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  • 图像处理中的小波变换

    千次阅读 2018-06-26 20:12:20
    小波指的是一种能量在时域非常集中的波,它的能量有限,都集中在某一点附近,而且积分的值为零... 小波图像处理里被称为图像显微镜,原因在于它的多分辨率分解能力可以将图片信息一层一层分解剥离开来。剥离的手...
            小波指的是一种能量在时域非常集中的波,它的能量有限,都集中在某一点附近,而且积分的值为零,这说明它与傅里叶波一样是正交波。
            图像的傅里叶变换是将图像信号分解为各种不同频率的正弦波。同样,小波变换是将图像信号分解为由原始小波位移和缩放之后的一组小波。
            小波在图像处理里被称为图像显微镜,原因在于它的多分辨率分解能力可以将图片信息一层一层分解剥离开来。剥离的手段就是通过低通和高通滤波器。

    图像二维离散小波变换 :

            图像的二维离散小波分解和重构过程如下图所示,分解过程可描述为:首先对图像的每一行进行 1D-DWT,获得原始图像在水平方向上的低频分量 L 和高频分量 H,然后对变换所得数据的每一列进行 1D-DWT,获得原始图像在水平和垂直方向上的低频分量 LL、水平方向上的低频和垂直方向上的高频 LH、水平方向上的高频和垂直方向上的低频 HL 以及水平和垂直方向上的的高频分量 HH。重构过程可描述为:首先对变换结果的每一列进行以为离散小波逆变换,再对变换所得数据的每一行进行一维离散小波逆变换,即可获得重构图像。由上述过程可以看出,图像的小波分解是一个将信号按照低频和有向高频进行分离的过程,分解过程中还可以根据需要对得到的 LL 分量进行进一步的小波分解,直至达到要求。

                                                                                图1. 图像二维离散小波变换

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  • 图像小波分析

    万次阅读 2016-02-22 16:01:31
    本文旨在对图像处理中的小波分析做一个概要性的记录和介绍 1. 背景 傅里叶变换可以将信号表示为无限三角函数的累加形式,从而实现将信号从空间域到频率域的转换。然而这种转换丢失了信号时空域的信息(只知道频率...

    本文旨在对图像处理中的小波分析做一个概要性的记录和介绍

    1. 背景

    傅里叶变换可以将信号表示为无限三角函数的累加形式,从而实现将信号从空间域到频率域的转换。然而这种转换丢失了信号时空域的信息(只知道频率及其幅值,但不知道该频率发生的空间位置,可以类比直方图),因此无法做局部分析。

    短时傅里叶变换通过引入一个时间窗函数试图改进傅里叶的局部缺陷,但由于窗函数的尺寸是固定的,不能同时对信号高频和低频做精确分析。

    小波变换基于可自动调节尺寸的窗函数(图像金字塔),在时域和频域均具有良好的局部化性能,被誉为“数学显微镜”。

    小波变换在图像处理上可用于去噪、边缘提取(实质就是突出低频或高频),但最主要的应用在于图像压缩


    2. 小波变换基本原理

    傅里叶变换将信号分解为不同频率的三角函数之和的形式,小波变换则以尺度函数小波函数为基,将信号分解。

    在这里,尺度是通过不断对图像做下2采样以建立图像金字塔得到的

    尺度函数由低通滤波器构造,小波函数由高通滤波器实现。一次分解有一组小波函数组成(类似傅里叶变换中不同频率的三角函数),这组小波函数由一个母小波函数通过缩放和平移生成。


    图2-1. 二维离散快速小波变换

    如图2-1所示,h0为尺度函数,h1为小波函数,相应的操作为卷积。结果的f0为上一级的低频近似,f1为上一级水平方向的高频近似,f2为上一级垂直方向的高频近似,f3为上一级对角线方向的高频近似。


    图2-2. 二维离散小波变换结果

    这里每次的分解都是从上级的低频近似开始,因为图像的大部分信息在低频区域;而小波包分解则对低频和高频都做分解。


    3. 小波变换应用

    去噪和边缘增强:通过对小波变换后的高频、低频做相应抑制或提升来实现。在这里其实空间域或傅里叶频域也可处理,优势不大。

    图像压缩:由于图像主要信息在低频,因此可以对高频做稀疏化处理(甚至全设为0)实现压缩。傅里叶变换虽然也可提取不同频率,但因为丢失了空间信息因此无法做复原。


    4. 代码

    Matlab的可以参考晨宇思远博客的小波系列博文

    C的可以参考http://eeweb.poly.edu/~onur/source.html,里面包含了小波及小波包分解重构的实现


    图4-1. 二级小波分解


    5. 参考

    [1] 晨宇思远博客小波变换系列

    [2] 清华小波变换课件

    [3] 小波分析,小波函数与尺度函数

    展开全文
  • 图像处理之傅里叶变换和小波变换

    千次阅读 2018-07-13 11:56:05
    最近在看物体识别论文摘要,好多论文中涉及到使用离散余弦傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)对图像进行处理,因此特地看了这部分的内容,傅里叶变换和小波变换。一、DFT的原理:以二维图像为例,归一化的...

    最近在看物体识别论文摘要,好多论文中涉及到使用离散余弦傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)对图像进行处理,因此特地看了这部分的内容,傅里叶变换和小波变换。

    一、DFT的原理:

    以二维图像为例,归一化的二维离散傅里叶变换可以写成如下形式:


    其中f(x,y)表示图像的空间域的值,而F表示频域的值,傅里叶转换的结果为复数,这也表明,傅里叶变换其实是一副实数图像和虚数图像叠加或幅度图像和相位图像叠加的结果,在实际的图像处理算法中,仅有幅度图像能够用得到,因为其包含了图像的所有几何结构信息。但是如果想通过修改幅度图和相位图来修改原空间图像,需保留幅度图和相位图来进行傅里叶变换,从而得到修改后的图像。

    在频域里面,高频部分代表了图像边缘、线条以及纹理等细节信息,低频部分代表了图像的轮廓信息。在这里首先介绍下空间域和频率域:

    空间域:

    一般情况下,空间域的图像为f(x,y),形象一点就是一个二维矩阵,每个坐标对应一个颜色值。

    频率域:

    频率:对于图像来说,可以指图像颜色值的梯度,即灰度级的变化速度。

    幅度:频率的权,即该频率所占的比例。

    二、代码实现与效果

    #include<iostream>
    #include<opencv2/core/core.hpp>
    #include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
    #include<opencv2/imgproc/imgproc.hpp>
    using namespace std;
    using namespace cv;
    int main()
    {
    	//(1)读取原图像
    	Mat src = imread("101200.jpg",0);
    	if (!src.data)
    	{
    		cout << "Reading image error!" << endl;
    		return false;
    	}
    	imshow("src",src);
    	//(2)将输入图像扩展到最佳尺寸,将添加的像素扩展为0
    	int m = getOptimalDFTSize(src.rows);
    	int n = getOptimalDFTSize(src.cols);
    	Mat padded;
    	copyMakeBorder(src,padded,0,m-src.rows,0,n-src.cols,BORDER_CONSTANT,Scalar::all(0));//扩充图像边界
    	//(3)为傅里叶变换的结果(实部和虚部)分配存储空间
    	//将planes数组合并成一个多通道的数组complexI
    	Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(),CV_32F)};
    	Mat complexI;
    	merge(planes,2,complexI);
    	//(4)离散傅里叶变换
    	dft(complexI,complexI);
    	//(5)将复数转换为幅值,即=> log(1 + sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2))
    	split(complexI, planes); // 将多通道数组complexI分离成几个单通道数组,planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I))
    	magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);//planes[0] = magnitude
    	Mat magnitudeImage = planes[0];
    	//(5)进行对数尺度(logarithmic scale)缩放
    	//由于幅度范围太大,不适合在屏幕显示。为了在屏幕显示,用对数尺度来替换线性尺度M1=log(1+M)
    	magnitudeImage += Scalar::all(1);//转换到对数尺度
    	log(magnitudeImage, magnitudeImage);//求自然对数
    	//(6)剪切和重分布幅度图象限
    	/*
    	剔除第二步添加的像素。重分布是把四个象限的四张图像拼接到一起
    	*/
    	//若有奇数行或奇数列,进行频谱裁剪      
    	magnitudeImage = magnitudeImage(Rect(0, 0, magnitudeImage.cols & -2, magnitudeImage.rows & -2));
    	//重新排列傅立叶图像中的象限,使得原点位于图像中心  
    	int cx = magnitudeImage.cols / 2;
    	int cy = magnitudeImage.rows / 2;
    	Mat q0(magnitudeImage, Rect(0, 0, cx, cy));  //roi区域的左上
    	Mat q1(magnitudeImage, Rect(cx, 0, cx, cy));  //roi区域的右上
    	Mat q2(magnitudeImage, Rect(0, cy, cx, cy));  //roi区域的左下
    	Mat q3(magnitudeImage, Rect(cx, cy, cx, cy)); //roi区域的右下
    	//交换象限(左上与右下进行交换)
    	Mat tmp;
    	q0.copyTo(tmp);
    	q3.copyTo(q0);
    	tmp.copyTo(q3);
    	//交换象限(右上与左下进行交换)
    	q1.copyTo(tmp);
    	q2.copyTo(q1);
    	tmp.copyTo(q2);
    	//(7)归一化,用0到1之间的浮点值将矩阵变换为可视的图像格式
    	/*
    	幅度值仍然超过可显示范围[0,1],normalize()归一化后可以显示
    	*/
    	normalize(magnitudeImage, magnitudeImage, 0, 1, NORM_MINMAX); 
    	//【9】显示效果图
    	imshow("dft", magnitudeImage);
    	//逆变换
    	Mat _complexim;
    	complexI.copyTo(_complexim);//把变换结果复制一份,进行逆变换,也就是恢复原图
    	Mat iDft[] = { Mat::zeros(planes[0].size(), CV_32F), Mat::zeros(planes[0].size(), CV_32F) };//创建两个通道,类型为float,大小为填充后的尺寸
    	idft(_complexim, _complexim);//傅立叶逆变换
    	split(_complexim, iDft);//结果貌似也是复数
    	magnitude(iDft[0], iDft[1], iDft[0]);//分离通道,主要获取0通道
    	normalize(iDft[0], iDft[0], 1, 0, CV_MINMAX);//归一化处理,float类型的显示范围为0-1,大于1为白色,小于0为黑色
    	imshow("idft",iDft[0]);
    	waitKey(0);
    	return 0;
    }

    实现结果:


    二、小波变换

    # include<opencv2/opencv.hpp>
    # include<iostream>
    
    using namespace std;
    using namespace cv;
    
    int main()
    {
    	Mat img = imread("101200.jpg", 0);
    	int Height = img.cols;
    	int Width = img.rows;
    	int depth = 1;    //定义分解深度,也就是几级分解
    	int depthcount = 1;
    	Mat tmp = Mat::ones(Width, Height, CV_32FC1);//CV_32FC1表示32位float,这在32位编译器上是32位float,也就是单精度。CV_64FC1在32位编译器上是64位float,也就是双精度。
    	Mat wavelet = Mat::ones(Width, Height, CV_32FC1);
    	Mat imgtmp = img.clone();
    	imgtmp.convertTo(imgtmp, CV_32FC1);
    	while (depthcount <= depth){
    		Width = img.rows / depthcount;
    		Height = img.cols / depthcount;
    		for (int i = 0; i < Width; i++)
    		{
    			for (int j = 0; j < Height / 2; j++)
    			{
    				tmp.at<float>(i, j) = (imgtmp.at<float>(i, 2 * j) + imgtmp.at<float>(i, 2 * j + 1)) / 2;//整体信息
    				tmp.at<float>(i, j + Height / 2) = (imgtmp.at<float>(i, 2 * j) - imgtmp.at<float>(i, 2 * j + 1)) / 2;//细节信息
    			}
    		}
    		for (int i = 0; i < Width / 2; i++)
    		{
    			for (int j = 0; j < Height; j++)
    			{
    				wavelet.at<float>(i, j) = (tmp.at<float>(2 * i, j) + tmp.at<float>(2 * i + 1, j)) / 2;//整体信息
    				wavelet.at<float>(i + Width / 2, j) = (tmp.at<float>(2 * i, j) - tmp.at<float>(2 * i + 1, j)) / 2;//细节信息
    			}
    		}
    		imgtmp = wavelet;
    		depthcount++;
    	}
    	wavelet.convertTo(wavelet, CV_8UC1);
    	wavelet += 100;            //图像暗度过低,所以这里我加了50
    	imshow("小波变换", wavelet);
    	waitKey(0);
    	return 0;
    }

    实现效果:

    .

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  • 图像处理】Haar小波

    千次阅读 2018-07-17 14:39:01
    opencv小练习:哈尔小波(Haar) (含代码)图像的Haar小波变换 一维小波变换其实是将一维原始信号分别经过低通滤波和高通滤波以及二元下抽样得到信号的低频部分L和高频部分H。而根据Mallat算法,二维小波变换可以用...

    参考

    opencv小练习:哈尔小波(Haar)

    (含代码)图像的Haar小波变换


    一维小波变换其实是将一维原始信号分别经过低通滤波和高通滤波以及二元下抽样得到信号的低频部分L高频部分H。而根据Mallat算法,二维小波变换可以用一系列的一维小波变换得到。对一幅m行n列的图像,二维小波变换的过程是先对图像的每一行做一维小波变换,得到L和H两个对半部分;然后对得到的LH图像(仍是m行n列)的每一列做一维小波变换。这样经过一级小波变换后的图像就可以分为LL,HL,LH,HH四个部分。

    这里写图片描述

    如下图,原图被分解为低频图像,水平细节、垂直细节、对角细节。

    这里写图片描述

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