2016-05-06 21:54:04 qq_20602929 阅读数 6011
  • 多角度带你编写更规范的黑盒测试用例

    讲解方式 通过类比生活中的例子,轻松理解测试用例的设计方法。课程内容条理清晰,目标明确,由浅入深,环环相扣。重点部分进行额外梳理和总结,更易理解和吸收。 课程亮点 1,测试用例的要素讲解,让测试用例的编写更加规范 2、多种测试用例方法的学习,让用例设计更加全面。测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3,多角度的案例实践,以理解各种方法的应用 课程内容 1、测试用例的定义和组成要素 2、测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3:每种设计方法对应的案例讲解 适用人群 1、对软件测试感兴趣的在校生及应届生。 2、希望转行软件测试的在职人员。 3、希望巩固软件测试设计方法的测试同行。 4、对软件测试感兴趣的其他听众。

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正交变换时数字图像处理的一种有效工具。图像不仅可以在空间域表示,也可以对其进行正交变换到频域进行分析处理。在图像增强、图像复原、图像特征处理、图像编码中都经常采用图像变换技术。

离散傅里叶变换

一维离散傅里叶变换

对于有限长的数字序列f(x),x=0,1,...,N1,一维DFT定义为:
F(u)=N1x=0f(x)ej2πuxN

一维傅里叶反变换IDFT定义为:
f(x)=1NN1x=0F(u)ej2πuxN

f(x)和F(u)为离散傅里叶变换对,表示为:f(x)F(u)
W=ej2πN,则一维的DFT和IDFT表示为:
F(u)=N1x=0f(x)Wux
f(x)=1NN1x=0F(u)Wux

一维快速傅里叶变换

FFT原理

Wu±rN=Wu
Wu±N2=Wu

这里写图片描述



FFT算法推导
W因子如下特性:
Wk2N=Wk2N
DFT可以表示为:
F(u)=N/21x=0f(2x)W2uxN+N/21x=0f(2x+1)Wu(2x+1)N=N/21x=0f(2x)WuxN/2+N/21x=0f(2x+1)WuxN/2WuN

令M=N2

F(u)=Fe(u)+WuNF0(u)

F(u+M)=Fe(u)WuNF0(u)

将原函数分为奇数项和偶数项,通过不断的一个奇数一个偶数的相加减,得到最终结果。

这里写图片描述



二维离散傅里叶变换

这里写图片描述
这里写图片描述

代码:

I=imread('106.jpg');
subplot(1,3,1),imshow(I),title('106 原图');
grayI=rgb2gray(I);   
%彩色图像灰度化
DFTI=fftshift(fft2(grayI));
%计算傅里叶变换并移位
ADFTI=abs(DFTI);
%求模
subplot(1,3,2),imshow(log(1+ADFTI),[]),title('106 频谱图1');
top=max(ADFTI(:));
%求模的最大值
bottom=min(ADFTI(:));
%求模的最小值
ADFTI=(ADFTI-bottom)/(top-bottom)*100;
%将模规格化到[0 100]
subplot(1,3,3),imshow(ADFTI),title('106 频谱图2');

这里写图片描述

DFTI中的数据是经过搬移的傅里叶变换系数,为复数,不能直接通过MATLAB函数显示,调用abs函数对其求模ADFTI,频谱图1是对ADFTI进行对数运算以观察图像DFT结果,频谱图2是将ADFT1归一化扩大100倍显示,对比明显



二维离散傅里叶变换的性质

1)可分性
F(u,v)=M1x=0N1y=0f(x,y)ej2πxuMej2πyuN=Fx{Fy[f(x,y)]}

这里写图片描述
这里写图片描述

2)线性
F[a1f1(x,y)+a2f2(x,y)]=a1F[f1(x,y)]+a2F[f2(x,y)]



3)共轭对称性
f(x,y)F(u,v)F(u,v)f(x,y)DFT
F(u,v)=F(u,v)



4)平移性
时域位移对应频域相移



5)旋转性
若把f(x,y)F(u,v)都表示为极坐标形式,若f(γ,θ)F(k,ϕ),则
f(γ,θ+θ0)F(k,ϕ+θ0)
空间域旋转,频域也旋转同样角度



6)比例的变换特性
f(ax,bx)1|ab|F(ua,vb)



7)帕斯瓦尔定理

M1x=0N1y=0|f(x,y)|2=M1u=0N1v=0|F(u,v)|2

帕斯瓦尔定理也称为能量保持定理,变换前后不损失能量,只是改变表现形式,是变换编码的基本条件



8)卷积定理

f(x,y)g(x,y)F(u,v)G(u,v)
f(x,y)g(x,y)F(u,v)G(u,v)



傅里叶变换在图像处理中的应用

1)傅里叶描绘子
从原始图像产生的数值、符号或者图形成为图像特征。表征图像特征的一系列符号称为描绘子。
描绘子具有多种特性:几何变换不变性等
一个闭合区域,区域上的边界点(x,y),用复数表示(x+iy).沿边界跟踪一周,得到一个复数序列,z(n)=x(n)+iy(n),z(n)为周期信号,其DFT系数用Z(k)表示—称为傅里叶描绘子(平移旋转不变性等)


2)图像滤波中应用
设计滤波器:高通低通带通(阻)等等


3)图像压缩中应用
高频一般为噪声信号,合理设置高频信号为0,图像质量不会改变多少


4)卷积特性

fg=gf
Fg(u,v)=G(u,v)F(u,v)
fg=IDFT(Fg)
,先分别逆变换后点乘再逆变换得到f,降低卷积计算量




离散余弦变换

离散余弦变换(DCT)是一种与傅里叶变换紧密相连的数学运算。

一维离散余弦变换

DCT:
F(u)=C(u)2NN1x=0f(x)cos(2x+1)uπ2N
u=0,...,N1

IDCT:
f(x)=2NN1x=0C(u)F(u)cos(2x+1)uπ2N
x=0,...,N1

C(u)={ 121u=0u=1,...,N1 

这里写图片描述

二维离散余弦变换

推广:
DCT:
F(u,v)=2MNC(u)C(v)M1x=0N1y=0f(x,y)cos(2x+1)uπ2Ncos(2y+1)vπ2M
x,u=0,...,M1

IDCT:
f(x,y)=2MNM1u=0N1v=0C(u)C(v)F(u,v)cos(2x+1)uπ2Ncos(2y+1)vπ2M
y,v=0,...,N1

C(u),C(v)={ 121u,v=0u,v=1,...,N1 


这里写图片描述
这里写图片描述

代码:

I=imread('099.jpg');
figure;
imshow(I),title(' 原图');
grayI=rgb2gray(I);
DCTI=dct2(grayI);
%离散余弦变换
ADCTI=abs(DCTI);
top=max(ADCTI(:));
bottom=min(ADCTI(:));
ADCTI=(ADCTI-bottom)/(top-bottom)*100;
%将模规格化到[0 100]
figure;
imshow(ADCTI),title('DCT频谱图');

这里写图片描述
这里写图片描述
可以看出能量主要集中在左上角低频分量处



离散余弦变换在图像处理中的应用

离散余弦变换主要用于对图像(静止或运动)进行有损数据压缩。(静止图像编码标准JPEG、运动图像编码标准MPEG中都用到了)——由于该变换具有很强的能量集中特性:大多数的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分,压缩编码效果较好。

具体做法:先把图像分成8×8块,对每个方块进行二维DCT变换,变换后的能量主要集中在低频区。对DCT系数量化,给高频系数大间隔量化,低频部分小间隔量化,舍弃绝大部分数据为取值很小或为0的高频数据,降低数据量,同时保证重构图像不发生显著失真。



K-L变换

K-L变换时建立在统计特性基础上的一种变换,又称为霍特林变换或主成分分析。K-L变换的突出优点是相关性好,是**均方误差**MSE意义下的最佳变换,在数据压缩有重要地位。

K-L变换原理

1)K-L展开式
设有一个连续的随机函数x(t),T1tT2,{ϕj(x),j=1,2...}
x(t)=a1ϕ1(t)+....+ajϕj(t)
其中 ajϕj(t)
T2T1ϕn(t)ϕm(t)dt={ 10m=nmn 

ϕn(t)ϕm(t)为共轭复数式

X=nj=1ajϕj=ΦA

Φ=(ϕ1ϕ2...ϕn)= ϕ1(1)ϕ1(2)...ϕ1(n)ϕ2(1).........ϕn(1)



2)离散K-L变换
用有限项估计X,即:
X^=mj=1ajϕj=ΦA
由此引起的均方误差:
ϵ2¯=E[(XX¯)T(XX¯)]=E[j=m+1ajujj=m+1ajuj]
因u为正交归一向量系
Ψ=E[XXT],则:
ϵ2¯=j=m+1uTjΨuj
利用拉格朗日乘数法求均方误差取极值时的u,拉格朗日函数为:
h(uj)=j=m+1uTjΨujj=m+1λ[uTjuj1]
uj求导,得:
(ΨλjI)uj=0,j=m+1,...,
其中λjXΨuj

以X的自相关矩阵Ψ 的m个最大特征值对应的特征向量来逼近X时,其截断均方误差具有极小性质:
ϵ2¯=j=m+1λj
这m个特征向量所组成的正交坐标系U称作X所在的n维空间的m维K-L变换坐标系。
满足:
A=UTX
X=UA
其中,U=(u1,...,um)

3)K-L变换的性质

通过K-L变换,消除了原有向量X的各分量之间的相关性,即变换后数据A的各分量之间的信息是相互独立的。
采用大特征值对应的特征向量组成变换矩阵,能对应地保留原向量中方差最大的成分,K-L变换起到了减小相关性、突出差异性的效果,称之为主成分分析|PCA—是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的多元统计方法,又称主分量分析。

4)K-L坐标系的产生矩阵

前面的分析中,数据X的K-L坐标系的产生矩阵采用的是自相关矩阵Ψ=E[XXT],由于总体均值向量μ常常没有什么意义,常把数据的协方差矩阵作为K-L坐标系的产生矩阵。
=E[(Xμ)(Xμ)T]
这里写图片描述
这里写图片描述



图像K-L变换

将二维图像采用行堆叠或列堆叠转换为一维处理。设M×N图像f(x,y),在某个传输通道传输了L次,由于受到各种因素的随机干扰,接收的图像是一个图像集合:
{f1(x,y),....,fL(x,y)}
采用行堆叠表示为MN维向量:
fi= fi(0,0)fi(0,1)...fi(M1,N1)

定义f向量的协方差矩阵和相应变换核矩阵:
f=E[(fμf)(fμf)T]1L[Li=1fifTi]ufuTf
显然,fMN×MN
λ1uif的特征值和特征向量,且降序排列:
λ1>λ2>...>λM×N
K-L变换矩阵U:
U=(u_1,u_2,...,u_{M\times N})=\left\{\begin{array}{rcl}\ u_{11}&u_{21} &...&u_{MN1}\\ u_{12} &... \\...\\u_{1MN}&... \end{array}\right.U=(u1,u2,...,uM×N)= u11u12...u1MNu21.........uMN1

二维K-L变换表示为:
F=UT(fuf)
fuf为原始图像f减去平均值向量uf,称为中心化图像向量。离散K-L变换向量F是中心化向量fuf与变换核矩阵U相乘所得的结果。



小波变换

小波变换被应用到数字图像处理的多个方面,如图像平滑,边缘检测,图像分割及压缩编码等。



概述

波被定义为时间或空间的一个振荡函数。小波具有在时间上集中能量的能力,是分析瞬变的,非平稳的或时变现象的一个工具。

如正弦曲线在整个横坐标t上等振幅振荡,具有无限能量,而小波具有蔚然一个集结的有限能量。



傅里叶系数的正交基是由频率为w的sin wt和cos wt组成,傅里叶变换其实就是求傅里叶级数的系数。
小波展开就是由具有两个参数的小波构成基展开函数,即:
f(t)=abαa,bψa,b(t)
所谓小波变换即是计算系数集αa,b。与傅里叶变换不同的是,小波展开集不是唯一的。

小波

1)定义:
Rψ(t)dt=0

对其进行平移和伸缩产生函数族ψa,b(t)=1aψ(tba)a,bR,a0

ψ(t)abψa,b(t)ψ(t)

定义:若满足:
Cψ=R|Ψ(w)|2|w|dw<
则称ψ(t)为允许小波,上式称为允许性条件。其中Ψ(w)=Rψ(t)ejwtdt
Ψ(w)|w=0=Rψ(t)dt=0,

一维小波:
1)Haar小波
2)Morlet小波
3)墨西哥草帽(Mexico Hat)小波

连续小波变换:
冗余与再生核

离散小波变换:
小波框架与Reisz基
二进小波

正交小波与多分辨分析

函数正交小波分解:
Mallat算法

紧支集正交小波基的构造:
Daubechies小波的构造

二唯小波变换:

2019-11-10 22:08:09 u014485485 阅读数 38
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内容来自于刘定生老师的数字图像处理课和课件,如有侵权,联系删除。

 

频域变换意义:滤波,增强,去相关

图像处理主要看做线性系统

若x1(t)-->y1(t)

x2(t)-->y2(t)

当且仅当

x1(t)+x2(t)-->y1(t)+y2(t)

 

卷积、相关的概念

正交性:基轴正交

完备性:(个人认为不需要花过多时间在这个性质的证明上)

 

正交变换---》酉变换

 

在图像处理中,正交变换引申出基图像的概念。

 

 

 

 

 

图像变换

p11

傅里叶变换

正交变换保证图像变换后的紧凑性

 

其他变换:

离散余弦变换

是简化傅里叶变换的一种方法

 

用于压缩编码

 

沃尔什-哈达玛变换

找到计算更简单的变换?

构建更简单的正交函数集

 

一维

8个函数满足正交性和完备性

 

二维

递推关系

 

 

 

应用:电话布线消除串音

 

斜(slant)变换

 

K-L变换

 

 

 

 

 

哈尔变换

正交稀疏矩阵,可实现快速计算

 

 

p14

小波变换

 

由傅里叶变换引入小波变换:

为了克服上述缺点,使用有限宽度基函数的方法,即时域加窗,首先产生了Gabor变换(1946年)又叫短时傅里叶变换。

 

进一步发展为使用频率不同、位置不同、宽度有限的基函数进行变换。即小波变换。

小波是具有有限区间和均值为0 的波。

 

 

小波变换定义了一组由尺度因子a规范的连续滤波器组。(滤波器解释)

 

 

几何典型的小波基:

 Mexican Hat Wavelet

 Haar Wavelet

 Morlet Wavelet

 Daubechies

 

 

 

 

 

 

小波分解树:

 

分解与重构:

 

 

 

2019-07-25 21:37:15 Arthur_Holmes 阅读数 195
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实函数的要求已经达到,但是偶函数的要求比较难

假定具有这种对称性,真实情况比会有误差,但是误差可以忽略不计

余弦变换因为只有实变换,所以只有单个幅频谱,而且显然比傅里叶变换更加集中(并且在一个点,而不是四个点)

JPG等都用的是余弦变换

为什么分成小块,因为大块大大增加运算量

 

MATLAB调用demo

哈达玛变换是对离散余弦变换的近似,所以比离散余弦的集中特性要差一点

 

 

 

 

 

2019-07-24 15:27:46 baishuiniyaonulia 阅读数 785
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图像正交变换的本质

图像是由许多点冲激函数的累加,图像通过处理系统的效果就是每一点冲激函数通过处理系统的效果之和。同时任何图像都可以分解为基图像之和,基图像之间是相互正交的,图像正交变换的本质就是寻找合适的基图像来表达图像,并通过改变基矢量及其加权系数来变换图像。

图像的正交变换一般分为三大类:

  1. 正弦余弦型变换
  2. 方波型变换
  3. 基于特征向量的变换

一些经典变换的总结:

变换 变换的特点及其经典应用范围
傅里叶变换 需要进行复数运算,物理意义明确。其二维变换可分离,具有快速算法。可把整幅图像的信息很好地用若干个频率系数来表达
余弦变换 准最佳变换。其二维变换可分离,具有快速算法,只要求三角函数运算,运算量比傅里叶变换小一半。在高相关性图像的处理中,最接近最佳的K-L变换。信息压缩效果好
沃尔什变换 只需要进行实数计算,具有快速算法,性能优于傅里叶变换
哈达玛变换 在图像处理算法的硬件实现上很实用,容易模拟但不宜分析。信息压缩效果好
K-L变换 在许多意义下是最佳的,但是无快速算法,对彩色图像或人脸图像这类特征图像十分有效
冲激函数

冲激函数通常也称冲激、δ\delta函数或狄克拉δ\delta函数,实际上冲激函数是线性泛函,不是普通函数,可以认为它是在零点无穷大,其他点为零的一个分布:δ(t)={,t=00,t 0\delta(t)=\begin{cases} \infty, &amp; \text{t=0} \\ 0, &amp; \text{t$\neq$ 0} \end{cases},且该函数满足等式δ(t)dt=1\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\text{d}t=1

在这里插入图片描述

基函数和基图像

变换核矩阵的各行构成了NN维矢量空间的一组基矢量,这些行是正交的,因此空间中任一矢量都可以用单位长度基矢量的加权和来表示。

具体来说就是数字图像可以表示为按行串接的矢量,该矢量可以表示成单位基矢量的加权和,权重为像素的强度值,即:f=[f0f1fN21]=f0[100]+f1[010]+...+fN21[001]f=\begin{bmatrix}f_0 \\ f_1 \\ \vdots \\ f_{N^2-1} \\ \end{bmatrix}=f_0\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix}+f_1\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix}+...+f_{N^2-1}\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{bmatrix}=f0e0+f1e1+...+fN21eN21=i=0N21fiei=f_0e_0+f_1e_1+...+f_{N^2-1}e_{N^2-1}=\sum_{i=0}^{N^2-1}f_ie_i其中eie_iN2N^2维空间上的正交矢量,即单位基矢量;fif_i为加权系数

实际上任何以矩阵表示的图像都可以看做是加权系数为图像像素值f(i,j)f(i,j)的一系列加权和,例如:f=[7325]=7[1000]+3[0100]+2[0010]+5[0001]f=\begin{bmatrix}7 &amp; 3 \\ 2 &amp; 5 \\ \end{bmatrix}=7\begin{bmatrix}1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 \\ \end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 0 \\ \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 \\ \end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 \\ \end{bmatrix}e0=[10]e_0=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},e1=[01]e_1=\begin{bmatrix}0 \\ 1\\ \end{bmatrix},则有:e0e0T=[10][10]T=[1000]e_0e_0^T=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 \\ \end{bmatrix}e0e1T=[0100],e1e0T=[0010],e1e1T=[0001]e_0e_1^T=\begin{bmatrix}0 &amp; 1 \\ 0 &amp; 0 \\ \end{bmatrix},e_1e_0^T=\begin{bmatrix}0 &amp; 0 \\ 1 &amp; 0 \\ \end{bmatrix},e_1e_1^T=\begin{bmatrix}0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 \\ \end{bmatrix}这时,ff可以表示为:f=7e0e0T+3e0e1T+2e1e0T+5e1e1Tf=7e_0e_0^T+3e_0e_1^T+2e_1e_0^T+5e_1e_1^T
对于NNN*N的图像阵列,有:f=f(0,0)e0e0T+f(0,1)e0e1T+...+f(i,j)eiejT+...+f(N1,N1)eN1eN1Tf=f(0,0)e_0e_0^T+f(0,1)e_0e_1^T+...+f(i,j)e_ie_j^T+...+f(N-1,N-1)e_{N-1}e_{N-1}^T=i=0N1j=0N1f(i,j)eiejT=\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=0}^{N-1}f(i,j)e_ie_j^T其中基向量eie_ieje_j为单位列向量,仅第i+1i+1个元素为1,其余全为0,例如e1=[010]Te_1=\begin{bmatrix}0 &amp; 1 &amp; \cdots &amp; 0\\ \end{bmatrix}^T,因此基图像eiejTe_ie_j^T就表示了仅1个非0元素的系数矩阵。

任何图像都可以看做是加权系数为图像像素值f(i,j)f(i,j)的一系列单位基图像的加权和。

一维正交变换

线性变换

tt为一个N1N*1向量,TT为一个NNN*N矩阵,TT作用于列向量f(x)f(x)得到列向量FF,这就定义了向量tt的一个线性变换,表达为:F(μ)=x=0N1f(x)g(x,μ),μ[0,N1]F(\mu)=\sum_{x=0}^{N-1}f(x)g(x,\mu),\mu\in[0,N-1]其矩阵形式为:F=Tf(x)F=Tf(x)其中,f(x)f(x)称为冲激g(t,μ)g(t,\mu)称为正变换核函数冲激响应,矩阵TT称为变换的核矩阵变换矩阵

对该线性变换的逆变换为:f(x)=μ=0N1F(μ)h(x,μ),x[0,N1]f(x)=\sum_{\mu=0}^{N-1}F(\mu)h(x,\mu),x\in[0,N-1]其矩阵形式为:f(x)=FT1f(x)=FT^{-1}其中,h(t,μ)h(t,\mu)称为逆变换核函数,矩阵T1T^{-1}称为逆变换的核矩阵或变换矩阵。

显然有:TT1=ETT^{-1}=E

例如: 平面坐标系中的向量旋转变换
[y1y2]=[cosθsinθsinθcosθ][x1x2] \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta &amp; -\sin\theta\\ \sin\theta &amp; \cos\theta\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}可表示为:y=Txy=Tx其中T=[cosθsinθsinθcosθ]T=\begin{bmatrix} \cos\theta &amp; -\sin\theta\\ \sin\theta &amp; \cos\theta\\ \end{bmatrix},该矩阵表达式的展开式为:{y1=x1cosθx2sinθy2=x1sinθ+x2cosθ\begin{cases} y_1=x_1\cos\theta-x_2\sin\theta\\ y_2=x_1\sin\theta+x_2\cos\theta \end{cases}若将TT抽象表达为T=[a11a12a21a22]T=\begin{bmatrix} a_{11} &amp; a_{12}\\ a_{21} &amp; a_{22}\\ \end{bmatrix},则展开式可以表达为:{y1=x1a11+x2a12y2=x1a21+x2a22\begin{cases} y_1=x_1a_{11}+x_2a_{12}\\ y_2=x_1a_{21}+x_2a_{22} \end{cases},简化得:yi=i=12xiaj,ij[1,2]y_i=\sum_{i=1}^{2}x_ia_{j,i},j\in[1,2]

酉变换与正交性

TT的逆变换等于其复数矩阵共轭的转置时,称该线性变换为酉变换,表示为:T1=(T)T=(T)T^{-1}=(T^{*})^T=(T^{*})&#x27;TT1=T(T)=ETT^{-1}=T(T^*)&#x27;=E

TT为实数矩阵时,实数的共轭等于实数本身,此时酉变换就称为正交变换,表示为:T1=TT^{-1}=T&#x27;,于是显然有:TT=ETT&#x27;=E

在正交变换中,TT的每一行称为该正交变换的正交基

例如: 设有矩阵A=[a11a12a1na21a22a2nan1an2ann]A=\begin{bmatrix} a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1n}\\ a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2n}\\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots\\ a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nn}\\ \end{bmatrix},若有AA的变换为正交变换

则有AA的共轭转置:A=AT=[a11a21an1a12a22an2a1na2nann]A&#x27;=A^T=\begin{bmatrix} a_{11} &amp; a_{21} &amp; \cdots &amp; a_{n1}\\ a_{12} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{n2}\\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots\\ a_{1n} &amp; a_{2n} &amp; \cdots &amp; a_{nn}\\ \end{bmatrix}AA中的nn个正交基表示为:a1=[a11a21an1]a_1=\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \\ \end{bmatrix}a2=[a12a22an2]a_2=\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2} \\ \end{bmatrix},…,an=[a1na2nann]a_n=\begin{bmatrix}a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{nn} \\ \end{bmatrix}

矩阵AA用正交基表示为:A=[a1a2an]A=\begin{bmatrix} a_1 &amp; a_2 &amp; \cdots &amp; a_n \\ \end{bmatrix}ai=aiT=[a1ia2iani]Ta_i&#x27;=a_i^T=\begin{bmatrix} a_{1i} &amp; a_{2i} &amp; \cdots &amp; a_{ni} \\ \end{bmatrix}^T正交变换表示为:aiaj=k=1nakiakj={c,i=j0,ija&#x27;_ia_j=\sum_{k=1}^{n}a_{ki}a_{kj}=\begin{cases} c, \text{i=j}\\ 0, \text{i$\neq$j} \end{cases}当取c=1c=1时,该正交变换称为归一化正交变换

完备性

一个实值函数f(x)f(x),可表示为:f(x)=n=0anμn(x)f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\mu_n(x)其中μn(x)\mu_n(x)为一组函数集,ana_n为加权系数

f(x)f(x)是平方可积的分段连续函数,ϵ\epsilon表示无穷小量时,若总存在一个正整数NN使得f(x)f^(x)2dx&lt;ϵ\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)-\hat f(x)|^2\text{d}x &lt; \epsilon其中f^(x)\hat f(x)f(x)f(x)的估计值:f^(x)=n=0N1anμn(x)\hat f(x)=\sum_{n=0}^{N-1}a_n\mu_n(x)则称μn(x)\mu_n(x)函数集是完备的。完备则意味着定义域中任何f(x)f(x)均能用μn(x)\mu_n(x)函数集表示。

一般来说,满足了正交性完备性这两个条件的函数集合或矩阵才能用于图像处理与分析。也就是说我们所要寻找的正交变换的基函数一定是正交的,且所有的图像都可以用这个基函数表示。

二维正交变换

二维离散线性变换

二维离散线性变换由以下两个表达式给出:
F(μ,ν)=x=0N1y=0N1f(x,y)g(x,y,μ,ν),0μ,νN1F(\mu,\nu)=\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu,\nu),0\leqslant \mu,\nu\leqslant N-1f(x,y)=μ=0N1ν=0N1F(μ,ν)h(x,y,μ,ν),0x,yN1f(x,y)=\sum_{\mu=0}^{N-1}\sum_{\nu=0}^{N-1}F(\mu,\nu)h(x,y,\mu,\nu),0\leqslant x,y\leqslant N-1其中,g(x,y,μ,ν)g(x,y,\mu,\nu)称为正变换核函数N2N2N^2*N^2阶的正变换核矩阵h(x,y,μ,ν)h(x,y,\mu,\nu)称为逆变换核函数N2N2N^2*N^2阶的逆变换核矩阵

若核函数满足:g(x,y,μ,ν)=P(x,μ)Q(y,ν)g(x,y,\mu,\nu)=P(x,\mu)Q(y,\nu)h(x,y,μ,ν)=R(x,μ)S(y,ν)h(x,y,\mu,\nu)=R(x,\mu)S(y,\nu)则称核函数是可分离的,核函数的可分离性质使得二维变换可以分步计算、降低计算的复杂度。分步计算步骤如下:

  • 首先沿f(x,y)f(x,y)yy方向做一维变换,有F(x,ν)=y=0N1f(x,y)Q(y,ν)0x,νN1F(x,\nu)=\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)Q(y,\nu),0\leqslant x,\nu\leqslant N-1
  • 然后沿F(x,ν)F(x,\nu)xx方向做一维变换,得到:F(μ,ν)=x=0N1F(x,ν)P(x,μ)0μ,νN1F(\mu,\nu)=\sum_{x=0}^{N-1}F(x,\nu)P(x,\mu),0\leqslant\mu,\nu\leqslant N-1

若可分离核函数满足P(x,μ)=Q(y,ν)P(x,\mu)=Q(y,\nu),则该可分离核函数是加法对称的,即xxyy两个方向上的变化一致。

因此可分离的二维离散线性变换的表达式可以表示为:F(μ,ν)=y=0N1[x=0N1P(x,μ)f(x,y)]Q(y,ν)0μ,νN1F(\mu,\nu)=\sum_{y=0}^{N-1}[\sum_{x=0}^{N-1}P(x,\mu)f(x,y)]Q(y,\nu),0\leqslant \mu,\nu\leqslant N-1若图像向量ff是由基矢量fif_i串接形成的,对应的正变换矩阵为:F=PfQTF=PfQ^T若图像向量ff是由基矢量fif_i串接形成的,对应的正变换矩阵为:F=QfPTF=QfP^T

二维离散线性变换的基图像

对于二维离散线性变换f(x,y)=μ=0N1ν=0N1F(μ,ν)h(x,y,μ,ν),0x,yN1f(x,y)=\sum_{\mu=0}^{N-1}\sum_{\nu=0}^{N-1}F(\mu,\nu)h(x,y,\mu,\nu),0\leqslant x,y\leqslant N-1其变换核矩阵h(x,y,μ,ν)h(x,y,\mu,\nu)可以将其视为一幅图像,称其为基图像。任何一个图像f(x,y)f(x,y)都可以表示为基图像h(x,y,μ,ν)h(x,y,\mu,\nu)的线性组合,其中F(μ,ν)F(\mu,\nu)为加权系数。

对另一个表达式F(μ,ν)=x=0N1y=0N1f(x,y)g(x,y,μ,ν),0μ,νN1F(\mu,\nu)=\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)g(x,y,\mu,\nu),0\leqslant \mu,\nu\leqslant N-1同理。

2019-03-10 09:33:00 weixin_30570101 阅读数 13
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图像处理中正交变换的目的是什么?图像变换主要用于那些方面?

图像处理中正交变换的目的是将图像的能量尽量集中在少量系数上,从而最大限度地去除原始数据中的相关性。

主要用于图像特征提取、图像增强、图像复原及图像编码等处理中从而使后续运算变得简单。

转载于:https://www.cnblogs.com/lyj0123/p/10504220.html

博文 来自: qq_19924321
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