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  • §6伴随矩阵及练习题.ppt
    2020-12-20 08:56:12

    中大南方学院  孙明岩 § 6 伴随矩阵及相应习题 伴随矩阵 设n阶方阵 练习 求矩阵 使满足 *聊城大学数学科学学院 ---王文省 * 由方阵 中元素 的代数余子式 伴随矩阵 按转置方式排成的 阶方阵,称为方阵 的伴随矩阵,记作 定理 阶方阵 可逆的充分必要条件是 并且当 可逆时, 的逆矩阵可表示为 其中, 是 的伴随矩阵. 上述定理不仅说明了方阵可逆的条件,而且在方阵可逆的情况下,给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 其中 解:若 存在,则用 左乘上式, 右乘上式,有 即 可解得 , ,故知 都可逆.且 得 所以 同样可得出 于是 矩阵习题 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题 一. 主要内容 1. 矩阵的定义 简记为 实矩阵: 元素是实数 复矩阵: 元素是复数 一些特殊的矩阵: 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2. 矩阵的基本运算 矩阵相等: 同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等 两个矩阵同型,且对应元素相等 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减) 加法满足 数乘满足 数与矩阵相乘: 数 与矩阵 的乘积记作 或 ,规定为 矩阵与矩阵相乘: 设 规定 其中 乘法满足 矩阵乘法不满足:交换律、消去律 A是n 阶方阵, 方阵的幂: 方阵的多项式: 并且 (m,k为正整数) 方阵的行列式: 满足: 转置矩阵: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵,叫做 的转置矩阵,记作 . 满足: 对称矩阵和反对称矩阵: 幂等矩阵: 为n阶方阵,且 伴随矩阵: 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 3. 逆矩阵 定义: A为n阶方阵,若存在n阶方阵,使得 则称矩阵A是可逆的(非奇异的、非退化的、满秩的) 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性: 若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的. 判定定理: n阶方阵A可逆 且 推论: 设A、B为同阶方阵,若 则A、B都可逆,且 满足规律: 逆矩阵求法: (1)待定系数法 (2)伴随矩阵法 (3)初等变换法   分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似. 4. 分块矩阵 5. 初等变换 对换变换、倍乘变换、倍加变换 逆变换 初等变换 三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的 初等变换. 初等矩阵: 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵: 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵 6. 初等矩阵 初等矩阵是可逆的,逆矩阵仍为初等矩阵。 7. 初等矩阵与初等变换的关系: 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 定理: 8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 定理: 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论1: 推论2: 如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 行变换,那么当 变成单位矩阵 时, 就变成 。 即, 9. 解矩阵方程的初等变换法 或者 矩阵的基本运算 方阵的幂 逆矩阵的求解、证明 矩阵方程 矩阵的分块运算 二. 典型例题 1. 矩阵的基本运算 例1:设矩阵 求与A可交换的所有矩阵。 分析:根据乘法定义及矩阵相等定义求 解:设所求矩阵为 由 得 其中a,b为实数 例2:设 求 的行列式。 分析:直接计算困难,可利用逆矩阵的定义先化简再计算 解: 例3:设 4 阶方阵 其中 均为 4 维列向量,且已知行列式 求行列式 分析:根据矩阵加法定义及行列式性质求 解: *聊城大学数学科学学院 ---王文省

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  • §6_伴随矩阵及习题_精品.ppt

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    §6_伴随矩阵及习题_精品4. 矩阵方程 例7: 解矩阵方程 其中 均为可逆矩阵。 注意:解矩阵方程时,要注意已知矩阵与X的位置关系, 例如解AX=B,需先考察A是否可逆,只有A可逆才可以解 此矩阵方程,在方程两边同时左乘A...

    §6_伴随矩阵及习题_精品

    4. 矩阵方程 例7: 解矩阵方程 其中 均为可逆矩阵。 注意:解矩阵方程时,要注意已知矩阵与X的位置关系, 例如解AX=B,需先考察A是否可逆,只有A可逆才可以解 此矩阵方程,在方程两边同时左乘A的逆,而不能右乘, 因为矩阵乘法不满足交换律。 矩阵方程 解 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 * 中大南方学院  孙明岩 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 § 6 伴随矩阵及相应习题 中大南方学院  孙明岩 伴随矩阵 设n阶方阵 由方阵 中元素 的代数余子式 伴随矩阵 按转置方式排成的 阶方阵,称为方阵 的伴随矩阵,记作 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 定理 阶方阵 可逆的充分必要条件是 并且当 可逆时, 的逆矩阵可表示为 其中, 是 的伴随矩阵. 上述定理不仅说明了方阵可逆的条件,而且在方阵可逆的情况下,给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法. * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 练习 求矩阵 使满足 其中 解:若 存在,则用 左乘上式, 右乘上式,有 即 可解得 , ,故知 都可逆.且 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 得 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 所以 同样可得出 于是 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 矩阵习题 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 一. 主要内容 1. 矩阵的定义 简记为 实矩阵: 元素是实数 复矩阵: 元素是复数 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 一些特殊的矩阵: 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2. 矩阵的基本运算 矩阵相等: 同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等 两个矩阵同型,且对应元素相等 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减) 加法满足 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 数乘满足 数与矩阵相乘: 数 与矩阵 的乘积记作 或 ,规定为 矩阵与矩阵相乘: 设 规定 其中 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 乘法满足 矩阵乘法不满足:交换律、消去律 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 A是n 阶方阵, 方阵的幂: 方阵的多项式: 并且 (m,k为正整数) 方阵的行列式: 满足: * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 转置矩阵: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵,叫做 的转置矩阵,记作 . 满足: 对称矩阵和反对称矩阵: 幂等矩阵: 为n阶方阵,且 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 伴随矩阵: 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 3. 逆矩阵 定义: A为n阶方阵,若存在n阶方阵,使得 则称矩阵A是可逆的(非奇异的、非退化的、满秩的) 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性: 若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的. 判定定理: n阶方阵A可逆 且 推论: 设A、B为同阶方阵,若 则A、B都可逆,且 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 满足规律: 逆矩阵求法: (1)待定系数法 (2)伴随矩阵法 (3)初等变换法   分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似. 4. 分块矩阵 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 5. 初等变换 对换变换、倍乘变换、倍加变换 初等变换 逆变换 三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的 初等变换. * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 初等矩阵: 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵: 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵 6. 初等矩阵 初等矩阵是可逆的,逆矩阵仍为初等矩阵。 * 中大南方学院  孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 7. 初等

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  • 一个矩阵的逆矩阵(用伴随矩阵求)

    千次阅读 2016-09-21 18:39:00
    题目:noyj774 用代数余子式逆矩阵方法: 若现有矩阵A,要求其逆...伴随矩阵求法: *A[j][i]==|M[i][j]|,其中M[i][j]为A[i][j]的代数余子式; 即*A1[i][j]==|M[i][j]|,再将*A1转置得到*A; 代码: ...

    题目:noyj774

    用代数余子式求逆矩阵方法:

    若现有矩阵A,要求其逆矩阵;

    若|A|==0,则其不存在逆矩阵;

    若|A|!=0,其逆矩阵A^-1==*A/|A|;其中*A为其伴随矩阵;

    伴随矩阵的求法:

    *A[j][i]==|M[i][j]|,其中M[i][j]为A[i][j]的代数余子式;

    即*A1[i][j]==|M[i][j]|,再将*A1转置得到*A;

     

    代码:

      1 #include<bits/stdc++.h>
      2 #define MAXN 10
      3 #define MAX 100000000
      4 #define ll long long
      5 using namespace std;
      6 
      7 int b[MAXN][MAXN]; //***存储伴随矩阵
      8 
      9 //***递归求n*n阶行列式的值
     10 int matrix(int n, int a1[MAXN][MAXN])
     11 {
     12     int b[10][10], sum=0;          //****b保存当前n*n阶行列式a的余子式
     13     if(n==1) return a1[0][0];     //****n为1时结束递归
     14     for(int i=0; i<n; i++)        //****通过循环求出当前行列式a[1][0]~a[1][n-1]的所有余子式
     15     {
     16         for(int j=0; j<n-1; j++)
     17         {
     18             int column=0;
     19             for(int k=0; k<n; k++)
     20             {
     21                 if(k==i) continue;
     22                 b[j][column++]=a1[j+1][k];  //**将a[0][i]的余子式保存到b数组中
     23             }
     24         }
     25         int flag=1;
     26         if(i&1) flag=-1;
     27         sum+=flag*a1[0][i]*matrix(n-1, b);
     28     }
     29     return sum;
     30 }
     31 
     32 //***求矩阵a的伴随矩阵
     33 void adjoint_matrix(int n, int a[MAXN][MAXN])
     34 {   
     35     for(int i=0; i<n; i++)
     36     {
     37         for(int j=0; j<n; j++)
     38         {
     39             int a1[MAXN][MAXN], row=0;
     40             for(int k=0; k<n; k++)   //****将a[i][j]的余子式存储到a1数组中;
     41             {
     42                 int column=0;
     43                 if(k==i) continue;
     44                 for(int l=0; l<n; l++)
     45                 {
     46                     if(l==j) continue;
     47                     a1[row][column++]=a[k][l];  
     48                 }
     49                 row++;
     50             }
     51             b[j][i]=pow(-1, i+j)*matrix(n-1, a1);  //****b中存储b[i][j]的算数余子式转置后的矩阵即求得伴随矩阵
     52         }
     53     }
     54 }
     55 
     56 void print(int n, int ans)
     57 {
     58     for(int i=0; i<n; i++)
     59     {
     60         for(int j=0; j<n; j++)
     61         {
     62             if(b[i][j]%ans==0)   
     63             {
     64                 cout << b[i][j]/ans << " ";
     65             }
     66             else             //******不能整除的话输出最简分式形式
     67             {
     68                 int cnt=__gcd(b[i][j], ans);
     69                 int x=b[i][j]/cnt, y=ans/cnt;
     70                 if(y<0)
     71                 {
     72                     cout << (-1*x) << "/" << (-1*y) << " ";
     73                 }
     74                 else
     75                 {
     76                     cout << x << "/" << y << " ";
     77                 }
     78             }
     79         }
     80         cout << endl;
     81     }
     82 }
     83 
     84 int main(void)
     85 {
     86     std::ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
     87     int n;
     88     while(cin >> n)
     89     {
     90         int a[MAXN][MAXN];
     91         for(int i=0; i<n; i++)
     92         {
     93             for(int j=0; j<n; j++)
     94             {
     95                 cin >> a[i][j];
     96             }
     97         }
     98         int ans=matrix(n, a);
     99         if(!ans)  //*******矩阵值为0即不存在逆矩阵
    100         {
    101             cout << "The input data is error!" << endl;
    102             continue;
    103         }
    104         adjoint_matrix(n, a);
    105         print(n, ans);
    106     }
    107     return 0;
    108 }

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/geloutingyu/p/5893770.html

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  • 求解逆矩阵的常用三种方法

    万次阅读 2020-10-02 20:05:10
    1.待定系数 矩阵A= 1, 2 -1,-3 假设所的逆矩阵为 a,b c,d 则 从而可以得出方程组 a + 2c = 1 b + 2d = 0 -a - 3c = 0 -b - 3d = 1 解得 a=3; b=2; c= -1; d= -1 2.伴随矩阵求逆矩阵 伴...
  • 写一个矩阵求逆的类

    2021-07-25 21:38:21
    伴随矩阵法 提示:以下是本篇文章正文内容,下面案例可供参考 一、pandas是什么? 示例:pandas 是基于NumPy 的一种工具,该工具是为了解决数据分析任务而创建的。 二、使用步骤 1.引入库 代码如下(示例): ...
  • 第一节 矩阵及其运算 一.数学概念 定义1.1 由 个数 排成m行n列的数表 称为m行n列的矩阵,简称 矩阵,记作 二.原理,公式和法则 1.矩阵的加法 (1) 公式 (2) 运算律 2.数乘矩阵 (1) 公式...
  • matlab转移矩阵

    2021-04-21 23:17:05
    1, 2, ?, N .即矩阵每行的元素和等于 1....转移概率矩阵为:从上面的计算过程知,所转移概率矩阵 P 的元素其实可以直接通过表 2 中的数字计算而得到,即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可: Matlab ......(此时...
  • 2. 伴随矩阵(只有方阵才有伴随矩阵) 3.定义 4. 逆矩阵的方法 5. 逆矩阵的性质 2.5 分块矩阵 1. 标准形 3. 分块矩阵转置 2.6 初等变换 2.4 逆矩阵 1. 方阵与行列式之间的转换有以下性质 性质1:|A^T|...
  • 矩阵相关计算

    千次阅读 2016-09-02 10:10:36
    1. 矩阵及相应对角矩阵 A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0 【初等变化求解逆矩阵】 【余子式矩阵】 一个矩阵A的余子式(又称余因式)是指将A的某些行与列去掉之后所余下的...
  • 本程序目前只能实现用伴随矩阵法实现逆矩阵的求解。拿我们统计第七版的课本举例: 以下是程序的运行效果 程序结构 本程序的开始是一个分数类,看到这里你可能会疑惑,你搞这分数类干啥啊,就算出的逆矩阵有的是...
  • 最近在学习矩阵相关知识,但是其抽象的解释让人摸不着头脑,通过浏览一些博客的内容和自己的理解,本文通过通俗的语言将矩阵的内涵做了总结。其中除了书本和个人观点,部分引用博客。本文主要帮助大家理解矩阵,但不...
  • 用java实现逆矩阵运算

    2021-02-12 15:04:33
    查java实现逆矩阵转换的代码,居然没怎么发现,想偷懒一下也不行。关于矩阵基本运算 :加 减 乘,转置矩阵,相当简单,能看见不少别人写的,但是就是没看见逆矩阵,...1:A*2:|A|伴随矩阵A* 实现,要用到代数余子...
  • 第三章 矩阵运算

    2020-02-05 17:46:35
    关于矩阵运算的一些基础知识
  • 特殊矩阵通用特殊矩阵zeros函数:产生全0矩阵,即零矩阵。ones函数:产生....1矩阵,即幺矩阵。eye函数:产生对角线为1的矩阵,当矩阵是方正时,得到单位矩阵。rand函数:产生(0,1)区间均匀分布的随机矩阵。randn...
  • sum(M(:,1)) sum(M(1,:)) 范德蒙矩阵,希尔伯特矩阵,伴随矩阵,帕斯卡矩阵。 八、矩阵变换 1-对角矩阵 只有对角线上元素为非0的矩阵为对角矩阵。 对角线上元素都相等的对角矩阵称为数量矩阵。 对角线上元素都为1的...
  • 矩阵论】范数和矩阵函数(1)

    千次阅读 2020-11-10 12:18:44
    说明了常见的向量范数和矩阵范数的定义与性质,结合例题给出了一些常用结论。
  • MATLAB的矩阵及其操作 ▲矩阵及其操作是MATLAB语言的重要组成部分,MATLAB语言提供了强大矩阵运算和处理能力。正是由于MATLAB对矩阵操作具有非凡的能力,使其成为有关矩阵应用领域的一个有力工具。 ●矩阵的生成及...
  • 线性代数笔记8:矩阵的对角化

    万次阅读 多人点赞 2018-04-02 21:33:36
    本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。 矩阵对角化条件 定义一:若存在可逆矩阵SSS,使得S−1ASS−1ASS^{-1}AS为对角矩阵,则称为矩阵AAA是可对角化的(diagonalized)。 设n×nn×nn\times n矩阵有nnn个线性...

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四阶伴随矩阵的求法例题

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