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  • 常微分方程

    2020-08-28 21:16:48
    微分方程与流体力学 ...对于二阶常系数齐次常微分方程,常用方法是求出其特征方程的解 https://zhuanlan.zhihu.com/p/50451828 https://zhuanlan.zhihu.com/p/66222395 https://baike.baidu.com/item/

    高数中的微分方程

    全微分方程(需要积分域与路径无关)

    一阶线性常微分方程 y’+p(x)y=q(x)

    对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常数变易法:
    对于方程:将y’+p(x)y=0中的常数变为函数求解非齐次方程

    ( ∫ q ( x ) ∗ e ∫ p ( x ) d x + c ) e ∫ − p ( x ) d x (\int q(x)*e^{ \int p(x)dx}+c)e^{ \int -p(x)dx} (q(x)ep(x)dx+c)ep(x)dx

    全微分方乘与积分因子法

    微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0为全微分方程的重要条件为
    ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \frac { \partial P } { \partial y }=\frac { \partial Q } { \partial x } yP=xQ
    如果存在 φ(x,y)使得
    φ P d x + φ Q = 0 \varphi Pdx+\varphi Q=0 φPdx+φQ=0
    为全微分方程,则将φ(x,y)称为方程的积分因子
    ∂ ( φ ∗ P ) ∂ y = φ ∂ ( φ ∗ Q ) ∂ x \frac {\partial (φ *P) } { \partial y }=\frac {φ \partial (φ *Q) } { \partial x } y(φP)=xφ(φQ)

    Pdx+Qdy=0 什么情况下存在积分因子,如何确定积分因子?

    1. 1 Q ( ∂ P ∂ y − ∂ Q ∂ x ) = μ ( x ) [ 只 与 x 有 关 ] \frac { 1 } { Q }( \frac { \partial P } { \partial y }-\frac { \partial Q } { \partial x })=μ(x)[只与x有关] Q1(yPxQ)=μ(x)[x]
    则方程的积分因子 φ = φ ( x ) = e ∫ μ ( x ) d x φ=φ(x)=e^{\int μ(x) dx} φ=φ(x)=eμ(x)dx
    2. − 1 P ( ∂ P ∂ y − ∂ Q ∂ x ) = μ ( y ) [ 只 与 y 有 关 ] -\frac { 1 } { P }( \frac { \partial P } { \partial y }-\frac { \partial Q } { \partial x })=μ(y)[只与y有关] P1(yPxQ)=μ(y)[y]
    则方程的积分因子 φ = φ ( y ) = e ∫ μ ( y ) d y φ=φ(y)=e^{\int μ(y) dy} φ=φ(y)=eμ(y)dy

    3.若φ(x,y)为
    P(x,y)dx + Q(x,y)dy= 0的一个积分因子,并且φP(x, y)dx + φQ(x,y)dy = du(x,y),
    则φ(x,y)F(u)也为方程(*)的一一个积分因子,其中F(u)是u的任一连续可微函数.

    应用.如果P(x,y)dx + Q(x,y)dy= 0的积分因子不好确定,而其中p=P1+P2, Q=Q1+Q2,则上
    式可写成
    ( P r d x + Q 1 d y ) + ( P 2 d x + Q z d y ) = 0 (Prdx + Q1dy) + (P2dx+ Qzdy)= 0 (Prdx+Q1dy)+(P2dx+Qzdy)=0
    分别求出两组的积分因子,即存在φ1,φ2使得P1P1dx + P1Q1dy = du1,P2P2dx + φzQzdy = du2.

    寻找公共的积分因子

    φ 1 ∗ F 1 ( u 1 ) = φ 2 ∗ F 2 ( u 2 ) φ1*F1(u1)= φ2*F2(u2) φ1F1(u1)=φ2F2(u2)

    二阶常系数齐次常微分方程

    解的形式: g ( x ) e f ( x ) g(x)e^{f(x)} g(x)ef(x)

    n阶常系数常微分方程第“0”定律:

    f ( x ) 为 正 比 例 函 数 f(x)为正比例函数 f(x)
    注:这个第“0”定律是本文作者命名的

    在这里插入图片描述

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    对于二阶常系数齐次常微分方程,有两个线性无关的特解

    二阶常系数齐次常微分方程: y = e r x y=e^{rx} y=erx
    当特征方程有
    两个不同实根时:
    两 解 线 性 无 关 两解线性无关 线
    两个相同实根时:
    两 解 线 性 相 关 , 设 y 2 y 1 = u ( x ) , 带 入 得 u ′ ′ = 0 , 则 u ( x ) = k x 两解线性相关,设\frac{y2}{y1}=u(x),带入得u''=0,则u(x)=kx 线y1y2=u(x),u=0u(x)=kx
    两个不同复根时:
    r = α ± β i , 两 解 线 性 无 关 解 为 : e α x ( C 1 c o s ( β x ) + C 2 s i n ( β x ) ) r=α±βi,两解线性无关 解为:e^{αx}(C_{1}cos(βx)+C_{2}sin(βx)) r=α±βi线eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))

    二阶常系数非齐次常微分方程

    1) f ( x ) = P m ( x ) ∗ e λ x f(x)=P_{m}(x)*e^{\lambda x} f(x)=Pm(x)eλx

    解为: y = x k ∗ Q m ( x ) ∗ e λ x ( k 是 非 齐 次 项 的 λ 作 为 特 征 方 程 的 根 的 重 数 ( 0 / 1 / 2 ) ) y=x^k*Q_{m}(x)*e^{\lambda x}(k是非齐次项的 \lambda 作为特征方程的根的重数(0/1/2)) y=xkQm(x)eλx(kλ(0/1/2))

    2) f ( x ) = P l ( x ) ∗ e α x ∗ c o s ( β x ) + P n ( x ) ∗ e α x ∗ s i n ( β x ) f(x)=P_{l}(x)*e^{αx}*cos(βx)+P_{n}(x)*e^{αx}*sin(βx) f(x)=Pl(x)eαxcos(βx)+Pn(x)eαxsin(βx)

    解为: y = x k ∗ e a x ∗ ( R 1 m c o s ( β x ) + R 2 m s i n ( β x ) ) ( k 是 α ± β i x 作 为 特 征 方 程 的 根 的 重 数 ( 0 / 1 ) ) ( m = m a x ( l , n ) ) m 取 大 值 y=x^k*e^{ax}*(R_{1m}cos(βx)+R_{2m}sin(βx)) (k是 α±βi x作为特征方程的根的重数(0/1))(m=max(l,n)) \\ m取大值 y=xkeax(R1mcos(βx)+R2msin(βx))(kα±βix(0/1))(m=max(ln))m

    ∗ ∗ 注 意 多 了 一 个 x k ∗ ∗ **注意多了一个x^k** xk


    有些特殊的变系数线性常微分方程,则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程


    二阶可降阶微分方程(二阶降到一阶):将y’用其他变量替换即可降一阶。(要保持只有两个变量,所以只能适用于y’’=f(x,y’)形式或者f(y,y’)形势)

    伯努利微分方程

    y’+P(x)y=Q(x)y^n的微分方程
    其中n≠0并且n≠1,其中P(x),Q(x)为已知函数,因为当n=0,1时该方程是线性微分方程。
    令z=y^{1-n}转化为一阶线性常微分方程

    欧拉方程

    x n ∗ y ( n ) + P 1 ∗ x n − 1 ∗ y ( n − 1 ) + … … + P n − 1 ∗ x n − 1 ∗ y ( 1 ) + P n ∗ x n − n ∗ y ( 1 ) = f ( x ) x ^ { n }*y^{(n)}+P_{1}*x ^ { n-1}*y^{(n-1)}+……+P_{n-1}*x ^ { n-1}*y^{(1)}+P_{n}*x ^ { n-n}*y^{(1)}=f(x) xny(n)+P1xn1y(n1)++Pn1xn1y(1)+Pnxnny(1)=f(x)
    n阶线性变系数非齐次
    x = e t , 有 x 1 ∗ y ( 1 ) = D y , 记 号 D 表 示 对 t 求 导 的 运 算 x=e^t,有x ^ { 1}*y^{(1)}= Dy,记号D表示对t求导的运算 x=et,x1y(1)=DyDt
    一 般 地 , 有 x k ∗ y ( k ) = D ( D − 1 ) . . . ( D − k + 1 ) y 一般地,有x ^ { k}*y^{(k)}= D(D- 1)...(D-k+ 1)y xky(k)=D(D1)...(Dk+1)y

    把它代入欧拉方程,便得到一个以t为自变量的n阶常系数非齐次线性微分方程。
    解法和二阶的方法一样,先求其次通解,再根据右端项求特解。
    在求出这个方程的解后,把t换成 lnx ,即得原方程的解。

    参考:
    https://na.mbd.baidu.com/r/adrv9xXNAI?f=cp&u=f1f63e03e43635b1

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  • 常微分方程 笔记

    千次阅读 多人点赞 2019-06-04 19:37:25
    常微分方程 笔记 概述 定义 自变量唯一的微分方程 阶 定义:微分方程未知函数的最高阶导数或微分的阶数 一般形式:F(x,y,dydx,…,dnydxn)=0F(x,y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^ny}{dx^n})=0F(x,y,dxdy​,…,...

    常微分方程 笔记

    概述

    定义

    • 自变量唯一的微分方程

    • 定义:微分方程未知函数的最高阶导数或微分的阶数
    • 一般形式: F ( x , y , d y d x , … , d n y d x n ) = 0 F(x,y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^ny}{dx^n})=0 F(x,y,dxdy,,dxndny)=0

    线性与非线性

    • 定义:若方程 F ( x , y , d y d x , … , d n y d x n ) = 0 F(x,y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^ny}{dx^n})=0 F(x,y,dxdy,,dxndny)=0 y , d y d x , … , d n y d x n y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^ny}{dx^n} y,dxdy,,dxndny 的一次有理式,则其为n阶线性方程
    • 一般形式: d n y d x n + a 1 ( x ) d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + a n ( x ) y = f ( x ) \frac{d^ny}{dx^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\dots+a_n(x)y=f(x) dxndny+a1(x)dxn1dn1y++an(x)y=f(x)

    • 定义:
      • y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) I I I上有直到 n n n阶的连续导数
      • y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x) 为方程 F ( x , y , d y d x , … , d n y d x n ) = 0 F(x,y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^ny}{dx^n})=0 F(x,y,dxdy,,dxndny)=0 I I I上的一个解
    • 显式/隐式解:
      • 隐式:最终解的形式为隐函数
      • 显式:如解的定义中所描述的形式
    • 通/特解:
      • 通解:解中含有相互独立的任意常数,且其常数个数与微分方程的阶数相同。形如 y = φ ( x , c 1 , … , c n ) y=\varphi(x,c_1,\dots,c_n) y=φ(x,c1,,cn)
        • 独立常数:
        • ∂ ( φ , φ ′ , … , φ ( n − 1 ) ∂ ( c 1 , c 2 , … , c n ) = \frac{\partial(\varphi,\varphi',\dots,\varphi^{(n-1)}}{\partial(c_1,c_2,\dots,c_n)} = (c1,c2,,cn)(φ,φ,,φ(n1)=
        • ∣ ∂ φ ∂ c 1 ⋯ ∂ φ ∂ c n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ φ ( n − 1 ) ∂ c 1 ⋯ ∂ φ ( n − 1 ) ∂ c n ∣ ≠ 0 \left|\begin{matrix}\frac{\partial\varphi}{\partial c_1} & \cdots & \frac{\partial\varphi}{\partial c_n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\\frac{\partial\varphi^{(n-1)}}{\partial c_1} & \cdots & \frac{\partial\varphi^{(n-1)}}{\partial c_n}\end{matrix}\right|\ne 0 c1φc1φ(n1)cnφcnφ(n1)=0
        • (雅可比行列式)
      • 特解:给定常数确定值得到的解
    • 定解条件:实际问题附加给微分方程的条件,求解该类问题为定解问题
      • 初始条件(初值问题): x = x 0 x=x_0 x=x0 y = y 0 , d y d x = y 0 ( 1 ) , … , d ( n − 1 ) y d x ( n − 1 ) = y 0 ( n − 1 ) y=y_0,\frac{dy}{dx}=y_0^{(1)},\dots,\frac{d^{(n-1)}y}{dx^{(n-1)}}=y_0^{(n-1)} y=y0,dxdy=y0(1),,dx(n1)d(n1)y=y0(n1)
    • 驻定方程: d y d t = f ( y ) , y ∈ D ⊆ R n \frac{dy}{dt}=f(y),y\in D\subseteq R^n dtdy=f(y),yDRn,即右侧不含自变量 t t t,则方程驻定/自治。
    • 相空间:不含自变量,仅含有未知函数组成的空间,积分曲线在相空间的投影为轨线
    • f ( y ) = 0 的 解 y = y ∗ f(y)=0的解y=y^* f(y)=0y=y对应常数解 y ( t ) ≡ y ∗ y(t)\equiv y^* y(t)y 该解也称为平衡解、驻定解或奇点、平衡点。

    一阶微分方程 初等解法

    变量分离方程

    • ⇒ d y d x = f ( x ) φ ( y ) ⇒ d y φ ( y ) = f ( x ) d x ⇒ ∫ d y φ ( y ) = ∫ f ( x ) d x \Rightarrow \frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y) \\ \Rightarrow \frac{dy}{\varphi(y)}=f(x)dx \\ \Rightarrow \int\frac{dy}{\varphi(y)}=\int f(x)dx dxdy=f(x)φ(y)φ(y)dy=f(x)dxφ(y)dy=f(x)dx
    • 其中 f ( x ) 、 φ ( y ) f(x)、\varphi(y) f(x)φ(y)分别关于 x x x y y y连续

    可化为变量分离

    • 齐次方程:
      • d y d x = g ( y x ) d y d x = g ( y x ) ⇒ u = y x x d u d x + u = g ( u ) \frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x}) \\ \frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x}) \xRightarrow{u = \frac{y}{x}}x\frac{du}{dx}+u=g(u) dxdy=g(xy)dxdy=g(xy)u=xy xdxdu+u=g(u)(变量分离方程)
      • d y d x = a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b x y + c 2 \frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_xy+c_2} dxdy=a2x+bxy+c2a1x+b1y+c1
        • c 1 = c 2 = 0 c_1=c_2=0 c1=c2=0 d y d x = a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b x y + c 2 = a 1 + b 1 y x a 2 + b 2 y x = g ( y x ) \frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_xy+c_2}=\frac{a_1+b_1\frac{y}{x}}{a_2+b_2\frac{y}{x}}=g(\frac{y}{x}) dxdy=a2x+bxy+c2a1x+b1y+c1=a2+b2xya1+b1xy=g(xy)(类似第一种形式的齐次方程)
        • ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = 0 \left|\begin{matrix}a_1 & a_2 \\ b_1 &b_2\end{matrix}\right|=0 a1b1a2b2=0

          ⇒ a 1 a 2 = b 1 b 2 = k ⇒ d y d x = k ( a 2 x + b 2 y ) + c 1 a 2 x + b x y + c 2 = f ( a 2 x + b 2 y ) = f ( u ) ⇒ d u d x = a 2 + b 2 d y d x = a 2 + b 2 f ( u ) \Rightarrow\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=k \\ \Rightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{k(a_2x+b_2y)+c_1}{a_2x+b_xy+c_2}=f(a_2x+b_2y)=f(u) \\ \Rightarrow\frac{du}{dx}=a_2+b_2\frac{dy}{dx}=a_2+b_2f(u) a2a1=b2b1=kdxdy=a2x+bxy+c2k(a2x+b2y)+c1=f(a2x+b2y)=f(u)dxdu=a2+b2dxdy=a2+b2f(u)(变量分离方程)
        • ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ≠ 0 \left|\begin{matrix}a_1 & a_2 \\ b_1 &b_2\end{matrix}\right|\ne 0 a1b1a2b2=0 c 1 ≠ c 2 c_1\ne c_2 c1=c2

          ⇒ { a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 ⇒ { x = α y = β 原 ⇒ X = x − α , Y = y − β d Y d X = a 1 X + b 1 Y a 2 X + b 2 Y = g ( Y X ) ⇒ u = Y X ( 变 量 分 离 方 程 ) \Rightarrow \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=\alpha\\y=\beta\end{cases} \\ 原\xRightarrow{X=x-\alpha,Y=y-\beta} \frac{dY}{dX}=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}=g(\frac{Y}{X}) \\ \xRightarrow{u=\frac{Y}{X}}(变量分离方程) {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0{x=αy=βX=xα,Y=yβ dXdY=a2X+b2Ya1X+b1Y=g(XY)u=XY ()

    线性微分方程

    • 一阶齐次:      d y d x = P ( x ) y ⇒ y = c e ∫ P ( x ) d x \frac{dy}{dx}=P(x)y \Rightarrow y=ce^{\int P(x)dx} dxdy=P(x)yy=ceP(x)dx
    • 一阶非齐次: d y d x = P ( x ) y + Q ( x ) \frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x) dxdy=P(x)y+Q(x)
      • 常数变易法:对应齐次方程解 y = c e ∫ P ( x ) d x ⇒ y = c ( x ) e ∫ P ( x ) d x y=ce^{\int P(x)dx} \Rightarrow y=c(x)e^{\int P(x)dx} y=ceP(x)dxy=c(x)eP(x)dx,使之为原方程的解
        c ( x ) = ∫ Q ( x ) e − ∫ P ( x ) d x d x + c ~ y = e ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e − ∫ P ( x ) d x d x + c ~ ) c(x)=\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx+\tilde{c} \\ y=e^{\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx+\tilde{c}) c(x)=Q(x)eP(x)dxdx+c~y=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+c~)
    • Bernoulli方程: d y d x = p ( x ) y + Q ( x ) y n ⇒ z = y 1 − n d z d x = ( 1 − n ) p ( x ) z + ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{dy}{dx}=p(x)y+Q(x)y^n\xRightarrow{z=y^{1-n}}\frac{dz}{dx}=(1-n)p(x)z+(1-n)Q(x) dxdy=p(x)y+Q(x)ynz=y1n dxdz=(1n)p(x)z+(1n)Q(x)

    恰当方程与积分因子

    • M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 其中 d u ( x , y ) = M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy
      (即某个函数的全微分形式)
    • 恰当的充要条件: ∂ M ( x , y ) ∂ y = ∂ N ( x , y ) ∂ x \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x} yM(x,y)=xN(x,y)
    • 求解:
      • 直接积分: u ( x , y ) = ∫ M ( x , y ) d x + φ ( y ) ∂ u ∂ y = N ( x , y ) ⇒ φ ( y ) u(x,y)=\int M(x,y)dx+\varphi(y) \\ \frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)\Rightarrow \varphi(y) u(x,y)=M(x,y)dx+φ(y)yu=N(x,y)φ(y)
      • 分组凑微分:对部分项进行重组成新的全微分。
        • 常用全微分:
      • 线积分: ∫ x 0 x M ( x , y 0 ) d x + ∫ y 0 y N ( x 0 , y ) = c \int^{x}_{x_0}M(x,y_0)dx+\int^{y}_{y_0}N(x_0,y)=c x0xM(x,y0)dx+y0yN(x0,y)=c
    • 积分因子:存在 μ ( x , y ) ≠ 0 \mu(x,y)\ne 0 μ(x,y)=0,使得 μ ( x , y ) M ( x , y ) d x + μ ( x , y ) N ( x , y ) d y = 0 \mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0 μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0 为恰当方程,即对非恰当方程乘以一个积分因子 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)使之成为恰当方程。
      • 积分因子充要条件及其求得:
      • ∂ μ ( x , y ) M ( x , y ) ∂ y = ∂ μ ( x , y ) N ( x , y ) ∂ x ⇒ N ∂ μ ∂ x − M ∂ μ ∂ y = ( ∂ M ∂ y − ∂ N ∂ x ) μ 当 因 子 仅 与 x 有 关 时 ⇒ d μ μ = ∂ M ∂ y − ∂ N ∂ x N d x ⇒ μ ( x ) = e ∫ ∂ M ∂ y − ∂ N ∂ x N d x 同 理 , 当 因 子 仅 与 y 有 关 时 ⇒ μ ( y ) = e ∫ ∂ M ∂ y − ∂ N ∂ x − M d y \frac{\partial\mu(x,y)M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial\mu(x,y)N(x,y)}{\partial x} \\ \Rightarrow N\frac{\partial\mu}{\partial x}-M\frac{\partial\mu}{\partial y}=(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})\mu \\ 当因子仅与x有关时 \\ \Rightarrow \frac{d\mu}{\mu}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}dx \\ \Rightarrow \mu(x)=e^{\int\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}dx} \\ 同理,当因子仅与y有关时 \\ \Rightarrow \mu(y)=e^{\int\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}dy} yμ(x,y)M(x,y)=xμ(x,y)N(x,y)NxμMyμ=(yMxN)μxμdμ=NyMxNdxμ(x)=eNyMxNdxyμ(y)=eMyMxNdy
      • 两个积分因子都可以通过定义来计算,但这样比较繁琐。
        • 尝试计算 ψ \psi ψ φ \varphi φ,看看是否真的与x,y无关,并求解。
        • 若能猜测积分因子的基本形式,可进行假设,然后根据恰当方程的定义求解。
        • 试图直接找出原本微分方程的全微分形式,并加以求解。

    一阶隐式方程及参数表示

    • 一般形式: F ( x , y , y ′ ) = 0 F(x,y,y')=0 F(x,y,y)=0,引入参数,转化为可解类型
    • y = f ( x , y ′ ) y=f(x,y') y=f(x,y)
      • ⇒ d y d x = p y = f ( x , p ) ⇒ p = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ p ∂ p ∂ x \xRightarrow{\frac{dy}{dx}=p}y=f(x,p) \\ \Rightarrow p=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x} dxdy=p y=f(x,p)p=xf+pfxp (可由前面的方法求解)
      • { p = φ ( x , c ) → y = f ( x , φ ( x , c ) ) x = ψ ( p , c ) → { x = ψ ( p , c ) y = f ( x , p ) ( 参 数 形 式 通 解 ) Φ ( x , p , c ) = 0 → { Φ ( x , p , c ) = 0 y = f ( x , p ) \begin{cases} p=\varphi(x,c) \rightarrow y=f(x,\varphi(x,c)) \\x=\psi(p,c)\rightarrow \begin{cases} x=\psi(p,c)\\y=f(x,p) \end{cases}(参数形式通解) \\ \Phi(x,p,c)=0 \rightarrow \begin{cases}\Phi(x,p,c)=0\\y=f(x,p)\end{cases}\end{cases} p=φ(x,c)y=f(x,φ(x,c))x=ψ(p,c){x=ψ(p,c)y=f(x,p)Φ(x,p,c)=0{Φ(x,p,c)=0y=f(x,p)
    • x = f ( y , y ′ ) x=f(y,y') x=f(y,y)
      • ⇒ d y d x = p y = f ( y , p ) ⇒ 1 p = ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ p ∂ p ∂ y \xRightarrow{\frac{dy}{dx}=p}y=f(y,p) \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial y} dxdy=p y=f(y,p)p1=yf+pfyp (可由前面的方法求解)
    • F ( x , y ′ ) = 0 F(x,y')=0 F(x,y)=0
      • f f f表示为参数曲线 { x = φ ( t ) p = y ′ = ψ ( t ) ⇒ { x = φ ( t ) y = ∫ ψ ( t ) φ ′ ( t ) d t + c \begin{cases} x=\varphi(t)\\p=y'=\psi(t)\end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\int\psi(t)\varphi'(t)dt+c\end{cases} {x=φ(t)p=y=ψ(t){x=φ(t)y=ψ(t)φ(t)dt+c
    • F ( y , y ′ ) = 0 F(y,y')=0 F(y,y)=0
      • f f f表示为参数曲线 { y = φ ( t ) p = y ′ = ψ ( t ) ⇒ { x = ∫ φ ′ ( t ) ψ ( t ) d t + c y = φ ( t ) ⇒ { x = f ( y , p ) Φ ( y , p , c ) = 0 \begin{cases} y=\varphi(t)\\p=y'=\psi(t)\end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases}x=\int\frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}dt+c\\y=\varphi(t)\end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases}x=f(y,p)\\\Phi(y,p,c)=0\end{cases} {y=φ(t)p=y=ψ(t){x=ψ(t)φ(t)dt+cy=φ(t){x=f(y,p)Φ(y,p,c)=0

    一阶微分方程 解的存在唯一性定理

    • 初值问题的解是否存在?若存在,是否唯一?

    解的存在唯一性定理与逐步逼近法

    • 讨论初值问题: { d y d x = f ( x , y ) y ( x 0 ) = y 0 \begin{cases}\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases} {dxdy=f(x,y)y(x0)=y0
    • Lipschitz条件: f ( x , y ) 为 处 于 矩 形 域 R : ∣ x − x 0 ∣ ≤ a , ∣ y − y 0 ∣ ≤ b 上 的 连 续 函 数 , ∣ f ( x , y 1 ) − f ( x , y 2 ) ∣ ≤ L ∣ y 1 − y 2 ∣ ( L 为 L i p s c h i t z 常 数 ) f(x,y)为处于矩形域 R:|x-x_0|\le a,|y-y_0|\le b上的连续函数,|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|(L为Lipschitz常数) f(x,y)R:xx0a,yy0bf(x,y1)f(x,y2)Ly1y2LLipschitz
    • 定理: f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)满足Lipschitz条件,则初值问题在 ∣ x − x 0 ∣ ≤ h |x-x_0|\le h xx0h上的解存在且唯一,这里 h = min ⁡ ( a , b M ) , M = max ⁡ ( x , y ) ∈ R ∣ f ( x , y ) ∣ h=\min(a,\frac{b}{M}),M=\underset{(x,y)\in R}{\max}|f(x,y)| h=min(a,Mb),M=(x,y)Rmaxf(x,y)
      • 判定: f y f_y fy存在且有界 或 f y f_y fy连续
    • 证明思路:
      1. 初值问题的解等价于微分方程 y = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , y ) d t y=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y)dt y=y0+x0xf(t,y)dt 的连续解
      2. 构造近似解函数列 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)}
      3. 函数列 { φ n ( x ) } \{\varphi_n(x)\} {φn(x)} [ x 0 − h , h 0 + h ] [x_0-h,h_0+h] [x0h,h0+h]上一致收敛于 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)
      4. φ ( x ) \varphi(x) φ(x)是积分方程定义于 [ x 0 − h , h 0 + h ] [x_0-h,h_0+h] [x0h,h0+h]上的连续解且唯一
    • 命题1: y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x)为原初值问题的解 ⇔ \Leftrightarrow y = φ ( x ) y=\varphi(x) y=φ(x)为方程 y = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , y ) d t y=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y)dt y=y0+x0xf(t,y)dt 的连续解
      • ⇒ : d φ ( x ) d x = f ( x , φ ( x ) ) ⇒ 定 积 分 φ ( x ) − φ ( x 0 ) = ∫ x 0 x f ( x , φ ( x ) ) d x ⇒ φ ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( x , φ ( x ) ) d x \Rightarrow:\frac{d\varphi(x)}{dx}=f(x,\varphi(x)) \\ \xRightarrow{定积分}\varphi(x)-\varphi(x_0)=\int_{x_0}^{x}f(x,\varphi(x))dx \\ \Rightarrow \varphi(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(x,\varphi(x))dx dxdφ(x)=f(x,φ(x)) φ(x)φ(x0)=x0xf(x,φ(x))dxφ(x)=y0+x0xf(x,φ(x))dx
      • ⇐ : 对 上 述 步 骤 反 向 微 分 即 可 \Leftarrow:对上述步骤反向微分即可
    • 构造 P i c a r d Picard Picard逐步逼近序列: { φ 0 ( x ) = y 0 φ n ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( ξ , φ n − 1 ( ξ ) ) d ξ \begin{cases}\varphi_0(x)=y_0\\\varphi_n(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(\xi,\varphi_{n-1}(\xi))d\xi\end{cases} {φ0(x)=y0φn(x)=y0+x0xf(ξ,φn1(ξ))dξ
    • 命题2: 对 于 一 切 n 和 x ∈ [ x 0 , x 0 + h ] , φ n ( x ) 连 续 且 有 ∣ φ n ( x ) − y 0 ∣ ≤ b 对于一切n和x\in[x_0,x_0+h],\varphi_n(x)连续且有|\varphi_n(x)-y_0|\le b nx[x0,x0+h]φn(x)φn(x)y0b(归纳法)
      • h = min ⁡ ( a , b M ) , M = max ⁡ ( x , y ) ∈ R ∣ f ( x , y ) ∣ h=\min(a,\frac{b}{M}),M=\underset{(x,y)\in R}{\max}|f(x,y)| h=min(a,Mb),M=(x,y)Rmaxf(x,y)
      • 当 n = 1 时 , φ 1 ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( ξ , y 0 ) d ξ 显 然 在 [ x 0 , x 0 + h ] 上 连 续 ∣ φ 1 ( x ) − y 0 ∣ = ∣ ∫ x 0 x f ( ξ , y 0 ) d ξ ∣ ≤ ∫ x 0 x ∣ f ( ξ , y 0 ) ∣ d ξ ≤ M ∣ x − x 0 ∣ ≤ M h ≤ b 当n=1时,\varphi_1(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(\xi,y_0)d\xi显然在[x_0,x_0+h]上连续 \\|\varphi_1(x)-y_0|=|\int^x_{x_0}f(\xi,y_0)d\xi|\le \int^x_{x_0}|f(\xi,y_0)|d\xi\le M|x-x_0|\le Mh\le b n=1φ1(x)=y0+x0xf(ξ,y0)dξ[x0,x0+h]φ1(x)y0=x0xf(ξ,y0)dξx0xf(ξ,y0)dξMxx0Mhb
      • 设 当 n = k 时 成 立 , φ k ( x ) 连 续 且 ∣ φ k ( x ) − y 0 ∣ ≤ b 设当n=k时成立,\varphi_k(x)连续且|\varphi_k(x)-y_0|\le b n=kφk(x)φk(x)y0b
      • 当 n = k + 1 时 , φ k + 1 ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( ξ , φ k ( ξ ) ) d ξ 显 然 在 R 上 也 连 续 ∣ φ k ( x ) − y 0 ∣ = ∣ ∫ x 0 x f ( ξ , φ k ( ξ ) ) d ξ ∣ ≤ ∫ x 0 x ∣ f ( ξ , φ k ( ξ ) ) ∣ d ξ ≤ M ∣ x − x 0 ∣ ≤ M h ≤ b 当n=k+1时,\varphi_{k+1}(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(\xi,\varphi_{k}(\xi))d\xi显然在R上也连续\\|\varphi_k(x)-y_0|=|\int^x_{x_0}f(\xi,\varphi_k(\xi))d\xi|\le \int^x_{x_0}|f(\xi,\varphi_k(\xi))|d\xi\le M|x-x_0|\le Mh\le b n=k+1φk+1(x)=y0+x0xf(ξ,φk(ξ))dξRφk(x)y0=x0xf(ξ,φk(ξ))dξx0xf(ξ,φk(ξ))dξMxx0Mhb
      • 得证
    • 命题3: 函 数 序 列 { φ n ( x ) } 在 [ x 0 , x 0 + h ] 上 一 致 收 敛 于 φ ( x ) 函数序列\{\varphi_n(x)\}在[x_0,x_0+h]上一致收敛于\varphi{(x)} {φn(x)}[x0,x0+h]φ(x)
      • 构造函数项级数: φ 0 ( x ) + ∑ n = 1 ∞ ( φ n ( x ) − φ n − 1 ( x ) ) , 其 前 n 项 部 分 和 即 为 φ ( n ) , 故 该 函 数 项 级 数 收 敛 ⇔ 原 函 数 列 收 敛 \varphi_0(x)+\sum^{\infty}_{n=1}(\varphi_{n}(x)-\varphi_{n-1}(x)),其前n项部分和即为\varphi(n),故该函数项级数收敛\Leftrightarrow原函数列收敛 φ0(x)+n=1(φn(x)φn1(x))nφ(n)
      • \TODO
    • 命题4: φ ( x ) 是 积 分 方 程 定 义 于 x 0 ≤ x ≤ x 0 + h 上 的 连 续 解 \varphi(x)是积分方程定义于x_0\le x\le x_0+h上的连续解 φ(x)x0xx0+h
    • 命题5: 在 [ x 0 , x 0 + h ] 上 积 分 方 程 的 解 φ ( x ) 是 惟 一 的 , 即 若 有 另 一 连 续 解 ψ ( x ) 则 ψ ( x ) = φ ( x ) 在[x_0,x_0+h]上积分方程的解\varphi(x)是惟一的,即若有另一连续解\psi(x)则\psi(x)=\varphi(x) [x0,x0+h]φ(x)ψ(x)ψ(x)=φ(x)
    • 近似计算与误差估计:
      • 求近似解: P i c a r d Picard Picard逐步逼近法 { φ 0 ( x ) = y 0 φ n ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( ξ , φ n − 1 ( ξ ) ) d ξ \begin{cases}\varphi_0(x)=y_0\\\varphi_n(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(\xi,\varphi_{n-1}(\xi))d\xi\end{cases} {φ0(x)=y0φn(x)=y0+x0xf(ξ,φn1(ξ))dξ
      • 对 方 程 第 n 次 近 似 解 在 [ x 0 − h , x 0 + h ] 内 的 误 差 估 计 为 ∣ φ n ( x ) − φ ( x ) ∣ ≤ M L n ( n + 1 ) ! h n + 1 对方程第n次近似解在[x_0-h,x_0+h]内的误差估计为|\varphi_n(x)-\varphi(x)|\le\frac{ML^{n}}{(n+1)!}h^{n+1} n[x0h,x0+h]φn(x)φ(x)(n+1)!MLnhn+1

    解的延拓

    • 根据解的存在唯一性定理,其解的存在唯一区间为 ∣ x − x 0 ∣ ≤ h |x-x_0|\le h xx0h h h h可能随 max ⁡ ( x , y ) ∈ R ∣ f ( x , y ) ∣ \underset{(x,y)\in R}{\max}|f(x,y)| (x,y)Rmaxf(x,y)增大而减小,即定义域的扩展可能会导致解的存在唯一空间减小。
    • 饱和解与饱和解区间
      • 定 义 在 G 上 的 微 分 方 程 d y d x = f ( x , y ) , y = φ ( x ) 是 方 程 定 义 在 ( α 1 , β 1 ) 上 的 连 续 解 定义在G上的微分方程\frac{dy}{dx}=f(x,y),y=\varphi(x)是方程定义在(\alpha_1,\beta_1)上的连续解 Gdxdy=f(x,y)y=φ(x)(α1,β1)
      • 若 存 在 另 一 解 y = ψ ( x ) , x ∈ ( α 2 , β 2 ) 并 满 足 ( α 2 , β 2 ) ⊃ ( α 1 , β 1 ) 且 当 x ∈ ( α 1 , β 1 ) 时 ψ ( x ) = φ ( x ) , 则 称 y = φ ( x ) , x ∈ ( α 1 , β 1 ) 可 延 拓 , y = ψ ( x ) 是 方 程 在 ( α 2 , β 2 ) 的 一 个 延 拓 若存在另一解y=\psi(x),x\in(\alpha_2,\beta_2)并满足(\alpha_2,\beta_2)\supset(\alpha_1,\beta_1)且当x\in(\alpha_1,\beta_1)时\psi(x)=\varphi(x),则称y=\varphi(x),x\in(\alpha_1,\beta_1)可延拓,y=\psi(x)是方程在(\alpha_2,\beta_2)的一个延拓 y=ψ(x)x(α2,β2)(α2,β2)(α1,β1)x(α1,β1)ψ(x)=φ(x)y=φ(x)x(α1,β1)y=ψ(x)(α2,β2)
      • 若 不 存 在 满 足 上 述 条 件 的 ψ ( x ) , 则 称 y = φ ( x ) , x ∈ ( α 1 , β 1 ) 是 原 方 程 的 饱 和 解 ( 不 可 延 拓 解 ) 若不存在满足上述条件的\psi(x),则称y=\varphi(x),x\in(\alpha_1,\beta_1)是原方程的饱和解(不可延拓解) ψ(x)y=φ(x)x(α1,β1)
      • 局 部 L i p s c h i t z 条 件 : 定 义 于 平 面 区 域 G 上 的 f ( x , y ) , 若 对 ∀ ( x 1 , x 2 ) ∈ G , ∃ 矩 形 R : { ( x , y ) ∣ ∣ x − x 0 ∣ ≤ a 1 , ∣ y − y 0 ∣ ≤ b 1 } ⊂ G 及 常 数 L 1 , 对 ∀ ( x , y ′ ) , ( x , y ′ ′ ) ∈ R 有 ∣ f ( x , y ′ ) − f ( x , y ′ ′ ) ∣ ≤ L 1 ∣ y ′ − y ′ ′ ∣ 局部Lipschitz条件:定义于平面区域G上的f(x,y),若对\forall(x_1,x_2)\in G,\exist矩形R:\{(x,y)\mid|x-x_0|\le a_1,|y-y_0|\le b_1\}\subset G及常数L_1,对\forall(x,y'),(x,y'')\in R 有\\|f(x,y')-f(x,y'')|\le L_1|y'-y''| LipschitzGf(x,y)(x1,x2)GR:{(x,y)xx0a1,yy0b1}GL1(x,y),(x,y)Rf(x,y)f(x,y)L1yy
        • f , f y 在 G 内 连 续 , 则 满 足 局 部 L i p s c h i t z 条 件 f,f_y在G内连续,则满足局部Lipschitz条件 f,fyGLipschitz
      • 解的延拓定理: f ( x , y ) 在 有 界 区 域 G 上 连 续 , 且 满 足 局 部 L i p s c h i t z 条 件 , 则 方 程 过 ∀ ( x 0 , y 0 ) ∈ G 的 解 y = φ ( x ) 可 延 拓 , 直 至 ( x , φ ( x ) ) 无 限 接 近 G 边 界 f(x,y)在有界区域G上连续,且满足局部Lipschitz条件,则方程过\forall(x_0,y_0)\in G的解y=\varphi(x)可延拓,直至(x,\varphi(x))无限接近G边界 f(x,y)GLipschitz(x0,y0)Gy=φ(x)(x,φ(x))G

    解对初值的性质

    • 考虑初值时,可将解看作 y = φ ( x , x 0 , y 0 ) y=\varphi(x,x_0,y_0) y=φ(x,x0,y0)
    • 解关于初值的对称性: y = φ ( x , x 0 , y 0 ) ⇔ 解 存 在 唯 一 y 0 = φ ( x 0 , x , y ) y=\varphi(x,x_0,y_0)\xLeftrightarrow{解存在唯一}y_0=\varphi(x_0,x,y) y=φ(x,x0,y0) y0=φ(x0,x,y)
    • 解对初值的连续性:
      • 引理: f ( x , y ) 对 y 满 足 L i p s c h i t z 条 件 , 对 其 任 意 两 解 φ ( x ) , ψ ( x ) 在 公 共 区 间 上 , 有 ∣ φ ( x ) − ψ ( x ) ∣ ≤ ∣ φ ( x 0 ) − ψ ( x 0 ) ∣ e L ∣ x − x 0 ∣ f(x,y)对y满足Lipschitz条件,对其任意两解\varphi(x),\psi(x)在公共区间上,有|\varphi(x)-\psi(x)|\le|\varphi(x_0)-\psi(x_0)|e^{L|x-x_0|} f(x,y)yLipschitzφ(x),ψ(x)φ(x)ψ(x)φ(x0)ψ(x0)eLxx0
      • 解对初值的连续依赖: 初 值 问 题 在 [ a , b ] 有 解 y = φ ( x , x 0 , y 0 ) , 则 对 ∀ ε > 0 , ∃ δ = δ ( ε , a , b ) > 0 , 使 得 满 足 ( x 0 ‾ − x 0 ) 2 + ( y 0 ‾ − y 0 ) 2 < δ 2 的 一 切 ( x 0 ‾ , y 0 ‾ ) 有 解 φ ( x , x 0 ‾ , y 0 ‾ ) 满 足 初 值 y = φ ( x , x 0 ‾ , y 0 ‾ ) , 且 有 不 等 式 ∣ φ ( x , x 0 ‾ , y 0 ‾ ) − φ ( x , x 0 , y 0 ) ∣ < ε 初值问题在[a,b]有解y=\varphi(x,x_0,y_0),则对\forall \varepsilon\gt0,\exist\delta=\delta(\varepsilon,a,b)\gt0,使得满足(\overline{x_0}-x_0)^2+(\overline{y_0}-y_0)^2\lt\delta^2的一切(\overline{x_0},\overline{y_0})有解\varphi(x,\overline{x_0},\overline{y_0})满足初值y=\varphi(x,\overline{x_0},\overline{y_0}),且有不等式|\varphi(x,\overline{x_0},\overline{y_0})-\varphi(x,x_0,y_0)|\lt\varepsilon [a,b]y=φ(x,x0,y0)ε>0δ=δ(ε,a,b)>0使(x0x0)2+(y0y0)2<δ2(x0,y0)φ(x,x0,y0)y=φ(x,x0,y0)φ(x,x0,y0)φ(x,x0,y0)<ε
      • 解对初值的连续性定理: f ( x , y ) 在 区 域 内 连 续 则 其 解 函 数 y = φ ( x , x 0 , y 0 ) 在 它 的 存 在 范 围 内 连 续 f(x,y)在区域内连续则其解函数y=\varphi(x,x_0,y_0)在它的存在范围内连续 f(x,y)y=φ(x,x0,y0)
      • 解对初值和参数的连续依赖:\TODO
      • 解对初值和参数的连续性定理: f ( x , y , λ ) 在 区 域 内 连 续 则 其 解 函 数 y = φ ( x , x 0 , y 0 , λ ) 在 它 的 存 在 范 围 内 连 续 f(x,y,\lambda)在区域内连续则其解函数y=\varphi(x,x_0,y_0,\lambda)在它的存在范围内连续 f(x,y,λ)y=φ(x,x0,y0,λ)
    • 解对初值的可微性定理:
      • 解对初值可微: f ( x , y ) 及 ∂ f ∂ y 都 在 区 域 G 内 连 续 , 则 解 y = φ ( x , x 0 , y 0 ) 连 续 可 微 f(x,y)及\frac{\partial f}{\partial y}都在区域G内连续,则解y=\varphi(x,x_0,y_0)连续可微 f(x,y)yfGy=φ(x,x0,y0)

    高阶微分方程

    线性微分方程一般理论

    • 一般形式(要求各阶导数的次数为1):
      • 齐次: d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n ( t ) x = 0 \frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\dots+a_n(t)x=0 dtndnx+a1(t)dtn1dn1x++an(t)x=0
      • 非齐次: d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n ( t ) x = f ( t ) \frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\dots+a_n(t)x=f(t) dtndnx+a1(t)dtn1dn1x++an(t)x=f(t)
    • 解的存在唯一性定理(对于一组微分初值)
    • 齐次线性微分方程解的性质与结构
      • 叠加原理: 若 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , … , x k ( t ) 是 原 线 性 微 分 方 程 的 解 , 则 他 们 的 线 性 组 合 c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c k x k ( t ) 也 是 原 线 性 微 分 方 程 的 解 若x_1(t),x_2(t),\dots,x_k(t)是原线性微分方程的解,则他们的线性组合c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\dots+c_kx_k(t)也是原线性微分方程的解 x1(t),x2(t),,xk(t)线线c1x1(t)+c2x2(t)++ckxk(t)线
      • 线性相关: ∃ c 1 , c 2 , … , c n 不 全 为 0 , s . t . c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) ≡ 0 \exist c_1,c_2,\dots,c_n不全为0,s.t.\quad c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\dots+c_nx_n(t)\equiv0 c1,c2,,cn0s.t.c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)0
      • W r o n s k y Wronsky Wronsky行列式: W [ x 1 ( t ) , … , x k ( t ) ] = ∣ x 1 ( t ) ⋯ x k ( t ) ⋮ ⋱ ⋮ x 1 ( k − 1 ) ( t ) ⋯ x k ( k − 1 ) ( t ) ∣ [ a , b ] 上 线 性 相 关 ⇔ [ a , b ] 上 W ( t ) ≡ 0 [ a , b ] 上 线 性 无 关 ⇔ [ a , b ] 上 W ( t ) ≠ 0 W[x_1(t),\dots,x_k(t)]=\left|\begin{matrix}x_1(t) & \cdots & x_k(t)\\\vdots & \ddots & \vdots\\x_1^{(k-1)}(t) & \cdots & x_k^{(k-1)}(t)\end{matrix}\right| \\ [a,b]上线性相关\Leftrightarrow [a,b]上W(t)\equiv0 \\ [a,b]上线性无关\Leftrightarrow [a,b]上W(t)\ne0 W[x1(t),,xk(t)]=x1(t)x1(k1)(t)xk(t)xk(k1)(t)[a,b]线[a,b]W(t)0[a,b]线[a,b]W(t)=0
      • n阶齐次线性方程一定存在n个线性无关的解
      • 通解基本结构: x = c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) x=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\dots+c_nx_n(t) x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t) x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , … , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t)为一组线性无关的解(基本解组)
      • W ( t ) = W ( t 0 ) e − ∫ t 0 t a 1 ( s ) d s W(t)=W(t_0)e^{-\int^{t}_{t_0}a_1(s)ds} W(t)=W(t0)et0ta1(s)ds
    • 非齐次线性微分方程解与常数变易法
      • 解的和、差亦为原方程解
      • 通解基本结构: x = c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) + x ~ ( t ) , x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , … , x n ( t ) 为 一 组 线 性 无 关 的 解 ( 左 侧 齐 次 部 分 ) , x ~ ( t ) 为 该 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 一 个 解 x=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\dots+c_nx_n(t)+\widetilde{x}(t),x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)为一组线性无关的解(左侧齐次部分),\widetilde{x}(t)为该非齐次线性微分方程的一个解 x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)+x (t)x1(t),x2(t),,xn(t)线x (t)线
      • 常数变易法:
        • c i ⇒ c i ( t ) c_i\Rightarrow c_i(t) cici(t)
        • 对原微分方程求n-1阶导数,并代入原方程,得到线性方程组: { c 1 ′ ( t ) x 1 ( t ) + ⋯ + c n ′ ( t ) x n ( t ) = 0 c 1 ′ ( t ) x 1 ′ ( t ) + ⋯ + c n ′ ( t ) x n ′ ( t ) = 0 … c 1 ′ ( t ) x 1 ( n − 1 ) ( t ) + ⋯ + c n ′ ( t ) x n ( n − 1 ) ( t ) = 0 \\\begin{cases}c_1'(t)x_1(t)+\dots+c_n'(t)x_n(t)=0\\c_1'(t)x_1'(t)+\dots+c_n'(t)x_n'(t)=0\\\dots\\c_1'(t)x_1^{(n-1)}(t)+\dots+c_n'(t)x_n^{(n-1)}(t)=0\end{cases} c1(t)x1(t)++cn(t)xn(t)=0c1(t)x1(t)++cn(t)xn(t)=0c1(t)x1(n1)(t)++cn(t)xn(n1)(t)=0
        • 解线性方程组,得到 c i ′ ( t ) = φ i ( t ) ⇒ 积 分 c i ( t ) = ∫ φ i ( t ) d t + γ i c_i'(t)=\varphi_i(t)\xRightarrow{积分}c_i(t)=\int\varphi_i(t)dt+\gamma_i ci(t)=φi(t) ci(t)=φi(t)dt+γi
        • φ i ( t ) = f ( t ) ψ i ( t ) W ( t ) , ψ i ( t ) 为 W ( t ) 中 x i ( n − 1 ) \varphi_i(t)=\frac{f(t)\psi_i(t)}{W(t)},\psi_i(t)为W(t)中x_i^{(n-1)} φi(t)=W(t)f(t)ψi(t),ψi(t)W(t)xi(n1)的代数余子式,可据此快速求得(如果矩阵小的话)
        • 得到通解: x ( t ) = ∑ i = 1 n x i ( t ) γ i ( t ) + ∑ i = 1 n x i ( t ) ∫ φ i ( t ) d t x(t)=\sum^{n}_{i=1}x_i(t)\gamma_i(t)+\sum^{n}_{i=1}x_i(t)\int\varphi_i(t)dt x(t)=i=1nxi(t)γi(t)+i=1nxi(t)φi(t)dt
        • 若要得到特解,即给出 γ i \gamma_i γi的值

    常系数线性微分方程的解法

    • 复值函数: z ( t ) = φ ( t ) + i ψ ( t ) ⇒ z ′ ( t ) = φ ′ ( t ) + i ψ ′ ( t ) z(t)=\varphi(t)+i\psi(t)\Rightarrow z'(t)=\varphi'(t)+i\psi'(t) z(t)=φ(t)+iψ(t)z(t)=φ(t)+iψ(t)
    • 复值指数函数:
      • z ( t ) = e k t = e ( a + i β ) t = e a t ( cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t ) z(t)=e^{kt}=e^{(a+i\beta)t}=e^{at}(\cos\beta t+i\sin\beta t) z(t)=ekt=e(a+iβ)t=eat(cosβt+isinβt)
      • 欧拉公式: { cos ⁡ β t = ( e i β t + e − i β t ) / 2 sin ⁡ β t = ( e i β t − e − i β t ) / 2 i \begin{cases} \cos\beta t=(e^{i\beta t}+e^{-i\beta t})/2\\\sin\beta t=(e^{i\beta t}-e^{-i\beta t})/2i\end{cases} {cosβt=(eiβt+eiβt)/2sinβt=(eiβteiβt)/2i
    • 复值解: d n z ( t ) d t n + a 1 ( t ) d n − 1 z ( t ) d t n − 1 + ⋯ + a n ( t ) z ( t ) = f ( t ) \frac{d^nz(t)}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}z(t)}{dt^{n-1}}+\dots+a_n(t)z(t)=f(t) dtndnz(t)+a1(t)dtn1dn1z(t)++an(t)z(t)=f(t) z ( t ) z(t) z(t)为定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上以t为实变量的复值函数
      • f ( t ) = 0 f(t)=0 f(t)=0(齐次), a i ( t ) a_i(t) ai(t)均为实值函数,则复值函数的实部、虚部、共轭复数也均是原微分方程的解
      • f ( t ) = u ( t ) + i v ( t ) f(t)=u(t)+iv(t) f(t)=u(t)+iv(t) a i ( t ) a_i(t) ai(t)均为实值函数,则复值函数的
        • 实部 U ( t ) U(t) U(t) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n ( t ) x = u ( t ) \frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\dots+a_n(t)x=u(t) dtndnx+a1(t)dtn1dn1x++an(t)x=u(t)
        • 虚部 V ( t ) V(t) V(t) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n ( t ) x = v ( t ) \frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\dots+a_n(t)x=v(t) dtndnx+a1(t)dtn1dn1x++an(t)x=v(t)
    • 常系数线性方程求解
      • L [ x ] = d n x d t n + a 1 d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n x = 0 L[x]=\frac{d^nx}{dt^n}+a_1\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\dots+a_nx=0 L[x]=dtndnx+a1dtn1dn1x++anx=0
      • x = e λ t ⇔ F ( λ ) = λ n + a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 1 λ + a n = 0 F ( λ ) 为 特 征 方 程 , λ 为 特 征 根 x=e^{\lambda t}\Leftrightarrow F(\lambda)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+a_n=0\\F(\lambda)为特征方程,\lambda为特征根 x=eλtF(λ)=λn+a1λn1++an1λ+an=0F(λ)λ
      • 解出方程的 n n n个解(包括重根) λ 1 , λ 2 , … , λ k , λ k + 1 , k + 2.. k + m 1 ( m 1 重 根 ) … \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k,\lambda_{k+1,k+2..k+m_1}(m_1重根)\dots λ1,λ2,,λk,λk+1,k+2..k+m1(m1)
      • 基本解组: e λ 1 t , e λ 2 t , … , e λ k + 1 t , t e λ k + 2 t , … , t m 1 − 1 e λ k + m 1 t … e^{\lambda_1t},e^{\lambda_2t},\dots,e^{\lambda_{k+1}t},te^{\lambda_{k+2}t},\dots,t^{m_1-1}e^{\lambda_{k+m_1}t}\dots eλ1t,eλ2t,,eλk+1t,teλk+2t,,tm11eλk+m1t
      • 构成通解: x = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t + ⋯ + c k + 1 e λ k + 1 t + c k + 2 t e λ k + 2 t + ⋯ + c k + m 1 t m 1 − 1 e λ k + m 1 t + … x=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+\dots+c_{k+1}e^{\lambda_{k+1}t}+c_{k+2}te^{\lambda_{k+2}t}+\dots+c_{k+m_1}t^{m_1-1}e^{\lambda_{k+m_1}t}+\dots x=c1eλ1t+c2eλ2t++ck+1eλk+1t+ck+2teλk+2t++ck+m1tm11eλk+m1t+
    • 欧拉方程求解
      • x n d n y d x n + a 1 x n − 1 d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + a n y = 0 x^n\frac{d^ny}{dx^n}+a_1x^{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\dots+a_ny=0 xndxndny+a1xn1dxn1dn1