傅里叶分析_傅里叶分析导论 - CSDN
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  • 经典的分析教材, 数学专业必读, 斯坦因四本分析著作中的前三部.
  • 傅里叶分析导论的中文版,上世纪八十年代出版的。质量较高
  • 理解傅里叶分析

    万次阅读 多人点赞 2016-09-23 10:13:09
    这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间不停的改变,并且永远不会静止下来。但如果我告诉你,用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变...

    一、什么是频域

    从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间不停的改变,并且永远不会静止下来。但如果我告诉你,用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变的,你会不会觉得我疯了?我没有疯,这个静止的世界就叫做频域。

    先举一个公式上并非很恰当,但意义上再贴切不过的例子:

    在你的理解中,一段音乐是什么呢?

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    这是我们对音乐最普遍的理解,一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说,音乐更直观的理解是这样的:

    这里写图片描述
    好的!下课,同学们再见。

    是的,其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子,而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生,只是从来没意识到而已。

    现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话:世界是永恒的。

    将以上两图简化:

    时域:
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    频域:这里写图片描述

    在时域,我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动,就如同一支股票的走势;而在频域,只有那一个永恒的音符。

    所以

    你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界,实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

    傅里叶同学告诉我们,任何周期函数,都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为,利用对不同琴键不同力度,不同时间点的敲击,可以组合出任何一首乐曲。

    而贯穿时域与频域的方法之一,就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数(Fourier Serie)和傅里叶变换(Fourier Transformation),我们从简单的开始谈起。

    二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱

    还是举个栗子并且有图有真相才好理解。

    如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来,你会相信吗?你不会,就像当年的我一样。但是看看下图:

    这里写图片描述
    第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos(x)

    第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)

    第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加

    第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加

    随着正弦波数量逐渐的增长,他们最终会叠加成一个标准的矩形,大家从中体会到了什么道理?

    (只要努力,弯的都能掰直!)

    随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢?不幸的告诉大家,答案是无穷多个。(上帝:我能让你们猜着我?)

    不仅仅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点,但是一旦接受了这样的设定,游戏就开始有意思起来了。

    还是上图的正弦波累加成矩形波,我们换一个角度来看看:
    这里写图片描述

    在这几幅图中,最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和,也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了,每两个正弦波之间都还有一条直线,那并不是分割线,而是振幅为 0 的正弦波!也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。

    这里,不同频率的正弦波我们成为频率分量。

    好了,关键的地方来了!!

    如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”,我们就有了构建频域的最基本单元。

    对于我们最常见的有理数轴,数字“1”就是有理数轴的基本单元。

    (好吧,数学称法为——基。在那个年代,这个字还没有其他奇怪的解释,后面还有正交基这样的词汇我会说吗?)

    时域的基本单元就是“1 秒”,如果我们将一个角频率为ω0 的正弦波 cosω0t看作基础,那么频域的基本单元就是ω0

    有了“1”,还要有“0”才能构成世界,那么频域的“0”是什么呢?cos0t就是一个周期无限长的正弦波,也就是一条直线!所以在频域,0 频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

    接下来,让我们回到初中,回忆一下正弦波是怎么定义的吧。

    这里写图片描述

    正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆.
    这里写图片描述这里写图片描述

    介绍完了频域的基本组成单元,我们就可以看一看一个矩形波,在频域里的另一个模样了.
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    这是什么奇怪的东西?

    这就是矩形波在频域的样子,是不是完全认不出来了?教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想,以及无穷的吐槽,其实教科书只要补一张图就足够了:频域图像,也就是俗称的频谱,就是——
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    再清楚一点:
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    可以发现,在频谱中,偶数项的振幅都是0,也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。
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    在讲相位谱之前,我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗?估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下,世界上每一个看似混乱的表象,实际都是一条时间轴上不规则的曲线,但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影,而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢?

    我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布,幕布的后面有无数的齿轮,大齿轮带动小齿轮,小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演,却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转,永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉.在阿西莫夫的科幻小说<银河帝国>中,他描绘了一门名叫心理史学的科学,通过复杂的数据计算,它能够根据群体的状态来预测未来,通常,我们认为未来是无法预测的,你永远不知道下一秒会发生什么,但是,根据傅里叶分析的理论,一切看似复杂的函数曲线,背后都是一个离散的,简单的频域函数,也许你无法预测曲线的走向,但是有了傅里叶分析这个武器,你却能抽出他背后的本质.

    三、傅里叶级数(Fourier Series)的相位谱

    上一章的关键词是:从侧面看。这一章的关键词是:从下面看。

    在这一章最开始,我想先回答很多人的一个问题:傅里叶分析究竟是干什么用的?

    先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视,我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道,就是频率的通道,不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事:

    画一个sin3x+sin5x的图形。

    好,画不出来不要紧,我把sin3x+sin5x的曲线给你,但是前提是你不知道这个曲线的方程式,现在需要你把sin5x给我从图里拿出去,看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。那么这件事到底是在干什么呢?

    一个无线电发射机,将信息调制到sin3x 这个正弦波上面发射出来,但是,空间中每时每刻都会存在各种各样的无线电波,接收机虽然可以通过调整天线的性能来做到尽量只接受他想要的那一部分信号,但是无论天线设计的有多么精准,或多或少的都会收到一些来来路不明意义不明的信号,这个时候,接收机得到的信号,就是 sin3x+sin5x+...+.... 这个样子了,如果直接尝试解码,得到的信息必然会有很多噪音,反映在广播上,就是杂音太重听不清,反映在图片上,就是噪点太多影响画质.

    要是能把那些干扰给去掉就好了.

    回到那个问题,给你一个曲线,然后让你把其中的sin5x 成分给去掉,这是一件很难的事情.

    但是在频域呢?则简单的很,无非就是几条竖线而已。

    所以很多在时域看似不可能做到的数学操作,在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分,这在工程上称为滤波,是信号处理最重要的概念之一,只有在频域才能轻松的做到。

    再说一个复杂一点的用途——求解微分方程。求解微分方程是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除,还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法.

    傅里叶分析当然还有其他更重要的用途,我们随着讲随着提。


    下面我们继续说相位谱:

    通过时域到频域的变换,我们得到了一个从侧面看的频谱,但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少,而没有提到相位。基础的正弦波Asin(wt+θ)中,振幅,频率,相位缺一不可,不同相位决定了波的位置,所以对于频域分析,仅仅有频谱(振幅谱)是不够的,我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢?我们看下图,这次为了避免图片太混论,我们用7个波叠加的图。
    这里写图片描述
    鉴于正弦波是周期的,我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰,而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢?为了看的更清楚,我们将红色的点投影到下平面,投影点我们用粉色点来表示。当然,这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离,并不是相位。
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    这里需要纠正一个概念:时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话,相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi,就得到了相位差。

    在完整的立体图中,我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期,就得到了最下面的相位谱。所以,频谱是从侧面看,相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话,可以告诉她:“对不起,我只是想看看你的相位谱。”

    注意到,相位谱中的相位除了0,就是π。因为cost+π=cost,所以实际上相位为π的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数,这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是,由于cost+2π=cost,所以相位差是周期的,π和3π,5π,7π都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(ππ],所以图中的相位差均为π。
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    四、傅里叶变换(Fourier Tranformation)

    相信通过前面三章,大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过,这个栗子是一个公式错误,但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢?

    傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多离散的正弦波,但是很多实际情况并不是周期的。

    是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢?抱歉,真没有

    比如傅里叶级数,在时域是一个周期且连续的函数,而在频域是一个非周期离散的函数。

    而在我们接下去要讲的傅里叶变换,则是将一个时域非周期的连续信号,转换为一个在频域非周期的连续信号。

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    或者我们也可以换一个角度理解:傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。

    所以说,钢琴谱其实并非一个连续的频谱,而是很多在时间上离散的频率,但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。

    因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢?

    你见过大海么?

    为了方便大家对比,我们这次从另一个角度来看频谱,还是傅里叶级数中用到最多的那幅图,我们从频率较高的方向看。
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    以上是离散谱,那么连续谱是什么样子呢?

    尽情的发挥你的想象,想象这些离散的正弦波离得越来越近,逐渐变得连续……

    直到变得像波涛起伏的大海:
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    很抱歉,为了能让这些波浪更清晰的看到,我没有选用正确的计算参数,而是选择了一些让图片更美观的参数,不然这图看起来就像屎一样了。

    不过通过这样两幅图去比较,大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧?原来离散谱的叠加,变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。

    不过,这个故事还没有讲完,接下去,我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片,但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续,这个工具就是——

    五.欧拉公式

    虚数i这个概念大家在高中就接触过,但那时我们只知道它是-1 的平方根,可是它真正的意义是什么呢?
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    这里有一条数轴,在数轴上有一个红色的线段,它的长度是1。当它乘以 3 的时候,它的长度发生了变化,变成了蓝色的线段,而当它乘以-1 的时候,就变成了绿色的线段,或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。

    我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度,那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。(我相信大家应该记得高中数学书上有一个叫做”复平面”的坐标系吧,当时大家一定不觉得这里面有什么玄机,然而很多时候真理往往就隐藏在看似平淡的事实之下).

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    同时,我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面,也称复平面。这样我们就了解到,乘虚数i的一个功能——旋转。

    现在,就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——

    eix=cos(x)+isin(x)

    这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析,但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于π的时候。

    eiπ+1=0

    皇帝问欧拉,上帝是否存在,这位温文尔雅的学者答道:”陛下,由于eiπ+1=0 ,所以上帝存在!”我想那一刻,欧拉领略到了数学震撼人心的那一面.

    这个公式关键的作用,是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义:
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    欧拉公式所描绘的,是一个随着时间变化,在复平面上做圆周运动的点,随着时间的改变,在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

    关于复数更深的理解,大家可以参考:
    复数的物理意义

    六、指数形式的傅里叶变换

    有了欧拉公式的帮助,我们便知道:正弦波的叠加,也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢?光波

    高中时我们就学过,自然光是由不同颜色的光叠加而成的,而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验:
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    所以其实我们在很早就接触到了光的频谱,只是并没有了解频谱更重要的意义。

    但不同的是,傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加,而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。

    这里,我们可以用两种方法来理解正弦波:

    第一种前面已经讲过了,就是螺旋线在实轴的投影。

    另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解:

    eix=cos(x)+isin(x)

    eix=cos(x)isin(x)

    以上两个式子相加除以2,得到:
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    这个式子可以怎么理解呢?

    我们刚才讲过,e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线,那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半,因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了!

    举个例子的话,就是极化方向不同的两束光波,磁场抵消,电场加倍。

    这里,逆时针旋转的我们称为正频率,而顺时针旋转的我们称为负频率(注意不是复频率)。

    好了,刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱,现在想一想,连续的螺旋线会是什么样子:
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    是不是很漂亮?

    你猜猜,这个图形在时域是什么样子?

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    好了,讲到这里,相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了,我们最后用一张图来总结一下:

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  • 傅里叶分析

    2019-04-19 13:18:29
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  • 傅里叶分析概述

    千次阅读 2019-09-09 17:28:21
    2.4傅里叶级数 2.5幅值频谱 2.6相位频谱 2.7双边频谱 小结 3非周期信号的频谱 3.1非周期信号 3.2傅里叶变换 3.3频谱图 小结 4常用性质 4.1频移性 4.2卷积定理 5单位脉冲信号 特性 6周期函数的傅里叶...

    目录

    1概述

    2周期信号的频谱

    2.1周期信号

    2.2复数

    2.3欧拉公式

    2.4傅里叶级数

    2.5幅值频谱

    2.6相位频谱

    2.7双边频谱

    小结

    3非周期信号的频谱

    3.1非周期信号

    3.2傅里叶变换

    3.3频谱图

    小结

    4常用性质

    4.1频移性

    4.2卷积定理

    5单位脉冲信号

    特性

    6周期函数的傅里叶变换

    7周期单位脉冲信号

    8采样与复原

    8.1采样

    8.2采样定理

    8.3混频

    8.4复原

    8.5泄漏

    9离散傅里叶变换(DFT)

    10二维傅里叶变换

    10.1性质

    10.2频谱与相角

    频谱

    相角

    10.3二维离散卷积定理

    10.4 DFT的卷积混叠

    结语

    参考文章


    1概述

            法国数学家 Jean Baptiste Joseph Fourier(吉恩.巴普提斯.约瑟夫.傅里叶)在1807年发表的传记和1822年出版的《热分析理论》一书中指出:无论函数多么复杂,只要它是周期的,并且满足某些适度的条件,都可以表示为不同频率的正弦和(或)余弦函数之的形式,每个正弦和(或)余弦函数都乘以不同的系数(现称之为傅里叶级数)。

            如图1所示,多个正余弦信号叠加,即可得到方波信号,而通过傅里叶级数即可逆向将方波信号分解为多个正余弦信号之和。

    方波信号
    图1 方波信号

            甚至是非周期函数(曲线下的面积有限)也可以用正弦和(或)余弦函数乘以加权函数的积分来表示(傅里叶变换)。用傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以通过傅里叶反变换来重建,且不会丢失任何信息。

    2周期信号的频谱

    2.1周期信号

                                                periodic\ signal \left\{\begin{matrix} sines\ and\ cosines\ signal \\ \\ complex\ periodic\ signal \end{matrix}\right.

            周期信号是按一定时间间隔周而复始,无始无终的信号,其数学表达式为:

                                              x(t)=x(t+nT)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n=\pm 1,\pm 2\ ...)  

    式中,T 表示周期。

            周期信号可进一步分为简单周期信号,即正余弦信号(也称为简谐信号或谐波),和复杂周期信号,如方波。两者最大的不同在于频率结构上分别为单频和多频。

            如图2.1.1即为一个f=400MHz的正弦波,其表示为做圆周运动的点在直线上的投影。

    f=400MHz的正弦波
    图2.1.1 f=400MHz的正弦波

            常见的周期信号是正余弦信号,两者可以相互转化。其中正弦信号的数学表达式为:x(t)=Asin(\omega _0t+\theta )

    正余弦信号
    图2.1.2 正余弦信号

            由于正余弦信号只含有一个频率成分 {\color{Red} \omega _0} ,从这点看,上式不仅是其时域描述也是其频域描述,无需进行变换,可时域与频域是合二为一的,因此适合将其做为合成其他任意信号的基本信号。而对于复杂周期信号,由于其是多频结构,无法直接观察其频率构成,故需要先将其转换为多个不同频率的正余弦信号之和,而这个工具就是“傅里叶级数”。

    【注】:信号不仅能分解为正余弦信号,也可以分解为其他信号,如幂级数展开、泰勒展开,但在工程应用中为了简化问题的需要,故将其分解为正余弦信号。

    2.2复数

            复数C的定义如下:

                                                                            C=R+jI

            其中,R 和 I 皆为实数,分别表示复数C的实部(Real part)和虚部(Imaginary part),而 j 则表示等于 -1 平方根的虚数,即 j=\sqrt{-1},复数C的共轭复数 \bar{C} 表示为

                                                                             \bar{C}=R-jI   

            从几何角度来看,复数可视为复平面上的一个点,横坐标为实轴(R的值),纵坐标为虚轴(I 的值),即点 (R,I)。同时,在极坐标下,复数C可表示为:

                                                                              C=\left | C \right |(cos\theta + jsin\theta)

            同时,由欧拉公式可得:

                                                                              C=\left | C \right |e^{j\theta}

            其中 \left | C \right |=\sqrt{R^2+I^2}是复平面的原点到点 (R,I) 的向量的长度,\theta=arctan(\frac{I}{R}) 是该向量与实轴的夹角,以图2.2.1和图2.2.2为例,分别表示 \left | C \right |=1 时和 \left | C \right |=a 时复数 C 在复平面上的点。

    |C|=1时,复平面表示
    图2.2.1 |C|=1时,复平面表示
    |C|=a时,复平面上的点
    图2.2.2 |C|=a时,复平面上的点

     

    注意:计算 \theta时,因为 arctan函数 的值域为 [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],且 R 和 I 可独立地为正或负,因此需要追踪 R 和 I 的符号来进行计算,得到全域 [-\pi},\pi] 的解,如在python中,可通过调用函数:atan2(Imag, Real) 来实现。例如,复数 1+1j 得极坐标是 \sqrt{2}e^{j\theta},其中 \theta=45^{\circ}

    import math
    
    c1 = 1 + 1j                                     # 定义复数 1+1j
    c2 = c1.conjugate(c1)                         # 得到复数c1的共轭复数 1-1j
    c3 = -c1                                      # 得到复数c1的相反数  -1-1j
    math.degrees(math.atan2(c1.imag, c1.real))    # atan2函数的返回值为弧度,转为角度后为45.0度
    math.degrees(math.atan2(c3.imag, c3.real))    # -135.0

            以上公式还可应用于复函数,如变量 u 的复函数 F(u) 可以表示为 F(u)=R(u)+jI(u),共轭复函数 F^*(u)=R(u)-jI(u),幅值 \left | F(u) \right |=\sqrt{R(u)^2+I(u)^2} ,角度 \theta=arctan[\frac{I(u)}{R(u)}]

    2.3欧拉公式

                                                     e^{\pm j\omega t}=cos(\omega t) \pm jsin(\omega t)

                                                     cos(\omega t)=\frac{1}{2}(e^{-j\omega t}+e^{j\omega t})

                                                     \sin(\omega t)=\frac{1}{2}j(e^{-j\omega t}-e^{j\omega t})=\frac{1}{2j}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})

            欧拉公式所描绘的,是一个随着时间变化,在复平面上做圆周运动的点,随着时间的改变,在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。如图2.3所示。

    欧拉公式
    图2.3 欧拉公式

    【推导】(准确说是验证):

            先对如下三个函数进行幂级数展开:

                      e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,1,...

                     cosx=1-x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+... \ \ \ \ \ \ \ \ n=1,2,...

                     sinx=x-\frac{x^3}{3!}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+... \ \ \ \ \ \ \ \ n=1,2,...

            将 x=j\theta 带入上式可得:

                       e^{j\theta}=1+(j\theta)+\frac{(j\theta)^2}{2!}+\frac{(j\theta)^3}{3!}+\frac{(j\theta)^4}{4!}+\frac{(j\theta)^5}{5!}+... \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,1,... \\ =1+j\theta-\frac{\theta^2}{2!}-\frac{j\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{j\theta^5}{5!}+... \\=(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-...)+j(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-...)

                       =cos\theta+jsin\theta

            即可推广至出欧拉公式的一般形式

    2.4傅里叶级数

            一个周期为T的信号,如果满足狄里赫利条件,即在一个周期内:

    1. 处处连续或存在有限个间断点
    2. 有限个极值点
    3. 绝对可积

    则此信号 x(t) 可以展开为傅里叶级数,其有三个等价公式:

           {\color{Red} x(t)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty }[a_ncos(n\omega _0t)+b_nsin(n\omega _0t)]\ \ \ \ \ n=1,2, ...}                          (1-1)

           x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }A_ncos(n\omega _0t+\theta )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=\pm 1,\pm 2, ...                    (1-2)

           x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }C_ne^{jn\omega _0t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=\pm 1,\pm 2, ...                    (1-3)

    式(1-1) 主要用于数学展开,其中:\omega_0=\frac{2\pi }{T}a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dta_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)cos(n\omega _0t)dtb_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)sin(n\omega _0t)dt

    式(1-2)主要用于作频谱图,由式(1-1)中的正、余弦项合并而成,其中:A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\theta _n=-arctan(\frac{b_n}{a_n})

    式(1-3)主要用于数学推导,由式(1-1)结合欧拉公式得到,其中:C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega _0t}dt=\frac{1}{2}(a_n-jb_n)

            a_0 是一个常数,不随时间变化的静态量(或称直流分量)。当 n=1 时,所对应的正、余弦项称为基波,频率 \omega_0 称为基频,其次依次为二次谐波(n=2,频率为 2\omega_0),三次谐波,...,n次谐波(频率为 n\omega_0),也就是说:频域轴的基本单位就是 {\color{Red} \omega_0}

    【注意】:在作幅值频谱图和相位频谱图时,式(1-2)和(1-3)皆以 n\omega_0 为横坐标,不过在幅值频谱图中,式(1-2)中以 A_n 为纵坐标,式(1-3)则以 \left | C_n \right | 为纵坐标。在相位频谱图中,式(1-2)以 \theta_n 为纵坐标 。

            如图2.4.1所示,橙色圆表示 \frac{4}{\pi}sin\theta的正弦波形,绿色圆表示 \frac{4}{3\pi}sin(3\theta)的正弦波,蓝色圆表示 \frac{4}{5\pi}sin(5\theta)的正弦波形,红色圆表示 \frac{4}{7\pi}sin(7\theta)的正弦波形。将橙色圆与绿色圆相叠加,即 \frac{4}{\pi}sin\theta+\frac{4}{3\pi}sin(3\theta) ,即可组成右侧的绿色的波形,将这四个正弦波全部叠加,即 \frac{4}{\pi}sin\theta+\frac{4}{3\pi}sin(3\theta)+\frac{4}{5\pi}sin(5\theta)+\frac{4}{7\pi}sin(7\theta),即可组成右下角的红色波形,已越来越接近方波了,其实依此规律继续叠加,最终将得到周期方波的图像。

    不同正弦分量的叠加
    图2.4.1 不同正弦分量的叠加

            如图2.4.2所示,最前面(左边)的黑色的近似矩形的线,就是后面各种颜色波形的叠加状态,而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,不同颜色则代表着不同振幅、频率及相位的不同波形。当然,上图每两个正弦波之间都还有一条直线,这代表着振幅为 0 的正弦波,也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。

    傅里叶级数1
    图2.4.2 傅里叶级数

    注意:振幅为0的正弦波不一定存在,根据实际波形而定,如周期方波的仅包含奇数次正弦波,偶数次正弦波和余弦波皆为0。

    注意:静态量a_0 可以理解为频率为0时的波,其是一个常数,在图中也就是一条直线,所以也称为直流分量,其仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下但不改变波的形状

            定量地看,式(1-2)中的两个随整数 n 变化的函数序列 A_n 和 \theta_n分别代表各次谐波分量的幅值和初相角,当谐波频率 n\omega_0 作离散变化时,A_n 和 \theta_n 都有确定的值与之相对应,这两个对应关系分别称为 “幅值频谱” 和 “相位频谱”,共同来反应周期信号的频率结构。

    2.5幅值频谱

            以下图为例,幅值频谱即为从该图像的侧面看过去,不同颜色的正弦波所投影到侧边平面上的图像。其中波形的频率即对应幅值频谱的横轴,波形的幅值对应了幅值频谱图的纵轴。

    空间表述
    图2.5.1 空间表述

            投影后的幅值频谱图如下图所示:

    幅值频谱
    图2.5.2 幅值频谱

    2.6相位频谱

            幅值频谱投影到了侧面,而相位谱即为波形在下方的投影,但此处为间接投影

    相位频谱
    图2.6.1 相位频谱

            如下图所示,对于正弦分量来说,小红点一个周期内导数>0的曲线与横坐标的交点)与纵坐标的距离即为正弦信号所移动的时间差,记为 \Delta t,而 \frac{\Delta t}{T}*2\pi即为相位。故波形在下侧的投影并不能直接表示为相位频谱,还需要对其时间差进行转换,得到相位值,进而得到相位频谱。同理,对于余弦分量来说,小红点一个周期内距离频率轴最近的波峰)在横坐标上的投影点用橘黄色点表示,其与纵坐标的距离即为余弦分量所移动的时间差,进而再转换为相位。

    正余弦函数
    图2.6.2 正余弦函数

    2.7双边频谱

            除了根据式(1-2)来描绘频谱图外,还可以使用式复数指数函数(1-3)来进行描述。但根据欧拉公式,三角式中的的一项对应到指数式中就变为了两项,多了一个频率为 -n\omega_0 的分量,但同时因为 \left | C_n \right |=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\frac{1}{2}A_n,故幅度值也会减为原来的一半。即图像变为了以纵轴对称的形式。以某一正弦分量为例:

                                                  Asin(n\omega_0t)=j\frac{A}{2}(e^{-jn\omega_0t}-e^{jn\omega_0t})

            对上式作频谱图,如图2.7.1所示,左边按三角式 Asin(n\omega_0t) 所作的称为单变频谱,右边按指数式 j\frac{A}{2}(e^{-jn\omega_0t}-e^{jn\omega_0t}) 所作的称为双边频谱

    单变与双边频谱
    图2.7.1 单变与双边频谱

    【注意】:两个频谱在理论上是等效的,只不过双边频谱中的 “负频率” 在实际工程中并不存在,近视数学处理的结果。

    【实例】:如图2.7.2所示,求周期方波的傅里叶级数及其频谱图

                                         x(t)=\left\{\begin{matrix} 1, \ \ 0\leq t\leq \frac{T}{2}& \\ -1, \ \ -\frac{T}{2}\leq t \leq 0& \end{matrix}\right.   

    周期方波信号
    图2.7.2 周期方波信号

    解:(1) 一个周期内,波形在横轴上下所围成的面积相等,故 a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dt=0

    (2) x(t) 是奇函数,cosn\omega_0t是偶函数,所以 x(t)cosn\omega_0t 为奇函数(奇函数在一个对称区间内的积分值为零),因此

                                                                     a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)cos(n\omega_0t)dt=0

    (3) 故此周期方波信号仅有正弦分量构成,其各次正弦波的幅值:

               b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)sin(n\omega_0t)dt=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^0\ -1\ sin(n\omega_0t)dt+\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}\ 1\ sin(n\omega_0t)dt

                    =\frac{2}{n\pi}[-cos(n\pi)+1]=\frac{2}{n\pi}[-(-1)^n+1]=\left\{\begin{matrix} 0, \ \ \ n=2,4,...& \\ \frac{4}{n\pi}, \ \ n=1,3,...& \end{matrix}\right.

    (4) 故最终此周期方波信号的傅里叶级数如下,不含静态分量,仅含奇次谐波

              x(t)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty }[a_ncos(n\omega _0t)+b_nsin(n\omega _0t)]\ \ \ \ \ n=1,2, ...

                           ={\color{Red} \frac{4}{\pi}(sin(\omega_0t)+\frac{1}{3}sin(3\omega_0t)+\frac{1}{5}sin(5\omega_0t)+...)}

    (5) 其幅值和相角分别为:           {\color{Red} A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\left | b_n \right |=\frac{4}{n\pi}}

                                                         {\color{Red} \varphi_n=-arctan\frac{b_n}{a_n}=-90^{\circ}}

    作其频谱图如图2.7.3所示:

    周期方波信号的幅值和相角
    图2.7.3 周期方波信号的幅值和相角

    小结

    1. 周期信号所含的各分量的频率是离散的。
    2. 各次谐波的频率关系具有谐波性,即各次谐波的频率都是基频 \omega_0 的整数倍或之比都是有理数(各分量的频率有公倍数),相邻频率间隔为 \omega_0 或其整数倍。
    3. 复杂周期信号的幅值频谱是收敛的,即谐波的频率越高,其幅值越小,在整个信号中所占的比重也就越小。

    3非周期信号的频谱

    3.1非周期信号

                                                          aperiodic\ signal \left\{\begin{matrix} quasi\ periodic\ signal\\ \\ transient\ signal \end{matrix}\right.

            多个正余弦信号叠加,如果任意两个分量的频率之比不是有理数(或没有公倍数),那么合成的信号就不是周期信号

                                        x(t)=A_1sin(\sqrt{2}t+\theta_1)+A_2sin(3t+\theta_2)+A_3sin(3\sqrt{7}t+\theta_3)

            该信号即为一种非周期信号,但其频谱图仍然是离散的,保持着部分周期信号的特点,故称这种信号为 “准周期信号”。

    【注】:在工程领域,多个独立的振动源共同作用所引起的振动往往属于这类信号。

            在非周期信号中,除了准周期信号,还有瞬变信号,且通常非周期信号就是指瞬变信号,如下图所示,皆为常见的非周期信号,其中,(a)为矩形脉冲信号,(b)为指数衰减信号,(c)为截断的余弦信号,(d)为单脉冲信号。

    常见的非周期信号
    图3.1 常见的非周期信号

    3.2傅里叶变换

            非周期信号不能直接通过傅里叶级数来进行分解,但可通过其概念的引申来加以解决,即把非周期信号仍视为周期信号,只是认为其周期极大,在无限远处重复。在周期信号的频谱图中,其频率间隔 \Delta \omega=\omega_0=\frac{2\pi}{T},此时,因周期 T\rightarrow \infty  则使得 \Delta \omega 即 \omega_0\rightarrow 0,这就意味着随着周期的无限扩大,其频率间隔变为了一个微量 d\omega ,也就是说其频率间隔无限缩小,以致于离散的频谱变为了一条连续的曲线。即非周期信号可分解为无限多个频率极其接近的正余弦分量的合成。  

            傅里叶变换的复指数公式(也称为傅里叶变换对)如下:

                                      X(f)=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt                                                           (1-4)

                                        x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df                                                            (1-5)

            如图3.2.1所示,傅里叶级数的分析图为无限的离散量

    傅里叶级数分析
    图3.2.1 傅里叶级数分析

            如图3.2.2所示,傅里叶变换的分析图为无限的连续量

    傅里叶变换分析
    图3.2.2 傅里叶变换分析

    【推导】:

            根据周期信号式(1-3)的复指数表达式:

                                                                                x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }C_ne^{jn\omega _0t}

    其中                                                                     C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega _0t}dt

            将 C_n 带入 x(t) 得:                                   x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\ \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt\ ]e^{jn\omega_0t}

            当周期信号向非周期信号转变时,即 T\rightarrow \infty ,此式有两个变化:

    1. 无限项连加变为了连续的积分。
    2. 局部 (-\frac{T}{2},\ \frac{T}{2}) 变为整个时间轴 (-\infty,\ \infty)
    3. 因为 \frac{1}{T}=\frac{\Delta \omega}{2\pi},且T\rightarrow \infty,故 \Delta \omega \rightarrow d\omega(趋于无限小),即离散变化的频率 {\color{Red} n\omega_0} 变为连续变化的频率 {\color{Red} \omega}  。

     于是得到:                                            x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}[\ \frac{{\color{Red} d\omega}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j{\color{Red} \omega} t}dt\ ]e^{j{\color{Red} \omega} t}

                                                                           =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\color{Blue} [\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\ ]}\ e^{j\omega t}d\omega

    此时,中括号中蓝色部分为 \omega 的函数,记为:     {\color{Blue} X(\omega)}=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt,则 x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega

            这样 x(t) 与 X(\omega) 之间就建立起了确定的对应关系,称为 “傅里叶变换对”,表示为:{\color{Red} x(t)\Leftrightarrow X(\omega)}。其中 x(t)\rightarrow X(\omega) 为傅里叶(正)变换,X(\omega)\rightarrow x(t) 称为傅里叶逆变换,也称为傅里叶积分。由于傅里叶变换对中出现了常数项 \frac{1}{2\pi} 在运算中造成不便,故,采用 {\color{Red} f=\frac{\omega}{2\pi}} 来代替 \omega ,消除了  \frac{1}{2\pi} ,即可得到最终的式(1-4)、(1-5)的傅里叶变换对。

            其三角表达式如下,不同于周期信号的离散和,非周期为连续和。

                                                          x(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left | X(f) \right |\ cos[ft+\angle X(f)]\ df

    3.3频谱图

            通常 X(f) 是复变函数,可以写为:X(f)=Re(f)+jIm(f),也可表示为:X(f)=\left | X(f) \right |e^{\angle X(f)},则

                                                             \left | X(f) \right |=\sqrt{Re^2(f)+Im^2(f)}                                                    (1-6)

                                                             \angle X(f)=arctan[\frac{Im(f)}{Re(f)}]                                                            (1-7)

            其中,Re(f) 和 Im(f) 分别称为非周期信号的实频谱虚频谱\left | X(f) \right | 称为非周期信号的 幅值密度频谱 或 幅值谱密度,也可简称为幅值频谱\angle X(f) 称为非周期信号的相位频谱

    【注意】:“幅值密度” 与 “幅值” 的概念是不同的。

            对比傅里叶级数与傅里叶积分的表达式:

                                                               x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn2\pi f_0t}

                                                               x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df

            可以看出,非周期信号的 X(f)\cdot df 与周期信号的 C_n 相对应,因为 \left | C_n \right |=\frac{A_n}{2} 代表周期信号中各谐波的幅值,故 \left | X(f) \right |\cdot df 也应代表非周期信号中各谐波的幅值。然而,因为 df 是一个无穷小量,故 \left | X(f) \right |\cdot df也为无穷小量,这就意味着非周期信号中所含各谐波分量的幅值均趋于0。

            从能量的角度考虑,由于具有无穷多个频率分量,所以每个频率分量的能量,即幅值也就减为了无穷小量,但是,信号的能量不会因信号的分解而消失为0,可以肯定的是,信号的能量分布肯定存在,虽然每个分量为无穷小量,但在不同频率的分量上,幅值的分布仍将不同。因此,作非周期信号的频谱图不能直接照搬周期信号的方法(直接用谐波分量的幅值来表示),而需要作进一步的分析以寻找合适的量。

            故此处对 \left | X(f) \right |\cdot df 除以 df ,将 \left | X(f) \right | 与 df 分离,使其不再是无穷小量,由于 df 在概念上为频率宽度(频宽),所以 \left | X(f) \right | 就是非周期信号在单位频宽上的幅值,也就是说,其代表了非周期信号中谐波的幅值密度与频率的对应关系

            如下图所示的幅值密度频谱(简称幅值频谱),频率 f 处的谐波幅值 \left | X(f) \right |\cdot df 为无穷小,而单位频宽上的幅值 \left | X(f) \right | 可视为 \left | X(f) \right |\cdot1,其值不再为无穷小。

    幅值密度频谱
    图3.3.1 幅值密度频谱

    【例】:

    1、如图3.3.2(a) 所示,求单边指数脉冲的频谱

        x(t)=\left\{\begin{matrix} Ee^{-at}\ (a> 0),\ \ t\geq 0\\ \\ 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t<0 \end{matrix}\right.

    单边指数脉冲
    图3.3.2 单边指数脉冲

    解:该非周期信号的频谱函数为:

        X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt

                  =\int_{{\color{Red} 0}}^{\infty}Ee^{-at}e^{-j\omega t}dt

                  {\color{Blue} =\frac{E}{a^2+\omega^2}(a-j\omega)}

            实频谱 Re(f)=\frac{E}{a^2+\omega^2}\ a,虚频谱 Im(f)=-j\frac{E}{a^2+\omega^2}\ \omega。 

            幅值频谱(如图3.3.2(b)所示):         {\color{Blue} \left | X(\omega) \right |}=\sqrt{Re^2(f)+Im^2(f)}{\color{Blue} =\frac{E}{\sqrt{a^2+\omega^2}}}

            相位频谱(如图3.3.2(c)所示):          {\color{Blue} \varphi (\omega)}=\arctan [\frac{Im(f)}{Re(f)}]{\color{Blue} =\arctan (-\frac{\omega}{a})}

    2、如图3.3.3(a) 所示,求单个矩形脉冲(矩形窗函数)的频谱

        x(t)=\left\{\begin{matrix} h,\ \ \ \ \left | t \right |<\frac{\tau }{2}\\ \\ 0,\ \ \ \ \ \left | t \right |\geq \frac{\tau}{2} \end{matrix}\right.

    矩形脉冲信号
    图3.3.3 矩形脉冲信号

    解:该矩形脉冲频谱函数为:(波形图如图3.3.3(d)所示)

        X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi f t}dt

                   =\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}he^{-j2\pi ft}dt

                   =\frac{h}{-j2\pi f}(e^{-j\pi f\tau}+e^{j\pi f\tau})=h\tau\frac{\sin (\pi f\tau)}{\pi f\tau}

                   ={\color{Blue} h\tau \sin(c\pi f\tau)}

    其中 \sin cx=\frac{\sin x}{x}X(f) 只有实部没有虚部,Re(f)=h\tau \sin(c\pi f\tau)Im(f)=0

            其幅值频谱(如图3.3.3(b)所示):      {\color{Blue} \left | X(f) \right |}=\sqrt{Re^2(f)+Im^2(f)}{\color{Blue} =h\tau \left | \sin (c\pi f\tau) \right |}

            其相位频谱(如图3.3.3(c)所示):      {\color{Blue} \varphi (f)}=\arctan [\frac{Im(f)}{Re(f)}]{\color{Blue} =\arctan \frac{0}{h\tau \sin (c\pi f\tau)}}     {\color{Blue} \varphi (f)=\left\{\begin{matrix} \pi ,\ \ \ \ \sin (c\pi f\tau)<0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2n+1)\frac{1}{\tau}<\left | f \right |<(n+1)\frac{2}{\tau}\ \ \ \ \ n=0,1,2,... \\ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 0,\ \ \ \ \ \sin(c \pi f\tau)>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ otherwise \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.}

    小结

    1. 非周期信号的频谱是连续的,这是与周期信号频谱最大的区别。
    2. 虽然周期信号也含有 0\sim \infty 的无穷多个频谱成分,但都是可列的,而非周期信号含有 0\sim \infty 的所有频谱成分,是无穷的不可列的。

    4常用性质

    表4 傅里叶变换常用性质
    性质 时域 频域 解释
    线性叠加性 ax(t)+by(t) aX(f)+bY(f) 属于线性运算
    对称性 X(t) x(-f) 如图4.x

    对称性

     

    展缩性 x(kt) \frac{1}{\left | k \right |}X(\frac{f}{k}) 时域缩,频域加,如图4.x

    展缩性

     

    时移性 x(t\pm t_0) X(f)e^{\pm j2\pi ft_0} 时域移动,则频域乘虚指函数,即幅值谱不变,相位谱旋转2\pi ft_0 的相位角(时域+,相位谱顺时针旋转 +),如图4.x
    x(t\pm t_0) X(f)e^{\pm j\omega t_0}  

    时移性

     

    频移性 x(t)e^{{\color{Red} \mp} j2\pi f_0 t} X(f\pm f_0) 时域乘虚指函数,即旋转 2\pi f_0 t 度,则频谱移动f_0(时域时针 -,频域+
    x(t)e^{{\color{Red} \mp} j\omega_0 t} X(\omega\pm \omega_0) 注意:2\pi f_0 变为 \omega_0,频谱相应变为 \omega\pm \omega_0
    卷积定理 x(t) \cdot y(t) X(f) \bigstar Y(f) 时域的乘积对应频域的卷积
    x(t) \bigstar y(t) X(f) \cdot Y(f) 时域的卷积对应频域的乘积

    4.1频移性

            时域信号乘以虚指函数 e^{{\color{Red} -}j\omega_0 t}逆时针旋转 \omega_0t),等效于频谱向左平移 \omega_0 (+)。该性质反过来就是时移性:频域信号乘以虚指函数 e^{{\color{Red} -}j\omega_0 t}(相位谱逆时针旋转 \omega_0t),等效于时域信号向右平移 t_0-)。简单说,就是时移性的符号是相同的,而频移性符号相反

            建立在频移性质上的频谱搬移技术在测试系统和通信系统中有着广泛的应用,如调幅、同步解调、变频等。实际中,频谱搬移是通过将时域信号 x(t) 乘以物理上能够产生的 {\color{Red} \cos \omega_0t} 或 {\color{Red} \sin \omega_0t} 来实现的,其会将 {\color{Red} x(t)} 的频谱 {\color{Red} X(\omega)} 一分为二(幅值减半),然后向左向右各平移 {\color{Red} \omega_0}

    【例】:

            由欧拉公式可知:\cos \omega_0t=\frac{1}{2}(e^{-j\omega_0t}+e^{j\omega_0t})\sin \omega_0t=\frac{1}{2}j(e^{-j\omega_0t}-e^{j\omega_0t})

            故:                                                  F[\ x(t)\cdot \cos \omega_0t\ ]

                                                                =\frac{1}{2}[\ F[\ x(t)e^{-j\omega_0t}\ ]+F[\ x(t)e^{j\omega_0t}\ ]\ ]

                                                                =\frac{1}{2}[\ X(\omega+\omega_0)+X(\omega-\omega_0)\ ] 

            同理可得:x(t)\cdot \sin \omega_0t=\frac{1}{2}j[\ X(\omega+\omega_0)-X(\omega-\omega_0)\ ]

    4.2卷积定理

            卷积定义:           x(t)\bigstar h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau

            其意义为,一个函数 {\color{Red} h(t)} 关于纵轴翻转(180°)并滑过另一个函数 {\color{Red} x(t)},在滑动的过程中的每一个时刻 {\color{Red}t } 处执行计算(曲线 {\color{Red} x(\tau)h(t-\tau)} 下的面积 )。式中,负号表示“翻转”,t 是一个函数滑过另一个函数的位移,\tau 是积分假变量。

            很多情况下,卷积积分在时域中的积分方法计算较为困难,则可利用傅里叶变换将其转换到频域中去求解,再将结果经过傅里叶反变换复原即可。卷积定理如下:

               F[x(t)\bigstar h(t)]=X(f)\cdot H(f)\ \ \ \rightarrow \ \ {\color{Blue} x(t)\bigstar h(t)\Leftrightarrow X(f) \cdot H(f)}

               F[X(f)\bigstar H(f)]=x(t)\cdot h(t)\ \ \ \rightarrow \ \ {\color{Blue} x(t)\cdot h(t)\Leftrightarrow X(f) \bigstar H(f)}

    【推导】:

                 F[x(t)\bigstar h(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau\ ]e^{-j2\pi ft}dt

                                         =\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)[{\color{Blue} \int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)e^{-j2\pi ft}dt}\ ]d\tau   

    方括号中的蓝色部分为 y(t-\tau) 的傅里叶变换,而根据时移性:F[\ h(t-\tau)\ ]=H(f)e^{-j2\pi f\tau}

           上式:                   =H(f){\color{Blue} \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau}

                                         =X(f)\cdot H(f)

    5单位脉冲信号

    如图5.1所示,其定义为:       \delta (t)=\left\{\begin{matrix} {\color{Red} \infty},\ \ \ \ t=0\\ \\ 0,\ \ \ \ \ t\neq 0 \end{matrix}\right.   ,且  \int_{-\infty}^{\infty}\delta (t)dt={\color{Red} 1}       

    单位脉冲信号
    图5.1 单位脉冲信号

    \delta (t) 是具有现实意义的,如,两个物体相碰撞,其碰撞时间很短,冲量有限,设冲击力为 f(t)。其具有以下性质:

    1. 在碰撞的瞬间 f(t) 很大;
    2. 除了碰撞的瞬间,f(t)=0
    3. 冲量 \int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=c

    由此可见,\delta (t) 是冲击力以及其他具有相同性质的物理现象的抽象。

    特性

    表5 单位脉冲信号的特性
    特性 公式 描述
    抽样特性 \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta (t)dt=x(0) 任一信号 x(t) 与 \delta(t) 相乘的广义积分,等于此信号再零点处的函数值 x(0)
    \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta (t\pm t_0)dt=x({\color{Red} \mp} t_0) 借助 \delta(t) 可将任一信号在任一点处的函数值抽样出来
    卷积特性 x(t) \bigstar \delta (t)=x(t) 任一信号与 \delta(t) 的卷积为其本身
    x(t) \bigstar \delta (t\pm t_0)=x(t\pm t_0) 一个信号与位于时间轴上的任一点的单位脉冲信号卷积后,该信号将原样地平移到脉冲所在的时间轴上

    卷积特性

     

    均匀频谱 F(\delta (t))=\int_{-\infty}^{\infty}\delta (t)e^{-j2\pi ft}dt=e^{-2pi f {\color{Red} 0}}=1

    根据“抽样特性”可知,其频谱为1

    均匀频谱

     

    F[\ \delta (t- t_0)\ ]=\int_{-\infty}^{\infty}\delta (t- t_0)e^{-j2\pi ft}dt=e^{-2pi f {\color{Red} t_0}}\\ =\cos(2\pi f t_0)-j\sin(2\pi ft_0)  
    推论 1\Leftrightarrow \delta (t) 根据傅里叶变换的对称性可知,频域的单位脉冲函数对应时域的函数为1

    F[\ \delta(t\pm t_0)\ ]=1 \cdot e^{\pm j2\pi ft_0}

    F[\ e^{\pm j2\pi f_0 t}\ ]=\delta(f{\color{Red} \mp} f_0)

    根据时移性频移性,可分别得到左边两个式子

    6周期函数的傅里叶变换

            周期信号不能直接进行傅里叶变换,但是在引入脉冲信号 \delta(t) 并认为其具有意义的情况下,周期信号则可进行傅里叶变换。其计算过程如下:

    (1)根据傅里叶级数式(1-3),计算周期信号 x(t) 的傅里叶展开:

                x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn2\pi f_0 t},\ \ \ \ n=\pm1,\pm2,\cdots (就是计算 C_n )

    (2)对其展开式进行傅里叶变换:

                F[\ x(t)\ ]=X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}{\color{Blue} x(t)}e^{-j2\pi ft}dt=\int_{-\infty}^{\infty}{\color{Blue} [\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn2\pi f_0 t} \ ] }e^{-j2\pi ft}dt

                                               =\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n{\color{Blue} \int_{-\infty}^{\infty} [\ e^{jn2\pi f_0 t} \ ] e^{-j2\pi ft}dt}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\ {\color{Blue} F[e^{jn2\pi f_0 t}]}

                                               =\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\ {\color{Blue} \delta(f-nf_0)} (均匀频谱的推论)

    【例】:正余弦信号的傅里叶变换:

          F[\ \cos(2\pi f_0 t)\ ]=F[\ \frac{1}{2}(e^{-j2\pi f_0 t}+e^{j2\pi f_0t})\ ]   (欧拉公式)

                                     =\frac{1}{2}[\ F[e^{-j2\pi f_0 t}]+F[e^{j2\pi f_0 t}]\ ]=\frac{1}{2}[\ \delta(f+f_0)+\delta(f-f_0)\ ]   (均匀频谱的推论)

    同理可得正弦函数:F[\ \sin(2\pi f_0 t)\ ]=\frac{1}{2}j[\ \delta(f+f_0)-\delta(f-f_0)\ ]

    正余弦函数的傅里叶变换频谱图
    图6.1 正余弦函数的傅里叶变换频谱图

    7周期单位脉冲信号

    如图7.1所示,其定义为:      p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta (t-nT_s) \ \ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\cdots,式中 T_s 为周期({\color{Red} f_s=\frac{1}{T_s}} 即为基频)。

    周期单位脉冲信号
    图7.1 周期单位脉冲信号

    根据傅里叶级数式(1-3),其 C_n 为:C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j2\pi f_0 t}dt

                                                                 =\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}p(t)e^{-j2 \pi f_0t}dt=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}{\color{Red} \delta(t)}e^{-j2 \pi f_0t}dt  (在 -\frac{T_s}{2}\sim \frac{T_s}{2} 内只有一个 \delta (t)

                                                                 =\frac{1}{T_s}\cdot 1=f_s  (均匀频谱)

    根据傅里叶级数式(1-3):                  p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Red} C_n}e^{jn2\pi {\color{Red} f_0} t}={\color{Red} \frac{1}{T_s}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn2\pi {\color{Red} f_s} t} (信号 p(t) 的傅里叶级数展开)

    再对其求傅里叶变换:F[\ p(t)\ ]=P(f)=\int_{-\infty}^{\infty}p(t)e^{-j2\pi f t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}[\ \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn2\pi f_s t\ }]e^{-j2\pi f t}dt

                                                                      =\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Blue} \int_{-\infty}^{\infty}[\ e^{jn2\pi f_s t}\ ]e^{-j2\pi f t}dt}=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Blue} F[\ e^{jn2\pi f_s t}\ ]} (均匀频谱的推论)

                                                                      =\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Blue} \delta(f-nf_s)}=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-n\frac{1}{T_s})

    如图7.2 所示,P(f) 仍是一个周期脉冲

    周期单位脉冲信号的频谱图
    图7.2 周期单位脉冲信号的频谱图

    8采样与复原

    8.1采样

            如图8.1.1所示,在计算机处理之前,输入的连续信号必须先通过采样量化转换为离散的值序列,再经过编码,形成计算机所能处理的数字信号。

    采样:将输入的随时间变化的模拟量离散化,形成时间域上断续的模拟量。

    量化:将时间域上断续的模拟量进行离散化,使其在幅度上也离散。

    编码:将量化后的信号幅值变为对应的二进制码。

    采样和量化和编码
    图8.1.1 采样、量化和编码

            此处,主要关注采样,如图8.1.2所示,对于一个连续函数 x(t),其自变量 t 从-\infty 扩展到 \infty ,若我们希望以均匀间隔 {\color{Red} T_s} 来进行采样,其模拟采样的一种方法是,用一个周期为 T_s 单位脉冲作为采样函数来乘以 x(t) 来进行采样,采样后的函数表示为 \tilde{x}(t) ,即:

                  \tilde{x}(t)=x(t)\cdot p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_s)\ ,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\cdots  

            可以看出,式中每个成分都是由该脉冲位置处 x(t) 的值加权后的脉冲,故每个采样值由加权后的脉冲“强度”给出,也就是说,任意采样值 x_k 为:

                  {\color{Blue} x_k}=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-kT_s)dt={\color{Blue} x(kT_s)}\ ,\ \ \ \ \ \ k=0,\pm1,\pm2,\cdots    (抽样特性)

    采样后函数 \tilde{x}(t) 的傅里叶变换:

     \tilde{X}(f)=F[\ \tilde{x}(t)\ ]=F[\ x(t)p(t)\ ]=X(f)\bigstar P(f)    (卷积定理)

               =\int_{-\infty}^{\infty}X(\tau){\color{Blue} P(f-\tau)}d\tau=\frac{1}{T_s}\int_{-\infty}^{\infty}X(\tau)\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\color{Blue} \delta[(f-\tau)-\frac{n}{T_s}]}d\tau    

               =\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\tau){\color{Blue} \delta [ - (\tau-(f-\frac{n}{T_s}))]}d\tau=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\tau){\color{Blue} \delta[\tau-(f-\frac{n}{T_s})]}d\tau    ( \delta (t) 关于轴对称)

               =\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f-\frac{n}{T_s})     (抽样特性)

    采样
    图8.1.2 采样

           如下图所示,假设某一连续信号采样后的函数 \tilde{x}(t) 的傅里叶变换 \tilde{X}(f) 是 X(f) 的一个副本的无限的、周期的序列。副本的间隔由 \frac{1}{T_s} 决定, \frac{1}{T_s}越大,即 T_s 越小,副本的间距越大。

    取样
    图8.1.3 (a)一带限函数的傅里叶变换 (b)~(d)过采样、临界采样、欠采样条件下采样后的函数的傅里叶变换

    带限函数:对于以原点为中心的有限区间(带宽)[-f_{max},\ f_{max}] 之外的频率值,其傅里叶变换 X(f) 为 0 的函数 {\color{Red} x(t)} ,也意味着 x(t) 必须从 -\infty 扩展到 \infty ,(从 -\infty 扩展到 \infty 的函数不一定是带限函数)。

    8.2采样定理

            如果能从 \tilde{X}(f) 中包含的这个函数的副本周期序列中分离出 X(f) 的一个副本,就可以从采样后的函数中复原 x(t) ,这个复原的前提是副本之间的间距足够大。 如上图x所示,(b)为过采样,其副本之间拥有足够的间距,可用来进行副本分离,(c)为临界采样,副本之间紧挨(间距为0),“恰好” 可以分离出副本(实际中,由于其他原因临界采样依旧会混频),而(d)为欠采样,副本已发生了混频,不可能分离出副本。

            故,对于 \tilde{X}(f) ,我们需要其:

                                 \frac{1}{2T_s}>f_{max}\ \ \Rightarrow {\color{Red} f_s>2f_{max}}

    即,如果以超过原函数的最高频率的2倍的采样频率来进行采样,则可以从采样后的函数中复原原函数,也就是说,采样样函数 p(t) 的采样周期 T_s 必须足够小,以至于其采样频率 f_s 足够大,超过 2f_{max}

    奈奎斯特采样:完全等于最高频率的2倍的采样率,即临界采样。

    8.3混频

            如图8.3.1 (d)所示,当欠采样时,副本之间相互“堆叠”,无论使用何种滤波器,都不能可再复原出原始信号,由函数欠采样导致的这种效果,就称为“混频”。实践中,可通过对输入函数进行平滑滤波减少其高频成分来降低混频的影响(如直接采用低通滤波器去掉 f>\frac{f_s}{2}  的频谱部分),然后再进行采样,但频域发生了改变,时域也无法恢复其原始信号。

            以下图为例,两个方向无限扩展的正弦信号,其属于带限函数。由于过低的采样率,采样后的函数最然看上去像正弦波,但频率已变为原始信号的 \frac{1}{10} 。

    正弦混频
    图8.3.1 正弦混频

    8.4复原

            如下图8.4.1所示,从理论角度阐释了如何从 \tilde{X}(f) 中复原 x(t),(a)为一个以略高于奈奎斯特采样率采样后的函数的傅里叶变换,(b)中(理想)低通滤波器 H(f) 由下式定义:

                         H (f)=\left\{\begin{matrix} T_s,\ \ \ \-f_{max}<f<f_{max}\\ \\ 0,\ \ \ \ otherwise \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

            当使用 H(f) 乘以 \tilde{X}(f) 时,就分离出了以原点为中心的那个副本,即图8.4.1(c),而得到了 X(f) 之后即可通过傅里叶反变换来复原 x(t) 。公式如下:

                    X(f)=H(f)\cdot \tilde{X}(f)

                      {\color{Blue} x(t)}=F^{-1}[\ X(f)\ ]=F^{-1}[\ H(f)\tilde{X}(f)\ ]=h(f)\bigstar \tilde{x}(t)

                              =\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)\tilde{x}(t-\tau)d\tau={\color{Blue} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)sinc[\frac{(t-nT_s)}{T_s}]} (n 为整数)

            上式表明,理想的复原函数 x(t) 是用采样值加权 \sincsinc 函数的无限和。

            对于任何 t=kT_s (k 为整数),x(t) 中,当 n=k 时,sinc[\frac{(kT_s-nT_s)}{T_s}]=sinc(0)=1,而对于其他 n 值(n\neq k),sinc[\frac{(kT_s-nT_s)}{T_s}]=sinc(k-n)=0sinc(整数)=0 ),故在样本点处, x(t) 等于第 k 个样本 x(kT_s) 。

            而对于其他 t 值(不在样本点处的 t ,如 k=4.73=1.85T_s ),即样本点之间的 x(t) 值是由 x 函数与 sinc 函数乘积的无限和形成的内插值。 

    【注意】:上式中样本间的内插值有无限多项,而实际中无法实现,即会选择一种有限个的近似方法(插值越密,越接近无限个,复原的函数也越趋于连续函数),如图像处理中主要使用最邻近法、双线性法、双三次内插法。

    带限函数的复原
    图8.4.1 带限函数的复原

            该(理想)低通滤波器是从采样后的函数来复原(重建)原始函数的重要手段,用于此目的的滤波器也称为 “重建滤波器”。

    【注意】:理论上,该复原方法中的 x(t) 必须为带限函数,即 t 的范围为 (-\infty,\ \infty),实际中这个条件无法满足。

    8.5泄漏

            实践中,我们不可能处理一个无限长的信号,必须限制信号的持续时间,假设把带限函数 x(t) 的只需时间控制在 [-\frac{\tau}{2},\ \frac{\tau}{2}] 内,则可以让其乘以矩形窗函数 h(t) 来实现:

                                   g(t)=\left\{\begin{matrix} 1,\ \ \ \ -\frac{\tau}{2}<t<\frac{\tau}{2}\\ \\ 0,\ \ \ \ \ otherwise \ \end{matrix}\right.

            如下图所示,余弦信号 x(t) 的时域分布为无限长(带限函数),当用矩形窗函数 g(t) 与其相乘后,得到截断信号 x(t)\cdot g(t) ,其频谱是两信号的卷积。对比 截断信号的频谱 X(\omega)\bigstar G(\omega) 与原始信号的频谱 X(\omega) 可知,其频谱已发生了“畸变”,原来集中在 {\color{Red} \omega_0} 处的能量被分散到已 {\color{Red} \omega_0} 为中心的较宽的频带中去了,这种现像就称之为 “泄漏”。

    截断
    图8.5.1 截断

            用有限的长度来进行采样,泄漏将不可避免,其带来的频谱误差与使用的“窗函数”的宽度和形状有关,为降低泄漏误差,需要窗函数的频谱:

    1. 主瓣尽可能的窄(窗函数时域越宽),包围面积尽可能大,意味着能量尽量集中,接近脉冲函数 \delta (t) 。
    2. 最大旁瓣相对主瓣尽可能小,且包围面积尽可能小,意味着泄漏量尽量小。

    一般可采取如下措施:

    1. 增大窗的宽度
    2. 采用不同的窗函数,如汉宁窗、哈明窗、三角窗、指数窗、高斯窗等。

    【注意】:两者不可兼得,需根据实际需要进行调整。

    9离散傅里叶变换(DFT)

            在对连续信号进行傅里叶(正 / 逆)变换时,无论在时域还是频域都需要在无限区间(-\infty,\ \infty) 进行积分运算,而对于计算机而言,要实现该运算,必须先将连续的模拟信号变为离散信号,同时将计算范围收缩至有限区间

            其完整的实现过程如下图所示:

    (1)采样(模拟信号离散化)

            如下图所示,首先对一般连续信号 x(t) (实际中所处理的一般信号几乎不会是带限函数)进行离散化,得到采样信号 x_s(t) ,如图(c)所示,由于 X(f) 的带宽不是有限的,故 X_s(f) 的混频不可避免,只能尽量降低。其中,时域的采样周期为 T_s (采样率 f_s=\frac{1}{T_s})。

    模拟信号离散化
    图9.1 模拟信号离散化

    (2)截断(将运算收缩至有限区间)

           此时,连续的信号已经变为了离散的信号,但仍具有无限多个点,因此还需要对其时域进行截断。其截断长度为 \tau ,取出有限的 N 个数据点,截断后的频谱 X_s(f)G(f) 由于泄漏而出现了“畸形褶皱”。

    截断
    图9.2 截断

    (3)频域采样

            此时,时域信号已离散为有限区间,但频域仍为连续的无限区间,故先对频谱进行离散化,即乘以频域周期脉冲信号 D(f) ,根据卷积定义,其对应时域做卷积运算。

    频域截断
    图9.3 频域采样

            频率采样间隔(谱线间隔) \Delta f 是频率分辨力的指标,其与被采样信号的时间记录长度 \tau 的关系是: \Delta f=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{NT_s}=\frac{f_s}{N}

    【注意】:f_s 选定后,要提高频率分辨力 \Delta f,就只能增加数据点数 N ,但这样也会导致计算量增加,解决该问题一般可通过(1)处理过程中只提高感兴趣的局部频段上的频率分辨力(2)换用其他将时域变为频域的方法。

    (4)频域截断

            此时,时域和频域信号虽然都是离散信号,但都周期化了(变为了区间无限长的离散傅里叶变化对),故需再对其进行截断,即分别取一个周期上的 N 个时域采样值和 N 个频域采样值(如图9.4 所示),最终得到与原连续信号 x(t) 及其傅里叶变换 X(f) 相对应的有限离散傅里叶变换对,分别称为 离散傅里叶变换(DFT)和离散傅里叶逆变换(IDFT),定义如下:

        \left\{\begin{matrix} X(k)=DFT[\ x(n)\ ]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{(\frac{-j2\pi nk}{N})},\ \ \ \ \ \ \ \ k=0,1,2,\cdots,N-1\ \\ \\ x(n)=DFT[\ X(k)\ ]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}X(k)e^{(\frac{j2\pi nk}{N})},\ \ \ \ \ n=0,1,2,\cdots,N-1 \ \end{matrix}\right.

    频域截断
    图9.4 频域截断

    卷积的离散表示为:

                  x(k)\bigstar y(k)=\sum_{m=0}^{M-1}x(m)y(k-m)

    【注】:时域采样会使得频域周期化,频域采样也会使得时域周期化

    【注意】:总的来说,由于采样和截断处理,一般信号经过离散傅里叶变换后得到的频谱只能是 “估计值”,其不仅存在着 “混叠”、“泄漏”、“栅栏”等效应引起的误差,而且对于随机信号,它还存在用 “样本” 估计 “总体” 所必然存在的统计误差。

    参数确定

            离散傅里叶变换的基本参数有:

    T_s —— 采样时间间隔

    f_m —— 信号(或感兴趣)的最高频率

    \Delta f —— 频率分辨力

    \tau —— 截断的长度(信号记录长度)

    N —— 时域和频域的采样点数

            实现DFT必须满足如下基本关系: f_s=\frac{1}{T_s}\geq 2f_m ,   \Delta f=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{NT_s}=\frac{f_s}{N}

    【例】:已知某信号的最高频率 f_m=5kHz,要求频率分辨力不大于 10Hz,求采样时间间隔 T_s ,信号记录长度 \tau 和采样点数 N

    采样频率:f_s\geq 2f_m=2\times 5 \times 10^3=10\ (kHz)

    采样间隔:T_s=\frac{1}{f_s}\leq \frac{1}{10 \times 10^3}=100\ (\mu s)

    记录长度:\tau\geq NT_s=1024\times 100 \times 10^{-6}=0.1024\ (s)

    采样点数:N=\frac{2f_m}{\Delta f}=\frac{2\times 5 \times 10^3}{10}=1000 (个)   

    【注意】:由于计算机是以二进制储存数据,故 N 一般是 2 的整数次方,取 N=2^{10}=1024 (个)

    【注】:离散傅里叶变换(DFT)虽然解决了在计算机上实现傅里叶变换的问题,但由于巨大的计算量,仍不具备实用性,故在此基础上诞生了快速傅里叶变换FFT)。

    10二维傅里叶变换

            根据一维的离散傅里叶变换,可进一步引申出二维的傅里叶变换,令 f(x,y) 表示一幅大小为 M \times N 的图像,其中 x=0,1,2,\cdots ,M-1\ \ \ \ y=0,1,2,\cdots ,N-1F(u,v) 表示其傅里叶变换(DFT),称为频率矩形,其中u=0,1,2,\cdots ,M-1\ \ \ \ v=0,1,2,\cdots ,N-1,公式如下:

                                F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\frac{x}{M}u+\frac{y}{N}v)}                                                (10-1)

            给出 F(u,v) 也可使用傅里叶反变换(IDFT)得到 f(x,y)

                                 f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (\frac{u}{M}x+\frac{v}{N}y)}                                        (10-2)

            两式构成了二维离散傅里叶变换对,明显可知,频率矩形 F(u,v) 与输入图像 f(x,y) 的大小相同(皆为 M \times N)。

    【注】:默认空间域和频率域的原点都在左上角,且纵轴为 x 或 u ,横轴为 y 或 v 。

    【例】:如图10.1 所示,求该块函数的傅里叶变换

                      f(t,z)=\left\{\begin{matrix} A,\ \ \ \ \left | t \right |<\frac{T}{2},\ \left | z \right |<\frac{Z}{2}\\ \\ 0,\ \ \ \ \ otherwise \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

    块函数
    图10.1 原函数

    F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2\pi(ut+vz)}dtdz=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{Z}{2}}^{\frac{Z}{2}}Ae^{-j2\pi(ut+vz)}dtdz

                  =ATZ[\ \frac{\sin(\pi u T)}{\pi u T}\ ][\ \frac{\sin(\pi v T)}{\pi v T}\ ]=ATZ[\ sinc(\pi uT)\ ][\ sinc(\pi vT)\ ]

    则其频谱(如图10.2所示)为: \left | F(u,v) \right |=ATZ \left | sinc(\pi uT) \right |\left |\ sinc(\pi vT)\ \right |

    频谱图
    图10.2 频谱图(部分图像,且为突出细节未按比例画出)

    10.1性质

    表10.1 二维傅里叶变换常用性质
    性质 公式 解释

    平移性

    (时移/频移)

    f(x,y)e^{{\color{Red} \mp} j2\pi (\frac{u_0}{M}x+\frac{v_0}{N}y)}\Leftrightarrow F(u\pm u_0,v\pm v_0)

    f(x,y) 乘以指数项,将使 F(u,v) 的原点移动到 (u_0,v_0) ,即 F(u- u_0,v- v_0)

    【注】:同一维傅里叶变换的时移性的定义,平移不改变幅值频谱,仅使相位谱旋转

    f(x\pm x_0,y\pm y_0)\Leftrightarrow F(u,v)e^{\pm j2\pi (\frac{x_0}{M}u+\frac{y_0}{N}v)} F(u,v)乘以指数项,将使 f(x,y) 的原点移动到 (x_0,y_0)
    旋转性

    定义:x=r\cos \theta,\ y=r\sin \theta ,\ u=\omega \cos \theta, \ v=\omega \sin \theta

    则:f(r,\theta +\theta_0)\Leftrightarrow F(\omega ,\omega + \omega_0)

    若 f(x,y) 旋转 \theta_0 角度,则 F(u,v) 也旋转相同的角度,反之亦然
    对称性

    对于离散奇函数:w_e(x,y) 和离散偶函数:w_o(x,y)

    有:\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}w_e(x,y)w_o(x,y)=0

     
    推论

    对于实函数 f(x,y),有 \bar{F}(u,v)=F(-u,-v)

    对于虚函数 f(x,y),有 \bar{F}(-u,-v)=-F(u,v)

    实函数 f(x,y) 的傅里叶变换是共轭对称的,而虚函数 f(x,y) 的傅里叶变换是共轭反对称的

    【注】:共轭对称也称为 ”哈密特对称“,共轭反对称也称为 ”反哈密特对称“

    周期性

    F(u,v)=F(u+k_1M,v)=F(u,v+k_2N)=F(u+k_1M,v+k_2N)

    f(x,y)=f(x+k_1M,y)=f(x,y+k_2N)=f(x+k_1M,y+k_2N)

    二维 DFT 和 IDFT 在 u 和 v 方向上是无限周期的,其中 k_1 和 k_2 是整数
    一维

    f(x)e^{ j2\pi (\frac{u_0}{M}x)}\Leftrightarrow X(u-u_0)

    令  u_0=\frac{M}{2},则指数项变为:e^{j2\pi (\frac{x }{M}\cdot \frac{M}{2})}=e^{j\pi x}

    因为 x 是整数,所以 e^{j\pi x}=(e^{j\pi})^x=[cos(\pi)+j\sin (\pi)]^x=(-1)^x

    故:f(x)(-1)^x \Leftrightarrow F(u-\frac{M}{2})

    此处以一维举例,DFT后,函数区间 {\color{Red} [0,M-1]} 内包含两个挨着的半个周期,而对于后期的处理来说,区间内包含一个完整的周期会更加方便,故在DFT之前,采用 (-1)^x 乘以 f(x) ,会将频谱右移 \frac{M}{2},即原函数 F(0) 处的数据移动到了函数区间 [0,M-1] 的中点处(F(0)={F}'(\frac{M}{2}-1)),如下图x 所示,函数区间将包含一个完整的周期

    一维傅里叶周期性

     

    二维

    令 u_0=\frac{M}{2}v_0=\frac{N}{2}

    则:f(x,y)(-1)^{x+y} \Leftrightarrow F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2})

    同理可将该性质扩展到二维,即用 (-1)^{x+y} 乘以 f(x,y) ,会将频谱沿着 u 和 v 轴分别移动 \frac{M}{2} 和 \frac{N}{2},在形式上也等同于将函数区间(橘色框)向右下角移动,如下图x 所示

    二维周期性

     

    【注意】:平移再变换不等于变换再平移,即 DFT[\ f(x,y)(-1)^{x+y}\ ]\neq DFT[\ f(x,y)\ ](-1)^{x+y} 。原理上是先平移再变换,而python的程序实现是先变换再平移。

    10.2频谱与相角

            二维DFT运算后通常是复数,故可使用极坐标形式来表示:

                                           F(u,v)=\left | F(u,v) \right |e^{j\varphi (u,v)}=Re(u,v)+jIm(u,v)

    幅值频谱(频谱):     \left | F(u,v) \right |=\sqrt{[Re^2(u,v)+Im^2(u,v)]}

    相位频谱(相角):        \varphi (u,v)=arctan [\frac{Im(u,v)}{Re(u,v)}]      (如2.2节所述,需要使用四象限反正切来计算)

    【注】:在此阶段,f(x,y)F(u,v)\left | F(u,v) \right | 、\varphi (u,v) 皆为 M\times N 的矩形。(图像卷积需要变换尺寸)

            根据对称性的推论,实函数的DFT是共轭对称的,表明:

    频谱是关于原点对称的:  \left | F(u,v) \right |=\left | F(-u,-v) \right |

    相角关于原点奇对称:        \varphi (u,v)=-\varphi (-u,-v)

    由式(10-1)可以得出: F(0,0)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (\frac{x}{M}0+\frac{y}{N}0)}=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)

                                                     =MN\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)=MN\bar{f}(x,y)

    故:                             \left | F(0,0) \right |=MN\left |\bar{f}(x,y) \right |                                                   (10-2)

            因为 M\times N (图像尺寸)通常很大,所以 \left | F(u,v) \right | 是频谱的最大成分(远大于其他),F(0,0) 常称为“直流分量”。在显示图像时,由于低频处(尤其 F(0,0))相比高频处拥有过高的值,故高频处灰度的动态范围被压缩了,为了显示时保留细节,故可对其进行图10.2.1所示的灰度变换(此处选择对数变换),将小值放大,大值缩小。

    灰度变换
    图10.2.1 灰度变换

            同时,结合图10.2.1 由周期性可知,4个角皆处于频谱波峰的重叠处,即具有相同的最大值F(0,0)=F(0,N-1)=F(M-1,0)=F(M-1,N-1)。同时,4个角区域所包含得也是相同较大值(低频部分),故中心化后,4个角区域的能量会集中到频谱的中心位置

    【证明】:

    由式(10-1):F(M-1,0)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y){\color{Blue} e^{-j2\pi [\frac{x}{M}(M-1)+\frac{y}{N}0]}}=\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y){\color{Blue} e^{-j2\pi x}}   (因为 M 一般很大,故此处\frac{M-1}{M}近似取1)

    \because \ e^{-j2\pi x}=\cos(2\pi x)-\sin(2\pi x)=1  

    \therefore \ F(M-1,0)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\cdot 1=F(0,0) 

    同理可证:F(0,N-1)=F(M-1,N-1)=F(0,0)

    即: \left |F(0,0) \right |=\left |F(M-1,0) \right |=\left |F(0,N-1) \right |=\left |F(M-1,N-1) \right |=MN\left |\bar{f}(x,y) \right |

    频谱

            在一幅图像DFT的频谱图中,较大的幅值意味着图像中该频率的正/余弦波比较突出(占据着信号的主要能量)。如图10.2.2所示,图(a) 为一幅空间域的8位灰度图像;图(b)为图(a)的频谱图,由于周期性,其原点及其他3个角包含了相同的最大值(图像中表现为高亮);图(c)为中心化后的频谱,能量被集中到了中心位置,频谱图像更易观察;图(d)为对频谱图(中心化之前)对数增强后的图像,采用的算法为:1+\log \left | F(u,v) \right | 。

    图像DFT的频谱
    图10.2.2 (a)原始图像;(b)频谱图;(c)中心化后的频谱图;(d)增强后的频谱图
    import numpy as np
    import cv2
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    fimg = cv2.imread('rectangle.tif', 0)    # 得到输入图像
    
    Fimg = np.fft.fft2(fimg)                 # 计算DFT(一般为复数)
    AFimg = np.abs(Fimg)                     # 得到频谱图
    AFshift = np.abs(np.fft.fftshift(Fimg))  # 中心化后的频谱图
    Simg = 1 + np.log(np.abs(AFshift))         # 图像增强
    '''
    ReFimg = np.real(Fimg)                   # 得到频谱的实部
    ImFimg = np.imag(Fimg)                   # 得到频谱的虚部
    phi = np.arctan2(ImFimg, ReFimg)         # 计算反正切得到相角
    '''
    phi = np.angle(Fimg)                     # 内置相角计算

    【注】:图像那里的幅度变化非常大呢?边界点或者噪声。所以我们说边界和噪声是图像中的高频分量(注意这里的高频是指变化非常快,而非出现的次数多)。如果没有如此大的幅度变化我们称之为低频分量。

    【注】:实际中,计算机使用的是快速傅里叶变换(FFT)。

    相角

    (1)平移图像的DFT

            相角是各个正/余弦成分关于原点位移的度量。如图10.2.3所示,时域图像的平移对频谱没有影响,但会使相角旋转。图(a)为图x(a)的相角;图(b)为图x(a)中平移后的图像;图(c)平移后图像的频谱;图(d)平移后图像的相角。

    平移图像的DFT
    图10.2.3 平移图像的DFT (a);(b);(c);(d)
    import numpy as np
    import cv2
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    fimg1 = cv2.imread('rectangle.tif', 0)       # 原图像
    fimg = cv2.imread('translation.tif', 0)      # 平移后的图像
    
    Fimg1 = np.fft.fft2(fimg1)                   # 计算原图像的DFT
    phi1 = np.angle(Fimg1)                       # 计算相角图
    
    Fimg = np.fft.fft2(fimg)                     # 计算平移后图像的DFT
    AFshift = np.abs(np.fft.fftshift(Fimg))      # 中心化后的频谱图
    Simg = 1 + np.log(np.abs(AFshift))             # 对数增强
    phi = np.angle(Fimg)                         # 得到相角图
    

    (2)旋转图像的DFT

            时域图像的旋转(如图10.2.4 所示旋转45°)会使频谱旋转相同的角度,相角也会旋转但小于45°。图(a)为图x(a)中旋转45°后的图像;图(b)旋转后图像的频谱;图(c)旋转后图像的相角。

    旋转图像的DFT
    图10.2.4 旋转图像的DFT

    【注】:频谱的成分决定了图像中的灰度,相角则携带较多关于图像中可辩别物体的定位信息

    10.3二维离散卷积定理

    卷积公式:          f(x,y)\bigstar h(x,y)=\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)

    卷积定理:          f(x,y)\bigstar h(x,y)\Leftrightarrow F(u,v)\cdot H(u,v)

                                f(x,y)\cdot h(x,y)\Leftrightarrow F(u,v)\bigstar H(u,v)

    10.4 DFT的卷积混叠

           在DFT计算中,由于存在周期性,而且两个周期函数的卷积也是周期的,相邻周期的副本将会导致计算相互干扰,导致“混叠错误”。以下图两个函数为例,其一维离散卷积运算表达式为:

                           f(x)\bigstar h(x)=\sum_{m=0}^{399}f(m)h(x-m)

    一维离散卷积运算

    【注】:卷积是位移变量 x 的函数,因为 f(x) 和 h(x) 的区间都是400, 而卷积运算要求整个 h(x) 完全滑过 f(x),故卷积后函数的区间x 为 [0,799] 。

            对于该问题,考虑分别有长度为 A 的 f(x) 和 B 的 h(x),可将 0 填充到两个函数中,扩充其周期,使两者长度皆为 P,将避免卷积的“混叠”问题,此处 P 有如下定义:

                                    P\geq A+B-1

            而对于大小分别为 A\times B 和 C\times D 的图像阵列 f(x,y) 和 h(x,y) ,令其填充后的大小皆为 P\times Q,此处 P 和 Q 有如下定义:

                                    P\geq A+C-1 

                                    Q\geq B+D-1

            可知,对于两个大小相同,皆为 M\times N 的图像,其填充定义为:P\geq 2M-1Q\geq 2N-1 。

    【注】:DFT算法对偶数尺寸的阵列计算较快,故一般将 P 和 Q 设置为满足上述方程的最小偶整数。

    【注意】:0填充时,若原函数在尾端的不是0,那么填充后将创建一个不连续的函数,这类似于用矩形窗函数对原函数进行了截断,将导致 “频谱泄漏”,泄漏会在图像上产生块效应。虽然泄漏无法避免,但可通过采用其他窗函数乘以原函数来尽量减少,使函数在尾端平滑地过渡到0,其窗函数可使用二维高斯函数,该函数的优点是傅里叶变换也是高斯的,将会产生较低的泄漏。

    结语

            写博客的初衷就是记录,留下日常学习中的点点滴滴,并逐渐扩充为自己的知识体系,方便随时查阅,避免遗忘,同时也能够帮助他人,赠人玫瑰,手有余香。也希望能有更多的朋友加入进来,博客不同于论文,不需要多大的创新点,也没有严苛的审查制度,不过并不意味着不需要质量,对知识点的总结、解决某一实际问题的方法、哪怕是一个小小的感悟,写的过程,能加深对知识的理解,回顾起来,也会是一种收获。

    持续更新...

     

    参考文章

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    《数字图像处理》(第三版)

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    世界上有完美的东西,那就是美到让人窒息的傅里叶变换(一)

    傅里叶分析之掐死教程(完整版)

    作 者:韩 昊

    知 乎:Heinrich

    微 博:@花生油工人

    知乎专栏:与时间无关的故事

    谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师,柳晓鸣老师,王新年老师以及张晶泊老师。

    复数的物理意义是什么?

    傅里叶为何变换?

    OpenCV官方教程

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  • 浅析傅里叶分析

    2020-07-26 20:34:11
    傅里叶分析的起源 傅里叶是一位法国数学家和物理学家,他在1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号都可以由一组适当的...

    傅里叶分析的起源

    傅里叶是一位法国数学家和物理学家,他在1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文拉格朗日坚决反对此论文的发表,而后在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
    那到底谁才是正确的呢?拉格朗日的观点是:正弦曲线无法组成一个带有棱角的信号。这是对的,但是,我们却可以用正弦信号来非常逼近地表示它,逼近到两种方法不存在能量差异,这样来理解的话,那傅里叶是正确的。

    如何表示的?

    傅里叶在这里所提出的,任何连续周期信号都可以用一组连续的正弦曲线组合而成,是怎么一个表示法呢,我们用一个例子来进行说明:
    正弦信号叠加
    从上图中,我们可以看出,a 图是一个正弦波,b 图是三个不同频率的正弦波叠加而成,c 图是由 7 个不同频率的正弦波叠加而成,d 图是由 19 个不同频率的正弦波叠加而成。从上图中可以看出,随着叠加的波形个数的增加,得到的波形愈来愈接近一个方波。
    到这里也很容易想明白,明明是正弦波,叠加起来却趋近成一个方波,随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。那需要多少个这样的波形呢?答案也是显然的,需要无穷个。
    下面是一个更加直观的图:
    在这里插入图片描述
    在有了上述的直观理解之后,我们再来观察傅里叶级数的展开式,


    可以看到 f(t) 可以分解成各个频率的正弦信号的叠加,最开始的 a0 可以看成是一个直流分量的叠加。

    有何意义

    再明白了任意一个周期信号都可以由一组适当的正弦信号组成之后,我们来看一下这样做的意义又是如何呢?这里就要引入频域的概念。
    我们在生活中能够感受到的是万事万物都在随着时间发生改变,但是很多情况下,如果从时间的尺度去观察,不能看出什么比较显著的特征,这个时候,就需要从频域的尺度去观察。
    在这里,笔者仍旧以方波为例进行分析,下图是方波分解得到的一系列的正弦信号,以及图片中所展示的,频域图像和时域图像。

    图片来源于网络,侵删
    我们通过上图可以看到频域图像是由方波所得到的一系列的正弦信号的幅值在对应的频率点上的投影,这样就构成了我们的频域图像。也就是说我们通过傅里叶变换将原信号进行分解,然后将分解出的信号的幅值投影在其所对应的频率点处,从而使得我们能够从频域的角度去分析和处理信号,其中最为普遍的一个应用就是在得到的原始信号的频域图后,我们就可以对信号进行滤波,去除我们所不需要的频率成分。下图是一个关于傅里叶变换的动图展示,能够方便我们更好地理解.
    傅里叶变换

    傅里叶级数和傅里叶变换的关系

    我们在接触到傅里叶分析信号的时候,会涉及到两个概念,一个就是傅里叶级数,一个就是傅里叶变换,那两者之间的关系是什么呢?对于傅里叶级数来讲,它是针对于周期信号的,但是不能够处理非周期的信号,而傅里叶变换就可以处理非周期的信号。
    下图展示了这样一个区别:
    傅里叶级数和傅里叶变换
    我们可以看到 (a)和 (b)就是针对于周期信号而言的,它通过傅里叶级数的方式将图像变换到频域,并且由图像可以看出周期信号变换得到的频域图像是离散的,但是针对于 (c)图来说,信号是非周期的,针对于非周期信号的处理方式需要使用傅里叶变换来进行处理,他的频域图像是连续的。进一步来进行分析,a -> b -> c 的原始信号的周期可以看成是依次增大的一个过程,非周期信号的周期可以看成是无穷大,周期越大,频率也就越小,那么对应于频域谱的谱线之间的距离就越近,周期无穷大,那么频域也就变成连续的了。

    总结

    针对于傅里叶分析来说,笔者上述所分享的内容都没有对应的计算说明,只是通过图像进行直观地阐述,虽然理解起来更加直观了,但是,如果要达到对于傅里叶分析的深刻理解,仍然要进行数学推导,从数学层面去深刻理解,才能达到对于这个知识的熟练运行。

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