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  • 【 1. 理论分析 】 【 2. 时域取样定理 】 【 3. 应用 】

    【 1. 理论分析 】

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    【 2. 时域取样定理 】

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    • 例:
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      X

    【 3. 应用 】

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    • 例:
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  • 浅谈取样定理(Sampling Theorem).rar
  • z域取样定理和内插公式在数字信号处理领域中有着非常重要的作用,但它是基于在单位圆上进行取样的。通过对取样及内插的进一步研究,提出并论证了适用面更为广泛的取样定理及内插公式,即取样点不在单位圆上,而是在与...
  • 本节为opencv数字图像处理(6):频率域滤波的第三小节,二维取样定理与二维傅里叶变换,主要包括:二维连续/离散傅立叶变换、二维取样及二维取样定理与二维离散傅立叶变换的性质。

    本节为opencv数字图像处理(6):频率域滤波的第三小节,二维取样定理与二维傅里叶变换,主要包括:二维连续/离散傅立叶变换、二维取样及二维取样定理与二维离散傅立叶变换的性质。

    1. 二维连续傅里叶变换对

      令 f ( t , z ) f(t,z) f(t,z)是两个连续变量 t t t z z z的连续函数,则其二维连续傅里叶变换对由如下表达式给出:
    F ( μ , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( t , z ) e − j 2 π ( μ t + v z ) d t d z F(\mu,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2\pi (\mu t+vz)}dtdz F(μ,v)=f(t,z)ej2π(μt+vz)dtdz

    f ( t , z ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F ( μ , v ) e j 2 π ( μ t + v z ) d μ d v f(t,z)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\mu,v)e^{j2\pi(\mu t +vz)}d\mu dv f(t,z)=F(μ,v)ej2π(μt+vz)dμdv

      其中, μ \mu μ v v v是频率变量,它们的域定义了连续频率域;当涉及图像时, t t t z z z解释为连续空间变量。
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      如上图所示的二维函数,对应的傅立叶变换为:
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      其幅度由下式给出:
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      如下图所示,在幅度中零的位置与 T T T Z Z Z的值成反比,二者越大,则幅度变得更加“收缩”。

    2. 二维取样和二维取样定理

      与上一节提到的一位情况类似,二维取样可用取样函数(二维冲激串建模),如下:
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      其中 Δ T \Delta T ΔT Δ Z \Delta Z ΔZ是连续函数 f ( t , z ) f(t,z) f(t,z)沿 t t t轴和 z z z轴的样本间间隔,上式描述了沿着两个轴无限扩展的周期冲激的集合,如下图所示。我们可以用上式所示的取样函数乘以 f ( t , z ) f(t,z) f(t,z)得到取样后的函数,如果由区间 [ − μ m a x , μ m a x ] [-\mu_{max},\mu_{max}] [μmax,μmax]和区间 [ − v m a x , v m a x ] [-v_{max},v_{max}] [vmax,vmax]建立的矩形之外的傅里叶变换是零,则函数 f ( t , z ) f(t,z) f(t,z)称为带限函数,即:
    F ( μ , v ) = 0 , ∣ μ ∣ ≥ μ m a x 且 ∣ v ∣ ≥ v m a x F(\mu,v)=0,|\mu|\geq\mu_{max}且|v|\geq v_{max} F(μ,v)=0,μμmaxvvmax

      二维取样定理表明,如果取样间隔满足:
    Δ T < 1 2 μ m a x 且 Δ Z < 1 2 μ m a x \Delta T <\frac{1}{2\mu_{max}}且\Delta Z<\frac1{2\mu_{max}} ΔT<2μmax1ΔZ<2μmax1
      或写为关于取样率的表达即:
    1 Δ T > 2 μ m a x 且 1 Δ Z > 2 v m a x \frac1{\Delta T}>2\mu_{max}且\frac1{\Delta Z}>2v_{max} ΔT1>2μmaxΔZ1>2vmax
      则连续带限函数 f ( t , z ) f(t,z) f(t,z)可以由其一组样本无误地恢复,也即:如果一个二维带限函数在 μ \mu μ v v v两个方向上由大于该函数最高频率两倍的取样率取样获得的样本表示,则没有信息丢失

    3. 二维离散傅立叶变换及其反变换

      二维离散傅里叶变换DFT可由下式说明:
    F ( μ , v ) = Σ x = 0 M − 1 Σ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( μ x / M + v y / N ) F(\mu,v)=\Sigma_{x=0}^{M-1}\Sigma_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\mu x/M+vy/N)} F(μ,v)=Σx=0M1Σy=0N1f(x,y)ej2π(μx/M+vy/N)

      其中, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是大小为 M × N M\times N M×N的数字图像。同时,给出变换 F ( μ , v ) F(\mu,v) F(μ,v),利用傅里叶反变换IDFT可以得到 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)
    f ( x , y ) = 1 M N Σ x = 0 M − 1 Σ y = 0 N − 1 F ( μ , v ) e j 2 π ( μ x / M + v y / N ) f(x,y)=\frac1{MN}\Sigma_{x=0}^{M-1}\Sigma_{y=0}^{N-1}F(\mu,v)e^{j2\pi(\mu x/M+vy/N)} f(x,y)=MN1Σx=0M1Σy=0N1F(μ,v)ej2π(μx/M+vy/N)

    4. 二维离散傅里叶变换的性质

    4.1 空间和频率间隔的关系

      假设对连续函数 f ( t , z ) f(t,z) f(t,z)取样生成了一幅数字图像 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),分别由在 t t t z z z方向所取的 M × N M\times N M×N个样点组成,令 Δ T \Delta T ΔT Δ Z \Delta Z ΔZ表示样本间的间隔,则相应离散频率域变量间的间隔分别由:
    Δ μ = 1 M Δ T 和 Δ v = 1 N Δ z \Delta \mu=\frac1{M\Delta T}和\Delta v=\frac1{N\Delta z} Δμ=MΔT1Δv=NΔz1
      给出,频率域样本间的间隔和空间样本间的间距和样本数成反比。

    4.2 平移和旋转

      傅立叶变换变换对满足下列平移特性:
    f ( x , y ) e j 2 π ( μ x / M + v y / N ) ⇔ F ( μ − μ 0 , v − v 0 ) f(x,y)e^{j2\pi(\mu x/M+vy/N)}\Leftrightarrow F(\mu-\mu_0,v-v_0) f(x,y)ej2π(μx/M+vy/N)F(μμ0,vv0)

    f ( x − x 0 , y − y 0 ) ⇔ F ( μ , v ) e − j 2 π ( μ x / M + v y / N ) f(x-x_0,y-y_0)\Leftrightarrow F(\mu,v)e^{-j2\pi(\mu x/M+vy/N)} f(xx0,yy0)F(μ,v)ej2π(μx/M+vy/N)

      即指数项乘以 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)将使DTY的原点移到点 ( μ 0 , v 0 ) (\mu_0,v_0) (μ0,v0),反之,用负指数乘以 F ( μ , v ) F(\mu,v) F(μ,v)将使 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)移到点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)
      使用极坐标
    x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ x=r\cos\theta,y=r\sin\theta x=rcosθ,y=rsinθ

    μ = ω cos ⁡ φ , v = ω sin ⁡ φ \mu=\omega\cos\varphi,v=\omega\sin\varphi μ=ωcosφ,v=ωsinφ

      可得到下列变换对:
    f ( r , θ + θ 0 ) ⇔ F ( ω , φ + φ 0 ) f(r,\theta+\theta_0)\Leftrightarrow F(\omega,\varphi+\varphi_0) f(r,θ+θ0)F(ω,φ+φ0)

      也就是说,若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)旋转 θ 0 \theta_0 θ0角度,则 F ( μ , v ) F(\mu,v) F(μ,v)也旋转相同的角度,反之亦然。

    4.3 周期性

      二维傅立叶变换及其反变换在 μ \mu μ v v v方向上是无限周期的,即:
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    4.4 共轭对称性与共轭反对称

      也称为哈密特对称和反哈密特对称。当 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是实函数,则其傅立叶变换是共轭对称即 F ∗ ( μ , v ) = F ( − μ , − v ) F^*(\mu,v)=F(-\mu,-v) F(μ,v)=F(μ,v);当 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是虚函数,则其傅里叶变换是共轭反对称的即KaTeX parse error: Can't use function '\v' in math mode at position 10: F^*(-\mu,\̲v̲)=-F(\mu,v)

    4.5 傅里叶谱和相角

      通常二维DFT是付函数,因此可用极坐标形式来表示:
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      其中幅度,也就是傅里叶谱(频谱):
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      相角:
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      功率谱:
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      因为实函数的傅立叶变换是共轭对称的,这表明谱是关于原点偶对称的,即:
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      而相角关于原点奇对称:
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    4.6 二维卷积定理

      二维循环卷积的表达式:
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      二维卷积定理由下式给出:
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    4.7 二维连傅立叶变换性质总结

      下表涉及主要的DFT中的定义:
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      下表给出了DFT对的一些定义和性质:
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  • 取样定理的MATLAB实现.pdf
  • 二维取样跟二维取样定理

    千次阅读 2019-04-17 21:18:12
    类似于一维取样,二维取样其实是类似的。 我们用一个二维取样冲激串: 因为t跟z分别代表t轴跟z轴,所以其中 是连续函数f(t,z)沿着t轴和z轴的样本间隔。二维冲激串表示了沿着t轴跟z轴无限扩展的冲激的集合。 ...

    类似于一维取样,二维取样其实是类似的。
    我们用一个二维取样冲激串:
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    因为t跟z分别代表t轴跟z轴,所以其中
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    是连续函数f(t,z)沿着t轴和z轴的样本间隔。二维冲激串表示了沿着t轴跟z轴无限扩展的冲激的集合。
    因此用二维冲激串跟原函数相乘可以得到取样后的函数。

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  • (7)取样定理

    2017-09-28 22:17:00
    所谓信号取样,也称为信号抽样,就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号 f(t)中抽取一系列离散的样本函数值的过程,通过取样得到的离散样值信号称为取样信号,用fs(t)来表示。 从数学上来讲,取样过程就是取样脉冲序列...

    《信号与系统(第二版)》 杨晓非 何丰

    信号的取样

    所谓信号取样,也称为信号抽样,就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号 f(t)中抽取一系列离散的样本函数值的过程,通过取样得到的离散样值信号称为取样信号,用fs(t)来表示。

    从数学上来讲,取样过程就是取样脉冲序列与原函数相乘

    信号在时域被采样后,其频谱是原连续信号的频谱F(jw)以取样角频率ws为间隔(频率周期)作周期化频移,即信号fs(t)在时域离散化,频谱在频域周期化。但是频谱幅度受取样脉冲的傅里叶级数加权,因此取样信号的频谱并不一定是等幅周期性频谱。

    理想取样

    自然取样

    取样定理

    从理想取样信号fs(t)的频谱Fs(jw)可以看出,如果ws>=2wm(即fs>=2fm或Ts<=1/(2fm)),那么频移之后各相邻频谱之间不会发生互相混叠。

    转载于:https://www.cnblogs.com/qinguoyi/p/7608927.html

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  • 周期信号的傅里叶变换 取样定理 取样频率:fs=2fm; 取样间隔:Ts=1/(2fm); 取样 -> 量化 -> 编码 原信号的恢复
  • 主要就是取样信号的两个程序,在取样信号试验中要用MATLAB编写调试程序即可得到相应的图,我也是应付作业时在别人那里弄来的,用过,可以的!
  • 取样定理论述了在一定条件下,一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息,利用这些样本值可以恢复原信号。
  • 取样定理的MATLAB实现

    2021-04-21 13:05:14
    秽Dec.2∞8 文章编号:1006—5342(2008)06—0039—02 取样定理的MATLAB实现’ 邢国泉 (成字学院生物藏学王程学院,湖托 成宁437100) 接 要:敬祥定理是把摸耘弦号突威数字信琴驭祥菝率选取爨一条譬要寝麓。...
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    原文链接http://blog.sina.com.cn/s/blog_64c161a00100hqkw.html 如下:下面是我在网上找的一些关于采样定理的表述:*******************************************************************************************...
  • 数字信号处理:时域采样定理与频域采样定理

    万次阅读 多人点赞 2020-04-01 00:27:54
    数字信号处理:时域采样定理与频域采样定理 1.时域采样定理 %初始参数 A=444.128; alph=pi*50*2^0.5; omega=pi*50*2^0.5; M=64; %做64点fft变换 n=0:M-1; %采样频率fs为1000Hz Fs1=1000; T1=1/Fs1; xn1=A*exp(-...
  • 以前对低通信号的采样定理简单理解为:必须要以信号的最高频率的2倍进行采样,否则就恢复不出来原信号,原因是采样频率Fs较小时,信号频谱发生了混叠,所以无法恢复。 仔细想想,这样理解当然正确,可以给出简单推导...

空空如也

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取样定理

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