf);
    error=[error err];
    end
    %结果显示
    subplot(2,2,1),pdemesh(p,e,t);
    subplot(2,2,2),pdesurf(p,t,u)
    subplot(2,2,3),pdesurf(p,t,u-exact')

    例7 考虑最小表面问题

    g='circleg';
    b='circleb2';
    c='1./sqrt(1+ux.^2+uy.^2)';
    rtol=1e-3;
    [p,e,t]=initmesh(g);
    [p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t);
    u=pdenonlin(b,p,e,t,c,0,0,'Tol',rtol);
    pdesurf(p,t,u) 

    例8 求解正方形区域上的热传导方程

    求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

    边界条件为Dirichlet条件u = 0。

    解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。编写程序如下:

    %(1)问题定义
    g='squareg'; %定义正方形区域
    b='squareb1'; %边界上为零条件
    c=1;a=0;f=0;d=1;
    %(2)产生初始的三角形网格
    [p,e,t]=initmesh(g);
    %(3)定义初始条件
    u0=zeros(size(p,2),1);
    ix=find(sqrt(p(1,:).^2+p(2,:).^2)<0.4);
    u0(ix)=1
    %(4)在时间段为0到0.1的20个点上求解
    nframe=20;
    tlist=linspace(0,0.1,nframe);
    u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);
    %(5)动画图示结果
    for j=1:nframe
     pdesurf(p,t,u1(:,j));
     mv(j)=getframe;
    end
    movie(mv,10) 

    例9 求解正方形区域上的波方程

                  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的波方程

    解 这里是双曲型方程,其中 c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。编写程序如下:

    %(1)问题定义
    g='squareg'; %定义正方形区域
    b='squareb3'; %定义边界
    c=1;a=0;f=0;d=1;
    %(2)产生初始的三角形网格
    [p,e,t]=initmesh(g);
    %(3)定义初始条件
    x=p(1,:)';y=p(2,:)';
    u0=atan(cos(pi*x));
    ut0=3*sin(pi*x).*exp(cos(pi*y));
    %(4)在时间段为0到5的31个点上求解
    n=31;
    tlist=linspace(0,5,n);
    uu=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);
    %(5)动画图示结果
    for j=1:n
     pdesurf(p,t,uu(:,j));
     mv(j)=getframe;
    end
    movie(mv,10) 

    例 10  求解泊松方程

    求解区域为单位圆盘,边界条件为在圆盘边界上u = 0。

    解 它的精确解为

    下面求它的数值解,编写程序如下:

    g='circleg';
    b='circleb1';
    c=1;a=0;f='circlef';
    [p,e,t]=initmesh(g);
    [p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t);
    u=assempde(b,p,e,t,c,a,f);
    exact=-1/(2*pi)*log(sqrt(p(1,:).^2+p(2,:).^2));
    subplot(2,2,1),pdemesh(p,e,t);
    subplot(2,2,2),pdesurf(p,t,u)
    subplot(2,2,3),pdesurf(p,t,u-exact') 

    习题

    1. 求二维拉普拉斯方程

    2. 求初边值问题

    在0 ≤ t ≤ 3范围内的数值解。

    3. 求热传导方程初边值问题


    偏微分方程的数值解系列博文:

    偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

    偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应装置内温度及转换率的分布

    偏微分方程的数值解(四): 化工应用————扩散系统之浓度分布

    偏微分方程的数值解(五): 二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法

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  • 用python科学计算解偏微分方程,特别是用高斯迭代法计算拉普拉斯方程
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  • 文章目录(1)偏微分方程的类型(二阶)(2)抛物线型1.显式法2.Crank-Nicholson隐式算法 (3)双曲线型(4)椭圆型 (1)偏微分方程的类型(二阶) a∂2u∂x2+b∂2u∂y∂x+c∂2u∂x2+d∂u∂x+e∂u∂y+fu+g=0a\frac{\partial^2u}{\...

    (1)偏微分方程的类型(二阶)

    a ∂ 2 u ∂ x 2 + b ∂ 2 u ∂ y ∂ x + c ∂ 2 u ∂ x 2 + d ∂ u ∂ x + e ∂ u ∂ y + f u + g = 0 a\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+b\frac{\partial^2u}{\partial y\partial x}+c\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+d\frac{\partial u}{\partial x}+e\frac{\partial u}{\partial y}+fu+g=0 ax22u+byx2u+cx22u+dxu+eyu+fu+g=0

    • b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac<0 b24ac<0 椭圆
    • b 2 − 4 a c = 0 b^2-4ac=0 b24ac=0 抛物线
    • b 2 − 4 a c > 0 b^2-4ac>0 b24ac>0 双曲线

    (2)抛物线型

    1.显式法

    • 求解思想:通过差分的方法一排一排向上推。
    • 做划分并代入方程 u i , j + 1 − u i , j k = u i + 1 , j − 2 u i , j + u i − 1 , j h 2    ( Δ x = h , Δ t = k ) \frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{k}=\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}~~(\Delta x=h,\Delta t=k) kui,j+1ui,j=h2ui+1,j2ui,j+ui1,j  (Δx=h,Δt=k)
    • 通过化简得到 u i , j + 1 = r u i − 1 , j + ( 1 − 2 r ) u i , j + r u i + 1 , j    ( r = k h 2 ) u_{i,j+1}=ru_{i-1,j}+(1-2r)u_{i,j}+ru_{i+1,j}~~(r=\frac{k}{h^2}) ui,j+1=rui1,j+(12r)ui,j+rui+1,j  (r=h2k)
    • 具体推的步骤大概如下:
      • 由于已知 u ( x , 0 ) = f ( x ) u(x,0)=f(x) u(x,0)=f(x),因此相当于知道 u 0 , 0 , u 1 , 0 , u 2 , 0 … u_{0,0},u_{1,0},u_{2,0}\dots u0,0,u1,0,u2,0
      • 通过上面的公式就可以推出来 u 1 , 1 , u 2 , 1 , u 3 , 1 … u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1}\dots u1,1,u2,1,u3,1,注意由于已知左边界和右边界,因此 u 0 , 1 u_{0,1} u0,1也知道,所以第二排就可以全部推出来。
      • 通过上面的方式可以求出区域内全部的数值解。

    2.Crank-Nicholson隐式算法

    • 求解思想:也是一排一排向上推,但是这次是使用线性方程组一次性求出一排。
    • 这里采用相同的划分方式,但是代入不同的差分方程
    • 通过化简得到
    • 具体推的步骤大概如下:
      • 由于已知 u ( x , 0 ) = f ( x ) u(x,0)=f(x) u(x,0)=f(x),因此相当于知道 u 0 , 0 , u 1 , 0 , u 2 , 0 … u_{0,0},u_{1,0},u_{2,0}\dots u0,0,u1,0,u2,0
      • 通过上面的公式就可以推出来方程 − r u i − 1 , 1 + ( 2 + 2 r ) u i , 1 − r u i + 1 , 1 = c     ( c 是 一 个 常 数 ) -ru_{i-1,1}+(2+2r)u_{i,1}-ru_{i+1,1}=c~~~(c是一个常数) rui1,1+(2+2r)ui,1rui+1,1=c   (c),注意由于已知左边界和右边界,所以这个其实就转化成在一维上的差分问题,最后列出全部的方程构成方程组求解即可。
      • 通过上面的方式可以求出区域内全部的数值解。
    • 一个例子:
    • 做划分并且代入差分方程
      k = 0.01 , h = 0.1 k=0.01,h=0.1 k=0.01,h=0.1
      − u i − 1 , j + 1 + 4 u i , j + 1 − u i + 1 , j + 1 = u i − 1 , j + u i + 1 , j -u_{i-1,j+1}+4u_{i,j+1}-u_{i+1,j+1}=u_{i-1,j}+u_{i+1,j} ui1,j+1+4ui,j+1ui+1,j+1=ui1,j+ui+1,j
    • 进行求解(这里利用了对称性,在 x = 0.5 x=0.5 x=0.5 两边是对称的,将 j = 0 j=0 j=0隐去,并根据对称性将 u 6 u_6 u6替换成 u 4 u_4 u4)

    (3)双曲线型

    • 得到的差分方程为 ( r = k h r=\frac{k}{h} r=hk注意和之前的定义不同):
    • 划分需要满足一定的条件 k h ≤ 1 c \frac{k}{h}\le\frac{1}c{} hkc1
    • 具体求解按照之前类似的方法即可。

    (4)椭圆型

    • 得到的差分方程为 (这里取 k k k h h h相等):
    • 求解
      • 可以采用类似之前的隐式或者显式方法求解。
      • 可以采用迭代法求解,比如雅克比迭代,转换成下面的迭代式
    展开全文
  • Python小白的数学建模课-11.偏微分方程数值解法

    千次阅读 多人点赞 2021-08-17 14:10:06
    本文采用有限差分法求解偏微分方程,通过案例讲解一维平流方程、一维热传导方程、二维双曲方程、二维抛物方程和二维椭圆方程等常见类型的偏微分方程数值解法,给出了全部例程和运行结果。。 欢迎关注『Python小白...
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    万次阅读 2018-04-13 11:59:32
    凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。 一阶常微分方程的初值问题是: ...
  • 文章目录前言1 常微分方程1.1 常微分方程的概念1.2 常微分方程数值求解的一般概念2 常微分方程数值求解函数3 刚性问题结语 前言 1 常微分方程 1.1 常微分方程的概念 1.2 常微分方程数值求解的一般概念 求解常微分...
  • 偏微分方程数值模拟常用的方法主要有三种:有限差分方法(FDM)、有限元方法(FEM)、有限体积方法(FVM),本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。一.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟...
  • matlab偏微分方程工具箱求解

    千次阅读 2020-12-14 18:13:50
    偏微分方程组的matlab求解语句 ​ 该命令用以求解以下的PDEPDEPDE方程式: c(x,t,u,∂u∂x)∂u∂t=x−m∂(xmf(x,t,u,∂u∂x))∂x+s(x,t,u,∂u∂x) c(x,t,u,\frac{\partial u }{\partial x})\frac{\partial u}{\...
  • ​ 考虑一个定义在[a,b][a,b][a,b]上的二阶常微分方程边值问题: −u¨(t)+q(t)u(t)=f(t),a<t<bu(a)=0,u(b)=0 -\ddot u(t)+q(t)u(t) = f(t),a<t<b\\ u(a) = 0,u(b) = 0 −u¨(t)+q(t)u(t)=f(t),a<t<...
  • 偏微分方程数值解系列博文: 偏微分方程数值解(一):定解问题 & 差分解法 偏微分方程数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 偏微分方程数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应...
  • 机器之心原创作者:蒋思源微分方程真的能结合深度神经网络?真的能用来理解深度神经网络、推导神经网络架构、构建深度生成模型?本文将从鄂维南、董彬和陈天琦等研究者的工作中,窥探微分方程与深度学习联袂前行的...
  • 工程中有许多问题可以归结为偏微分方程问题,如弹塑性力学中研究对象(结构、边坡等)内部的应力应变问题、地下水渗流问题等。这些由偏微分方程及边界条件、初始条件等组合...Matlab采用有限元法求解偏微分方程数值
  • 数学建模入门-matlab实现偏微分方程数值

    万次阅读 多人点赞 2019-03-17 22:23:36
    文章目录前言调用示例例题求解命令介绍具体实现步骤1:化标准式步骤 2:编写偏微分方程的系数向量函数步骤3:编写初始条件函数步骤 4:编写边界条件函数步骤 5: 取点主程序 前言 在python3安装fipy失败之后,懒得...
  • matlab常微分方程数值求解

    千次阅读 2020-09-01 21:08:13
    首先,凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数...
  • 我们只限于讨论所得到的差分方程如何求解。至于差分方程的解是否收敛于微分方程的解,如何估计这两个解的差的上界等等,不进行讨论。 为了叙述方便起见,在§2中先给出差分方程,某些有关矩阵的性质,及解的一个表示式。

空空如也

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