2018-01-23 18:42:29 lynn0085 阅读数 1596

泊松分布的特征与应用(概统2.应用)

由前面 离散型随机变量,二项分布,泊松分布,指数分布,几何分布(概统2.知识)
可知泊松分布的应用类型,第一类是单位时间内按固定频率发生的事件,此时固定频率就是常数λ; 第二类是n很大,p很小,n*p等于一个常数,就是λ

泊松分布的分布律公式:
P {X=k} =(λ)kk!eλ, k=0,1,2,…
称X为服从参数为λ的泊松分布,记为 X~π(λ) ,或者 X~P(λ)

泊松分布的图形示例:

这里写图片描述
这里写图片描述

我们再来温习一下:

泊松分布的特征:

1)泊松分布的图形只取决于平均数λ
2)当λ很小时,图形是很偏的,但当λ增大时,图形逐渐趋向正态,当λ=20时,泊松分布接近正态,当λ>50时,可以认为是正态分布。
3)由泊松分布的图形示例,可以看得出来,k值在λ附近时,概率最大,
k=λ,P{X=k}等于峰值
4)泊松分布具有可加性
5)泊松分布的均值和方差相等。
均值 = λ = n*p,
方差根 = σ=np(1p)
p0时,(1p)1
σ = np(1p) = np
因此 λ=σ2
关于泊松分布均值和方差的推导,可以参考

泊松分布的期望和方差推导

泊松分布的应用实例:

[实例1] 某厂有300台设备,每台设备发生故障的概率是0.01,每名工人一个时间只能维修一台设备,问需要配备多少名维修工人,才能保证事故发生不能被及时维修的概率小于1%?
解:
n=300,p=0.01, n*p =300*0.01=3; n很大,p很小,n*p=常数,符合泊松分布的要求;
λ=np=3000.01=3;
分析:题目要求:事故发生不能被及时维修的概率小于1%,即小于0.01。
也就是说,事故发生时能够得到及时维修的概率需要大于等于99%,即大于等于0.99;
该问题就是求 ”置信区间“ 的问题。
这里写图片描述
看一下泊松分布图示意,假设有一个点标记为kα
在k取0~kα的区间中(右连续),概率总和是大于等于0.99,
在k取大于kα的区间的时候,概率总和小于等于0.01,
就是说kα是0.99概率和0.01概率的分界点。

k取0~kα的区间概率=P(0<=X<=kα) = k>=0k<=kα3kk!e3 >=0.99

也可以通过计算 k>kα的概率<0.01,即:

P(0<=X<=kα) = 1 - P(X=>kα)

= 1 - k>kαk<3kk!e3 >= 0.99 ;

P(X=>kα)=k>kαk<3kk!e3 <0.01 ;

最后,通过计算,可得 ,
可得 kα = 8; 即0.99与0.01的概率的分界点在k=8处,也就是说0.99的置信区间在k<=8以内;

当配备了8名维修工的时候,就能满足99%的修理任务。

2017-05-24 13:30:44 xinzhi8 阅读数 947

分布特点



泊松分布的概率函数为:

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为
 λ 

应用场景


在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。
        !某一服务设施在一定时间内到达的人数
!电话交换机接到的呼叫次数
!汽车站台的侯客人数
!机器出现的故障数
!自然灾害的发生数
!产品的缺陷数
!显微镜下单位面积内细菌的分布数
等等

     应用示例

泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 
观察事物平均发生m次的条件下,实际发生x次的概率P(x)可用下式表示:

称为泊松分布。例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组(~4×106核苷酸对)平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式:

p(0)是未产生二体的菌的存在概率,实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株,recA-株(除去既不能修复又不能重组修复的二重突变)的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量,因此p(1),p(2)..就意味着全部死亡的概率。 


泊松分布的现实意义是什么,为什么现实生活多数服从于泊松分布?


      例如说一个医院中,每个病人来看病都是随机并独立的概率,则该医院一天(或者其他特定时间段,一小时,一周等等)接纳的病人总数可以看做是一个服从poisson分布的随机变量。但是为什么可以这样处理呢?

我个人认为最好的解释方法是从poisson的两种不同定义上着手。

Poisson分布的第一个定义是一个随机变量X, 只能取值非负整数(x=0,1,2,...),且相应的概率为e^{-\lambda }\frac{\lambda ^x}{x!}

,则该变量称为服从poisson分布。这个定义就是我们平时考试或者理论工作时用的poisson随机变量的定义。

注意Poisson还有一个知名度比较小的第二个定义,或者说是Poisson Process的定义:假定一个事件在一段时间内随机发生,且符合以下条件:

(1)将该时间段无限分隔成若干个小的时间段,在这个接近于零的小时间段里,该事件发生一次的概率与这个极小时间段的长度成正比。

(2)在每一个极小时间段内,该事件发生两次及以上的概率恒等于零。

(3)该事件在不同的小时间段里,发生与否相互独立。则该事件称为poisson process。

这个第二定义就更加利于大家理解了,回到医院的例子之中,如果我们把一天分成24个小时,或者24x60分钟,或者24x3600秒。时间分的越短,这个时间段里来病人的概率就越小(比如说医院在正午12点到正午12点又一毫秒之间来病 人的概率是不是很接近于零?)。 条件一符合。另外如果我们把时间分的很细很细,是不是同时来两个病人(或者两个以上的病人)就是不可能的事件?即使两个病人同时来,也总有一个人先迈步子跨进医院大门吧。条件二也符合。倒是条件三的要求比较苛刻。应用到实际例子中就是说病人们来医院的概率必须是相互独立的,如果不是,则不能看作是poisson分布。




2019-03-31 09:48:14 weiwei_Allison 阅读数 2819

从泊松分布出发的简单整理

泊松分布与泊松过程

泊松分布是单位时间内事件发生的次数的概率。而泊松过程是是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。比如一个小时内公交站台内通过的公交数量。是离散的量。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在泊松过程中,我们把想观察到的事件叫做到达(Arrival)。把单位时间内到达的数量,叫做到达率(Arrival Rate)。
泊松过程需要满足以下三个性质:

  1. 在任意单位时间长度内,到达率是稳定的。
  2. 未来的实验结果与过去的实验结果无关。
  3. 在极小的一段时间内,有1次到达的概率非常小,没有到达的概率非常大。

泊松过程的核心就是,它的到达间隔序列Tn,即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。

泊松分布与指数分布

指数分布分布函数如下:
在这里插入图片描述
泊松分布
指数分布
指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个事件发生要间隔时间 t ,就等同于 t 之内没有任何此类事件发生。
在这里插入图片描述
反过来,事件在时间 t 之内发生的概率,就是1减去上面的值
在这里插入图片描述
注意:泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布,指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

请注意是"独立事件",泊松分布和指数分布的前提是,事件之间不能有关联,否则就不能运用上面的公式。

与伽马分布的关系

指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生,需要经历多久时间”
伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生,需要经历多久时间”
泊松分布解决的是“在特定时间里发生n个事件的机率”。

伽玛分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总。

在这里插入图片描述
参考:https://www.jianshu.com/p/6ee90ba47b4a

二项分布和泊松分布

n很大,p很小时泊松分布可以用来近似二项分布,此时 λ=np

二者关系的直观解释:

从泊松分布说起。把单位时间分成n等分,称为n个时间窗口。那么在某个时间窗口发生一个事件的概率为λ/n.那么我们可以将泊松分布和二项分布对应起来:在某个时间窗口里发生事件, 对应抛出正面硬币;发生k次事件,对应抛出k个正面。因此,泊松分布和二项分布近似了。

问题:为什么n要足够大,p要足够小?

因为在分时间窗口的时候有个假设:每个时间窗口最多只有一次事件发生。

2018-08-26 17:48:46 cherrylvlei 阅读数 8138

● 每周一言

有些人推动生活走,有些人则被生活推着走。

导语

公交地铁站根据每天客流量的变化安排班次,银行根据每天的排号人数决定开放柜台数,包子粥铺根据每天卖出多少碗粥和多少个包子来充分备货……这一类常见的生活问题都和泊松分布息息相关。

那么,如何直观理解泊松分布?

泊松分布

要讲泊松分布,得先讲讲二项分布,因为泊松分布是二项分布的极限形式,是由二项分布的公式取极限推导而来。

fig1

二项分布,顾名思义,就是取值结果只有正负两种的分布,用数学语言描述就是关于n个独立的正负实验中成功次数的离散概率分布。

二项分布最典型的实验是抛硬币实验,抛n次硬币,有k次正面朝上的概率是多少?假设正面朝上的概率是p,根据排列组合,从n次中挑选出k次正面朝上,n-k次翻面朝上,发生的概率P为:

P=Cnk×pk×(1p)nk

这个便是二项分布公式,二项分布公式的数学期望μ = np。

fig2

这个时候大家可能发现了,要计算发生k次的概率,在二项分布中必须事先知道一个全局的n才行。然而,在前文提到的实际生活问题中,我们很难或者无法预先知道对应的n是多少。

比如潜在乘坐公交车的乘客总数,潜在需要去银行办业务的客户总数,以及潜在包子粥铺顾客总数等。这里有一个前提假设,每一类人对相应事件的参与概率相同且互不影响,即独立同概率假设。

fig3

人数n未知,难道就没有办法求这个概率P了吗?聪明的小伙伴应该已经联想到了取n的极限来求解P。没错,这个取极限求解P正是泊松分布的推导过程。

P=limnCnk×pk×(1p)nk

可知,上式中只剩下p是未知的,根据二项公式的数学期望μ = np,我们知道p= μ / n,带入上式并推导计算P的极限得:

P=limnCnk×(μn)k×(1μn)nkP=limnn(n1)(n2)...(nk+1)k!μknk(1μn)nkP=limnμkk!n(n1)...(nk+1)nk(1μn)k(1μn)n

将上式各个部分拆开来计算,根据指数e的极限求法,我们能得到:

limnn(n1)...(nk+1)nk(1μn)k=1limn(1μn)n=eμ

将上式带入极限求解,P的极限最终变成了只和k、μ相关的式子,即泊松分布公式。

Pk=limnCnk×pk×(1p)nk(6)=μkk!eμ

有了泊松分布公式,已知均值μ,我们不需要知道总数n,就能求得k值对应的概率是多少。

fig4

拿之前的包子粥铺作为例子直观说明一下泊松分布公式的用法:已知包子粥铺历史每天平均卖出μ=100个包子,为了保证未来每天不够卖的概率低于10%,每天最少需要准备多少个包子?

假设最少需要准备n个包子,根据泊松公式可得如下不等式:

k=1nPk=k=1n100kk!e100>110%=0.9

可知,满足上式的最小n即为问题的解。

以上便是泊松分布的讲解,敬请期待下节内容。

结语

感谢各位的耐心阅读,后续文章于每周日奉上,敬请期待。欢迎大家关注小斗公众号 对半独白

face

2015-12-15 19:19:04 qq_18343569 阅读数 8221
泊松分布的概率函数为:
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
clc,clear,close all
warning off
feature jit off
im = imread('coloredChips.png');
Z1 = imnoise_poission(im,size(im,1),size(im,2),0.3);
Z1 = im2uint8(Z1);   % 类型转换
figure('color',[1,1,1]),
im(:,:,1) = im(:,:,1) + Z1;  % R
im(:,:,2) = im(:,:,2) + Z1;  % G
im(:,:,3) = im(:,:,3) + Z1;  % B
subplot(121); imshow(im);title('加泊松分布噪声图像')
subplot(122); imhist(Z1); title('加泊松分布噪声图像直方图')


function R = imnoise_poission(im,M, N, lamda)
% input:
%       泊松poission分布,噪声的类型;
%       M,N:输出噪声图像矩阵的大小
%       a,b:各种噪声的分布参数
% output:
%       R: 输出的噪声图像矩阵,数据类型为double型
% 设定默认值
if nargin < 4
   lamda = 0.5;
end
   % 产生poission分布噪声
   for i = 1:M
       for j=1:N
           b=1;
           c = double( floor(im(i,j)/30)+1 );
           for k =1:c
               b=b*k;
           end
           R(i,j) = exp(-lamda).*lamda.^(c)./b;
       end
   end
end


泊松分布

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泊松分布

博文 来自: tony2278

泊松分布的期望和方差.

博文 来自: qq_43251098
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