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  • 共形映射形映射工具包 (CMToolkit) 版权所有 Toby Driscoll,2014。根据 BSD 3 条款许可获得许可。 请参阅许可证。
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  • 此函数用于使用共形映射方法求解 joukowski 翼型上的流动
  • 共形映射

    2020-06-16 18:50:29
    https://blog.csdn.net/LYKymy/article/details/82963189
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  • K-共形映射 (2010年)

    2021-05-12 20:55:03
    在 K导数及其几何意义的基础上,研究了 K解析函数(变换)的 K保角、保域、K共形映射以及黎曼映 射存在唯一性定理、边界对应定理等。
  • Matlab在共形映射中的应用.pdf
  • 共形映射角度看Schwarz引理摘要:欧氏度量是解析函数满足Schwarz引理的关键,本文我们首先介绍了Schwarz引理和共形映射,然后介绍了Schwarz引理的一些推广形式,最后指出该引理也适用于在共性映射下保持不变性的...

    从共形映射角度看Schwarz引理

    摘要:欧氏度量是解析函数满足Schwarz引理的关键,本文我们首先介绍了Schwarz引理和共形映射,然后介绍了Schwarz引理的一些推广形式,最后指出该引理也适用于在共性映射下保持不变性的几何度量。

    关键词:共形映射;解析函数;Schwarz引理

    一、引言

    Schwarz引理是复分析中最基本的定理之一,在解析函数论、几何函数论、多元复分析或多复变函数论中应用广泛。Schwarz引理源于施瓦茨(H.

    A.

    Schwarz)利用共形变换研究黎曼映射定理等特殊结果时得到的范数不等式,关于Schwarz引理的研究有很多方面,主要涉及利用共形变换推广其形式及应用。本文首先介绍了在单位圆盘上的Schwarz引理和共形映射,然后根据欧氏度量在共性映照下的不变性,我们介绍了两个Schwarz引理的相应推广形式,并且指出在共形映照下保持不变性的几何度量能够满足相应的Schwarz引理。

    三、共形映射

    共形映射又称保角映射,是复变函数论的分支,它是从几何的观点来研究复变函数。下面将给出共形映射的定义。

    定理3.1[4],若f(z)是区域G到区域D上的解析保角的拓扑映照,则则f(z)称为G到区域D上的共形映射或者保形变换。

    解析函数f(z)在导数不为零的解析点处是保角的,注意到拓扑映照是一一对应的映射,并且其与逆映射都是连续的,显然共形映射是双解析(全纯)函数,至关重要的是逆映射是自动解析的。若f(z)是保角的,则f(z)为单叶解析函数,故函数单叶解析与共形映射是等价概念。

    定理3.3,共形等价有助于我们考虑比单位圆盘更广泛的几何区域,能够保证Schwarz引理的推广成为可能。

    四、在共形映射下Schwarz引理的推广

    将研究区域由单位圆盘推广到以原点为圆心、半径为任意长r的同心圆盘,通过自共形映射可以得到Schwarz引理的最常见推广形式。

    其中α是一实数,我们也可以把z和w两平面上的单位圆盘看作z平面上的同一单位圆盘B(0,1),于是(4.2)可看作把B(0,1)中点z映射成B(0,1)中点w,而B(0,1)整体保持不变的分式线性映射。如果让z及α变动,全部(4.2)型分式线性映射可以构成一个群G。如果在B(0,1)内建立一种非欧几何,即把B(0,1)看成一种非欧平面的像,那么在B(0,1)内任意两点间定义非欧距离在群G中的映射下保持不变。

    定理4.4[3,6],事实上非欧度量(距离、长度、面积)、伪距离和超双曲度量在共形映射下性质保持不变,我们可以得到对应的更一般Schwarz引理,例如Poincare度量。另外,在多复变函数论中Bergman度量、Caratheodory度量和Kobayashi度量在共形映射下也有类似的Schwarz引理的定理。需要指出的关键是,中国数学家陆启铿院士在把Schwarz引理从单复变推广到多复变领域。

    笑话

    http://www.xianiaola.com/ 转zlen

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    共形映射是复变函数中重要的概念之一。共形映射的方法,解决了动力学,弹性理论,静电场与磁场等方面的许多实际问题。由于该理论独特的思维方法、抽象的理论基础,使得学生学习这方面知识时存在着一定的困难,借助于MATLAB这一强大的计算和画图软件,可以使得共形映射理论的若干问题,计算得以简化,抽象的理论可视化。1Matlab在分式线性映射中的运用在最简单的共形映射中,需要用到分式线性函数。其定义是:在扩充的z平面上任意给定三个不同的点z1,z2,z3,在扩充的w平面也任意给定三个不同的点w1,w2,w3,则存在唯一的分式线性映射,把z1,z2,z3分别映射成w1,w2,w3。313121323121::zzzzzzzzwwwwwwww=(1)此即所求分式线性映射。以下分两种情况运用Matlab求解分式线性映射。(1)如果z1,z2,z3或w1,w2,w3中有一个为无穷远点,不妨设w3=,其他各点均为有限点,则显然有31312121:11:zzzzzzzzwwww=例1:求把z1=2,z2=2i,z3=1分别映为w1=3;w2=1;w3=inf的分式线性映射。程序及运行结果如下:symsz1z2z3w1w2w3z1=2;z2=2*i;z3=1;w1=3;w2=1;w3=inf;A=(z3-z1)/(z3-z2)A=-0.2000-0.4000ia=Aa=-0.2000-0.4000ia=A*w1-w2a=-1.6000-1.2000ib=z1*w2-A*w1*z2b=-0.4000+1.2000ic=A-1c=-1.2000-0.4000id=z1-A*z2d=1.2000+0.4000isymszw=(a*z+b)/(c*z+d)w=(z*((6*i)/5+8/5)+2/5-(6*i)/5)/(z*((2*i)/5+6/5)-6/5-(2*i)/5)即所求分式线性映射为w=(z*((6*i)/5+8/5)+2/5-(6*i)/5)/(z*((2*i)/5+6/5)-6/5-(2*i)/5)(2)若z1,z2,z3或w1,w2,w3不存在无穷远点,按照一般的Matlab求方程根的命令即可。例2:求将点z1=2,z2=i,z3=-2分别映射为w1=-1,w2=i,w3=1的分式线性映射。解:根据(1)式及z1=2,z2=i,z3=-2,w1=-1,w2=i,w3=1Matlab命令为:s1=sym(['(w+1)/(w-i)/2*(1-i)-(z-2)/(z-i)/-4*(-2-i)']);solve(s1,'w')ans=-(3*z^2*i+20*z-12*i)/(9*z^2+4)即所求分式线性映射为w=-(3*z^2*i+20*z-12*i)/(9*z^2+4)2Matlab在共形映射图形中的应用借助Matlab我们可以通过画出曲线的图形或是曲线在某共形映射下的像,来理解不同映射的特点。例3:作出圆周z=r在映射zwfzz1()=1=+下的像并作出w的实部与虚部的等值线。解:首先绘制映射w的图形如图1所(a)w的实部的等值线(b)w的虚部的等值线图21()w=fz的实部与虚部的等值线-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-1.5-1-0.500.511.5图1映射1()w=fz的图形示,绘制映射曲线的M文件shiyan.m为:Functionshiyan(r)r=r;t=0:0.01*pi:2*pi;z=r*exp(i*t);w=z+1./z;plot(w);title‘(w=z+1/z’);axisequal;运行shiyan(2)的结

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    该楼层疑似违规已被系统折叠 隐藏此楼查看此楼

    %探索一个共形映射:

    %图像的几何变换是理解一个共形映射是在流体流动问题的重要作用,而映射本身可以用来变换图像的一个有趣的特殊效果。

    %-->步骤1:选择一个共形变换

    %理解什么是共性变换:数学上,一个共形变换(保角变换)是一个保持角度不变的映射。更正式的说,一个映射

    % w=f(z)称为在Zo共形(或者保角),如果它保持穿过Zo的曲线间的定向角度,以及它们的取向也就是说方向。

    % 共性变换保持了角度以及无穷小物体的形状,但是不一定保持它们的尺寸。

    %-->步骤2:经图像应用保角变换

    %我们开始通过加载的辣椒图像,提取300-500子图像,并显示它。

    A = imread('peppers.png');

    A = A(31:330,1:500,:);

    figure

    imshow(A)

    title('Original Image','FontSize',14)

    conformal = maketform('custom', 2, 2, [], @ipexConformalInverse, []);

    type(fullfile(matlabroot,...

    'toolbox','images','imdemos','ipexConformalInverse.m'))

    uData = [ -1.25 1.25]; % Bounds for REAL(w)

    vData = [ 0.75 -0.75]; % Bounds for IMAG(w)

    xData = [ -2.4 2.4 ]; % Bounds for REAL(z)

    yData = [ 2.0 -2.0 ]; % Bounds for IMAG(z)

    B = imtransform( A, conformal, 'cubic', ...

    'UData', uData,'VData', vData,...

    'XData', xData,'YData', yData,...

    'Size', [300 360], 'FillValues', 255 );

    figure, imshow(B)

    title('Transformed Image','FontSize',14)

    t1 = maketform('custom', 2, 2, @ipexConformalForward1, [], []);

    type(fullfile(matlabroot,...

    'toolbox','images','imdemos','ipexConformalForward1.m'))

    t2 = maketform('custom', 2, 2, @ipexConformalForward2, [], []);

    type(fullfile(matlabroot,...

    'toolbox','images','imdemos','ipexConformalForward2.m'))

    f3 = figure('Name','Conformal Transformation: Grid Lines');

    axIn = ipexConformalSetupInputAxes( subplot(1,2,1));

    axOut = ipexConformalSetupOutputAxes(subplot(1,2,2));

    ipexConformalShowLines(axIn, axOut, t1, t2)

    % Reduce wasted vertical space in figure

    set(f3,'Position',[1 1 1 0.7].*get(f3,'Position'))

    f4 = figure('Name','Conformal Transformation: Circles');

    axIn = ipexConformalSetupInputAxes( subplot(1,2,1));

    axOut = ipexConformalSetupOutputAxes(subplot(1,2,2));

    ipexConformalShowCircles(axIn, axOut, t1, t2)

    % Reduce wasted vertical space in figure

    set(f4,'Position',[1 1 1 0.7].*get(f4,'Position'))

    figure

    axIn = ipexConformalSetupInputAxes(axes);

    ipexConformalShowInput(axIn, A, uData, vData)

    title('Original Image Superposed on Input Plane','FontSize',14)

    figure

    axOut = ipexConformalSetupOutputAxes(axes);

    ipexConformalShowOutput(axOut, B, xData, yData)

    title('Transformed Image Superposed on Output Plane','FontSize',14)

    type(fullfile(matlabroot,...

    'toolbox','images','imdemos','ipexConformalInverseClip.m'))

    ring = maketform('custom', 2, 2, [], @ipexConformalInverseClip, []);

    Bring = imtransform( A, ring, 'cubic',...

    'UData', uData, 'VData', vData,...

    'XData', [-2 2], 'YData', yData,...

    'Size', [400 400], 'FillValues', 255 );

    figure, imshow(Bring)

    title('Transformed Image With Masking','FontSize',14);

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