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  • 1理想过滤函数名:idealfilter2函数:将待滤波信号的FFT变换结果(即待滤波信号的频谱)作为输入参数发送给理想滤波函数,该函数对输入的FFT变换结果进行理想低通或带通滤波,输出滤波后的频谱。
  • 理想滤波器,可以自由设置阈值,大学编程中可能会用到
  • 频域滤波器器的一些相关实验和滤波器的实现(包括理想低通,Butterworth低通,高斯低通,理想高通,Butterworth高通,高斯高通滤波器
  • 通过对理想滤波器的加矩形窗实现滤波器设计
  • 常用滤波器 (1)理想滤波器 理想低通滤波器: 理想高通滤波器 (2)butterwoth滤波器 butterwoth低通滤波器: butterwoth高通滤波器: (3)指数滤波器 指数低通滤波 : 指数高通滤波: 4.python实现 import cv2 ...

    1.傅里叶变换

    图像的频率滤波是基于傅里叶变换的,通过二维傅里叶变换把图像从空域转换到频域,对频域的图像的频率进行操作,比如限制某个频率范围的像素通过。

    (1)傅里叶变换

    其中离散傅里叶变换为:

     

    (2)傅里叶逆变换

    其中离散傅里叶逆变换为:

     

            (3)傅里叶变换性质

     上述傅里叶变换均为一维傅里叶变换,然而图像中为二维的傅里叶变换,因此我们可以分别在行方向和列方向分别做傅里叶变换,

     2.频域滤波

    频域滤波的基本流程如下

     傅里叶变换一般要中心化,根据二维傅里叶的平移性质:

     我们只需要对变换后的图像像素乘以\left ( -1 \right )^{x+y}就可以进行中心化和去中心化:

    3.常用滤波器

      (1)理想滤波器

    理想低通滤波器

     


    理想高通滤波器

     

     

     (2)butterwoth滤波器

    butterwoth低通滤波器:

     


    butterwoth高通滤波器:

    (3)指数滤波器

    指数低通滤波 :

     


    指数高通滤波: 

     

    4.python实现

    import cv2 as cv
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    def filter(img, D0, W=None, N=2, type='lp', filter='butterworth'):
        '''
        频域滤波器
        Args:
            img: 灰度图片
            D0: 截止频率
            W: 带宽
            N: butterworth和指数滤波器的阶数
            type: lp, hp, bp, bs即低通、高通、带通、带阻
            filter:butterworth、ideal、exponential即巴特沃斯、理想、指数滤波器
    
        Returns:
            imgback:滤波后的图像
    
        '''
    
        #离散傅里叶变换
        dft=cv.dft(np.float32(img),flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
        #中心化
        dtf_shift=np.fft.fftshift(dft) 
    
        rows,cols=img.shape 
        crow,ccol=int(rows/2),int(cols/2) #计算频谱中心
        mask=np.ones((rows,cols,2)) #生成rows行cols列的2纬矩阵
        for i in range(rows):
            for j in range(cols):
                D = np.sqrt((i-crow)**2+(j-ccol)**2)
                if(filter.lower() == 'butterworth'):
                    if(type == 'lp'):
                        mask[i, j] = 1/(1+(D/D0)**(2*N))
                    elif(type == 'hp'):
                        mask[i, j] = 1/(1+(D0/D)**(2*N))
                    elif(type == 'bs'):
                        mask[i, j] = 1/(1+(D*W/(D**2-D0**2))**(2*N))
                    elif(type == 'bp'):
                        mask[i, j] = 1/(1+((D**2-D0**2)/D*W)**(2*N))
                    else:
                        assert('type error')
                elif(filter.lower() == 'ideal'): #理想滤波器
                    if(type == 'lp'):
                        if(D > D0):
                            mask[i, j] = 0
                    elif(type == 'hp'):
                        if(D < D0):
                            mask[i, j] = 0
                    elif(type == 'bs'):
                        if(D > D0 and D < D0+W):
                            mask[i, j] = 0
                    elif(type == 'bp'):
                        if(D < D0 and D > D0+W):
                            mask[i, j] = 0
                    else:
                        assert('type error')
                elif(filter.lower() == 'exponential'): #指数滤波器
                    if(type == 'lp'):
                        mask[i, j] = np.exp(-(D/D0)**(2*N))
                    elif(type == 'hp'):
                        mask[i, j] = np.exp(-(D0/D)**(2*N))
                    elif(type == 'bs'):
                        mask[i, j] = np.exp(-(D*W/(D**2 - D0**2))**(2*N))
                    elif(type == 'bp'):
                        mask[i, j] = np.exp(-((D**2 - D0**2)/D*W)**(2*N))
                    else:
                        assert('type error')
                
        fshift = dtf_shift*mask
    
        f_ishift=np.fft.ifftshift(fshift) 
        img_back=cv.idft(f_ishift) 
        img_back=cv.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) #计算像素梯度的绝对值
        img_back=np.abs(img_back)
        img_back=(img_back-np.amin(img_back))/(np.amax(img_back)-np.amin(img_back))
    
        return img_back
    
    img=cv.imread('lena.jpg',0)
    plt.subplot(121),plt.imshow(img,cmap='gray'),plt.title('origin image')
    img_back = filter(img, 30, type='hp')
    plt.subplot(122),plt.imshow(img_back,cmap='gray'),plt.title('after butterworth highpass filter image')
    plt.show()

     

    展开全文
  • 数字图像处理,评语滤波,理想低通滤波器,高斯滤波器,巴特沃斯滤波器
  • 理想滤波器

    2019-06-05 18:35:27
    为什么理想滤波器不可实现?
  • 用MATLAB在频域实现理想滤波、Butterworth、Gaussian滤波器
  • 通过对理想滤波器的加hanning窗实现滤波器设计
  • 设计不同截止频率的理想低通滤波器、Butterworth低通滤波器,对其进行频域增强。观察频域滤波效果,并解释之。 (二)频域高通滤波 设计不同截止频率的理想高通滤波器、Butterworth高通滤波器,对上述白条图像进行...

    问题

    (一)频域低通滤波

    1. 产生白条图像 f1(x,y)(640×640 大小,中间亮条宽160,高 400,居中,暗处=0,亮处=255)
    2. 设计不同截止频率的理想低通滤波器、Butterworth低通滤波器,对其进行频域增强。观察频域滤波效果,并解释之。

    (二)频域高通滤波

    1. 设计不同截止频率的理想高通滤波器、Butterworth高通滤波器,对上述白条图像进行频域增强。观察频域滤波效果,并解释之。
    2. 设计不同截止频率的理想高通滤波器、Butterworth高通滤波器,对含高斯噪声的lena图像进行频域增强。观察频域滤波效果,并解释之。

    代码

    import numpy as np
    from PIL import Image
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    """
    (一)频域低通滤波
    产生如图所示图象 f1(x,y)(64×64 大小,中间亮条宽16,高 40,居中,暗处=0,亮处=255)
    产生实验四中的白条图像。
    设计不同截止频率的理想低通滤波器、Butterworth低通滤波器,对其进行频域增强。
    观察频域滤波效果,并解释之。
    """
    
    
    def pro_11():
        def ideal_low_filter(lr, cr, cc, img):
            tmp = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1]))
            for i in range(img.shape[0]):
                for j in range(img.shape[1]):
                    tmp[i, j] = (1 if np.sqrt((i - cr) ** 2 + (j - cc) ** 2) <= lr else 0)
            return tmp
    
        # 产生白条图像
        im_arr = np.zeros((640, 640))
        for i in range(im_arr.shape[0]):
            for j in range(im_arr.shape[1]):
                if 120 < i < 520 and 240 < j < 400:
                    im_arr[i, j] = 255
        im_ft2 = np.fft.fft2(np.array(im_arr))  # 白条图二维傅里叶变换矩阵
        im_ft2_shift = np.fft.fftshift(im_ft2)
    
        r, c = im_arr.shape[0], im_arr.shape[1]
        cr, cc = r // 2, c // 2  # 频谱中心
    
        # 理想滤波器
        ideal_filter1 = ideal_low_filter(10, cr, cc, im_ft2_shift)
        ideal_filter2 = ideal_low_filter(30, cr, cc, im_ft2_shift)
        # 求经理想低通滤波器后的图像
        tmp = im_ft2_shift * ideal_filter1
        irreversed_im_ft2 = np.fft.ifft2(tmp)
        tmp2 = im_ft2_shift * ideal_filter2
        irreversed_im_ft22 = np.fft.ifft2(tmp2)
    
        plt.figure(figsize=(13, 13))
        plt.subplot(221)
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(im_arr)))
        plt.subplot(223)
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(im_ft2_shift)))
        plt.subplot(222)
        plt.title("lr=10")
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(irreversed_im_ft2)))
        plt.subplot(224)
        plt.title("lr=30")
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(irreversed_im_ft22)))
        plt.show()
    
    
    def pro_12():
        def butterworth(lr, cr, cc, n, img):
            tmp = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1]))
            for i in range(img.shape[0]):
                for j in range(img.shape[1]):
                    tmp[i, j] = 1 / (1 + np.sqrt((i - cr) ** 2 + (j - cc) ** 2) / lr) ** (2 * n)
            return tmp
    
        # 产生白条图像
        im_arr = np.zeros((640, 640))
        for i in range(im_arr.shape[0]):
            for j in range(im_arr.shape[1]):
                if 120 < i < 520 and 240 < j < 400:
                    im_arr[i, j] = 255
        im_ft2 = np.fft.fft2(np.array(im_arr))  # 白条图二维傅里叶变换矩阵
        im_ft2_shift = np.fft.fftshift(im_ft2)
    
        r, c = im_arr.shape[0], im_arr.shape[1]
        cr, cc = r // 2, c // 2  # 频谱中心
    
        # 理想滤波器
        butterworth1 = butterworth(10, cr, cc, 2, im_arr)
        butterworth2 = butterworth(30, cr, cc, 2, im_arr)
        # 求经理想低通滤波器后的图像
        tmp = im_ft2_shift * butterworth1
        irreversed_im_ft2 = np.fft.ifft2(tmp)
        tmp2 = im_ft2_shift * butterworth2
        irreversed_im_ft22 = np.fft.ifft2(tmp2)
    
        plt.figure(figsize=(13, 13))
        plt.subplot(221)
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(im_arr)))
        plt.subplot(223)
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(im_ft2_shift)))
        plt.subplot(222)
        plt.title("lr=10")
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(irreversed_im_ft2)))
        plt.subplot(224)
        plt.title("lr=30")
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(irreversed_im_ft22)))
        plt.show()
    
    
    def pro_12():
        def ideal_low_filter(lr, cr, cc, img):
            tmp = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1]))
            for i in range(img.shape[0]):
                for j in range(img.shape[1]):
                    tmp[i, j] = (1 if np.sqrt((i - cr) ** 2 + (j - cc) ** 2) <= lr else 0)
            return tmp
    
        def butterworth(lr, cr, cc, n, img):
            tmp = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1]))
            for i in range(img.shape[0]):
                for j in range(img.shape[1]):
                    tmp[i, j] = 1 / (1 + np.sqrt((i - cr) ** 2 + (j - cc) ** 2) / lr) ** (2 * n)
            return tmp
    
        def gauss_noise(img, sigma):
            temp_img = np.float64(np.copy(img))
            h = temp_img.shape[0]
            w = temp_img.shape[1]
            noise = np.random.randn(h, w) * sigma
            noisy_img = np.zeros(temp_img.shape, np.float64)
            if len(temp_img.shape) == 2:
                noisy_img = temp_img + noise
            else:
                noisy_img[:, :, 0] = temp_img[:, :, 0] + noise
                noisy_img[:, :, 1] = temp_img[:, :, 1] + noise
                noisy_img[:, :, 2] = temp_img[:, :, 2] + noise
            # noisy_img = noisy_img.astype(np.uint8)
            return noisy_img
    
        lena = np.array(Image.open("lena_gray_512.tif"))
        noise_lena = gauss_noise(lena, 25)
        noise_lena_fft2 = np.fft.fft2(noise_lena)
        noise_lena_fft2_shift = np.fft.fftshift(noise_lena_fft2)
        r, c = lena.shape[0], lena.shape[1]
        cr, cc = r // 2, c // 2  # 频谱中心
        butterworth1 = butterworth(30, cr, cc, 2, lena)
        butterworth2 = butterworth(50, cr, cc, 2, lena)
        ideal_filter1 = ideal_low_filter(10, cr, cc, noise_lena_fft2_shift)
        ideal_filter2 = ideal_low_filter(30, cr, cc, noise_lena_fft2_shift)
    
        btmp1 = noise_lena_fft2_shift * butterworth1
        blena_ift21 = np.fft.ifft2(btmp1)
        btmp2 = noise_lena_fft2_shift * butterworth2
        blena_ift22 = np.fft.ifft2(btmp2)
    
        itmp1 = noise_lena_fft2_shift * ideal_filter1
        ilena_ift21 = np.fft.ifft2(itmp1)
        itmp2 = noise_lena_fft2_shift * ideal_filter2
        ilena_ift22 = np.fft.ifft2(itmp2)
    
        plt.figure(figsize=(13, 13))
    
        plt.subplot(221)
        plt.title("Butterworth Filter: lr=30/100")
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(blena_ift21)))
        plt.subplot(223)
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(blena_ift22)))
        plt.subplot(222)
        plt.title("Ideal Filter: lr=10/30")
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(ilena_ift21)))
        plt.subplot(224)
        plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(ilena_ift22)))
        plt.show()
    
    
    """
    (二)频域高通滤波
    1. 设计不同截止频率的理想高通滤波器、Butterworth高通滤波器,对上述白条图像进行频域增强。观察频域滤波效果,并解释之。
    2. 设计不同截止频率的理想高通滤波器、Butterworth高通滤波器,对含高斯噪声的lena图像进行频域增强。观察频域滤波效果,并解释之。
    """
    
    
    def pro_2():
        def ideal_high_filter(lr, cr, cc, img):
            tmp = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1]))
            for i in range(img.shape[0]):
                for j in range(img.shape[1]):
                    tmp[i, j] = (0 if np.sqrt((i - cr) ** 2 + (j - cc) ** 2) <= lr else 1)
            return tmp
    
        def butterworth_high(lr, cr, cc, n, img):
            tmp = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1]))
            for i in range(img.shape[0]):
                for j in range(img.shape[1]):
                    tmp[i, j] = 1 / (1 + lr / np.sqrt((i - cr) ** 2 + (j - cc) ** 2)) ** (2 * n)
            return tmp
    
        def gauss_noise(img, sigma):
            temp_img = np.float64(np.copy(img))
            h = temp_img.shape[0]
            w = temp_img.shape[1]
            noise = np.random.randn(h, w) * sigma
            noisy_img = np.zeros(temp_img.shape, np.float64)
            if len(temp_img.shape) == 2:
                noisy_img = temp_img + noise
            else:
                noisy_img[:, :, 0] = temp_img[:, :, 0] + noise
                noisy_img[:, :, 1] = temp_img[:, :, 1] + noise
                noisy_img[:, :, 2] = temp_img[:, :, 2] + noise
            # noisy_img = noisy_img.astype(np.uint8)
            return noisy_img
    
        def lena_proceed():
            lena = np.array(Image.open("lena_gray_512.tif"))
            noise_lena = gauss_noise(lena, 25)
            noise_lena_fft2 = np.fft.fft2(noise_lena)
            noise_lena_fft2_shift = np.fft.fftshift(noise_lena_fft2)
            r, c = lena.shape[0], lena.shape[1]
            cr, cc = r // 2, c // 2  # 频谱中心
            butterworth1 = butterworth_high(10, cr, cc, 1, lena)
            butterworth2 = butterworth_high(5, cr, cc, 1, lena)
            ideal_filter1 = ideal_high_filter(10, cr, cc, noise_lena_fft2_shift)
            ideal_filter2 = ideal_high_filter(30, cr, cc, noise_lena_fft2_shift)
    
            btmp1 = noise_lena_fft2_shift * butterworth1
            blena_ift21 = np.fft.ifft2(btmp1)
            btmp2 = noise_lena_fft2_shift * butterworth2
            blena_ift22 = np.fft.ifft2(btmp2)
    
            itmp1 = noise_lena_fft2_shift * ideal_filter1
            ilena_ift21 = np.fft.ifft2(itmp1)
            itmp2 = noise_lena_fft2_shift * ideal_filter2
            ilena_ift22 = np.fft.ifft2(itmp2)
    
            plt.figure(figsize=(13, 13))
    
            plt.subplot(221)
            plt.title("Butterworth Filter: lr=30/5")
            plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(blena_ift21)))
            plt.subplot(223)
            plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(blena_ift22)))
            plt.subplot(222)
            plt.title("Ideal Filter: lr=10/30")
            plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(ilena_ift21)))
            plt.subplot(224)
            plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(ilena_ift22)))
            plt.show()
    
        def white_bar_proceed():
            # 产生白条图像
            im_arr = np.zeros((640, 640))
            for i in range(im_arr.shape[0]):
                for j in range(im_arr.shape[1]):
                    if 120 < i < 520 and 240 < j < 400:
                        im_arr[i, j] = 255
            im_ft2 = np.fft.fft2(np.array(im_arr))  # 白条图二维傅里叶变换矩阵
            im_ft2_shift = np.fft.fftshift(im_ft2)
    
            r, c = im_arr.shape[0], im_arr.shape[1]
            cr, cc = r // 2, c // 2  # 频谱中心
    
            butterworth1 = butterworth_high(30, cr, cc, 1, im_arr)
            butterworth2 = butterworth_high(5, cr, cc, 1, im_arr)
            ideal_filter1 = ideal_high_filter(10, cr, cc, im_ft2_shift)
            ideal_filter2 = ideal_high_filter(30, cr, cc, im_ft2_shift)
    
            btmp1 = im_ft2_shift * butterworth1
            blena_ift21 = np.fft.ifft2(btmp1)
            btmp2 = im_ft2_shift * butterworth2
            blena_ift22 = np.fft.ifft2(btmp2)
    
            itmp1 = im_ft2_shift * ideal_filter1
            ilena_ift21 = np.fft.ifft2(itmp1)
            itmp2 = im_ft2_shift * ideal_filter2
            ilena_ift22 = np.fft.ifft2(itmp2)
    
            plt.figure(figsize=(13, 13))
    
            plt.subplot(221)
            plt.title("Butterworth Filter: lr=30/5")
            plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(blena_ift21)))
            plt.subplot(223)
            plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(blena_ift22)))
            plt.subplot(222)
            plt.title("Ideal Filter: lr=10/30")
            plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(ilena_ift21)))
            plt.subplot(224)
            plt.imshow(Image.fromarray(np.abs(ilena_ift22)))
            plt.show()
    
        lena_proceed()
        white_bar_proceed()
    
    
    if __name__ == '__main__':
        pro_11()
        pro_12()
        pro_2()
    
    

    结果

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    展开全文
  • mATlab自编理想低通滤波器 数字图像处理
  • 理想的低通滤波器频率响应如下图所示: 其中 为取样频率, 为阻带频率。通常为了计算方便,将取样频率正规化为1。于是 的含义就是每个取样点所包含的信号的周期数,例如0.1表示每个取样点包含0.1个周期...

    在数字信号处理领域中,数字滤波器占有非常重要的地位。根据其计算方式可以分为FIR(有限脉冲响应)滤波器,和IIR(无限脉冲响应)滤波器两种。

    理想的低通滤波器频率响应如下图所示:

    其中 

    f_s

     为取样频率, 

    f_c

     为阻带频率。通常为了计算方便,将取样频率正规化为1。于是 

    f_c

     的含义就是每个取样点所包含的信号的周期数,例如0.1表示每个取样点包含0.1个周期,即一个周期有10个取样点。根据离散傅立叶变换的公式可以求出此理想低通滤波器的脉冲响应为:

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  • [Matlab]FIR滤波器设计:(基本窗函数FIR滤波器设计)

    万次阅读 多人点赞 2019-11-16 00:54:00
    [Matlab]FIR滤波器设计:(基本窗函数FIR滤波器设计) ​ IIR滤波器主要设计方法先设计一个模拟低通滤波器,然后把它转化为形式上的数字滤波器。但对于FIR滤波器来说,设计方法的关键要求之一就是保证线性相位条件。而...

    [Matlab]FIR滤波器设计:(基本窗函数FIR滤波器设计)

    ​ IIR滤波器主要设计方法先设计一个模拟低通滤波器,然后把它转化为形式上的数字滤波器。但对于FIR滤波器来说,设计方法的关键要求之一就是保证线性相位条件。而IIR滤波器的设计方法中只对幅值特性进行设计,因此无法保证相位。所以FIR滤波器的设计需要采用完全不同的方法。FIR滤波器的设计方法主要有窗函数法、频率采样法、切比雪夫逼近法等。

    ​ 由于理想滤波器在边界频率处不连续,故时域信号 h d ( n ) h_d(n) hd(n)一定是无限时宽的,也是非因果的。所以理想低通滤波器是无法实现的。如果实现一个具有理想线性相位特性的滤波器,其幅值特性只能采用逼近理想幅频特性的方法实现。如果对时域信号 h d ( n ) h_d(n) hd(n)进行截取,并保证截取过程中序列保持对称,而且截取长度为N,则对称点为 α = 1 2 ∗ ( N − 1 ) α=\frac{1}{2}*(N-1) α=21(N1)。截取后序列为 h ( n ) h(n) h(n),侧 h ( n ) h(n) h(n)可用下式子表示:
    h ( n ) = h d ( n ) ∗ w ( n ) h(n) = h_d(n)*w(n) h(n)=hd(n)w(n)
    式中, w ( n ) w(n) w(n)为截取函数,又称为穿函数。如果窗函数为矩形序列,则称之为矩形窗。窗函数有多种形式,为保证加窗后系统的线性相位特性,必须保证加窗后序列关于 α = 1 2 ∗ ( N − 1 ) α=\frac{1}{2}*(N-1) α=21(N1)点对称。常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗、凯塞窗。窗函数设计法的基本思想是用一个长度为N的序列 h ( n ) h(n) h(n)代替 h d ( n ) h_d(n) hd(n)作为实际设计的滤波器的单位脉冲响应。这种设计法成为窗函数设计法。显然在保证 h ( n ) h(n) h(n)对称性的前提下,窗函数长度N越长,则 h ( n ) h(n) h(n)越接近 h d ( n ) h_d(n) hd(n)。但是误差是肯定存在的,这种误差成为截断误差。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-A0flZjTw-1573836815510)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\20170402112228645.jpg)]

    ​ 要确定如何设计一个FIR滤波器,首先得对加窗后的理想滤波器特性变化进行分析,并研究减少由截断引起的误差的途径,从而提出更好的滤波器设计方案。对于调整窗口长度可以有效地控制过渡带的宽度,但减少带内波动以及加大阻带衰减没有作用。所以必须挑选最为合适的窗函数对理想滤波器进行截取。下面简单介绍几种窗函数。一个实际的滤波器的单位脉冲响应可表示为:
    h ( n ) = h d ( n ) ∗ w ( n ) h(n) = h_d(n)*w(n) h(n)=hd(n)w(n)
    几种常见窗函数(只给出了窗函数的定义和幅度特性):
    W ( e j ∗ w ) = W ( w ) ( e − j α w ) W(e^{j*w})=W(w)(e^{-jαw}) W(ejw)=W(w)(ejαw)

    矩形窗FIR滤波器设计:

    矩形窗的窗函数为:
    w R ( n ) = R N ( n ) w_R(n)=R_N(n) wR(n)=RN(n)
    幅度函数为:
    R N ( w ) = s i n ( w N / 2 ) s i n ( w / 2 ) R_N(w) = \frac{sin(wN/2)}{sin(w/2)} RN(w)=sin(w/2)sin(wN/2)
    它的主瓣宽度为 4 π / N 4\pi/N 4π/N,第一瓣比主瓣地13dB.

    在Matlab中,实现矩形窗的函数为boxcar和recttwin ,其调用格式如下:

    w=boxcar(N);
    w=recttwin(N);
    %%%显示窗函数的GUI工具
    n = 60;
    w = rectwin(n);
    wvtool(w)%显示窗函数的GUI工具
    %还提供了显示窗函数的GUI工具,如wvtool可以显示用来显示窗的形状和频域图形,wintool可以打开窗设计和分析工具,如运行
    wvtool(hamming(64),hann(64),gausswin(64))
    %%可以对比汉明窗、汉宁窗和高斯窗
    

    其中,N是窗函数的长度,返回值w是一个N阶的向量,它的元素有窗函数的值组成。其中w=boxcar(N)等价于w=ones(N,1)。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-eknDhIxt-1573836815512)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\20170402112307695.png)]

    案例分析:

    利用矩形窗设计FIR带阻滤波器,主要参数如下:

    给定抽样频率为 Ω s = 2 ∗ p i ∗ 1.5 ∗ 1 0 4 ( r a d / s e c ) Ωs=2*pi*1.5*10^4(rad/sec) Ωs=2pi1.5104(rad/sec),

    通带截至频率为 Ω p 1 = 2 ∗ p i ∗ 0.75 ∗ 1 0 3 ( r a d / s e c ) , Ω p 2 = 2 ∗ p i ∗ 6 ∗ 1 0 3 ( r a d / s e c ) Ωp1=2*pi*0.75*10^3(rad/sec),Ωp2=2*pi*6*10^3(rad/sec) Ωp1=2pi0.75103(rad/sec),Ωp2=2pi6103(rad/sec)
    阻带截至频率为 Ω s t 1 = 2 ∗ p i ∗ 2.25 ∗ 1 0 3 ( r a d / s e c ) , Ω s t 2 = 2 ∗ p i ∗ 1.5 ∗ 1 0 3 ( r a d / s e c ) Ωst1=2*pi*2.25*10^3(rad/sec),Ωst2=2*pi*1.5*10^3(rad/sec) Ωst1=2pi2.25103(rad/sec),Ωst2=2pi1.5103(rad/sec)
    阻带衰减 δ 2 > = 50 d B {\delta}_2 >=50dB δ2>=50dB

    %%%%调用子程序1:
    function hd=ideal_bs(Wcl,Wch,m); 
    alpha=(m-1)/2; 
    n=[0:1:(m-1)];
    m=n-alpha+eps; 
    hd=[sin(m*pi)+sin(Wcl*m)-sin(Wch*m)]./(pi*m)
    %%%%调用子程序2:
    function[db,mag,pha,w]=freqz_m2(b,a)
    [H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');
    H=(H(1:1:501))'; w=(w(1:1:501))';
    mag=abs(H);
    db=20*log10((mag+eps)/max(mag));
    pha=angle(H);
    %%%%运行MATLAB源代码如下:
    clear all;
    Wph=3*pi*6.25/15;%通带频率
    Wpl=3*pi/15;
    Wsl=3*pi*2.5/15;%阻带频率
    Wsh=3*pi*4.75/15;
    tr_width=min((Wsl-Wpl),(Wph-Wsh));%%过渡带带宽
    %过渡带宽度
    N=ceil(4*pi/tr_width);					%滤波器长度
    n=0:1:N-1;
    Wcl=(Wsl+Wpl)/2;						%理想滤波器的截止频率
    Wch=(Wsh+Wph)/2;
    hd=ideal_bs(Wcl,Wch,N);				%理想滤波器的单位冲击响应
    w_ham=(boxcar(N))';
    string=['矩形窗','N=',num2str(N)];
    h=hd.*w_ham;						%截取取得实际的单位脉冲响应
    [db,mag,pha,w]=freqz_m2(h,[1]);
    %计算实际滤波器的幅度响应
    delta_w=2*pi/1000;
    subplot(241);
    stem(n,hd);
    title('理想脉冲响应hd(n)')
    axis([-1,N,-0.5,0.8]);
    xlabel('n');ylabel('hd(n)');
    grid on
    subplot(242);
    stem(n,w_ham);
    axis([-1,N,0,1.1]);
    xlabel('n');ylabel('w(n)');
    text(1.5,1.3,string);
    grid on
    subplot(243);
    stem(n,h);title('实际脉冲响应h(n)');
    axis([0,N,-1.4,1.4]);
    xlabel('n');ylabel('h(n)');
    grid on
    subplot(244);
    plot(w,pha);title('相频特性');
    axis([0,3.15,-4,4]);
    xlabel('频率(rad)');ylabel('相位(Φ)');
    grid on
    subplot(245);
    plot(w/pi,db);title('幅度特性(dB)');
    axis([0,1,-80,10]);
    xlabel('频率(pi)');ylabel('分贝数');
    grid on
    subplot(246);
    plot(w,mag);title('频率特性')
    axis([0,3,0,2]);
    xlabel('频率(rad)');ylabel('幅值');
    grid on
    fs=15000;
    t=(0:100)/fs;
    x=cos(2*pi*t*750)+cos(2*pi*t*3000)+cos(2*pi*t*6100);
    q=filter(h,1,x);
    [a,f1]=freqz(x);
    f1=f1/pi*fs/2;
    [b,f2]=freqz(q);
    f2=f2/pi*fs/2;
    subplot(247);
    plot(f1,abs(a));
    title('输入波形频谱图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    subplot(248);
    plot(f2,abs(b));
    title('输出波形频谱图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    
    

    在这里插入图片描述

    汉宁窗FIR滤波器设计:

    汉宁窗(hanning window)又称升余弦窗,窗函数为:
    w H n ( n ) = 0.5 [ 1 − c o s ( 2 π ∗ n N − 1 ) ] ∗ R N ( n ) w_{Hn}(n) = 0.5[1-cos(\frac{2\pi*n}{N-1})]*R_N(n) wHn(n)=0.5[1cos(N12πn)]RN(n)
    幅值函数为:
    W H n ( w ) = 0.5 W R ( w ) + 0.25 [ W R ( w − 2 π N − 1 ) + W R ( w + 2 π N − 1 ) ] W_{Hn}(w) = 0.5W_R(w) + 0.25[W_R(w-\frac{2\pi}{N-1})+W_R(w+\frac{2\pi}{N-1})] WHn(w)=0.5WR(w)+0.25[WR(wN12π)+WR(w+N12π)]
    汉宁窗幅度函数由3部分相加而成,其结果是使主瓣集中了更多能量,而旁瓣3部分相加时相互抵消而变小,其代价是主瓣宽度增加到 8 π / N 8\pi/N 8π/N。第一瓣比主瓣低31dB,阻带衰减加大。

    在Matlab中,实现汉宁窗的函数为hanning和barthannwin ,其调用格式如下:

    w=hanning(N)
    w=barthannwin(N)
    

    案例1:绘制50个点的汉宁窗。

    N=49;n=1:N;
    wdhn=hanning(N);	
    figure(3);
    stem(n,wdhn,'.');
    grid on
    axis([0,N,0,1.1]);
    title('50点汉宁窗');
    ylabel('W(n)');
    xlabel('n');
    title('50点汉宁窗');
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-KhfUUgrt-1573836815515)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanning_50point.bmp)]

    案例2:已知连续信号为 x ( t ) = c o s ( 2 π f 1 t ) + 0.15 c o s ( 2 π f 2 t ) x(t)=cos(2{\pi}f_1t) +0.15cos(2{\pi}f_2t) x(t)=cos(2πf1t)+0.15cos(2πf2t),其中 f 1 = 100 H z , f 2 = 150 H z f_1=100Hz,f_2=150Hz f1=100Hz,f2=150Hz。若抽样频率 f s a m = 600 H z f_sam=600Hz fsam=600Hzd对信号进行抽样,利用不同宽度N的矩形截断该序列,N取40,观察不同的窗对普分析结果的影响。

    N=40; 
    L=512;
    f1=100;f2=150;fs=600;
    ws=2*pi*fs;
    t=(0:N-1)*(1/fs);
    x=cos(2*pi*f1*t)+0.25*sin (2*pi*f2*t);
    wh=boxcar(N)';
    x=x.*wh;
    subplot(221);stem(t,x);
    title('加矩形窗时域图');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    W=fft(x,L);
    f=((-L/2:L/2-1)*(2*pi/L)*fs)/(2*pi); 
    subplot(222);
    plot(f,abs(fftshift(W)))
    title('加矩形窗频域图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    x=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t); 
    wh=hanning(N)';
    x=x.*wh;
    subplot(223);stem(t,x);
    title('加汉宁窗时域图');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    W=fft(x,L);
    f=((-L/2:L/2-1)*(2*pi/L)*fs)/(2*pi);
    subplot(224);
    plot(f,abs(fftshift(W)))
    title('加汉宁窗频域图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wc7oZ6mR-1573836815515)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\rectange_6.8.bmp)]

    用汉宁窗对谐波信号进行分析:

    clear; 
    % 原始数据:直流:0V; 基波:49.5Hz,100V,10deg; HR2:0.5V,40deg;
    hr0=0;f1=50.1; 
    hr(1)=25*sqrt(2);deg(1)=10; 
    hr(2)=0;deg(2)=0; 
    hr(3)=1.755*sqrt(2);deg(3)=40; 
    hr(4)=0;deg(4)=0; 
    hr(5)=0.885*sqrt(2);deg(5)=70; 
    hr(6)=0;deg(6)=0; 
    hr(7)=1.125;deg(7)=110; 
    M=7;f=[1:M]*f1;							%设定频率 
    % 采样 
    fs=10000; 
    N=2048;									% 约10个周期 
    T=1/fs; 
    n=[0:N-1];t=n*T; 
    x=zeros(size(t)); 
    for k=1:M 
        x=x+hr(k)*cos(2*pi*f(k)*t+deg(k)*pi/180); 
    end 
    %分析: 
    w=0.5-0.5*cos(2*pi*n/N);
    Xk=fft(x.*w); 
    amp=abs(Xk(1:N/2))/N*2;						%幅频 
    pha=angle(Xk(1:N/2))/pi*180;					%相频 
    for k=1:N/2 
        if(amp(k)<0.01) pha(k)=0;  %当谐波<10mV时,其相位=0 
        end 
        if(pha(k)<0) pha(k)=pha(k)+360;%调整到0-360度 
        end 
    end 
    fmin=fs/N; 
    xaxis=fmin*n(1:N/2);
    %横坐标为Hz 
    kx=round([1:M]*50/fmin);
    %各次谐波对应的下标(从0开始) 
    for m=1:M 
        km(m)=searchpeaks(amp,kx(m)+1);			%km为谱峰(从1开始) 
        if(amp(km(m)+1)<amp(km(m)-1)) 
            km(m)=km(m)-1; 
        end 
        beta(m)=amp(km(m)+1)./amp(km(m)); 
        delta(m)=(2*beta(m)-1)./(1+beta(m)); 
    end 
    fx=(km-1+delta)*fmin;							%估计频率 
    hrx=amp(km)*2.*pi.*delta.*(1-delta.*delta)./sin(pi*delta);
    degx=pha(km)-delta.*180/N*(N-1);				%估计相位 
    degx=mod(degx,360);							%调整到0-360度 
    efx=(fx-f)./f*100;								%频率误差 
    ehr=(hrx-hr)./hr*100;							%幅度误差 
    edeg=(degx-deg);								%相位误差 
    % 结果输出: 
    subplot(2,2,1);
    %画出采样序列 
    plot(t,x); 
    hold on; 
    plot(t,x.*w,'r');
    %加窗波形 
    hold off; 
    xlabel('x(k)'); 
    title('原信号和加窗信号 '); 
    subplot(2,2,2);
    %画出FFT分析结果 
    stem(xaxis,amp,'.r'); 
    xlabel('频率'); 
    title('幅频结果'); 
    subplot(2,2,4); 
    stem(xaxis,pha,'.r'); 
    xlabel('角频率'); 
    title('相频结果'); 
    subplot(2,2,3); 
    stem(ehr); 
    title('幅度误差(%)'); 
    %文本输出 
    fid=fopen('result.txt','w'); 
    fprintf(fid,'原始数据:f1=%6.1fHz, N=%.f,  fs=%.f \r\n\r\n',f1,N,fs); 
    fprintf(fid,'谐波次数      1      2      3      4      5      6     7\r\n'); 
    fprintf(fid,'设定频率 %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n',f); 
    fprintf(fid,'估计频率 %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n',fx); 
    fprintf(fid,'误差(%%)  %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n\r\n',efx); 
    fprintf(fid,'设定幅值 %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n',hr); 
    fprintf(fid,'估计幅值 %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n',hrx); 
    fprintf(fid,'误差(%%)  %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n\r\n',ehr); 
    fprintf(fid,'设定相位 %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f\r\n',deg); 
    fprintf(fid,'估计相位 %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f\r\n',degx); 
    fprintf(fid,'误差(度)  %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f\r\n\r\n',edeg); 
    %其他数据 
    fprintf(fid,'谱峰位置理论值:\r\n %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f\r\n',[1:M]*f1/fmin); 
    fprintf(fid,'谱峰位置估计值:\r\n %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f\r\n',km-1+delta); 
    fprintf(fid,'误差(%%)\r\n %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f\r\n',((km-1+delta)-[1:M]*f1/fmin)./([1:M]*f1/fmin)*100); 
    fprintf(fid,'delta     :\r\n %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f\r\n',delta); 
    fclose(fid);
    
    %运行过程中的调用子程序:
    function index1=searchpeaks(x,index) 
    %在数组中寻找最大值对应的下标 
    %x为数组,index 为给定的下标(index不能取最前或最后2个下标),在前后2个数中(共5个数)查找最大值和紧邻的次最大值 
    % indexmax 返回两个谱峰位置中的前一个谱峰对应的下标 
    index1=index-2; 
    for k=-1:2 
        if(x(index+k)>x(index1)) 
            index1=index+k; 
        end 
    end 
    if x(index1-1)>x(index1+1) 
        index1=index1-1; 
    end
    
    
    
    #result.txt输出结果
    原始数据:f1=  50.1Hz, N=2048,  fs=10000 
    
    谐波次数      1      2      3      4      5      6     7
    设定频率 50.100 100.200 150.300 200.400 250.500 300.600 350.700
    估计频率 50.100 78.819 150.302 181.252 250.499 279.138 350.701
    误差(%)  -0.000 -21.338  0.001 -9.555 -0.000 -7.140  0.000
    
    设定幅值 35.355  0.000  2.482  0.000  1.252  0.000  1.125
    估计幅值 35.356  0.046  2.482  0.002  1.252  0.002  1.125
    误差(%)   0.001    Inf  0.009    Inf  0.004    Inf  0.003
    
    设定相位  10.00   0.00  40.00   0.00  70.00   0.00 110.00
    估计相位  10.03  31.67  39.97 338.35  70.06 329.86 110.05
    误差()    0.03  31.67  -0.03 338.35   0.06 329.86   0.05
    
    谱峰位置理论值:
     10.2605 20.5210 30.7814 41.0419 51.3024 61.5629 71.8234
    谱峰位置估计值:
     10.2605 16.1421 30.7818 37.1203 51.3022 57.1675 71.8235
    误差(%)
     -0.0002 -21.3385 0.0012 -9.5551 -0.0004 -7.1396 0.0002
    delta     :
     0.2605 0.1421 0.7818 0.1203 0.3022 0.1675 0.8235
    
    

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    汉明窗FIR滤波器设计:

    汉宁窗(hanming window)又称改进升余弦窗,窗函数为:
    w H n ( n ) = [ 0.54 − 0.46 ∗ c o s ( 2 π ∗ n N − 1 ) ] ∗ R N ( n ) w_{Hn}(n) = [0.54-0.46*cos(\frac{2\pi*n}{N-1})]*R_N(n) wHn(n)=[0.540.46cos(N12πn)]RN(n)
    幅值函数为:
    W H n ( w ) = 0.54 W R ( w ) + 0.23 [ W R ( w − 2 π N − 1 ) + 0.23 W R ( w + 2 π N − 1 ) ] W_{Hn}(w) = 0.54W_R(w) + 0.23[W_R(w-\frac{2\pi}{N-1})+0.23W_R(w+\frac{2\pi}{N-1})] WHn(w)=0.54WR(w)+0.23[WR(wN12π)+0.23WR(w+N12π)]
    汉明窗主瓣宽度与汉宁窗相同, 8 π / N , 99.96 % 8{\pi}/N,99.96\% 8π/N99.96%的能量集中在主瓣,第一瓣比主瓣低41dB。

    在Matlab中,实现汉宁窗的函数为hanming ,其调用格式如下:

    w=hanming(N)
    

    案例分析1:设计一个汉明窗低通滤波器:

    %语音信号设计一个汉明窗低通滤波器:
    [x,FS,bits]=wavread('C:\Windows\Media\Windows Ringout');
    x=x(:,1);
    figure(1);
    subplot(211);plot(x);
    title('语音信号时域波形图')
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    y=fft(x,1000);
    f=(FS/1000)*[1:1000];  
    subplot(212);
    plot(f(1:300),abs(y(1:300)));
    title('语音信号频谱图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    %产生噪声信号并加到语音信号
    t=0:length(x)-1;
    zs0=0.05*cos(2*pi*10000*t/1024);
    zs=[zeros(0,20000),zs0];
    figure(2);
    subplot(211)
    plot(zs)
    title('噪声信号波形');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    zs1=fft(zs,1200);
    subplot(212)
    plot(f(1:600),abs(zs1(1:600)));
    title('噪声信号频谱');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    x1=x+zs';
    %sound(x1,FS,bits);
    y1=fft(x1,1200);
    figure(3);
    subplot(211);plot(x1);
    title('加入噪声后的信号波形');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    subplot(212);
    plot(f(1:600),abs(y1(1:600)));
    title('加入噪声后的信号频谱');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    %滤波
    fp=7500;
    fc=8500; 
    wp=2*pi*fp/FS;
    ws=2*pi*fc/FS;
    Bt=ws-wp; 
    N0=ceil(6.2*pi/Bt);     
    N=N0+mod(N0+1,2);
    wc=(wp+ws)/2/pi;         
    hn=fir1(N-1,wc,hamming(N)); 
    X=conv(hn,x);           
    X1=fft(X,1200);
    figure(4);
    subplot(211);
    plot(X);
    title('滤波后的信号波形');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    subplot(212);
    plot(f(1:600),abs(X1(1:600))); 
    title('滤波后的信号频谱')
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-IRdanKny-1573836815518)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_lowp_1.bmp)]

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zpDvFiHo-1573836815519)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_lowp_noise.bmp)]

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-bBaOdODs-1573836815521)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_lowp_addnoise.bmp)]

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-iBooX8kL-1573836815523)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_lowp_hanfilter.bmp)]

    案例分析2:已知连续信号为 x a ( t ) = c o s ( 100 π t ) + s i n ( 100 π t ) + c o s ( 50 π t ) x_a(t)=cos(100{\pi}t) +sin(100{\pi}t)+cos(50{\pi}t) xa(t)=cos(100πt)+sin(100πt)+cos(50πt),用DFT分析其中 x a ( t ) x_a(t) xa(t)的频谱结构,选择不同的截取长度 T p T_p Tp。观察存在的截断效应,试用加窗的方法减少谱间干扰。

    clear;close all
    fs=400;T=1/fs;						%采样频率和采样间隔
    Tp=0.04;N=Tp*fs;					%采样点数N
    N1=[N,4*N,8*N];					%设定三种截取长度 
    for m=1:3
        n=1:N1(m);
        xn=cos(100*pi*n*T)+ sin(200*pi*n*T)+ cos(50*pi*n*T);
        Xk=fft(xn,4096);
    fk=[0:4095]/4096/T;
    subplot(3,2,2*m-1);plot(fk,abs(Xk)/max(abs(Xk)));
    if m==1 title('矩形窗截取');
    end
    end
    %hamming窗截断
    for m=1:3
        n=1:N1(m);
        wn=hamming(N1(m));
        xn=cos(200*pi*n*T)+ sin(100*pi*n*T)+ cos(50*pi*n*T).*wn';
        Xk=fft(xn,4096);
    fk=[0:4095]/4096/T;
    subplot(3,2,2*m);plot(fk,abs(Xk)/max(abs(Xk)));
    if m==1 title('hamming窗截取');
    end
    end
    
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-39eMxIRF-1573836815524)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_dft.bmp)]

    比较矩形窗与汉明窗的普分析结果可见,矩形窗比用汉明窗分辨率高(泄露小),但是谱间干扰大。因此汉明窗是以牺牲分辨率来换取谱间干扰降低。

    布莱克曼FIR滤波器设计:

    布莱克曼(Blackman window)的窗函数为:
    w B l ( n ) = [ 0.42 − 0.5 ∗ c o s ( 2 π ∗ n N − 1 ) + 0.08 ∗ c o s ( 4 π ∗ n N − 1 ) ] ∗ R N ( n ) w_{Bl}(n) = [0.42-0.5*cos(\frac{2\pi*n}{N-1})+0.08*cos(\frac{4\pi*n}{N-1})]*R_N(n) wBl(n)=[0.420.5cos(N12πn)+0.08cos(N14πn)]RN(n)
    幅值函数为:
    W H n ( w ) = 0.42 W R ( w ) + 0.25 [ W R ( w − 2 π N − 1 ) + W R ( w + 2 π N − 1 ) ] W_{Hn}(w) = 0.42W_R(w) + 0.25[W_R(w-\frac{2\pi}{N-1})+W_R(w+\frac{2\pi}{N-1})] WHn(w)=0.42WR(w)+0.25[WR(wN12π)+WR(w+N12π)]

    + 0.04 [ W R ( w − 4 π N − 1 + W R ( w + 4 π N − 1 ) ] +0.04[W_R(w-\frac{4\pi}{N-1}+W_R(w+\frac{4\pi}{N-1})] +0.04[WR(wN14π+WR(w+N14π)]

    布莱克曼窗幅度函数由5部分相加而成,5部分相加的结果使得旁瓣得到进一步抵消,阻带衰减加大而过渡带加大到 12 π / N 12{\pi}/N 12π/N

    在Matlab中,实现布莱克曼窗的函数为blackman ,其调用格式如下:

    w=blackman(N);
    

    :案例:用窗函数法设计数字带通滤波器。下阻带边缘: W s 1 = 0.3 π , A s = 65 d B W_{s1}=0.3{\pi},A_s=65dB Ws1=0.3πAs=65dB,下通带边缘: W p 1 = 0.4 π , R p = 1 d B W_{p1}=0.4{\pi},R_p=1dB Wp1=0.4πRp=1dB,上通带边缘: W p 2 = 0.6 π , R p = 1 d B W_{p2}=0.6{\pi},R_p=1dB Wp2=0.6πRp=1dB,上阻带边缘: W s 2 = 0.7 π , R p = 65 d B W_{s2}=0.7{\pi},R_p=65dB Ws2=0.7πRp=65dB。根据窗函数最小阻带衰减的特性,以及参照窗函数的基本参数表,选择布莱克曼窗可以达到75dB的最小阻带衰减,其过渡带为 11 π / N 11\pi/N 11π/N

    clear all;
    wp1=0.4*pi;
    wp2=0.6*pi;
    ws1=0.3*pi;
    ws2=0.7*pi;
    As=65;
    tr_width=min((wp1-ws1),(ws2-wp2)); 					%过渡带宽度 
    M=ceil(11*pi/tr_width)+1							%滤波器长度
    n=[0:1:M-1];
    wc1=(ws1+wp1)/2;									%理想带通滤波器的下截止频率
    wc2=(ws2+wp2)/2;									%理想带通滤波器的上截止频率
    hd=ideal_lp(wc2,M)-ideal_lp(wc1,M);
    w_bla=(blackman(M))';								%布莱克曼窗
    h=hd.*w_bla;
    %截取得到实际的单位脉冲响应
    [db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);
    %计算实际滤波器的幅度响应
    delta_w=2*pi/1000;
    Rp=-min(db(wp1/delta_w+1:1:wp2/delta_w))
    %实际通带纹波
    As=-round(max(db(ws2/delta_w+1:1:501)))
    As=75
    subplot(2,2,1);
    stem(n,hd);
    title('理想单位脉冲响应hd(n)')
    axis([0 M-1 -0.4 0.5]);
    xlabel('n');
    ylabel('hd(n)')
    grid on;
    subplot(2,2,2);
    stem(n,w_bla);
    title('布莱克曼窗w(n)')
    axis([0 M-1 0 1.1]);
    xlabel('n');
    ylabel('w(n)')
    grid on;
    subplot(2,2,3);
    stem(n,h);
    title('实际单位脉冲响应hd(n)')
    axis([0 M-1 -0.4 0.5]);
    xlabel('n');
    ylabel('h(n)')
    grid on;
    subplot(2,2,4);
    plot(w/pi,db);
    axis([0 1 -150 10]);
    title('幅度响应(dB)');
    grid on;
    xlabel('频率单位:pi');
    ylabel('分贝数')
    
    %调用小程序设计1:
    function [db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(b,a);
    % Modified version of freqz subroutine
    % ------------------------------------
    % [db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(b,a);
    %  db = Relative magnitude in dB computed over 0 to pi radians
    % mag = absolute magnitude computed over 0 to pi radians 
    % pha = Phase response in radians over 0 to pi radians
    % grd = Group delay over 0 to pi radians
    %   w = 501 frequency samples between 0 to pi radians
    %   b = numerator polynomial of H(z)   (for FIR: b=h)
    %   a = denominator polynomial of H(z) (for FIR: a=[1])
    %
    [H,w] = freqz(b,a,1000,'whole');
        H = (H(1:1:501))'; w = (w(1:1:501))';
      mag = abs(H);
       db = 20*log10((mag+eps)/max(mag));
      pha = angle(H);
    %  pha = unwrap(angle(H));
      grd = grpdelay(b,a,w);
    %  grd = diff(pha);
    %  grd = [grd(1) grd];
    %  grd = [0 grd(1:1:500); grd; grd(2:1:501) 0];
    %  grd = median(grd)*500/pi;
    
    %调用小程序设计2:
    function hd=ideal_lp(wc,M);
    %计算理想低通滤波器的脉冲响应
    %[hd]=ideal_lp(wc,M)
    %hd=理想脉冲响应0到M-1
    %wc=截止频率
    % M=理想滤波器的长度
    alpha=(M-1)/2;
    n=[0:1:(M-1)];
    m=n-alpha+eps;
    %加上一个很小的值eps避免除以0的错误情况出现
    hd=sin(wc*m)./(pi*m);
    
    
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-52LsWSri-1573836815526)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\blackmen_bandp.bmp)]

    凯塞窗FIR滤波器设计:

    凯塞-贝塞窗(Kaiser-Basel window)的窗函数为:
    w k ( n ) = I 0 ( β ) I 0 ( α ) ∗ R N ( n ) w_{k}(n) = \frac{I_0( β )}{I_0( \alpha )}*R_N(n) wk(n)=I0(α)I0(β)RN(n)
    式中, β = α ( 1 − ( 2 n N − 1 ) − 1 ) 2 \beta= {\alpha}{\sqrt{(1-(\frac{2n}{N-1})-1)^2}} β=α(1(N12n)1)2 I 0 ( x ) I_0( x ) I0(x)是零阶第一类修正贝塞函数,可用下面级数计算:
    I 0 ( x ) = 1 + ∑ k = 1 + ∞ ( 1 k ! ( x 2 ) k ) 2 I_0( x ) = 1+\sum_{k=1}^{+ ∞}(\frac{1}{k!}({\frac{x}{2}})^{k})^{2} I0(x)=1+k=1+k!1(2x)k2
    I 0 ( x ) I_0( x ) I0(x)q取15-25项就可以满足精度要求。通常 α \alpha α用以控制窗的形状, α \alpha α加大,主瓣加宽,旁瓣减小,典型数据 4 < α < 9 4<\alpha<9 4<α<9。当 α = 5.44 \alpha=5.44 α=5.44s时,窗函数接近汉明窗;当 α = 7.865 \alpha=7.865 α=7.865s时,窗函数接近于布莱克曼窗。其幅值函数为:
    W k ( w ) = w k ( 0 ) + 2 ∑ n = 1 ( N − 1 ) 2 ( w k ( n ) c o s ( w n ) ) W_{k}(w) =w_k(0) + 2\sum_{n=1}^{\frac{(N-1)}{2}}(w_k(n)cos(wn)) Wk(w)=wk(0)+2n=12(N1)(wk(n)cos(wn))
    在Matlab中,实现汉宁窗的函数为kaiser,其调用格式如下:

    w=kaiser(N);

    在Matlab中设计标准响应FIR滤波器可使用fir1函数。fir1函数以经典方法实现加窗性相位FIR滤波器的设计,它可以设计出标准的低通、高通、带通、带阻滤波器。fir1函数用法为:

    b = fir1(n,Wn,‘ftype’,wimdow)

    各个参数的含义如下:

    • b -滤波器系数,n-滤波器阶数。
    • Wn -截止频率, 0 < = W n < = 1 0<=W_n<=1 0<=Wn<=1, W n = 1 W_n=1 Wn=1对应于采样频率的一半。当设计带通和带阻滤波器时, W n = [ W 1 , W 2 ] , W 1 < w < W 2 W_n =[W_1,W_2],W_1<w<W_2 Wn=[W1,W2],W1<w<W2
    • ftype -当指定ftype时,可设计高通和带阻滤波器。ftype=hight时,设计高通FIR滤波器;ftype=stop时设计带阻FIR滤波器。低通和带通FIR滤波器无需输入ftype参数。
    • window–窗函数。窗函数的长度应等于FIR滤波器系数的个数,即阶数n+1。

    案例分析:利用凯塞窗函数设计一个带通滤波器,上截止频率2500Hz,下截止频率1000Hz,过渡带宽200Hz,通带纹波允许差0.1,带阻纹波不大于允差0.02dB,通带幅值为1。

    Fs=8000;N=216;
    fcuts=[1000 1200 2300 2500];
    mags=[0 1 0];
    devs=[0.02 0.1 0.02];
    [n,Wn,beta,ftype]=kaiserord(fcuts,mags,devs,Fs);
    n=n+rem(n,2);
    hh=fir1(n,Wn,ftype,kaiser(n+1,beta),'noscale');
    [H,f]=freqz(hh,1,N,Fs);
    plot(f,abs(H));
    xlabel('频率 (Hz)');
    ylabel('幅值|H(f)|');
    grid on;
    
    

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    窗函数设计法:

    根据前面几节的分析:设计一个FIR低通滤波器通常按照下面的步骤执行:

    1. 根据滤波器设计要求,确定滤波器的过渡带宽和阻带衰减要求,选择合适窗函数的类型并进行估计窗函数的宽度N。
    2. 根据所求的理想滤波器求出单位脉冲响应 h d ( n ) h_d(n) hd(n)
    3. 根据求得的h(n)求出其频率响应。
    4. 根据频率响应验证是否满足技术指标。
    5. 若不满足指标要求,则应调整窗函数类型或者长度,然后重复(1),(2),(3)(4)步,直到满足要求为止。

    注意:matlab中数据通常是以列向量形式存储的,所以两个向量相乘必须进行转置。计算滤波器的单位脉冲响应h(n),根据窗函数设计理论 h ( n ) = h d ( n ) ∗ w ( n ) h(n)=h_d(n)*w(n) h(n)=hd(n)w(n),在matlab中用语句hn=hd*wd实现h(n).

    窗函数设计法程序设计如下:

    function [h]=usefir1(mode,n,fp,fs,window,r,sample)
    % mode:模式(1--高通; 2--低通; 3--带通; 4--带阻)
    % n:阶数, 加窗的点数为阶数加1
    % fp:高通和低通时指示截止频率, 带通和带阻时指示下限频率
    % fs:带通和带阻时指示上限频率
    % window:加窗(1--矩形窗; 2--三角窗; 3--巴特窗; 4--汉明窗; 
    %5--汉宁窗; 6--布莱克曼窗; 7--凯泽窗; 8--契比雪夫窗)
    % r代表加chebyshev窗的r值和加kaiser窗时的beta值
    % sample:采样率
    % h:返回设计好的FIR滤波器系数
    if window==1 w=boxcar(n+1);
    end
    if window==2 w=triang(n+1);end
    if window==3 w=bartlett(n+1);end
    if window==4 w=hamming(n+1);end
    if window==5 w=hanning(n+1);end
    if window==6 w=blackman(n+1);end
    if window==7 w=kaiser(n+1,r);end
    if window==8 w=chebwin(n+1,r);
    end
    wp=2*fp/sample;
    ws=2*fs/sample;
    if mode==1 h=fir1(n,wp,'high',w);
    end
    if mode==2 h=fir1(n,wp,'low',w);
    end
    if mode==3 h=fir1(n,[wp,ws],w);
    end
    if mode==4 h=fir1(n,[wp,ws],'stop',w);
    end
    m=0:n;
    subplot(131);
    plot(m,h);grid on;	
    title('冲激响应');
    axis([0 n 1.1*min(h) 1.1*max(h)]);
    ylabel('h(n)');xlabel('n');
    freq_response=freqz(h,1);
    magnitude=20*log10(abs(freq_response));
    m=0:511; f=m*sample/(2*511);
    subplot(132);
    plot(f,magnitude);grid on;
    title('幅频特性');
    axis([0 sample/2 1.1*min(magnitude) 1.1*max(magnitude)]);
    ylabel('f幅值');xlabel('频率');
    phase=angle(freq_response);
    subplot(133);plot(f,phase);grid on;
    title('相频特性');
    axis([0 sample/2 1.1*min(phase) 1.1*max(phase)]);
    ylabel('相位');xlabel('频率');
    
    

    案例分析:假设需要设计一个40阶的带通FIR滤波器,采用汉明窗,采样频率为10kHz,两个截止频率分别为2kHz和3kHz,则需要在Matlab的命令行窗口输入:

    h=usefir1(3,60,2000,3000,4,2,10000);
    

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