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正则化(regularization),是指在线性代数理论中,不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的,而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。 展开全文
正则化(regularization),是指在线性代数理论中,不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的,而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。
信息
外文名
regularization
出    处
线性代数理论
属    于
代数几何中的一个概念
用    途
求解不适定问题
中文名
正则化
形    式
2种
正则化定义
正则化:代数几何中的一个概念。就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。即对于PC^2中的不可约代数曲线C,寻找一个紧Riemann面C*和一个全纯映射σ:C*→PC^2,使得σ(C*)=C设C是不可约平面代数曲线,S是C的奇点的集合。如果存在紧Riemann面C*及全纯映射σ:C*→PC^2,使得(1) σ(C*)=C (2) σ^(-1)(S)是有限点集 (3) σ:C*\σ^(-1)(S)→C\S是一对一的映射则称(C*,σ)为C的正则化。不至于混淆的时候,也可以称C*为C的正则化。正则化的做法,实际上是在不可约平面代数曲线的奇点处,把具有不同切线的曲线分支分开,从而消除这种奇异性。 [1] 
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  • 正则化

    千次阅读 2016-11-02 09:56:39
    正则化防止过拟合,提高模型的泛化能力。1. 线性回归 常见损失函数 可用最小二乘法求得最优解 但如果协方差矩阵不可逆,目标函数最小化导数为0时有无穷解,无法求得最优解。特别是p > n时,难以求得最优解,...

    正则化防止过拟合,提高模型的泛化能力。

    1. 线性回归

    线性回归方程
    常见损失函数
    常见损失函数
    可用最小二乘法求得最优解
    最小二乘法求得最优解
    但如果协方差矩阵不可逆,目标函数最小化导数为0时有无穷解,无法求得最优解。特别是p > n时,难以求得最优解,也有过拟合问题。
    因此需要对w做限制,使得最优解空间变小,即进行正则化。

    2. L1-范式(Lasso)

    Lasso的稀疏结果可以用来进行特征选择,选择非零的维度。
    稀疏性在提高模型的准确性以及降低overfitting方面都很有作用。

    稀疏约束。L0最直观,约束非0元素的个数不大于k。但0范式不连续且非凸,是一个组合优化问题,找出目标函数最小值对应的系数组合为一个NP问题。
    L1是L0范式的最优凸近似,也可以达到稀疏的效果。
    L1范式

    L1范式在0点连续不可导,求解困难。
    最小角回归(LAR)和forward stagewise selection可以和Lasso产生差不多的效果。
    Least angle regression对于m维度的数据,最多只要m步就可以把所有的维度都选上,因此在迭代次数上是非常小的。每次沿着角平分线的方向走,可以计算在一个方向上走多远,每次选择都可以最优策略地加进一个维度,使得最多m步就可以结束算法。
    forward stagewise selection方法是一个迭代算法。选择过程从μ=0开始,并且不断向前走很小的step来完成回归模型(回归系数)。大量的迭代步骤使得计算量比较大。

    4. L2-范式(岭回归)

    L2范式
    有解析解
    L2范式解析解
    求逆部分肯定可解,限制了w,减轻了过拟合问题。

    5. L1,L2的区别

    L2范式是把解约束在一个l2-ball里面,放缩是对球的半径放缩,因此w的每一个维度都在以同一个系数放缩,通过放缩不会产生稀疏的解—即某些w的维度是0。而实际应用中,数据的维度中是存在噪音和冗余的,稀疏的解可以找到有用的维度并且减少冗余,提高回归预测的准确性和鲁棒性(减少了overfitting)。
    L1, L2的区别
    红色的椭圆和蓝色的区域的切点就是目标函数的最优解,我们可以看到,如果是圆,则很容易切到圆周的任意一点,但是很难切到坐标轴上,因此没有稀疏;但是如果是菱形或者多边形,则很容易切到坐标轴上,因此很容易产生稀疏的结果。

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  • 归一化和正则化

    千次阅读 2019-08-05 15:11:30
    归一化和正则化1、归一化1.1为什么要归一化1.2 如何进行归一化2、正则化2.1、为什么要进行正则化2.2 如何进行正则化惩罚 1、归一化 1.1为什么要归一化 在做梯度下降的时候,我们用的数据集并不像前面给的数据集那么...

    1、归一化

    1.1为什么要归一化

    在做梯度下降的时候,我们用的数据集并不像前面给的数据集那么规范,很多时候不同特征的值之间相差还是很大的,举个简单的例子以收入和开销为特征,分析对幸福指数的影响。

    收入 开销
    6000 1000
    7200 1300
    5000 1500

    y = w0 + w1X1(收入) + w2X2(开销)
    这里一眼就可以看出收入是不是特别大啊,那么相对应的它对幸福指数的影响是不是远超开销,但如果我们用这样的数据来做预测会产生什么问题呢?
    X1 >> X2 ,那么在y不变的情况下W1 << W2.
    又由梯度g = (y_hat - y)* X得:
    g1 >> g2
    又w的调整幅度差为-alpha*g
    则g越小,调整的幅度就越小。
    那么矛盾就产生了,如果此时不做归一化,去使用梯度下降求解最优解的话,
    产生的效果,即会是同样的迭代次数下,W1已经调整好了,W2还在慢慢的往前挪,
    整体看起来,就比先做归一化,再做梯度下降,需要的迭代次数要多了!!!。
    所以此时求需要对数据进行归一化处理,使得W1和W2处于同样的伸缩程度。
    图解1


    没进行归一化前迭代是一个“之”字形,迭代此处多。
    归一化后的图见图2
    在这里插入图片描述
    显然归一化后进行梯度下降速度更快。

    1.2 如何进行归一化

    可以使用最大最小值归一化即
    (X-Xmin)/(Xmax-Xmin)
    最终通过最大值最小值归一化的特点是一定可以把一列数据归到0到1之间

    2、正则化

    2.1、为什么要进行正则化

    在进行线性回归时往往因为样本的问题会出现过拟合现象,举个简单的例子
    见下图3
    在这里插入图片描述
    在进行线性回归时最理想的是不是上图,但倘若我们用非线性来拟合时就是下图这样
    在这里插入图片描述
    这样虽然准确性确实提高了,但倘若最底下的点是一个异常点,那么他对结果的影响是不是特别大啊。并且这样做模型的泛化能力是不是特别弱。不切合实际。所以就有必要假如正则化惩罚项。

    2.2 如何进行正则化惩罚

    有三种方法可以实现,分别是Ridge Regression,Lasso,Elastic-Net。但最常用的是Ridge Regression,也叫做L2正则化。表达式为
    在这里插入图片描述
    这里的左半部分表示正确率,右半部分表示泛化程度。
    如何去理解呢?
    设y = W0 + W1X1 + W2X2 + …+WnXn
    假设W1特别大,当有一次输入特别大的时候,那么此时WX的值就会特别的大,那么这个时候模型的容错率是不是也别的小啊。所以在实际中我们希望W小一点,是不是模型的容错率或者说泛化能力就越强。
    此外W越少,也同样可以增加模型的容错能力。
    那么如何去实现W越小和越少呢?就是上面的式子。
    这里右边 Γ(n)=W2\Gamma(n) = \sum W^2
    当进行梯度下降时,会考虑他的惩罚系数α,当α < 1 时每一次迭代都会和W相乘从而减少W的值,W值越小容错率就越好。α不是越小越好,α太小的话就会导致w取向0,这样对应的特征就没用了。太大的话,就会导致震荡。这个在sklearn的官方有个例程。
    链接为:
    https://scikit-learn.org/stable/auto_examples/linear_model/plot_ridge_path.html#sphx-glr-auto-examples-linear-model-plot-ridge-path-py
    所以选择一个合适的α是至关重要的。

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  • 正则化及正则化项的理解

    万次阅读 多人点赞 2016-08-13 21:55:56
    首先了解一下正则性(regularity),正则性衡量了...正则化是为了解决过拟合问题。在Andrew Ng的机器学习视频中有提到(详见http://www.cnblogs.com/jianxinzhou/p/4083921.html)。解决过拟合的两种方法: 方法一:尽

           首先了解一下正则性(regularity),正则性衡量了函数光滑的程度,正则性越高,函数越光滑。(光滑衡量了函数的可导性,如果一个函数是光滑函数,则该函数无穷可导,即任意n阶可导)。

           正则化是为了解决过拟合问题。在Andrew Ng的机器学习视频中有提到(详见http://www.cnblogs.com/jianxinzhou/p/4083921.html)。解决过拟合的两种方法:

         方法一:尽量减少选取变量的数量。人工检查每一个变量,并以此来确定哪些变量更为重要,然后,保留那些更为重要的特征变量。显然这种做法需要对问题足够了解,需要专业经验或先验知识。因此,决定哪些变量应该留下不是一件容易的事情。此外,当你舍弃一部分特征变量时,你也舍弃了问题中的一些信息。例如,也许所有的特征变量对于预测房价都是有用的,我们实际上并不想舍弃一些信息或者说舍弃这些特征变量。

    最好的做法是采取某种约束可以自动选择重要的特征变量,自动舍弃不需要的特征变量。

        方法二:正则化。采用正则化方法会自动削弱不重要的特征变量,自动从许多的特征变量中”提取“重要的特征变量,减小特征变量的数量级。这个方法非常有效,当我们有很多特征变量时,其中每一个变量都能对预测产生一点影响。正如在房价预测的例子中看到的那样,我们可以有很多特征变量,其中每一个变量都是有用的,因此我们不希望把它们删掉,这就导致了正则化概念的发生。

    正则化的作用:

    (1)防止过拟合;

    (2)正则化项的引入其实是利用了先验知识,体现了人对问题的解的认知程度或者对解的估计;例如正则化最小二乘问题如下:


    (3)有助于处理 条件数(condition number)不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。

    首先看一下条件数的概念:

        如果方阵A是非奇异(A的行列式不等于0,正定矩阵一定是非奇异的)的,那么A的condition number定义为:

                      

    可以看出,如果A是奇异的,那么A的条件数为无穷大。条件数越小,所获得的解越可靠,模型鲁棒性越好,抗干扰能力越强。例如对于模型AX=b,A的条件数 越小(A的行列式远不接近于0),那么A,b的稍微的变化对解X的影响越小,对X的求解对样本集(A、b)中引入的干扰的抵抗能力越强,即所求解X越可靠。

      引入正则化项之后,会降低条件数,提高抗干扰能力,提高泛化能力。如下图所示:

                         

    在样本数小于参数个数的情况下,样本矩阵很可能是不可逆的(条件数很大),而引入正则化项将会解决这个问题。

    事实上,即使使用迭代优化算法,condition number 太大也将会拖慢迭代的收敛速度。

    (4)正则化项的引入平衡了偏差(bias)与方差(variance)、拟合能力与泛化能力、经验风险(平均损失函数)与结构风险(损失函数+正则化项),下图为训练误差和测试误差与模型复杂度之间的关系

                     

    (关于偏差和方差参考误差理论http://blog.csdn.net/linkin1005/article/details/42563229)

    (5)正则化产生了稀疏性(Sparsity),减少了特征向量个数,降低了模型的复杂度。正则化符合奥卡姆剃刀原理,奥卡姆剃刀原理应用于模型选择时采用以下想法:在所有可能选择的模型中,能够很好的解释已知数据并且十分简单才是最好的模型,也就是应该选择的模型。从贝叶斯估计的角度来看,正则化项对应于模型的先验概率,可以假设复杂的模型有较大的先验概率,简单的模型有较小的先验概率。参考http://www.cnblogs.com/Rosanna/p/3946596.html)

    稀疏性(Sparsity)的作用:

    a、特征选择(FeatureSelection):

           稀疏性能实现特征的自动选择。在我们事先假定的特征(或自变量)中,有很多自变量或特征对输出的影响较小,可以看作是不重要的特征或自变量。而正则化项会自动对自变量或特征的系数参数进行惩罚,令某些特征或自变量的参数(权重系数)为0或接近于0,自动选择主要自变量或特征(类此于PCA)。

     b、可解释性(Interpretability):

          稀疏使模型更容易解释。

    例如一回归问题,假设回归模型为:y=w1*x1+w2*x2+…+w1000*x1000+b

    通过学习,如果最后学习到的w*就只有很少的非零元素,大部分W*为0或接近于0,例如只有5个非零的wi,那可以认为y之于这5个(因素)xi有关系,这更有利于人们对问题的认识和分析,抓住影响问题的主要方面(因素)更符合人们的认知习惯。

         实际上,这些参数(W*)的值越小,通常对应于越光滑的函数,也就是更加简单的函数。因此 就不易发生过拟合的问题。(联系文章开头第一段)

     c、卷积神经网络中的稀疏性(Sparsity):

          神经网络中的稀疏性可以被简单地解释如下:如果当神经元的输出接近于1的时候我们认为它被激活,而输出接近于0的时候认为它被抑制,那么使得神经元大部分的时间都是被抑制的限制则被称作稀疏性限制。

    其实,我们上面提到的回归模型:y=w1*x1+w2*x2+…+w1000*x1000+b可以看作是单神经元的神经网络,只不过没有激活函数。因此,我们可以将回归中的正则化技术用到神经网络的训练当中,而且正则化项作用与回归中的正则化项作用相同。

         自编码( Autoencoders)神经网络是一种无监督学习算法,如下图所示,它使用了反向传播算法,并让目标值等于输入值,这看起来是不可能实现的的,因为根据信息论可知,信息是逐层丢失的,对信息的处理不会增加信息,大部分处理会丢失信息。因此,我们只能让输出尽可能的去接近输入。这样做的目的是什么呢?事实上,这给了我们用神经网络提取输入数据的特征的一种思路,我们更关注的是隐含层(layerL2)的输出,因为layerL2的输出是对输入数据的特征表示,即layerL2产生了特征。卷积神经网络是深度学习(deep learning)算法,深度的含义不仅是指神经网络的层数多,而且是指卷积神经网络能自动从输入数据中学习到更为抽象的特征,并将学习到的特征用于分类器的输入进行分类。这部分涉及很多内容,在这里就不延伸了,下面介绍与本文主题相关的内容。

        下面我们以自编码神经网络为例,看一下正则化在神经网络中的应用。详细请参考下面UFLDL网站:

    (http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E8%87%AA%E7%BC%96%E7%A0%81%E7%AE%97%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%A8%80%E7%96%8F%E6%80%A7)


                            

         上图为自编码神经网络,编码所得的“码”即为特征,“编码”的含义就是提取输入数据的特征,其实提取特征的过程有点类似于对输入数据进行编码,估计这就是自编码神经网络的由来。

    自编码( Autoencoders)神经网络的总体代价函数为:

                                 

       等号右边第二项为正则化项,它是基于相对熵的惩罚项,用于限制神经元的激活程度,以此实现神经元的稀疏性。

          


    对于惩罚项:



           通过将正则化项引入自动编码器神经网络的代价函数中,通过训练,便可得到输入数据的稀疏性特征表示。

           那么问题来了,为什么我们要得到稀疏性的特征表示呢?当然是为了防止过拟合,提高泛化能力,更好地解释模型....其实,从生物学的角度,人脑中的大量神经元,当受到外界刺激(图像或者声音)时,只有少量的神经元被激活,大部分神经元处于抑制状态。


          正则化在监督学习和无监督学习算法的模型训练中被广泛使用,下面总结一下常见的几种正则化项及其作用。

    许多模型的代价函数都可以用下式表示,等号右边第一项是损失函数,也有很多种:如均方误差损失函数、Hinge Loss、exp-Loss、log-Loss等;等号右边第二项是正则化项,正则化项可以是模型参数向量的范数。不同的正则化项对参数w的约束不同,取得的效果也不同,常见的正则化项:零范数、一范数、二范数、迹范数、Frobenius范数和核范数等等。

                

         范数的定义如下:

                         

        当p=1时,为L1范数(taxicab norm);p=2时为欧拉范数

    (1)L0范数

        L0范数是指向量中非零元素的个数。L0正则化的值是模型中非零参数的个数,L0正则化可以实现模型参数的的稀疏化。L0正则化是个NP难问题,很难求解,因此一般不用L0范数

                                 

    (2)L1范数

          下式等号右边第二项即为L1正则化项

             

            L1范数是指向量中各个元素绝对值之和,又叫“稀疏规则算子”(Lasso regularization)。

    (3)L2范数

         下式等号右边第二项即为L2正则化项


    在回归里面,有人把有它的回归叫“岭回归”(Ridge Regression)。

    L2范数可以防止过拟合,提升模型的泛化能力;从优化或者数值计算的角度来说,L2范数有助于处理 condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。

    L1和L2范数下降速度比较:


    对于L1和L2规则化的代价函数来说,我们可以写成以下形式:


    L1和L2范数约束空间:


    L1范数在二维平面是一个矩形,L2范数在二维空间是一个圆;

            可以看到,L1-ball 与L2-ball 的不同就在于L1在和每个坐标轴相交的地方都有“角”出现,而目标函数的等高线大部分时候第一次都会与L1-ball在角的地方相交。注意到在角的位置就会产生稀疏性,例如图中的相交点就有w1=0,而更高维的时候(想象一下三维的L1-ball 是什么样的?)除了角点以外,还有很多边的轮廓也是既有很大的概率成为第一次相交的地方,又会产生稀疏性。

           相比之下,L2-ball 就没有这样的性质,因为第一次相交的地方不太可能出现在任意坐标轴上,因此不太可能产生稀疏性。这就从直观上来解释了为什么L1-regularization 能产生稀疏性,而L2-regularization 不行的原因了。

           因此,L1会趋向于产生少量的特征,而其他的特征都是0,而L2会选择更多的特征,这些特征的权重系数都会接近于0。

            关于正则化项中参数lamuda的选取:一般采取交叉验证法或启发式方法等。

    (详细参考http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24972869

    参考资料:

    http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

    http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24972869

    http://www.cnblogs.com/jianxinzhou/p/4083921.html

    http://blog.csdn.net/linkin1005/article/details/42563229

    http://www.cnblogs.com/Rosanna/p/3946596.html

    http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E8%87%AA%E7%BC%96%E7%A0%81%E7%AE%97%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%A8%80%E7%96%8F%E6%80%A7

    《Convex Optimization》





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  • 1、L1正则化(稀疏矩阵) 权值向量w中各个元素的绝对值之和: 2、L2正则化(权重衰减) 权值向量w中各个元素的平方和: 3、L1正则化 VS L2正则化 L1正则化可以产生稀疏权值矩阵,即产生一个稀疏模型,可以用于特征选择...

    在这里插入图片描述

    1、L1正则化(稀疏矩阵)

    权值向量w中各个元素的绝对值之和:
    在这里插入图片描述

    2、L2正则化(权重衰减)

    权值向量w中各个元素的平方和:
    在这里插入图片描述

    3、L1正则化 VS L2正则化

    L1正则化可以产生稀疏权值矩阵,即产生一个稀疏模型,可以用于特征选择
    L2正则化可以防止模型过拟合(overfitting)

    问:为什么 L1 正则可以产生稀疏模型(很多参数=0),而 L2 正则不会出现很多参数为0的情况?
    在这里插入图片描述
    对于 L1 来说,限定区域是正方形(图左),同时使得经验风险尽可能小,方形与环形区域相交的交点是顶点的概率很大,这从视觉和常识上来看是很容易理解的。也就是说,方形的凸点会更接近最优参数对应的位置,而凸点处必有 w1 或 w2 为 0。这样,得到的解 w1 或 w2 为零的概率就很大了。所以,L1 正则化的解具有稀疏性。

    扩展到高维,同样的道理,L2 的限定区域是平滑的,与中心点等距;而 L1 的限定区域是包含凸点的,尖锐的。这些凸点更接近 Ein 的最优解位置,而在这些凸点上,很多 wj 为 0。

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空空如也

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正则化