• 本文主要讲解图像傅里叶变换的相关内容,在数字图像处理中,有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中,傅里叶变换主要是将时间上的信号转变为频率上的信号,用来进行图像除噪、图像增强等处理...
    该系列文章是讲解Python OpenCV图像处理知识,前期主要讲解图像入门、OpenCV基础用法,中期讲解图像处理的各种算法,包括图像锐化算子、图像增强技术、图像分割等,后期结合深度学习研究图像识别、图像分类应用。希望文章对您有所帮助,如果有不足之处,还请海涵~
    
    该系列在github所有源代码:[https://github.com/eastmountyxz/ImageProcessing-Python](https://github.com/eastmountyxz/ImageProcessing-Python)
    PS:请求帮忙点个Star,哈哈,第一次使用Github,以后会分享更多代码,一起加油。
    
    
    同时推荐作者的C++图像系列知识:
    [[数字图像处理] 一.MFC详解显示BMP格式图片](https://blog.csdn.net/eastmount/article/details/18238863)
    [[数字图像处理] 二.MFC单文档分割窗口显示图片](https://blog.csdn.net/eastmount/article/details/18987539)
    [[数字图像处理] 三.MFC实现图像灰度、采样和量化功能详解](https://blog.csdn.net/eastmount/article/details/46010637)
    [[数字图像处理] 四.MFC对话框绘制灰度直方图](https://blog.csdn.net/eastmount/article/details/46237463)
    [[数字图像处理] 五.MFC图像点运算之灰度线性变化、灰度非线性变化、阈值化和均衡化处理详解](https://blog.csdn.net/eastmount/article/details/46312145)
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    [[数字图像处理] 七.MFC图像增强之图像普通平滑、高斯平滑、Laplacian、Sobel、Prewitt锐化详解](https://blog.csdn.net/eastmount/article/details/46378783)
    
    前文参考:
    [[Python图像处理] 一.图像处理基础知识及OpenCV入门函数](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/81748802)
    [[Python图像处理] 二.OpenCV+Numpy库读取与修改像素](https://blog.csdn.net/eastmount/article/details/82120114)
    [[Python图像处理] 三.获取图像属性、兴趣ROI区域及通道处理](https://blog.csdn.net/eastmount/article/details/82177300)
    [[Python图像处理] 四.图像平滑之均值滤波、方框滤波、高斯滤波及中值滤波](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/82216380)
    [[Python图像处理] 五.图像融合、加法运算及图像类型转换](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/82347501)
    [[Python图像处理] 六.图像缩放、图像旋转、图像翻转与图像平移](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/82454335)
    [[Python图像处理] 七.图像阈值化处理及算法对比](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/83548652)
    [[Python图像处理] 八.图像腐蚀与图像膨胀](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/83581277)
    [[Python图像处理] 九.形态学之图像开运算、闭运算、梯度运算](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/83651172)
    [[Python图像处理] 十.形态学之图像顶帽运算和黑帽运算](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/83692456)
    [[Python图像处理] 十一.灰度直方图概念及OpenCV绘制直方图](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/83758402)
    [[Python图像处理] 十二.图像几何变换之图像仿射变换、图像透视变换和图像校正](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/88679772)
    [[Python图像处理] 十三.基于灰度三维图的图像顶帽运算和黑帽运算](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/88712004)
    [[Python图像处理] 十四.基于OpenCV和像素处理的图像灰度化处理](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/88785768)
    [[Python图像处理] 十五.图像的灰度线性变换](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/88858696)
    [[Python图像处理] 十六.图像的灰度非线性变换之对数变换、伽马变换](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/88929290)
    [[Python图像处理] 十七.图像锐化与边缘检测之Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子和Laplacian算子](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/89001702)
    [[Python图像处理] 十八.图像锐化与边缘检测之Scharr算子、Canny算子和LOG算子](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/89056240)
    [[Python图像处理] 十九.图像分割之基于K-Means聚类的区域分割](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/89218513)
    [[Python图像处理] 二十.图像量化处理和采样处理及局部马赛克特效](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/89287543)
    [[Python图像处理] 二十一.图像金字塔之图像向下取样和向上取样](https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/89341077)
    
    
    前面一篇文章我讲解了Python图像量化、采样处理及图像金字塔。本文主要讲解图像傅里叶变换的相关内容,在数字图像处理中,有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中,傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号,用来进行图像除噪、图像增强等处理。基础性文章,希望对你有所帮助。同时,该部分知识均为杨秀璋查阅资料撰写,转载请署名CSDN+杨秀璋及原地址出处,谢谢!!
    
    **1.图像傅里叶变换**
    **2.Numpy实现傅里叶变换**
    **3.Numpy实现傅里叶逆变换**
    **4.OpenCV实现傅里叶变换**
    **5.OpenCV实现傅里叶逆变换**
    
    
    
    PS:文章参考自己以前系列图像处理文章及OpenCV库函数,同时参考如下文献:
    《数字图像处理》(第3版),冈萨雷斯著,阮秋琦译,电子工业出版社,2013年.
    《数字图像处理学》(第3版),阮秋琦,电子工业出版社,2008年,北京.
    《OpenCV3编程入门》,毛星云,冷雪飞,电子工业出版社,2015,北京.
    [百度百科-傅里叶变换](https://baike.baidu.com/item/傅里叶变换/7119029)
    [网易云课堂-高登教育 Python+OpenCV图像处理](https://study.163.com/course/courseLearn.htm?courseId=1005317018)
    [安安zoe-图像的傅里叶变换](https://www.jianshu.com/p/89ce7fdb9e12)
    [daduzimama-图像的傅里叶变换的迷思----频谱居中](https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80597454)
    [tenderwx-数字图像处理-傅里叶变换在图像处理中的应用](https://www.cnblogs.com/tenderwx/p/5245859.html)
    [小小猫钓小小鱼-深入浅出的讲解傅里叶变换(真正的通俗易懂)](https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html)
    
    
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    # 一.图像傅里叶变换原理
    
    
    傅里叶变换(Fourier Transform,简称FT)常用于数字信号处理,它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同,对同一个事物的了解角度也随之改变,因此在时域中某些不好处理的地方,在频域就可以较为简单的处理。同时,可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成(或者无限逼近)一系列正弦信号的叠加。”
    
    
    	
    
    
    下面引用李老师 “[Python+OpenCV图像处理](https://study.163.com/course/courseLearn.htm?courseId=1005317018)” 中的一个案例,非常推荐同学们去购买学习。如下图所示,他将某饮料的制作过程的时域角度转换为频域角度。
    
    
    	
    
    
    绘制对应的时间图和频率图如下所示:
    
    
    	
    
    
    傅里叶公式如下,其中w表示频率,t表示时间,为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数f(t)的积分。
    
    
    	
    
    
    
    傅里叶变换认为一个周期函数(信号)包含多个频率分量,任意函数(信号)f(t)可通过多个周期函数(或基函数)相加合成。从物理角度理解,傅里叶变换是以一组特殊的函数(三角函数)为正交基,对原函数进行线性变换,物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如下图所示,它是由三条正弦曲线组合成。
    
    
    	
    
    
    
    	
    
    
    傅里叶变换可以应用于图像处理中,经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号,而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作,例如图像除噪、图像增强和锐化等。
    
    二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式(15-3)表达,其中f是空间域(Spatial Domain))值,F是频域(Frequency Domain)值
    
    
    	
    
    
    对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后,下面通过Numpy和OpenCV分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。
    
    
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    # 二.Numpy实现傅里叶变换
    Numpy中的 FFT包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换,其函数原型如下所示,该输出结果是一个复数数组(Complex Ndarry)。
    
    **fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)**
    - a表示输入图像,阵列状的复杂数组
    - s表示整数序列,可以决定输出数组的大小。输出可选形状(每个转换轴的长度),其中s[0]表示轴0,s[1]表示轴1。对应fit(x,n)函数中的n,沿着每个轴,如果给定的形状小于输入形状,则将剪切输入。如果大于则输入将用零填充。如果未给定's',则使用沿'axles'指定的轴的输入形状
    - axes表示整数序列,用于计算FFT的可选轴。如果未给出,则使用最后两个轴。“axes”中的重复索引表示对该轴执行多次转换,一个元素序列意味着执行一维FFT
    - norm包括None和ortho两个选项,规范化模式(请参见numpy.fft)。默认值为无
    
    Numpy中的fft模块有很多函数,相关函数如下:
    
    > #计算一维傅里叶变换
    numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None) 
    #计算二维的傅里叶变换
    numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None) 
    #计算n维的傅里叶变换
    numpy.fft.fftn()
    #计算n维实数的傅里叶变换
    numpy.fft.rfftn() 
    #返回傅里叶变换的采样频率
    numpy.fft.fftfreq()
    #将FFT输出中的直流分量移动到频谱中央
    numpy.fft.shift()
    
    
    下面的代码是通过Numpy库实现傅里叶变换,调用np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布,接着调用np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间,最终通过Matplotlib显示效果图。
    
    ```python
    # -*- coding: utf-8 -*-
    import cv2 as cv
    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    #读取图像
    img = cv.imread('test.png', 0)
    
    #快速傅里叶变换算法得到频率分布
    f = np.fft.fft2(img)
    
    #默认结果中心点位置是在左上角,
    #调用fftshift()函数转移到中间位置
    fshift = np.fft.fftshift(f)       
    
    #fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅
    fimg = np.log(np.abs(fshift))
    
    #展示结果
    plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Fourier')
    plt.axis('off')
    plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('Fourier Fourier')
    plt.axis('off')
    plt.show()
    ```
    
    输出结果如图15-2所示,左边为原始图像,右边为频率分布图谱,其中越靠近中心位置频率越低,越亮(灰度值越高)的位置代表该频率的信号振幅越大。
    
    
    	
    
    
    
    
    
    ---
    
    # 三.Numpy实现傅里叶逆变换
    
    下面介绍Numpy实现傅里叶逆变换,它是傅里叶变换的逆操作,将频谱图像转换为原始图像的过程。通过傅里叶变换将转换为频谱图,并对高频(边界)和低频(细节)部分进行处理,接着需要通过傅里叶逆变换恢复为原始效果图。频域上对图像的处理会反映在逆变换图像上,从而更好地进行图像处理。
    
    图像傅里叶变化主要使用的函数如下所示:
    
    > #实现图像逆傅里叶变换,返回一个复数数组
    numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None) 
    #fftshit()函数的逆函数,它将频谱图像的中心低频部分移动至左上角
    numpy.fft.fftshift()
    #将复数转换为0至255范围
    iimg = numpy.abs(逆傅里叶变换结果)
    
    下面的代码分别实现了傅里叶变换和傅里叶逆变换。
    
    ```python
    # -*- coding: utf-8 -*-
    import cv2 as cv
    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    #读取图像
    img = cv.imread('Lena.png', 0)
    
    #傅里叶变换
    f = np.fft.fft2(img)
    fshift = np.fft.fftshift(f)
    res = np.log(np.abs(fshift))
    
    #傅里叶逆变换
    ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
    iimg = np.fft.ifft2(ishift)
    iimg = np.abs(iimg)
    
    #展示结果
    plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
    plt.axis('off')
    plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
    plt.axis('off')
    plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')
    plt.axis('off')
    plt.show()
    ```
    
    输出结果如图15-4所示,从左至右分别为原始图像、频谱图像、逆傅里叶变换转换图像。
    
    
    	
    
    
    
    ---
    
    # 四.OpenCV实现傅里叶变换
    
    OpenCV 中相应的函数是cv2.dft()和用Numpy输出的结果一样,但是是双通道的。第一个通道是结果的实数部分,第二个通道是结果的虚数部分,并且输入图像要首先转换成 np.float32 格式。其函数原型如下所示:
    
    **dst = cv2.dft(src, dst=None, flags=None, nonzeroRows=None)**
    - src表示输入图像,需要通过np.float32转换格式
    - dst表示输出图像,包括输出大小和尺寸
    - flags表示转换标记,其中DFT _INVERSE执行反向一维或二维转换,而不是默认的正向转换;DFT _SCALE表示缩放结果,由阵列元素的数量除以它;DFT _ROWS执行正向或反向变换输入矩阵的每个单独的行,该标志可以同时转换多个矢量,并可用于减少开销以执行3D和更高维度的转换等;DFT _COMPLEX_OUTPUT执行1D或2D实数组的正向转换,这是最快的选择,默认功能;DFT _REAL_OUTPUT执行一维或二维复数阵列的逆变换,结果通常是相同大小的复数数组,但如果输入数组具有共轭复数对称性,则输出为真实数组
    - nonzeroRows表示当参数不为零时,函数假定只有nonzeroRows输入数组的第一行(未设置)或者只有输出数组的第一个(设置)包含非零,因此函数可以处理其余的行更有效率,并节省一些时间;这种技术对计算阵列互相关或使用DFT卷积非常有用
    
    注意,由于输出的频谱结果是一个复数,需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为0到255的范围。其函数原型如下:
    
    **cv2.magnitude(x, y)**
    - x表示浮点型X坐标值,即实部
    - y表示浮点型Y坐标值,即虚部
    最终输出结果为幅值,即:
    
    
    	
    
    
    完整代码如下所示:
    
    ```python
    # -*- coding: utf-8 -*-
    import numpy as np
    import cv2
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    #读取图像
    img = cv2.imread('Lena.png', 0)
    
    #傅里叶变换
    dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
    
    #将频谱低频从左上角移动至中心位置
    dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
    
    #频谱图像双通道复数转换为0-255区间
    result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))
    
    #显示图像
    plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')
    plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')
    plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.show()
    ```
    
    输出结果如图15-5所示,左边为原始“Lena”图,右边为转换后的频谱图像,并且保证低频位于中心位置。
    
    
    	
    
    
    
    ---
    
    
    # 五.OpenCV实现傅里叶逆变换
    
    在OpenCV 中,通过函数cv2.idft()实现傅里叶逆变换,其返回结果取决于原始图像的类型和大小,原始图像可以为实数或复数。其函数原型如下所示:
    
    **dst = cv2.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]])**
    - src表示输入图像,包括实数或复数
    - dst表示输出图像
    - flags表示转换标记
    - nonzeroRows表示要处理的dst行数,其余行的内容未定义(请参阅dft描述中的卷积示例)
    
    完整代码如下所示:
    
    ```python
    # -*- coding: utf-8 -*-
    import numpy as np
    import cv2
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    #读取图像
    img = cv2.imread('Lena.png', 0)
    
    #傅里叶变换
    dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
    dftshift = np.fft.fftshift(dft)
    res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))
    
    #傅里叶逆变换
    ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)
    iimg = cv2.idft(ishift)
    res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])
    
    #显示图像
    plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
    plt.axis('off')
    plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
    plt.axis('off')
    plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')
    plt.axis('off')
    plt.show()
    ```
    
    输出结果如图15-6所示,第一幅图为原始“Lena”图,第二幅图为傅里叶变换后的频谱图像,第三幅图为傅里叶逆变换,频谱图像转换为原始图像的过程。
    
    
    	
    
    
    ---
    
    # 六.总结
    
    傅里叶变换的目的并不是为了观察图像的频率分布(至少不是最终目的),更多情况下是为了对频率进行过滤,通过修改频率以达到图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、压缩加密等目的。下一篇文章,作者将结合傅里叶变换和傅里叶逆变换讲解它的应用。
    
    时也,命也。
    英语低分数线一分,些许遗憾,但不气馁,更加努力。雄关漫道真如铁,而今迈过从头越,从头越。苍山如海,残阳如血。感谢一路陪伴的人和自己。
    
    无论成败,那段拼搏的日子都很美。结果只会让我更加努力,学好英语。下半年沉下心来好好做科研写文章,西藏之行,课程分享。同时,明天的博士考试加油,虽然裸泳,但也加油!还有春季招考开始准备。
    
    最后补充马刺小石匠精神,当一切都看起来无济于事的时候,我去看一个石匠敲石头.他一连敲了100次,石头仍然纹丝不动。但他敲第101次的时候,石头裂为两半。可我知道,让石头裂开的不是那最后一击,而是前面的一百次敲击的结果。人生路漫漫,不可能一路一帆风顺,暂时的不顺只是磨练自己的必经之路,夜最深的时候也是距黎明最近的时刻,经历过漫漫长夜的打磨,你自身会更加强大。
    
    最后希望这篇基础性文章对您有所帮助,如果有错误或不足之处,请海涵!
    
    
    	
    
    
    
    (By:Eastmount 2019-04-23 周二下午6点写于花溪 https://blog.csdn.net/Eastmount )
    
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  • 原文地址:小波变换图像处理中的应用作者:茉莉清茶小波变换图像处理中的应用 一 小波与图像去噪   图像在采集,转换和传输过程中常常受到成像设备和外部环境噪声干扰等影响产生噪声。小波去噪是利用小波变换中...
  • 上了这么久的《数字图像处理》,都没有真正搞清楚什么是空间域...有些情况下,通过变换输入图像来表达图像处理任务,在该变换域执行指定的任务,之后再用反变换返回到空间域。其中,T(u,v)的二维线性变换是一类特别重要
  • 最近在看物体识别论文摘要,好多论文中涉及到使用离散余弦傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)对图像进行处理,因此特地看了这部分的内容,傅里叶变换和小波变换。一、DFT的原理:以二维图像为例,归一化的...
  • 前一篇文章讲解了图像灰度化处理及线性变换知识,结合OpenCV调用cv2.cvtColor()函数实现图像灰度操作,本篇文章主要讲解非线性变换,使用自定义方法对图像进行灰度化处理,包括对数变换和伽马变换。本文主要讲解灰度...
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