2019-02-15 12:23:26 linkequa 阅读数 2830

1,Jacobian matrix and determinant

在向量微积分学中,雅可比矩阵是向量对应的函数(就是多变量函数,多个变量可以理解为一个向量,因此多变量函数就是向量函数)的一阶偏微分以一定方式排列形成的矩阵。

如果这个矩阵为方阵,那么这个方阵的行列式叫雅可比行列式。

2,雅可比矩阵数学定义

假设函数f可以将一个n维向量x\vec{x}xRn\vec{x}\in R^n)变成一个m维向量f(x\vec{x}), f(x)Rmf(\vec{x})\in R^m
(显然f是由m个实函数组成的函数)
则函数f的雅可比矩阵JfJ_f可以定义如下:
Jf=[fx1...fxn]=[f1x1...f1xnfmx1...fmxn] J_f= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\ \end{matrix} \right]

对于单个元素而言,可以定义如下:
Jij=fixjJ_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}

函数f的雅可比矩阵的其它标记方法为(f1,...,fm)(x1,...,xn\frac{\partial (f_1, ..., f_m)}{\partial (x_1, ..., x_n}

3,例子

3.1 设函数f为二维空间到二维空间的变换
在这里插入图片描述
3.2 极坐标到笛卡尔坐标的变换
在这里插入图片描述
3.3 球坐标到笛卡尔坐标的变换
在这里插入图片描述
3.4 三维空间到四维空间的变换
在这里插入图片描述
3.5 三维空间到三维空间的变换
在这里插入图片描述

4,雅可比矩阵意义

雅可比矩阵Jf(p)J_f(p)就是函数f在n维空间某点p处的导数,它是一个线性映射(因为它是一个矩阵,矩阵本身代表着线性变换),它代表着函数f在点p处的最优线性逼近,也就是当x足够靠近点p时,我们有
f(x)f(p)+Jf(p)(xp)f(x)\thickapprox f(p)+J_f(p)*(x-p)

这跟2维空间中在某点附近线性逼近一段曲线很类似,如果雅可比矩阵只有一个元素,它就等于2维空间中曲线在某点处的导数。

Note: 微分的本质就是线性化,在局部用线性变化代替非线性变化。

5,雅可比行列式意义

代表经过变换后的空间与原空间的面积(2维)、体积(3维)等等的比例,也有人称缩放因子。

Reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant

2019-04-13 19:30:38 Marvelous_Morty 阅读数 1823

浅谈雅可比矩阵

历史渊源

首先,要先介绍一下——多产堪比欧拉,被广泛认为是历史上三大最具运算能力的数学家之一的雅可比先生。
卡尔·雅可比
1804年12月10日,卡尔·雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi)出生于普鲁士的一个殷实犹太人家庭,成为家中的老二,父亲(Simon Jacobi)是一位成功的银行家。
雅可比是个聪明的孩子,幼年跟随舅舅学习古典语言和数学,12岁进入波茨坦大学预科学习,不到半年跳级到高年级,甚至在自学欧拉的《无穷小分析引论》后尝试解决五次方程式。
当时的大学并不接受16岁以下的学生,因此雅可比在1821年才得以入读柏林大学。
雅可比对哲学、数学等领域均怀有浓厚的兴趣,曾磨刀霍霍准备向“全才”发起进攻。奈何数学的磁场实在太强,最终他义无反顾地投奔了数学。(据说是因为数学最难,雅可比才选择它的╮(╯▽╰)╭)
这一投,无疑给数学史添上了浓墨重彩的一笔。
雅可比不仅天赋高,人还特别勤奋,一直不知疲倦地进行着科研与教学,让他年纪轻轻就收获了一堆荣誉。
1825年,获得柏林大学理学博士学位,并留校任教;1827年,被选为柏林科学院院士(同时是伦敦皇家学会会员,巴黎等科学院院士);1829年,成为哥尼斯堡大学数学系的终身教授,并担任主席15年;
19世纪的数学以单复变函数为主要研究领域,而椭圆函数是其中一颗螺丝钉。1827年,雅可比迷上了它,埋头苦干2年后发表的人生第一篇杰作《椭圆函数理论的新基础》(椭圆函数领域关键性著作),让当时的研究有了质一般的飞跃。
雅可比与阿贝尔几乎同时各自独立发现了椭圆函数,因此被公认为椭圆函数理论独立奠基人。而该理论的出现不仅引进了θ函数,还为推动复变函数理论的发展和n个变量的阿贝尔函数论的产生带来了不可磨灭的影响。
在这里插入图片描述
椭圆函数,源自:Wikipedia
紧接着,拘泥于一个领域,已经远远无法满足日益膨胀的欲望后,雅可比开始疯狂扫荡各大数学分支,甚至是物理学分支。
得益于强大运算天赋,他最终在力学和数学物理等应用领域也收获了一番成就。
用于表述经典力学的哈密顿-雅可比理论是唯一可用于量子力学的理论;第一个将椭圆函数理论应用于数论研究的人;是决定因素理论的早期创始人之一;… …
扫荡过程中,行列式理论也沦为了他的囊中之物。而在他发表的著名论文《论行列式的形成和性质》中所引进的函数行列式正是大家熟悉的“雅可比行列式”。
此文标志着行列式系统理论的建成,文中不仅求出了函数行列式的导数公式,还证明了
函数之间是否相关的条件就是雅可比行列式是否为零
,并给出了该行列式的乘积定理。
若雅可比行列式恒等于零,函数组(u1,…,un)是函数相关。雅可比行列式在多重积分的变量替换中占据着决定性的作用,势必引起人们的全方位关注。
在这里插入图片描述
可以看出雅可比行列式辨识度很高,比常规的行列式长得更有特色,构成元素竟然均为
偏导数。
一个多变量函数的偏导数是指它关于其中一个变量的导数,而其他变量保持恒定。比如:若函数f(x,y)保持x值不变,改变y值可得到对应的f0(x,y+△y)。当△x→0时,f0-f/△y的极限存在,则可以称该比值为f对y的偏导数,记作:∂f/∂y;同理,保持y值不变情况下的偏导数,记作:∂f/∂x。
众所周知,矩阵和行列式是一对好基友,经常结伴出行。因此在介绍雅可比行列式的定义之前,打算先给大家讲讲雅可比矩阵。
假设f: Rn→Rm为一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数,并且由m个实函数组成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn)。若将该函数的偏导数(若存在)组成一个m行n列的矩阵, 那么这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵。
在这里插入图片描述
当m=n时,雅可比矩阵妥妥地变成一个方阵,该方阵的行列式则可称为雅可比行列式。雅可比矩阵重要之处在于它能够体现一个可微方程与给出点(设该点为点A)的最优线性逼近,因此雅可比行列式可用于求解点A的微分方程组的近似解。
如下图所示,映射f: R2→R2将左边的正方形变成右边扭曲的平行四边形,其中右边半透明白色区域是扭曲图形的最优线性近似,而平行四边形面积与原始正方形面积的比值则是雅可比行列式。
在这里插入图片描述
源自: Wikipedia
简单来说,在n维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响,代表着变换后的缩放比例,而雅可比行列式也不例外。
就拿图一来讲,图中的映射并非线性,但其微元变换实际上可以看做是线性的,因此雅可比行列式实际意义就是坐标系变换后,单位微元的比率或倍数
现在让我们以二维空间为例,看看究竟怎么一回事。
设f=(x,y),其中x=x(u,v),y=y(u,v),可求得
偏导数
分别为:
在这里插入图片描述
那么函数的雅可比矩阵为:
在这里插入图片描述
那么,雅可比行列式就是:
在这里插入图片描述
还是看图一,假设图中正方形所在的坐标系是uv坐标系,而平行四边形所在的坐标系是xy坐标系。

2018-08-22 22:06:32 Neil_001 阅读数 1172

参考文献:http://blog.csdn.net/tina_ttl/article/details/51202566

单变量函数对自变量向量的求导;

函数向量对自变量向量求导;

梯度;海森矩阵(Hessian Matrix);雅可比矩阵(Jacobi Matrix)

 

2019-10-10 01:05:10 libing403 阅读数 223

雅可比矩阵小结

(1)描述末端速度与关节速度的变换关系。

雅可比矩阵描述机器人末端线速度和角速度与关节速度的变换关系。计算雅可比矩阵的其中一种方法是从线速度和角速度出发,推导得到。
pe˙=i=1npeqiq˙i=i=1nJPiqiwe=wn=i=1nJOiq˙i \dot {p_e}=\sum_{i=1}^n{\frac{\partial p_e}{\partial q_i}\dot q_i}=\sum_{i=1}^n J_{P_i}q_i\\ w_e=w_n=\sum_{i=1}^nJ_{O_i}\dot q_i
按照标准D-H建模,雅可比矩阵可以写成
J=[JPJO]=[JP1JPnJO1JOn] J=\left[ \begin{matrix} J_P\\ J_O \end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} J_{P1}& &J_{Pn}\\ & \cdots & \\ J_{O1} & &J_{On} \end{matrix}\right]\\
其中,
[JPiJOi]=[zi10],[JPiJOi]=[zi1×(pepi1)zi1], \left[ \begin{matrix} J_{Pi}\\ J_{Oi} \end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} z_{i-1} \\ 0 \end{matrix}\right],移动关节\\ \left[ \begin{matrix} J_{Pi}\\ J_{Oi} \end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} z_{i-1}\times(p_e-p_{i-1})\\ z_{i-1} \end{matrix}\right],转动关节

(2)奇异点分析

令雅可比矩阵不满秩的位形称为运动学奇异点。行列式等于0,不可逆,处于奇异位形。

通过雅可比矩阵行列式计算内部奇异点可能会很繁琐,而且对复杂结构不容易求解。对球形腕的机械手,有可能将奇点计算问题分解为两个问题(奇点解耦)。

  • 前3个或更多连杆引起的臂奇点的计算。
  • 腕关节运动引起的腕奇点的计算。

例如,考虑六关节机械臂,雅可比矩阵可分解为4块,每个分块为(3×33\times3)矩阵:
J=[J11J12J21J22] J=\left[ \begin{matrix} J_{11} &J_{12}\\ J_{21} &J_{22} \end{matrix}\right]
其中,因为外部的三个关节都是转动,右边两个分块的表达式为
J12=[z3×(pep3)z4×(pep4)z5×(pep5)]J22=[z3z4z5] J_{12}=\left[ \begin{matrix} z_3\times (p_e-p_3) &z_4\times(p_e-p_4) &z_5\times(p_e-p_5) \end{matrix}\right]\\ J_{22}=\left[ \begin{matrix} z_3&z_4 &z_5 \end{matrix}\right]

运动学奇点是机械结构所固有的,与描述运动学的坐标系选择无关。因此,可以把末端执行器的原点选择在手腕的轴的交点上。选择p=pwp=p_w,有
J12=[000] J_{12}=\left[ \begin{matrix} 0&0 &0 \end{matrix}\right]
全局雅可比就成为一个分块下三角矩阵。行列式计算为
det(J)=det(J11)det(J22) \text {det}(J)=\text {det}(J_{11})\text {det}(J_{22})
从而条件
det(J11)=0 \text{det}(J_{11})=0
用于确定机械手奇点。

条件
det(J22)=0 \text{det}(J_{22})=0
用以确定腕关节奇点。

(3)冗余性分析

机械臂关节空间维数n大于任务维数为m,称为冗余机械臂。雅可比矩阵可以分析机械臂的冗余性,如果行数小于列数,则机械臂存在冗余性。

(4) 雅可比矩阵的逆

使用数值法求机械臂逆解接时,通常需要计算雅可比矩阵的逆或伪逆。

(5)末端执行器的力与关节力矩的映射

末端执行器的力与关节力矩的映射的关系可以由雅可比矩阵的的转置确定。令τ\tau表示(n×1)(n\times 1)关节力矩向量,fef_e表示(r×1)(r\times 1)末端执行器力向量,其中r表示感兴趣的操作空间的维数。那么有
τ=JT(q)fe \tau= J^T(q)f_e
参考文献

布鲁诺・西西里安诺. 机器人学:建模、规划与控制[M]. 西安交通大学出版社, 2015.

2018-03-22 10:22:01 DinnerHowe 阅读数 2558

雅可比矩阵:一个多元函数一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵

黑塞矩阵:一个多元函数二阶偏导数以一定方式排列成的矩阵


雅可比矩阵

 
                在向量微积分中,雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此,雅可比矩阵类似于多元函数的导数。


定义

            在向量分析中,雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式

            

            在代数几何中,代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇:伴随该曲线的一个代数群,曲线可以嵌入其中。

                它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名;英文雅可比行列式"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。
                 假设某函数从  映到   , 其雅可比矩阵是从   的线性映射,其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此,雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设 是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成:
  
。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵,这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵:
                此矩阵用符号表示为:
 
,或者
 
                
 
这个矩阵的第 i行是由梯度函数的转置表示的
                如果p是
  
中的一点,F在 p点可微分,根据高等微积分,
  
是在这点的导数。在此情况下,
  
这个线性映射即F在点p附近的最优线性逼近,也就是说当x足够靠近点p时,我们有:
        

实例

球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出︰                        
此坐标变换的雅可比矩阵是
 的F函数:

其雅可比矩阵为:
此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

逆矩阵
根据反函数定理,一个可逆函数(存在反函数的函数)的雅可比矩阵逆矩阵即为该函数的反函数的雅可比矩阵。若函数
  
在点
  
的雅可比矩阵是连续且可逆的,则F在点 p的某一邻域内也是可逆的,且有
成立。相反,倘若雅可比行列式在某一个点不为零,那么该函数在这个点的某一邻域内可逆(存在反函数)。
一个多项式函数的可逆性与非经证明的雅可比猜想有关。其断言,如果函数的雅可比行列式为一个非零实数(相当于其不存在复零点),则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。

黑塞矩阵

黑塞矩阵(Hessian Matrix),又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出,并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。


定义

在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数

二元函数的黑塞矩阵

由高等数学知识可知,若一元函数
  
 点的某个邻域内具有任意阶导数 ,则
  
  
点处的泰勒展开式   
,其中    二元函数    点处的泰勒展开式为:
其中, 将上述展开式写成矩阵形式,则有:
即:
其中:
 
  
  
点处的黑塞矩阵。它是由函数
  
  
点处的二阶偏导数所组成的方阵。

多元函数的黑塞矩阵

将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数
  
  
点处的泰勒展开式的矩阵形式为: 
其中:
(1) 
 
,它是
  
  
点处的梯度。 
(2)
 
为函数
  
  
点处的黑塞矩阵
黑塞矩阵是由目标函数
  
在点X处的二阶偏导数组成的
  
对称矩阵

对称性

如果函数
  
  
区域内二阶连续可导,那么
  
黑塞矩阵
  
  
内为对称矩阵
原因:如果函数
  
的二阶偏导数连续,则二阶偏导数的求导顺序没有区别,即
则对于矩阵
  
,有
  
,所以
  
为对称矩阵。

利用黑塞矩阵判定多元函数的极值

定理

设n多元实函数
  
在点
  
的邻域内有二阶连续偏导,若有
并且
则有如下结果:
(1)当A正定矩阵时,
  
  
处是极小值;
(2)当A负定矩阵时,
  
  
处是极大值
(3)当A不定矩阵时,
  
不是极值点
(4)当A为半正定矩阵或半负定矩阵时,
  
是“可疑”极值点,尚需要利用其他方法来判定

实例

求三元函数
  
的极值
解:因为
  
,故该三元函数的驻点是
  。
又因为
 
故有:
 因为A是正定矩阵,故
  
是极小值点,且极小值
 


雅可比矩阵

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