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数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。 [1-2]  数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字,就不断地建立各种数学模型,以解决各种各样的实际问题。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质测评,对教师的工作业绩的评定以及诸如访友,采购等日常活动,都可以建立一个数学模型,确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。 展开全文
数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。 [1-2]  数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字,就不断地建立各种数学模型,以解决各种各样的实际问题。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质测评,对教师的工作业绩的评定以及诸如访友,采购等日常活动,都可以建立一个数学模型,确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。
信息
外文名
Mathematical Model
模型应用
取决于问题的性质和建模的目的
中文名
数学模型
建模要求
真实完整、简明实用、适应变化
数学模型数学模型介绍
数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系,采用数学语言,概括地或近似地表述出的一种数学结构,这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解,数学模型包括数学中的各种概念,各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的,从这意义上讲,整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解,数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构,这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。数学模型所表达的内容可以是定量的,也可以是定性的,但必须以定量的方式体现出来。因此,数学模型法的操作方式偏向于定量形式。 [3] 
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  • 数学建模四大模型总结

    万次阅读 多人点赞 2019-06-13 15:31:53
    文章目录数学建模四大模型总结1 、优化模型1.1 数学规划模型1.2 微分方程组模型1.3 图论与网络优化问题1.4 概率模型1.5 组合优化经典问题现代优化算法:禁忌搜索;模拟退火;遗传算法;人工神经网络2、分类模型2.1 ...

    1 、优化模型

    1.1 数学规划模型

    线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

    1.2 微分方程组模型

    阻滞增长模型、SARS传播模型。

    1.3 图论与网络优化问题

    最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

    1.4 概率模型

    决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

    1.5 组合优化经典问题

    • 1.5.1 多维背包问题(MKP)

      背包问题:个物品,对物品,体积为,背包容量为。如何将尽可能多的物品装入背包。
      多维背包问题:个物品,对物品,价值为,体积为,背包容量为。如何选取物品装入背包,是背包中物品的总价值最大。
      多维背包问题在实际中的应用有:资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于难问题。

    • 1.5.2 二维指派问题(QAP)

      工作指派问题:个工作可以由个工人分别完成。工人完成工作的时间为。如何安排使总工作时间最小。
      二维指派问题(常以机器布局问题为例):台机器要布置在个地方,机器与之间的物流量为,位置与之间的距离为,如何布置使费用最小。
      二维指派问题在实际中的应用有:校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

    • 1.5.3 旅行商问题(TSP)

      旅行商问题:有个城市,城市与之间的距离为,找一条经过个城市的巡回(每个城市经过且只经过一次,最后回到出发点),使得总路程最小。

    • 1.5.4 车辆路径问题(VRP)

      车辆路径问题(也称车辆计划):已知个客户的位置坐标和货物需求,在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下,每辆车都从起点出发,完成若干客户点的运送任务后再回到起点,要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
      TSP问题是VRP问题的特例。

    • 1.5.5 车间作业调度问题(JSP)

      车间调度问题:存在个工作和台机器,每个工作由一系列操作组成,操作的执行次序遵循严格的串行顺序,在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成,每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作,同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。如何求得从第一个操作开始到最后一个操作结束的最小时间间隔。

    现代优化算法:禁忌搜索;模拟退火;遗传算法;人工神经网络

    2、分类模型

    ​ 判别分析是在已知研究对象分成若干类型并已经取得各种类型的一批已知样本的观测数据,在此基础上根据某些准则建立判别式,然后对未知类型的样品进行判别分析。
    聚类分析则是给定的一批样品,要划分的类型实现并不知道,正需要通过局内分析来给以确定类型的。

    2.1 判别分析

    • 2.1.1 距离判别法

      基本思想:首先根据已知分类的数据,分别计算各类的重心即分组(类)的均值,判别准则是对任给的一次观测,若它与第类的重心距离最近,就认为它来自第类。
      至于距离的测定,可以根据实际需要采用欧氏距离、马氏距离、明科夫距离等。

    • 2.1.2 Fisher判别法

      基本思想:从两个总体中抽取具有个指标的样品观测数据,借助方差分析的思想构造一个判别函数或称判别式。其中系数确定的原则是使两组间的区别最大,而使每个组内部的离差最小。
      对于一个新的样品,将它的p个指标值代人判别式中求出 y 值,然后与判别临界值(或称分界点(后面给出)进行比较,就可以判别它应属于哪一个总体。在两个总体先验概率相等的假设下,判别临界值一般取:

      最后,用统计量来检验判别效果,若则认为判别有效,否则判别无效。
      以上描述的是两总体判别,至于多总体判别方法则需要加以扩展。
      Fisher判别法随着总体数的增加,建立的判别式也增加,因而计算比较复杂。

    • 2.1.3 Bayes判别法

      基本思想:假定对所研究的对象有一定的认识,即假设个总体中,第个总体的先验概率为,概率密度函数为。利用bayes公式计算观测样品来自第个总体的后验概率,当时,将样本判为总体。

    • 2.1.4 逐步判别法

      基本思想与逐步回归法类似,采用“有进有出”的算法,逐步引入变量,每次引入一个变量进入判别式,则同时考虑在较早引入判别式的某些作用不显著的变量剔除出去。

    2.2 聚类分析

    ​ 聚类分析是一种无监督的分类方法,即不预先指定类别。根据分类对象不同,聚类分析可以分为样本聚类(Q型)和变量聚类(R型)。样本聚类是针对观测样本进行分类,而变量聚类则是试图找出彼此独立且有代表性的自变量,而又不丢失大部分信息。变量聚类是一种降维的方法。

    • 2.2.1 系统聚类法(分层聚类法)

      基本思想:开始将每个样本自成一类;然后求两两之间的距离,将距离最近的两类合成一类;如此重复,直到所有样本都合为一类为止。
      适用范围:既适用于样本聚类,也适用于变量聚类。并且距离分类准则和距离计算方法都有多种,可以依据具体情形选择。

    • 2.2.2 快速聚类法(K-均值聚类法)

      基本思想:按照指定分类数目,选择个初始聚类中心;计算每个观测量(样本)到各个聚类中心的距离,按照就近原则将其分别分到放入各类中;重新计算聚类中心,继续以上步骤;满足停止条件时(如最大迭代次数等)则停止。
      使用范围:要求用户给定分类数目,只适用于样本聚类(Q型),不适用于变量聚类(R型)。

    • 2.2.3 两步聚类法(智能聚类方法)

      基本思想:先进行预聚类,然后再进行正式聚类。
      适用范围:属于智能聚类方法,用于解决海量数据或者具有复杂类别结构的聚类分析问题。可以同时处理离散和连续变量,自动选择聚类数,可以处理超大样本量的数据。

    • 2.2.4 模糊聚类分析

    • 2.2.5 与遗传算法、神经网络或灰色理论联合的聚类方法

    2.3 神经网络分类方法

    3、评价模型

    3.1 层次分析法(AHP)

    基本思想:是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层,并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序,在此基础上进行定性和定量分析。它把人的思维过程层次化、数量化,并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。
    基本步骤:构建层次结构模型;构建成对比较矩阵;层次单排序及一致性检验(即判断主观构建的成对比较矩阵在整体上是否有较好的一致性);层次总排序及一致性检验(检验层次之间的一致性)。
    优点:它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序,所需数据量少,决策花费的时间很短。从整体上看,AHP在复杂决策过程中引入定量分析,并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持,既有效地吸收了定性分析的结果,又发挥了定量分析的优势,从而使决策过程具有很强的条理性和科学性,特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。
    缺点:用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响,而产生某种对客观规律的歪曲时,AHP的结果显然就靠不住了。
    适用范围:尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律,决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外,当遇到因素众多,规模较大的评价问题时,该模型容易出现问题,它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻,否则评价结果就不可靠和准确。
    改进方法
    (1) 成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。
    (2) 如果评价指标个数过多(一般超过9个),利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差,继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点,利用一定的方法,将各原始指标分层和归类,使得每层各类中的指标数少于9个。

    3.2 灰色综合评价法(灰色关联度分析)

    基本思想:灰色关联分析的实质就是,可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价对象进行比较、排序。关联度越大,说明比较序列与参考序列变化的态势越一致,反之,变化态势则相悖。由此可得出评价结果。
    基本步骤:建立原始指标矩阵;确定最优指标序列;进行指标标准化或无量纲化处理;求差序列、最大差和最小差;计算关联系数;计算关联度。
    优点:是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型,是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型,该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题,可以排除人为因素带来的影响,使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单,通俗易懂,易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理,可用原始数据进行直接计算,可靠性强;评价指标体系可以根据具体情况增减;无需大量样本,只要有代表性的少量样本即可。
    缺点:要求样本数据且具有时间序列特性;只是对评判对象的优劣做出鉴别,并不反映绝对水平,故基于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。
    适用范围:对样本量没有严格要求,不要求服从任何分布,适合只有少量观测数据的问题;应用该种方法进行评价时,指标体系及权重分配是一个关键的问题,选择的恰当与否直接影响最终评价结果。
    改进方法
    (1) 采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。
    (2) 结合TOPSIS法:不仅关注序列与正理想序列的关联度,而且关注序列与负理想序列的关联度,依据公式计算最后的关联度。

    3.3 模糊综合评价法

    基本思想:是以模糊数学为基础,应用模糊关系合成的原理,将一些边界不清、不易定量的因素定量化,从多个因素对被评价事物隶属等级(或称为评语集)状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象的全体,根据所给的条件,给每个对象赋予一个非负实数评判指标,再据此排序择优。
    基本步骤:确定因素集、评语集;构造模糊关系矩阵;确定指标权重;进行模糊合成和做出评价。
    优点:数学模型简单,容易掌握,对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评判模型不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序,而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级,结果包含的信息量丰富。评判逐对进行,对被评对象有唯一的评价值,不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东方人的思维习惯和描述方法,因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。
    缺点:并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题,隶属函数的确定还没有系统的方法,而且合成的算法也有待进一步探讨。其评价过程大量运用了人的主观判断,由于各因素权重的确定带有一定的主观性,因此,总的来说,模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。
    应用范围:广泛地应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于合理选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算子等。
    改进方法:采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

    3.4 BP神经网络综合评价法

    基本思想:是一种交互式的评价方法,它可以根据用户期望的输出不断修改指标的权值,直到用户满意为止。因此,一般来说,人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。
    优点:神经网络具有自适应能力,能对多指标综合评价问题给出一个客观评价,这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。在以前的评价方法中,传统的权重设计带有很大的模糊性,同时权重确定中人为因素影响也很大。随着时间、空间的推移,各指标对其对应问题的影响程度也可能发生变化,确定的初始权重不一定符合实际情况。再者,考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统,必须建立权重的学习机制,这些方面正是人工神经网络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性,采用神经网络原理可对变量进行贡献分析,进而剔除影响不显著和不重要的因素,以建立简化模型,可以避免主观因素对变量选取的干扰。
    缺点: ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式,权值不能解释为一种回归系数,也不能用来分析因果关系,目前还不能从理论上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。需要大量的训练样本,精度不高,应用范围是有限的。最大的应用障碍是评价算法的复杂性,人们只能借助计算机进行处理,而这方面的商品化软件还不够成熟。
    适用范围:神经网络评价模型具有自适应能力、可容错性,能够处理非线性、非局域性的大型复杂系统。在对学习样本训练中,无需考虑输入因子之间的权系数,ANN通过输入值与期望值之间的误差比较,沿原连接权自动地进行调节和适应,因此该方法体现了因子之间的相互作用。
    改进方法
    采用组合评价法:对用其它评价方法得出的结果,选取一部分作为训练样本,一部分作为待测样本进行检验,如此对神经网络进行训练,知道满足要求为止,可得到更好的效果。

    3.5 数据包络法(DEA)

    3.6 组合评价法

    4、预测模型

    定性研究与定量研究的结合,是科学的预测的发展趋势。在实际预测工作中,应该将定性预测和定量预测结合起来使用,即在对系统做出正确分析的基础上,根据定量预测得出的量化指标,对系统未来走势做出判断。

    4.1 回归分析法

    ​基本思想:根据历史数据的变化规律,寻找自变量与因变量之间的回归方程式,确定模型参数,据此预测。回归问题分为一元和多元回归、线性和非线性回归。
    特点:技术比较成熟,预测过程简单;将预测对象的影响因素分解,考察各因素的变化情况,从而估计预测对象未来的数量状态;回归模型误差较大,外推特性差。
    适用范围:回归分析法一般适用于中期预测。回归分析法要求样本量大且要求样本有较好的分布规律,当预测的长度大于占有的原始数据长度时,采用该方法进行预测在理论上不能保证预测结果的精度。另外,可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象,有时难以找到合适的回归方程类型。

    4.2 时间序列分析法

    ​基本思想:把预测对象的历史数据按一定的时间间隔进行排列,构成一个随时间变化的统计序列,建立相应的数据随时间变化的变化模型,并将该模型外推到未来进行预测。
    适用范围:此方法有效的前提是过去的发展模式会延续到未来,因而这种方法对短期预测效果比较好,而不适合作中长期预测。一般来说,若影响预测对象变化各因素不发生突变,利用时间序列分析方法能得到较好的预测结果;若这些因素发生突变,时间序列法的预测结果将受到一定的影响。

    4.3 灰色预测法

    ​基本思想:将一切随机变量看作是在一定范围内变化的灰色变量,不是从统计规律角度出发进行大样本分析研究,而是利用数据处理方法(数据生成与还原),将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的生成数据来加以研究,即灰色系统理论建立的不是原始数据模型,而是生成数据模型。
    适用范围:预测模型是一个指数函数,如果待测量是以某一指数规律发展的,则可望得到较高精度的预测结果。影响模型预测精度及其适应性的关键因素,是模型中背景值的构造及预测公式中初值的选取。

    4.4 BP神经网络法

    人工神经网络的理论有表示任意非线性关系和学习等的能力,给解决很多具有复杂的不确定性和时变性的实际问题提供了新思想和新方法。
    利用人工神经网络的学习功能,用大量样本对神经元网络进行训练,调整其连接权值和闭值,然后可以利用已确定的模型进行预测。神经网络能从数据样本中自动地学习以前的经验而无需繁复的查询和表述过程,并自动地逼近那些最佳刻画了样本数据规律的函数,而不论这些函数具有怎样的形式,且所考虑的系统表现的函数形式越复杂,神经网络这种特性的作用就越明显。
    误差反向传播算法(BP算法)的基本思想是通过网络误差的反向传播,调整和修改网络的连接权值和闭值,使误差达到最小,其学习过程包括前向计算和误差反向传播。它利用一个简单的三层人工神经网络模型,就能实现从输入到输出之间任何复杂的非线性映射关系。目前,神经网络模型已成功地应用于许多领域,诸如经济预测、财政分析、贷款抵押评估和破产预测等许多经济领域。
    优点:可以在不同程度和层次上模仿人脑神经系统的结构及信息处理和检索等功能,对大量非结构性、非精确性规律具有极强的自适应功能,具有信息记忆、自主学习、知识推理和优化计算等特点,其自学习和自适应功能是常规算法和专家系统技术所不具备的,同时在一定程度上克服了由于随机性和非定量因素而难以用数学公式严密表达的困难。
    缺点:网络结构确定困难,同时要求有足够多的历史数据,样本选择困难,算法复杂,容易陷入局部极小点。

    4.5 支持向量机法

    支持向量机是基于统计学习的机器学习方法,通过寻求结构风险化最小,实现经验风险和置信范围的最小,从而达到在统计样本较少的情况下,亦能获得良好统计规律的目的。 其中支持向量机是统计学习理论的核心和重点。支持向量机是结构风险最小化原理的近似,它能够提高学习机的泛化能力,既能够由有限的训练样本得到小的误差,又能够保证对独立的测试集仍保持小的误差,而且支持向量机算法是一个凸优化问题,因此局部最优解一定是全局最优解,支持向量机就克服了神经网络收敛速度慢和局部极小点等缺陷。 核函数的选取在SVM方法中是一个较为困难的问题,至今没有一定的理论方面的指导。

    4.6 组合预测法

    ​在实际预测工作中,从信息利用的角度来说,就是任何一种单一预测方法都只利用了部分有用信息,同时也抛弃了其它有用的信息。为了充分发挥各预测模型的优势,对于同一预测问题,往往可以采用多种预测方法进行预测。不同的预测方法往往能提供不同的有用信息,组合预测将不同预测模型按一定方式进行综合。根据组合定理,各种预测方法通过组合可以尽可能利用全部的信息,尽可能地提高预测精度,达到改善预测性能的目的。
    优化组合预测有两类概念,一是指将几种预测方法所得的预测结果,选取适当的权重进行加权平均的一种预测方法,其关键是确定各个单项预测方法的加权系数;二是指在几种预测方法中进行比较,选择拟合度最佳或标准离差最小的预测模型作为最优模型进行预测。组合预测是在单个预测模型不能完全正确地描述预测量的变化规律时发挥其作用的。

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  • 常见的30种数学模型,比较详细,非常适合搞数学建模的学生使用
  • 姜启源《数学模型》笔记

    万次阅读 多人点赞 2018-01-31 11:08:04
    第1章 建立数学模型 关键词:数学模型 意义 特点  第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸...

     

    第1章 建立数学模型

    关键词:数学模型 意义 特点

           第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。
           椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。


    第2章 初等模型

    关键词:初等数学 简化技巧 思想

           这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。
           如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。

    2.1公平席位分配

           通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。  这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。
           录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。

    2.7实物交换

           是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。

    2.10量纲分析与无量纲化

           是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。

    ​​​​​​​       关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键

    第2章小结:
           本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。


    第3章简单的优化模型
    关键词:简单优化 微分法 建模思想

            本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。

    3.1存贮模型
           分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。

    3.2生猪出售时机

    ​​​​​​​        关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。

    3.3 森林救火

    ​​​​​​​       亮点是对火势蔓延程度\frac{\mathrm{d} b}{\mathrm{d} t}的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。

    3.4最优价格

    ​​​​​​​       主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。

    3.5血管分支

            是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。

    3.6消费者的选择

    ​​​​​​​       一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。

    3.7冰山运输

           也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。


    第4章 数学规划模型
    关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数

            约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。
            这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:
    1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;
    2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);
    3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;
    4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。
    5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。
    6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。


    第5章 微分方程模型
    关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制

           这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。
           自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。

    5.1传染病模型

    ​​​​​​​       本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。

           模型改进、建模目的性方法三者配合,是本节亮点。

    5.2经济增长模型

    ​​​​​​​       通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。
            本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。

    5.3正规战与游击战

    ​​​​​​​       这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。 

    5.4药物在体内的分布与排除

    ​​​​​​​       本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。
    先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。

    5.5香烟过滤嘴的作用

    ​​​​​​​       看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。

    5.6 人口的预测和控制

    ​​​​​​​       本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。

    5.7烟雾的扩散与消失

    ​​​​​​​       这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。

    5.8 万有引力定律的发现

    ​​​​​​​       十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。


    第6章 稳定性模型
    关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线


           本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。

    6.6微分方程稳定性理论简介

    ​​​​​​​       这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。

    6.1捕鱼业的持续收获

    ​​​​​​​       研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。

    6.2 军备竞赛

    ​​​​​​​       这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。

    6.3种群的相互竞争

    6.4种群的相互依存

    6.5 食饵-捕食者模型

    这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。


    第7章 差分方程模型
    关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌


           将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。

    7.5差分方程简介:

          介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。

    7.1市场经济中的蛛网模型

           先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。
      本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。

    7.2 减肥计划——节食与运动

          这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI衡量)。
          我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。
           但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。

    7.3差分形式的阻滞增长模型

           此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)
           要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。
           P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。
          混沌的特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。( 

    7.4按年龄分组的种群增长

         这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。


    第8章 离散模型
    关键词:层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策
    (本章是确定性离散模型的应用、方法)

    8.1层次分析模型

           社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。

    8.2循环比赛的名次

    ​​​​​​​       这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。
           对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)

    8.3社会经济系统的冲量过程 

    ​​​​​​​       区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
           这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。+ H1 H. O! \4 O# V9 ]( `  O) x

    8.4效益的合理分配

    ​​​​​​​       几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
    ​​​​​​​       本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。

    8.5存在公正的选举规则吗

    ​​​​​​​       这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。
           首先是简单的选举规则。
           接着介绍Arrow K的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。
           然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
           最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。


    第9章 概率模型
    关键词:随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析

    ​​​​​​​       相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。

    ​​​​​​​       关键点有:
    1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。
    2. 随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。
    3. 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。
    4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。
    5. 有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。


    第10章 统计回归模型
    关键词:数据拟合 MATLAB统计 残差分析 自相关 逐步回归


    ​​​​​​​       对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。
    ​​​​​​​       关键点有:

    1.做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。
    2. 用MATLAB统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。
    3. (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。
    4. 利用好回归变量的预测(置信)区间。
    5. 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。
    6. 残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。
    7. p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。
    8. 线性化(p309),及非线性MATLAB求解(p310);p315最后两段。
    9. 自相关的考虑(10.4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。/ D( g4 10.逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。


    第11章 马氏链模型
    关键词:离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取


    基本概念
    ​​​​​​​       这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。

    1. 无后效性/Markov性: 系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态 2)转移概率,与以前各时期状态无关。

    2.马氏链(Markov Chain)模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。

    3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。

    一、健康与疾病

    ​​​​​​​       主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。
           同时介绍2种主要类型——
       1)正则链:从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理)
       2)吸收链:首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。  吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。

    二、钢琴销售的存贮策略

    ​​​​​​​       动态随机存贮。一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。

    三、基因遗传

    ​​​​​​​       用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。  随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话,若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前的认识是很一致的,从中加深了马氏链的理解。

    四、等级结构

    ​​​​​​​       这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
           重点在于变量的设置,以及还是状态设置、模型建立过程。  建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制,其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节的过程是一步接一步的,有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性,以及给编程创造了机会。

    五、资金流通

    ​​​​​​​       基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出每年应如何投放资金。  与等级模型不同在于:各地区资金进出可正可负;所有地区资金总和可以变化。

    第11章小结:
    ​​​​​​​       虽然只有短短5节,但是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中,具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础,虽是基础但案例、思想也足够典型,是今后解决离散随机过程很有力的工具。


    第12章 动态优化模型
    关键词:泛函极值 变分法 动态规划 最短路


    基本概念

           本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然是数值,但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题(几个模型中一直体现),方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的,而离散过程则用动态规划求解。
           第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念,和后面要用的结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。
           这一章的数学知识、推导比较繁杂(尤其是对于没接触过泛函等概念的学生),2、3、4、5节(生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)均是连续动态优化的典型问题,许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”,实属一个经济学的典例,这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。
           第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化,用动态规划求解,转化为最短路问题,当中对最短路问题的算法做出了详细解释。分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。
         一点自己的感想。笔记总结得不大好,但我的物理老师说过:做比不做强!因此我只好硬着头皮小结了~  望指教!


          自己的其他感想、学习心得,欢迎交流:
    MCM论文精析课程小结——2012.5.20
    点上希望的蜡烛——每年一度的聚会,记2012全国大学生数模竞赛
    2013MCM,平淡不平凡

            附:感谢你认真阅读(或扫视)完这篇学习笔记性质的稿子,感谢你的兴趣,同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学,了解一些简单概念和思维,就像这本书中略读一些章节,再编一些经典的算法程序,是很好的敲门砖;对于长期学习建模的同学,固然要找机会夯实基础("内功"),也建议在学习过程中多思考,不仅是为了抓住知识的主干,更是为了发掘自己的兴趣,获得对自己今后读研、工作的启发。

     

           本人现为一大四学生,在竞赛一线活跃度肯定不如各位,但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大:开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的,不管是由于一阵没用而生疏,还是一直在加深印象。我一直相信这一点,并希望各位共勉,珍惜本科的时光,给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物,这些知识能力、包括好的身体素质,是别人带不走的。

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    前言

    数学建模四类基本模型的总结

    1.优化模型

    1.1 数学规划模型

    线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

    1.2 微分方程组模型

    阻滞增长模型、SARS传播模型。

    1.3 图论与网络优化问题

    最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

    1.4 概率模型

    决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

    1.5 组合优化经典问题

    • 多维背包问题(MKP)

    背包问题:nn个物品,对物品ii,体积为wiw_i,背包容量为WW。如何将尽可能多的物品装入背包。

    多维背包问题:nn个物品,对物品ii,价值为pip_i,体积为wiwi,背包容量为WW。如何选取物品装入背包,是背包中物品的总价值最大。

    多维背包问题在实际中的应用有:资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NPNP难问题。

    • 二维指派问题(QAP)

    工作指派问题:nn个工作可以由nn个工人分别完成。工人ii完成工作jj的时间为dijd_{ij}。如何安排使总工作时间最小。

    二维指派问题(常以机器布局问题为例):nn台机器要布置在nn个地方,机器iikk之间的物流量为fikf_{ik},位置jjll之间的距离为djld_{jl},如何布置使费用最小。

    二维指派问题在实际中的应用有:校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

    • 旅行商问题(TSP)

    旅行商问题:有nn个城市,城市iijj之间的距离为dijd_{ij},找一条经过个城市的巡回(每个城市经过且只经过一次,最后回到出发点),使得总路程最小。

    • 车辆路径问题(VRP)

    车辆路径问题(也称车辆计划):已知nn个客户的位置坐标和货物需求,在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下,每辆车都从起点出发,完成若干客户点的运送任务后再回到起点,要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

    TSP问题是VRP问题的特例。

    • 车间作业调度问题(JSP)

    车间调度问题:存在jj个工作和mm台机器,每个工作由一系列操作组成,操作的执行次序遵循严格的串行顺序,在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成,每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作,同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。如何求得从第一个操作开始到最后一个操作结束的最小时间间隔。

    2 分类模型

    判别分析是在已知研究对象分成若干类型并已经取得各种类型的一批已知样本的观测数据,在此基础上根据某些准则建立判别式,然后对未知类型的样品进行判别分析。

    聚类分析则是给定的一批样品,要划分的类型实现并不知道,正需要通过局内分析来给以确定类型的。

    2.1 判别分析

    • 距离判别法

    基本思想:首先根据已知分类的数据,分别计算各类的重心即分组(类)的均值,判别准则是对任给的一次观测,若它与第ii类的重心距离最近,就认为它来自第类。

    至于距离的测定,可以根据实际需要采用欧氏距离、马氏距离、明科夫距离等。

    • Fisher判别法

    y=i=1pcixiy=\displaystyle \sum^p_{i=1 }{c_ix_i}
    基本思想:从两个总体中抽取具有个指标的样品观测数据,借助方差分析的思想构造一个判别函数或称判别式y=i=1pcixiy=\displaystyle\sum^p_{i=1}{c_ix_i}。其中系数确定的原则是使两组间的区别最大,而使每个组内部的离差最小。

    对于一个新的样品,将它的pp个指标值代人判别式中求出 yy值,然后与判别临界值(或称分界点(后面给出)进行比较,就可以判别它应属于哪一个总体。在两个总体先验概率相等的假设下,判别临界值一般取:y0=n1y(1)+n2y(2)n1+n2y_0=\frac{n_1\overline{y}^{(1)}+n_2\overline{y}^{(2)}}{n_1+n_2}

    最后,用FF统计量来检验判别效果,若F>FaF>F_a则认为判别有效,否则判别无效。

    以上描述的是两总体判别,至于多总体判别方法则需要加以扩展。

    Fisher判别法随着总体数的增加,建立的判别式也增加,因而计算比较复杂。

    • Bayes判别法

    基本思想:假定对所研究的对象有一定的认识,即假设kk个总体中,第ii个总体GiG_i的先验概率为qiq_i,概率密度函数为fi(x)f_i(x)。再利用bayes公式计算观测样品xx来自第jj个总体的后验概率

    • 逐步判别法

    基本思想与逐步回归法类似,采用“有进有出”的算法,逐步引入变量,每次引入一个变量进入判别式,则同时考虑在较早引入判别式的某些作用不显著的变量剔除出去。

    2.2 聚类分析

    聚类分析是一种无监督的分类方法,即不预先指定类别。

    根据分类对象不同,聚类分析可以分为样本聚类(Q型)和变量聚类(R型)。样本聚类是针对观测样本进行分类,而变量聚类则是试图找出彼此独立且有代表性的自变量,而又不丢失大部分信息。变量聚类是一种降维的方法。

    • 系统聚类法(分层聚类法)

    基本思想:开始将每个样本自成一类;然后求两两之间的距离,将距离最近的两类合成一类;如此重复,直到所有样本都合为一类为止。

    适用范围:既适用于样本聚类,也适用于变量聚类。并且距离分类准则和距离计算方法都有多种,可以依据具体情形选择。

    • 快速聚类法(K-均值聚类法)

    基本思想:按照指定分类数目nn,选择nn个初始聚类中心Zi(i=1,2,3,...,n)Z_i(i=1,2,3,...,n);计算每个观测量(样本)到各个聚类中心的距离,按照就近原则将其分别分到放入各类中;重新计算聚类中心,继续以上步骤;满足停止条件时(如最大迭代次数等)则停止。

    使用范围:要求用户给定分类数目nn,只适用于样本聚类(Q型),不适用于变量聚类(R型)。

    • 两步聚类法(智能聚类方法)

    基本思想:先进行预聚类,然后再进行正式聚类。

    适用范围:属于智能聚类方法,用于解决海量数据或者具有复杂类别结构的聚类分析问题。可以同时处理离散和连续变量,自动选择聚类数,可以处理超大样本量的数据。

    • 模糊聚类分析

    • 与遗传算法、神经网络或灰色理论联合的聚类方法

    2.3 神经网络分类方法

    3. 评价模型

    3.1 层次分析法(AHP)

    基本思想:是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层,并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序,在此基础上进行定性和定量分析。它把人的思维过程层次化、数量化,并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。

    基本步骤:构建层次结构模型;构建成对比较矩阵;层次单排序及一致性检验(即判断主观构建的成对比较矩阵在整体上是否有较好的一致性);层次总排序及一致性检验(检验层次之间的一致性)。

    优点:它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序,所需数据量少,决策花费的时间很短。从整体上看,AHP在复杂决策过程中引入定量分析,并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持,既有效地吸收了定性分析的结果,又发挥了定量分析的优势,从而使决策过程具有很强的条理性和科学性,特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。

    缺点:用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响,而产生某种对客观规律的歪曲时,AHP的结果显然就靠不住了。

    适用范围:尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律,决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外,当遇到因素众多,规模较大的评价问题时,该模型容易出现问题,它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻,否则评价结果就不可靠和准确。

    改进方法:

    (1) 成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。

    (2) 如果评价指标个数过多(一般超过9个),利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差,继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点,利用一定的方法,将各原始指标分层和归类,使得每层各类中的指标数少于9个。

    3.2 灰色综合评价法(灰色关联度分析)

    基本思想:灰色关联分析的实质就是,可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价对象进行比较、排序。关联度越大,说明比较序列与参考序列变化的态势越一致,反之,变化态势则相悖。由此可得出评价结果。

    基本步骤:建立原始指标矩阵;确定最优指标序列;进行指标标准化或无量纲化处理;求差序列、最大差和最小差;计算关联系数;计算关联度。

    优点:是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型,是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型,该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题,可以排除人为因素带来的影响,使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单,通俗易懂,易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理,可用原始数据进行直接计算,可靠性强;评价指标体系可以根据具体情况增减;无需大量样本,只要有代表性的少量样本即可。

    缺点:要求样本数据且具有时间序列特性;只是对评判对象的优劣做出鉴别,并不反映绝对水平,故基于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。

    适用范围:对样本量没有严格要求,不要求服从任何分布,适合只有少量观测数据的问题;应用该种方法进行评价时,指标体系及权重分配是一个关键的问题,选择的恰当与否直接影响最终评价结果。

    改进方法:

    (1) 采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

    (2) 结合TOPSIS法:不仅关注序列与正理想序列的关联度r+r^+,而且关注序列与负理想序列的关联度rr^-,依据公式计算最后的关联度r=r+r++rr=\frac{r^+}{r^++r^-}

    3.3 模糊综合评价法

    基本思想:是以模糊数学为基础,应用模糊关系合成的原理,将一些边界不清、不易定量的因素定量化,从多个因素对被评价事物隶属等级(或称为评语集)状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象的全体,根据所给的条件,给每个对象赋予一个非负实数评判指标,再据此排序择优。

    基本步骤:确定因素集、评语集;构造模糊关系矩阵;确定指标权重;进行模糊合成和做出评价。

    优点::数学模型简单,容易掌握,对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评判模型不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序,而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级,结果包含的信息量丰富。评判逐对进行,对被评对象有唯一的评价值,不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东方人的思维习惯和描述方法,因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。

    缺点:并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题,隶属函数的确定还没有系统的方法,而且合成的算法也有待进一步探讨。其评价过程大量运用了人的主观判断,由于各因素权重的确定带有一定的主观性,因此,总的来说,模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。

    应用范围:广泛地应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于合理选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算子等。

    改进方法:

    (1) 采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

    3.4 BP神经网络综合评价法

    基本思想:是一种交互式的评价方法,它可以根据用户期望的输出不断修改指标的权值,直到用户满意为止。因此,一般来说,人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。

    优点:神经网络具有自适应能力,能对多指标综合评价问题给出一个客观评价,这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。在以前的评价方法中,传统的权重设计带有很大的模糊性,同时权重确定中人为因素影响也很大。随着时间、空间的推移,各指标对其对应问题的影响程度也可能发生变化,确定的初始权重不一定符合实际情况。再者,考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统,必须建立权重的学习机制,这些方面正是人工神经网络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性,采用神经网络原理可对变量进行贡献分析,进而剔除影响不显著和不重要的因素,以建立简化模型,可以避免主观因素对变量选取的干扰。

    缺点: ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式,权值不能解释为一种回归系数,也不能用来分析因果关系,目前还不能从理论上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。需要大量的训练样本,精度不高,应用范围是有限的。最大的应用障碍是评价算法的复杂性,人们只能借助计算机进行处理,而这方面的商品化软件还不够成熟。

    适用范围:神经网络评价模型具有自适应能力、可容错性,能够处理非线性、非局域性的大型复杂系统。在对学习样本训练中,无需考虑输入因子之间的权系数,ANN通过输入值与期望值之间的误差比较,沿原连接权自动地进行调节和适应,因此该方法体现了因子之间的相互作用。

    改进方法:

    (1) 采用组合评价法:对用其它评价方法得出的结果,选取一部分作为训练样本,一部分作为待测样本进行检验,如此对神经网络进行训练,知道满足要求为止,可得到更好的效果。

    3.5 数据包络法(DEA)

    3.6 组合评价法

    4. 预测模型

    定性研究与定量研究的结合,是科学的预测的发展趋势。在实际预测工作中,应该将定性预测和定量预测结合起来使用,即在对系统做出正确分析的基础上,根据定量预测得出的量化指标,对系统未来走势做出判断。

    4.1 回归分析法

    基本思想:根据历史数据的变化规律,寻找自变量与因变量之间的回归方程式,确定模型参数,据此预测。回归问题分为一元和多元回归、线性和非线性回归。

    特点:技术比较成熟,预测过程简单;将预测对象的影响因素分解,考察各因素的变化情况,从而估计预测对象未来的数量状态;回归模型误差较大,外推特性差。

    适用范围:回归分析法一般适用于中期预测。回归分析法要求样本量大且要求样本有较好的分布规律,当预测的长度大于占有的原始数据长度时,采用该方法进行预测在理论上不能保证预测结果的精度。另外,可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象,有时难以找到合适的回归方程类型。

    4.2 时间序列分析法

    基本思想:把预测对象的历史数据按一定的时间间隔进行排列,构成一个随时间变化的统计序列,建立相应的数据随时间变化的变化模型,并将该模型外推到未来进行预测。

    适用范围:此方法有效的前提是过去的发展模式会延续到未来,因而这种方法对短期预测效果比较好,而不适合作中长期预测。一般来说,若影响预测对象变化各因素不发生突变,利用时间序列分析方法能得到较好的预测结果;若这些因素发生突变,时间序列法的预测结果将受到一定的影响。

    灰色预测法

    基本思想:将一切随机变量看作是在一定范围内变化的灰色变量,不是从统计规律角度出发进行大样本分析研究,而是利用数据处理方法(数据生成与还原),将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的生成数据来加以研究,即灰色系统理论建立的不是原始数据模型,而是生成数据模型。

    适用范围:预测模型是一个指数函数,如果待测量是以某一指数规律发展的,则可望得到较高精度的预测结果。影响模型预测精度及其适应性的关键因素,是模型中背景值的构造及预测公式中初值的选取。

    4.3 BP神经网络法

    人工神经网络的理论有表示任意非线性关系和学习等的能力,给解决很多具有复杂的不确定性和时变性的实际问题提供了新思想和新方法。

    利用人工神经网络的学习功能,用大量样本对神经元网络进行训练,调整其连接权值和闭值,然后可以利用已确定的模型进行预测。神经网络能从数据样本中自动地学习以前的经验而无需繁复的查询和表述过程,并自动地逼近那些最佳刻画了样本数据规律的函数,而不论这些函数具有怎样的形式,且所考虑的系统表现的函数形式越复杂,神经网络这种特性的作用就越明显。

    误差反向传播算法(BP算法)的基本思想是通过网络误差的反向传播,调整和修改网络的连接权值和闭值,使误差达到最小,其学习过程包括前向计算和误差反向传播。它利用一个简单的三层人工神经网络模型,就能实现从输入到输出之间任何复杂的非线性映射关系。目前,神经网络模型已成功地应用于许多领域,诸如经济预测、财政分析、贷款抵押评估和破产预测等许多经济领域。

    优点:可以在不同程度和层次上模仿人脑神经系统的结构及信息处理和检索等功能,对大量非结构性、非精确性规律具有极强的自适应功能,具有信息记忆、自主学习、知识推理和优化计算等特点,其自学习和自适应功能是常规算法和专家系统技术所不具备的,同时在一定程度上克服了由于随机性和非定量因素而难以用数学公式严密表达的困难。

    缺点:网络结构确定困难,同时要求有足够多的历史数据,样本选择困难,算法复杂,容易陷入局部极小点。

    4.4 支持向量机法

    支持向量机是基于统计学习的机器学习方法,通过寻求结构风险化最小,实现经验风险和置信范围的最小,从而达到在统计样本较少的情况下,亦能获得良好统计规律的目的。

    其中支持向量机是统计学习理论的核心和重点。支持向量机是结构风险最小化原理的近似,它能够提高学习机的泛化能力,既能够由有限的训练样本得到小的误差,又能够保证对独立的测试集仍保持小的误差,而且支持向量机算法是一个凸优化问题,因此局部最优解一定是全局最优解,支持向量机就克服了神经网络收敛速度慢和局部极小点等缺陷。

    核函数的选取在SVM方法中是一个较为困难的问题,至今没有一定的理论方面的指导。

    4.5 组合预测法

    在实际预测工作中,从信息利用的角度来说,就是任何一种单一预测方法都只利用了部分有用信息,同时也抛弃了其它有用的信息。为了充分发挥各预测模型的优势,对于同一预测问题,往往可以采用多种预测方法进行预测。不同的预测方法往往能提供不同的有用信息,组合预测将不同预测模型按一定方式进行综合。根据组合定理,各种预测方法通过组合可以尽可能利用全部的信息,尽可能地提高预测精度,达到改善预测性能的目的。

    优化组合预测有两类概念,一是指将几种预测方法所得的预测结果,选取适当的权重进行加权平均的一种预测方法,其关键是确定各个单项预测方法的加权系数;二是指在几种预测方法中进行比较,选择拟合度最佳或标准离差最小的预测模型作为最优模型进行预测。组合预测是在单个预测模型不能完全正确地描述预测量的变化规律时发挥其作用的。

    后记

    作者:吴翔
    原文链接
    首次参加数模,主要熟悉了数模的基本模型。

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  • 数学模型简介

    2020-08-04 08:40:17
    Mathematical Models 数学模型 数学模型是用来描述自然世界的 数学模型描述了自然界的变化规律 数学模型为我们提供了定量分析和定性分析的途径 数学模型可以由以下方式进行求解: Analytically: Solve by hand ...

    在这里插入图片描述

    Mathematical Models 数学模型

    数学模型是用来描述自然世界的

    • 数学模型描述了自然界的变化规律
    • 数学模型为我们提供了定量分析定性分析的途径
    • 数学模型可以由以下方式进行求解:
      • Analytically: Solve by hand
      • Numerically: Solve by computer
    • 数学模型通常是用 Mathematical objects 数学对象和等式构成的
    • 数学对象分为变量和参数:
      • 变量 variable :会随着现象改变
        • 离散变量:Smoothly (比如时间 tt)
        • 连续变量:Consecutive (比如数量 NN
      • 参数 parameter:不会随着现象改变
      • 数学模型中最常用的变量:tt 时间

    自然界中数学模型有两种分类: Deterministic,Stochastic. 进一步根据变量的性质又可分为离散和连续,两者分别用数列和函数表示;它们都可以用微分方程来描述;微分方程有两类:常微分方程 Ordinary Differential Equation 和偏微分方程 Partial Differential Equation。以上的叙述可以有下面的图来刻画。

    Mathematical_Models
    Deterministic
    Stochastic
    Discrete
    Sequences
    Differential_Equations
    Continuous
    Functions
    ODE
    PDE

    Process of Mathematical Modelling 数学模型建立过程

    数学家或物理学家在建立模型的过程中都有自己的偏爱,但大致的建模流程十分相似:针对所要描述的系统用微分方程进行刻画,根据实际情况进行模型的求解,求解之后便要对模型进行解读:即我们所建立的模型告诉了我们什么信息。模型的建立并不是一蹴而就的,通常需要根据现实的数据不断进行完善。

    Physical_System
    Mathematical_Model
    Mathematical_Solution
    Physical_Interpretation

    Assumption 假设

    • 自然世界是十分复杂的,因此我们的建模过程是充满挑战的
    • 为了使数学模型简化,我们需要根据实际情况提出适当的假设
    • 作出的假设需要合理
    • 假设的提出至关重要,但有些假设十分容易被当作理所当然的事实
    • 常见的模型假设:忽略空气阻力、 忽略摩擦力 、物体可看成一个质点 、重力加速度为10ms210 ms^-2

    Application of Mathematical Modelling 数学模型的应用

    下面列举常见的数学模型的应用

    • 经典力学:描述物体的运动
    • 现代物理:物质的放射衰变
    • 化学:化学反应
    • 生物:传染病模型
    • 生态学:人口增长、捕食者和被捕食者的数量关系

    The Most Classical Model 最经典的模型

    F=maF = ma , 这是微分方程最简单也是最经典的模型

    If I have seen farther than other men, it is because I have stood on the shoulders of giants.

    ​ –Isaac Newton

    牛顿第二定律 Newton Second Law $ F = ma $

    让我们来改写一下这个式子

    因为 a=dvdta=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
    v=dxdtv = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

    所以 F=md2xdt2F = m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}

    我们引入动量 (momentum)这个概念,牛顿第二定律也可以写成下面这种形式

    因为 p=mvp=mv

    所以
    F=dpdt=d(mv)dtF = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}

    更加标准的形式:

    d2xdt2=Fm\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=\frac{F}{m}

    Summary 总结

    • 数学模型用于描述自然世界

    • 变量、参数以及等式组成了数学模型

    • 模型求解过程可以有分析性解法和数值近似解法

    • 假设用来简化数学模型

    • 牛顿第二定律可以改写成二阶微分方程形式

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