采样定理_采样定理为什么不能等于2倍 - CSDN
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  • 包括时域抽样定理和频域抽样定理 只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍,采样值就可以包含原始信号的所有信息,被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。(意思在数字信号处理中可以先用采样定理把模拟...

    作用:将模拟信号通过抽样转化为数字信号。包括时域抽样定理和频域抽样定理
    只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍,采样值就可以包含原始信号的所有信息,被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。(意思在数字信号处理中可以先用采样定理把模拟信号通过采样后成为数字信号,数字信号中包含了模拟信号的所有信息,可还原)
    二、采样定理解释
      1、采样:指的是理想采样, 即直接记录信号在某时间点的精确取值,所以采样定理只涉及到了从连续信号到离散信号的理想采样过程, 而未涉及到对测量值的量化过程。
      2、采样频率:指单位时间内的采样点数, 采样是一种周期性的操作, 非周期性采样不在采样定理的范围之内。
      3、带宽:是一个信号的一种频域参数,常指信号所占据的频带宽度,简单的说是信号的能量集中的频率范围。至于多少百分比的信号能量集中的范围视为带宽,要根据不同的实际需要了。判断的标准就是,在某个频率范围内的信号频谱已经基本提供了我们需要的信息,那么这个频率范围外的信号频谱就变得可有可无。这个频率范围就是带宽。
      根据采样定理,最低采样频率必须是信号频率的两倍。反过来说,如果给定了采样频率,那么能够正确显示信号而不发生畸变的最大频率叫做恩奎斯特频率,它是采样频率的一半。如果信号中包含频率高于奈奎斯特频率的成分,信号将在直流和恩奎斯特频率之间畸变。
    时域采样定理与频域采样定理
    1、时域采样定理
      频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt),f(t1±2Δt),…来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F,便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。 这是时域采样定理的一种表述方式。
    2、时域采样定理的另一种表述方式是:当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。
    时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。
    频域采样定理

    使用背景:带限信号才能使用采样定理(就是最高频率有限制的信号)

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  • 浅谈采样定理

    万次阅读 2019-02-28 23:28:59
     采样定理,又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理,只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍,采样值就可以包含原始信号的所有信息,被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。 二、采样定理解释  1、...

    一、采样定理概述

      采样定理,又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理,只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍,采样值就可以包含原始信号的所有信息,被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。

    二、采样定理解释

      1、采样:指的是理想采样, 即直接记录信号在某时间点的精确取值,所以采样定理只涉及到了从连续信号到离散信号的理想采样过程, 而未涉及到对测量值的量化过程。

      2、采样频率:指单位时间内的采样点数, 采样是一种周期性的操作, 非周期性采样不在采样定理的范围之内。

      3、带宽:是一个信号的一种频域参数,常指信号所占据的频带宽度,简单的说是信号的能量集中的频率范围。至于多少百分比的信号能量集中的范围视为带宽,要根据不同的实际需要了。判断的标准就是,在某个频率范围内的信号频谱已经基本提供了我们需要的信息,那么这个频率范围外的信号频谱就变得可有可无。这个频率范围就是带宽。

      根据采样定理,最低采样频率必须是信号频率的两倍。反过来说,如果给定了采样频率,那么能够正确显示信号而不发生畸变的最大频率叫做恩奎斯特频率,它是采样频率的一半。如果信号中包含频率高于奈奎斯特频率的成分,信号将在直流和恩奎斯特频率之间畸变。

    三、时域采样定理与频域采样定理

    1、时域采样定理

      频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt),f(t1±2Δt),...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F,便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。 这是时域采样定理的一种表述方式。

    2、时域采样定理的另一种表述方式是:当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。

    时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。

    频域采样定理 

      对于时间上受限制的连续信号f(t)(即当│t│>T时,f(t)=0,这里T=T2-T1是信号的持续时间),若其频谱为F(ω),则可在频域上用一系列离散的采样值 来表示,只要这些采样点的频率间隔ω≦π / tm 。

    四、混叠

      如果不能满足采样定理,采样后信号的频率就会重叠,即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠,而重建出来的信号称为原信号的混叠替身,因为这两个信号有同样的样本值。

      一个频率正好是采样频率一半的弦波信号,通常会混叠成另一相同频率的波弦信号,但它的相位和幅度改变了。以下两种措施可避免混叠的发生:

      1. 提高采样频率,使之达到最高信号频率的两倍以上;

      2. 引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数;该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器

      抗混叠滤波器可限制信号的带宽,使之满足采样定理的条件。从理论上来说,这是可行的,但是在实际情况中是不可能做到的。因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号,所以,采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小,以至可忽略不计。

    五、案例分析

      AnyWay系列变频功率分析仪的功率单元SP系列变频功率传感器的电压典型带宽为100kHz,电流典型带宽为30kHz;功率单元DT系列数字变送器的电压、电流带宽均为100kHz,两种功率单元的采样频率均为250kHz,满足采样定理的要求。标称带宽范围内的信号可以在功率分析仪中以实时波形及频谱分析等方式正确的还原。

      目前部分进口高精度功率分析仪,如NORMA5000宽频带功率分析仪、WT3000高精度功率分析仪等,其标称的带宽分别在10MHz和1MHz,而最高采样率分别为341kHz和200kHz,其谐波分析等必须采用数字采样技术的测量功能而言,真实带宽应为170.5kHz和100kHz以下。此外,为了防止频谱混叠,数字采样之前还需要加上抗混叠滤波器,WT3000高精度功率分析仪的最高截至频率的抗混叠滤波器的截至频率为50kHz,因此,其数字测量部分的真实带宽应小于50kHz。

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    认真看图片中的字母含义,利于理解频谱混叠。关于混叠可以阅读模态空间公众号,解释的很棒。

    转载自知乎

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  • 采样定理总结

    万次阅读 2017-05-27 17:33:57
    采样定理:A/D转换器中,奈奎斯特定理规定采样速率必须至少是模拟信号带宽最大值的两倍,以便完全恢复信号。 适用条件:定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数,即频率在有限区域以外为零。 混叠:如果不能满足...

    一、基本概念

    1. 采样定理:A/D转换器中,奈奎斯特定理规定采样速率必须至少是模拟信号带宽最大值的两倍,以便完全恢复信号。
    2. 适用条件:定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数,即频率在有限区域以外为零。
    3. 混叠:如果不能满足采样定理,采样后信号的频率就会重叠,即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠,而重建出来的信号称为原信号的混叠替身,因为这两个信号有同样的样本值。
    4. 采样(信号离散化):采样器由电子开关组成,开关每隔Ts秒短暂闭合一次,接通连续信号,实现一次采样。
      采样过程
      这里写图片描述

    二、证明采样定理的必要性

    1. 理想采样过程:
      理想采样过程可看作对冲激脉冲载波的调幅过程,用M(t)表示冲激载波,
      这里写图片描述
      其Fourier展开式:
      这里写图片描述
      那么理想采样过程:
      这里写图片描述

    2. 原始信号频谱
      这里写图片描述
      满足条件:
      这里写图片描述

    3. 现在来计算采样信号的频谱
      这里写图片描述

    4. 与原始信号的频谱对比,发现,理想采样信号的频谱是原始信号频谱的周期延拓,周期为采样频率这里写图片描述
      并且,采样信号的频谱幅值是原始信号的1/T倍。

    5. 分别画出两者的频谱图:

      图中可以看出,要想从理想采样频谱恢复原始信号的的频谱,只需要将大于这里写图片描述和小于这里写图片描述的频率部分用滤波器去掉,再乘以幅值倍数T。但是,如果信号的最高频率超过采样频率的一半这里写图片描述,在理想采样频谱中,各次调制频谱就会相互交叠,出现频谱的混淆现象。当出现频谱混淆后,一般不可能无失真的滤出基带频谱, 用基带滤波后恢复出来的信号就要失真。
      因此,要想尽可能减少采样恢复后的信号失真,就要选择满足采样定理的采样频率。

    三、一些典型的采样频率数值

    这里写图片描述

    四、为什么实际采样过程使用比信号高得多(3-5倍)的采样频率?

    主要是考虑到抗混叠滤波器设计指标。
    ps.什么是抗混叠滤波器?

    比如乐器小号,信号频率中有一些人耳听不到的高频分量,对信号采样可能带来混叠失真,采样前需要用抗混叠滤波器先将这些不能感知的信号分量滤除。

    采样频率越接近这里写图片描述,滤波器越难实现。关于抗混叠滤波器的设计指标以后再说。

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  • 以前对低通信号的采样定理简单理解为:必须要以信号的最高频率的2倍进行采样,否则就恢复不出来原信号,原因是采样频率Fs较小时,信号频谱发生了混叠,所以无法恢复。 仔细想想,这样理解当然正确,可以给出简单推导...

    以前对低通信号的采样定理简单理解为:必须要以信号的最高频率的2倍进行采样,否则就恢复不出来原信号,原因是采样频率Fs较小时,信号频谱发生了混叠,所以无法恢复。
    仔细想想,这样理解当然正确,可以给出简单推导:
    首先对信号采样相当于原信号f(t)f(t)与抽样信号δ\deltaT(t)相乘,而δ\deltaT(t)是周期性的单位冲激信号,傅里叶变换如下式:

    时域相乘相当于频域卷积,所以采样后的信号的频谱就相当于f(t)f(t)的频谱的周期扩展, 周期就是ω\omega1(也即Fs),那么如果以小于2FH的采样频率采样,则周期扩展后频谱会发生混叠,无法识别原频谱。
    在这里插入图片描述
    因为频谱都是周期的,所以在分析时只需要取-Fs/2-Fs/2之间就行了,至于为什么,陈爱军老师给出了一个解释:
    1、凭直觉,发生混叠时我们观察到的一般都是接近零频的混淆频率,也就是比较低的频率。例如:以fs=8Hz的采样频率分别对f1=5Hz、f2=13Hz、f3=21Hz的复指数信号进行采样,我们根据采样信号判断,一般都会认为复指数信号的频率是-3Hz=f1-fs=f2-2fs=f3-3fs,而不会认为是5Hz或者其它频率。
    2、数模转换时,DAC一般选择最接近零频的混淆频率转换成模拟信号。
    参考:http://www.txrjy.com/thread-394879-115-1.html

    那么在实际取定采样率的时候,假如突然Fs/2外突然有干扰信号或者噪声怎么办,那么这个信号肯定会被混叠到-Fs/2-Fs/2内造成干扰。
    在这里插入图片描述
    信号是如何恢复的呢?上述采样后的信号经过一个低通滤波器就还原了原来的信号,再傅里叶反变换就行了。当然在实际中没有单位冲激脉冲,通过平顶抽样,这相当与在原来周期性单位冲激脉冲的基础上卷积了一个矩形信号,那么频谱就是乘以一个sinc函数,恢复的话先除以一个sinc函数,再经过一个低通滤波器就行了。
    通过上面的频谱周期扩展,假如某个信号是10Hz附近,但是我用8Hz采样,虽然不满足奈奎斯特采样定理,但是通过混叠后依然可以把频谱移到低频,这样不也是可以获得吗?答案是正确的,但是这样要求原信号在低频本来是不存在频谱的,这不就是带通信号采样定理吗?

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    香农采样定理
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采样定理