2019-12-10 22:32:21 drawsky 阅读数 33

李群: 既是n维微分流形,又是一个群。要求群运算μ:G×GG,ghμ(g,h)\mu:G \times G\rightarrow G,gh\equiv\mu(g,h)cc^{\infty}的。

李群同构:映射Φ:GG\Phi:G\rightarrow G'既是群同构,又是微分同胚,Φ\Phi是微分同胚,还满足:Φ(gh)=Φ(g)Φ(h)\Phi(gh)=\Phi(g)\Phi(h)

李子群:HGH \subset G,HH关于群运算μ:G×GG\mu:G \times G\rightarrow G也是个李群。
群运算诱导左平移和右平移运算
左平移:Lg:GG,Lg(h)μ(g,h)gh;  g,hGL_g:G\rightarrow G,L_g(h)\equiv \mu(g,h)\equiv gh;\;g,h\in G
右平移:Rg:GG,Rg(h)μ(h,g)hg;  g,hGR_g:G\rightarrow G,R_g(h)\equiv \mu(h,g)\equiv hg;\;g,h\in G

左不变向量场:GG上矢量场Xˉ\bar X,满足LgXˉ=XˉL_{g*}\bar X=\bar X

在定义左不变向量场的时候,用到了推前映射

M,NM,N是两个微分流形,ϕ:MN\phi:M\rightarrow N是光滑映射,XgX_gMMgg点的切矢,f:NRf:N\rightarrow R是任意一个光滑的标量函数函数,诱导出fϕ:MRf\circ\phi:M \rightarrow R,是一个MM上的光滑标量函数,NN上的点ϕ(g)\phi (g)上的一个向量记为ϕXg\phi_{*}X_g,满足(ϕXg)f=Xg(fϕ)(\phi_{*}X_g)f=X_g (f\circ \phi)

推前映射是线性空间同态
ϕ(g1X+g2Y)f=(g1X+g2Y)fϕ=g1Xfϕ+g2Yfϕ=(g1ϕX+g2ϕY)fg1,g2F(x) \begin{array}{ll} \phi_{*}(g_1X+g_2Y)f &=(g_1X+g_2Y)f\circ \phi\\&=g_1Xf\circ \phi+g_2Yf\circ \phi \\&=(g_1\phi_{*}X+g_2\phi_{*}Y)f \end{array} \\ \forall g_1,g_2 \in \mathscr F(x)
ϕ(g1X+g2Y)=g1ϕX+g2ϕY\therefore \phi_{*}(g_1X+g_2Y)=g_1\phi_{*}X+g_2\phi_{*}Y.

推前映射构成切空间同态,当ϕ\phi是微分同胚时,推前映射是切空间线性同构。

光滑映射ϕ\phiMM上的点"端到"NN上,顺便还可以把切向量一并"端到"NN上。如果M=NM=Nϕ\phi有两种理解:一种是微分流形的坐标变换,推前映射就是切矢的坐标变换;另一种是移动点的位置,那就建立了微分流行上两点之间的切空间同构关系。

在李群上,就可以将李群单位ee点的切空间平移到任意一点,任意单位点的矢量VV都可以通过LgV,gGL_{g*}V,\forall g \in G迁移到点gg,得到一个矢量场Xˉ,LgXˉe=Xˉg\bar X,L_{g*}\bar X_e=\bar X_g,并且有LgXˉh=LgLhXˉe=LghXˉe=XˉghL_{g*}\bar X_h=L_{g*}L_{h*}\bar X_e=L_{gh*}\bar X_e=\bar X_{gh}.是左平移不变的。

这样通过的左移动群运算LgL_g,将李群GG每一点的切空间联系起来得到切空间的同构关系。每一个左不变矢量场一一对应到单位点的一个切矢,因此李群NN的左不变向量场集合G\mathscr G 与李群NN单位点的切空间线性同构GTGe\mathscr G \cong TG_e

另外,推前映射还有ϕTMTN\phi_{*}:TM \rightarrow TN:
ϕ[X,Y]f=[X,Y]fϕ=(XYYX)fϕ=X((ϕYf)ϕ)Y((ϕXf)ϕ)=(ϕX)(ϕY)f(ϕY)(ϕX)f=[ϕX,ϕY]f \begin{array}{ll} \phi_{*}[X,Y]f &=[X,Y]f\circ\phi\\ &=(XY-YX)f\circ\phi\\ &=X\big((\phi_{*}Yf)\circ\phi\big)-Y\big((\phi_{*}Xf)\circ\phi\big)\\ &=(\phi_{*}X)(\phi_{*}Y)f-(\phi_{*}Y)(\phi_{*}X)f \\&=[\phi_{*}X,\phi_{*}Y]f \end{array}

在不变向量场集合G\mathscr G上附加了李导数结构:Lg[X,Y]=[LgX,LgY]L_{g*}[X,Y]=[L_{g*}X,L_{g*}Y],左不变向量场的李括弧运算结果,仍然是左不变向量场。
也就是说G\mathscr G满足:

  1. Xˉ,YˉG,gXˉ+hXˉG,g,hF(G)\forall \bar X ,\bar Y \in \mathscr G,g\bar X+ h\bar X\in \mathscr G,\forall g,h\in \mathscr F(G)
  2. Xˉ,YˉG,[Xˉ,Yˉ]G\forall \bar X ,\bar Y \in \mathscr G,[ \bar X ,\bar Y]\in \mathscr G

所以G\mathscr G是李代数。

给定一个李群,就必有下面5个内容:

  1. 由运算μ:G×GG\mu:G \times G\rightarrow G 得到左平移 Lghμ(g,h)=ghL_{g}h\equiv\mu(g,h)= gh

  2. 左平移得到推前映射LgLgL_g \to L_{g*}

  3. 给定单位点ee有切空间TGeTG_e,得到XeTGeX_e \in TG_e,

  4. 由推前映射LgL_{g*}Xe  ,XeTGeX_e\;,\forall X_e \in TG_e得到不变向量场Xˉ,Xˉg=LgXe\bar X,\bar X_g=L_{g*}X_e

  5. 推前映射自然的与李括号积可以交换Lg[Xˉ,Yˉ]=[LgXˉ,LgYˉ]L_{g*}[\bar X,\bar Y]=[L_{g*}\bar X,L_{g*}\bar Y],得到李代数GTGe\mathscr G \cong TG_e.

所以:李代数是李群的内禀结构,并且同构与任意一点的切空间TGg,gGTG_g,\forall g\in G,李群同态诱导出的李代数也同态,李群同够诱导出的李代数也同构。

反过来来,给定一个李代数,存在一个李群的李代数与之同构。但这个李群不是唯一的,如果是单联通李群,那么李代数同构诱导李群同构。

既然李群G\mathscr G是一个线性空间,那么可以任意选定其中一组n个向量XiX_i作为基,那么[Xi,Xj][X_i,X_j]也是李代数的一元,就可以由这组基线性表出:
[Xi,Xj]=Ci,jkXk[X_i,X_j]=C_{i,j}^kX_k
Ci,jkC_{i,j}^k称为结构常数。
因为李括弧积是反衬的,所以结构常数也是反衬的。
[Xj,Xi]=Cj,ikXk=[Xi,Xj]=Ci,jkXkCi,jk=Cj,ik[X_j,X_i]=C_{j,i}^kX_k=-[X_i,X_j]=-C_{i,j}^kX_k\Rightarrow C^k_{i,j}=-C^k_{j,i}

这里讨论的东西,对有李群右平移,右不变向量场都成立,同样得到的李代数也成立。

2019-12-09 21:10:10 tfb760 阅读数 14

本文只用于记录自己在学习李群与李代数过程中的一些个人理解和总结,不保证正确性。欢迎探讨。

0.参考资料:

A micro Lie theory for state estimation in robotics: https://pan.baidu.com/s/1SEkB6L1kESTcZU6GqLVYGA 提取码: y7jk
视觉SLAM十四讲:https://github.com/gaoxiang12/slambook2

1.基础知识

基础知识略掉了,看十四讲就好。

2.个人理解

  1. 李群与李代数,是一块范围非常之大的数学,不需要关注太多,只需要理解在SLAM中的使用就好;
  2. 三维旋转、六自由度的旋转与平移,分别对应了特殊正交群 SO(3) 与 特殊欧式群 SE(3);
  3. 李群是高维空间中的流形,流形上一点的切(超)平面构成了李代数的参数空间;由于李群的性质(连续光滑),所以李群对应的流形上处处可导;
  4. 既然李群是高维空间的流形,所以必然本身实际的维度低于空间维度。实际的维度即切平面的维度。例如三维旋转矩阵R虽然有9个参数,但由于旋转只有3个变量(通过3个单位、3个正交,限制了6个自由度),所以其对应的李代数只有3个变量;
  5. 李群与李代数可以相互转化,转化即:指数映射与对数映射;
  6. 在变化比较小时,李群上的乘法(小旋转)可以用李代数线性表示,对应的系数J即为雅克比矩阵;
  7. 在求解一个优化问题时,需要通过梯度进行迭代,此时对于旋转矩阵R或旋转平移矩阵T来说,可以有两种思路:a) 在矩阵对应的李代数上求导,利用其加法性质;b) 对矩阵进行扰动,采用扰动模型。扰动模型相比于李代数求导,减少了雅克比矩阵的计算,所以表示形式更为简洁。
2017-07-09 20:12:42 Hansry 阅读数 14152

1.李群与李代数基础

三维旋转矩阵构成特殊正交群SO(3),而变换矩阵构成了特殊欧氏群SE(3):

这里写图片描述

这里写图片描述

其中特殊正交群SO(3)和特殊欧氏群SE(3),对加法不封闭,而对乘法封闭。则有:

这里写图片描述

群,是一种集合加上一种运算的代数结构,主要满足有:封闭性、结合律、幺元、逆等性质。而李群,则是指具有连续光滑性质的群。

对于李代数,考虑任意旋转矩阵 R,会随着时间变化而变化,即为时间的函数:R(t)。
则有:

这里写图片描述

通过对其时间的求导,可得到一个等式:

这里写图片描述

其中 这里写图片描述 为反对称矩阵,对于反对称矩阵而言,我们总能找到一个向量与之对应,对以上的反对称矩阵,我们记这个向量为 这里写图片描述,则有:

这里写图片描述

由于 R 为正交矩阵,则有

这里写图片描述

我们可以看到,每对旋转矩阵求一次导,只需左乘一个上述矩阵即可,设 to=0,且R(0)=I,通过一阶泰勒展开解上述微分方程,可以得到:

这里写图片描述

该方程说明了旋转矩阵R通过一个反对称矩阵通过指数关系发生了联系。

对于李代数而言,在不引起歧义的情况下,我们可以说李代数的元素是上述所提到的向量和反对称矩阵,而李代数so(3),(注意这里与SO(3)不同),则元素为三维向量和三维反对称矩阵,而se(3)的元素是六维向量和六维反对称矩阵,其表达方式为:

这里写图片描述

这里写图片描述

对于se(3)里面的p的三维向量,代表的是平移,但是含义与变换矩阵中的平移是不同的,这点需要特别注意,另外在se(3)李代数中,符号“ ^“仅仅表示向量到反对称矩阵,而是广泛的表达为从”向量到矩阵“。

2.指数与对数映射

上面我们提到了这里写图片描述,它是一个矩阵的指数,在李群和李代数中,称为指数映射。通过一系列的泰勒展开计算,我们可以得到:

这里写图片描述

其中,这里写图片描述 代表三维向量的模长,而a代表长度为1的方向向量。**通过上述公式可得,so(3)实际上就是所谓的旋转向量。通过这种指数映射,意味着SO(3)中的元素,都可以找到一个so(3)的元素与之对应,但是可能存在多个so(3)对应到同一个SO(3),毕竟so(3)在一定程度上就是由旋转向量组成的空间。**如果把旋转角度固定在 这里写图片描述 中,那么李群和李代数就是一一对应的了。

3.李代数求导与扰动模型##

为什么要使用李代数呢?使用李代数的一大动机是用来进行优化,因为在从空间点到观测数据的转换时,总会有噪音的存在,优化机器人的位姿使得噪声最小。

对某个旋转矩阵R,对应的李代数为 这里写图片描述 ,当左乘一个微小的旋转 这里写图片描述 后,对应的李代数为 这里写图片描述。那么在李群上我们得到的结果是 这里写图片描述,而在李代数上,根据BCH近似,我们得到的结果是 这里写图片描述,由此可以得到公式为:

这里写图片描述

而对于se(3)李代数而言,同样有类似的性质。

对于李代数求导问题,在SLAM中,我们要估计一个相机的位姿,该姿态是由李群上的SO(3)和SE(3)而来的。那么,假设某时刻摄像机的位姿为T,观察到了点 p,得到了观测数据z,那么有: z=Tp+w,其中w为观测误差。

为了使得实际值与观测值最大程度的接近,那么我们需要使噪声最小,而这个即是优化的过程,通过对转换矩阵 T 的求导,得到整体误差的最小化:

这里写图片描述

为了求解这个问题,我们经常会构建与位姿有关的函数,然后讨论该函数关于位姿的导数,以调整当前的估计值。因为变换矩阵只是单纯的李群,对加法不封闭,于是我们可以转换成李代数进行求导。因为李代数由向量组成,所以具有良好的加法运算。在求解李代数问题时,有俩种思路:

1.用李代数表示姿态,然后根据李代数加法来对李代数求导
2.对李群左乘或者右乘一个微小扰动,然后对该扰动求导,称为左扰动模型和右扰动模型。第一种对应到李代数的求导模型,第二种对应到扰动模型。

李代数求导模型

关于李代数求导,考虑到SO(3),假设对一个空间点 p 进行了旋转,得到了 Rp ,要计算旋转后点的坐标相对于旋转的导数,有:这里写图片描述,但是对于李群而言对加法不封闭,所以该导数无法按照导数的定义进行计算。设 R 对应的李代数为 这里写图片描述 ,那么转而计算有:这里写图片描述

于是,按照导数的定义,我们可以有:这里写图片描述**=这里写图片描述(雅克比矩阵)(其中推导省略),但是由于在这里我们需要计算雅克比矩阵,所以过程比较复杂,转而学习下面的扰动模型。

扰动模型(左乘)

在模型之前,有麦克劳林展开式有:

y=exy=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项:ex1+x+x2/2!+x3/3!++xn/n!e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

接着上述问题,另一种求导方式为,对R进行一次扰动 这里写图片描述,设左扰动对应的李代数为 这里写图片描述 ,对其进行求导有:这里写图片描述

该式求导比上述简单:

这里写图片描述

这里写图片描述

最终得到结果省去了计算一个雅克比矩阵,这使扰动模型更加有用!!其中,第二步到第三步运用了麦克劳林展开式,舍去了高次项。从第四步到第五步,可以将反对称符号看做叉积,变换之后变号,从而求得结果!!

最后,这些模型的求解可以一个Sophus库进行协助求解!!!

2018-06-18 20:51:53 danmeng8068 阅读数 767

高博是李群李代数数学基础讲解博客:

http://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5137454.html

http://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5577912.html

有关sophus的简单介绍的博客:

http://blog.csdn.net/lancelot_vim/article/details/51706832

http://www.rosclub.cn/post-246.html

参考资料:

SLAM十四讲第4章第1011

Liegroups for 2d and 3d transformations

Liegroups ,lie algebras, projective geometry and optimization for 3dGeometry,Engineering and Computer Vision

strasdat_phd2012

stateestimation for robotics

《视觉SLAM中的矩阵李群李代数》


李群与李代数基础

阅读数 13098

李群、李代数定义

博文 来自: youngpan1101

群论李群学习

阅读数 249

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