2019-03-10 09:33:00 weixin_30570101 阅读数 13
  • 多角度带你编写更规范的黑盒测试用例

    讲解方式 通过类比生活中的例子,轻松理解测试用例的设计方法。课程内容条理清晰,目标明确,由浅入深,环环相扣。重点部分进行额外梳理和总结,更易理解和吸收。 课程亮点 1,测试用例的要素讲解,让测试用例的编写更加规范 2、多种测试用例方法的学习,让用例设计更加全面。测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3,多角度的案例实践,以理解各种方法的应用 课程内容 1、测试用例的定义和组成要素 2、测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3:每种设计方法对应的案例讲解 适用人群 1、对软件测试感兴趣的在校生及应届生。 2、希望转行软件测试的在职人员。 3、希望巩固软件测试设计方法的测试同行。 4、对软件测试感兴趣的其他听众。

    604 人正在学习 去看看 传智

图像处理中正交变换的目的是什么?图像变换主要用于那些方面?

图像处理中正交变换的目的是将图像的能量尽量集中在少量系数上,从而最大限度地去除原始数据中的相关性。

主要用于图像特征提取、图像增强、图像复原及图像编码等处理中从而使后续运算变得简单。

转载于:https://www.cnblogs.com/lyj0123/p/10504220.html

2017-04-17 19:42:58 Tendency_Yang 阅读数 3233
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    讲解方式 通过类比生活中的例子,轻松理解测试用例的设计方法。课程内容条理清晰,目标明确,由浅入深,环环相扣。重点部分进行额外梳理和总结,更易理解和吸收。 课程亮点 1,测试用例的要素讲解,让测试用例的编写更加规范 2、多种测试用例方法的学习,让用例设计更加全面。测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3,多角度的案例实践,以理解各种方法的应用 课程内容 1、测试用例的定义和组成要素 2、测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3:每种设计方法对应的案例讲解 适用人群 1、对软件测试感兴趣的在校生及应届生。 2、希望转行软件测试的在职人员。 3、希望巩固软件测试设计方法的测试同行。 4、对软件测试感兴趣的其他听众。

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一、综述

图像变换可以分为正交变换(积分变换)和几何变换两种。积分变换主要有离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)、离散余弦变换(Discrete Cosine Transform,DCT)、小波变换(Wavelet Transform,WT)等,其基本思想就是将图像信号从空间域变换到频率域。为什么要这样处理呢?目的是简化问题的求解。举个例子,要在空间域中做卷积运算,其难度相当大,但是通过离散傅里叶变换,可以将空间域中的卷积运算转化为频率域中的乘法运算,化繁为简。所以,求解这类问题的一般思路是:

1)从空间域转化到频率域,使用离散傅里叶变换;

2)在频率域内求解;

3)从频率域反向变换到空间域,使用离散傅里叶变换的反变换。

几何变换简单一些,就是图像的平移、伸缩、旋转、镜像以及由这几种变换组合而成的复合变换,其数学基础是一个叫做其次坐标的东西,每种变换都有一个该坐标下的变换矩阵,最终就是矩阵的乘法运算。

二、MATLAB实现

  • 离散傅里叶变换
% 图像的离散傅里叶变换

% 程序执行前的清理工作
close all;
clear;
clc;

% 读取图像
[filename,pathname,filter] = uigetfile({'*.jpg;*.jpeg;*.bmp;*.gif;*.png'},'选择图片');
if filter == 0
    return;
end
img_filename = fullfile(pathname,filename);
input_img=imread(img_filename);

% 转化为灰度图
input_img = rgb2gray(input_img);

% 快速傅里叶变换
J = fft2(input_img);

% 频率变换
K = fftshift(J);

% 图像显示
subplot(1,3,1);
imshow(input_img);
title('原始图像');

subplot(1,3,2);
imshow(J);
title('FFT变换结果');

subplot(1,3,3);
imshow(K);
title('零点平移');
  • 离散余弦变换
% 图像的离散余弦变换

% 程序执行前的清理工作
close all;
clear;
clc;

% 读取图像
[filename,pathname,filter] = uigetfile({'*.jpg;*.jpeg;*.bmp;*.gif;*.png'},'选择图片');
if filter == 0
    return;
end
img_filename = fullfile(pathname,filename);
input_img=imread(img_filename);

% 转化为灰度图
input_img = rgb2gray(input_img);

% 离散余弦变换
J = dct2(input_img);

% 图像显示
subplot(1,2,1);
imshow(input_img);
title('原始图像');

subplot(1,2,2);
% 对数显示图像
imshow(log(abs(J)),[]);
title('DCT变换结果');
  • 镜像变换
% 图像的镜像变换

% 程序执行前的清理工作
close all;
clear;
clc;

% 读取图像
[filename,pathname,filter] = uigetfile({'*.jpg;*.jpeg;*.bmp;*.gif;*.png'},'选择图片');
if filter == 0
    return;
end
img_filename = fullfile(pathname,filename);
input_img=imread(img_filename);

% 转化为灰度图
input_img = rgb2gray(input_img);

% 返回图像的大小矩阵1*2
S = size(input_img);

% 水平镜像
H(1:S(1,1),1:S(1,2)) = input_img(1:S(1,1),S(1,2):-1:1);

% 垂直镜像
V(1:S(1,1),1:S(1,2)) = input_img(S(1,1):-1:1,1:S(1,2));

% 对角镜像
A(1:S(1),1:S(2)) = input_img(S(1):-1:1,S(2):-1:1); 

% 图像显示
subplot(2,2,1);
imshow(input_img);
title('原始图像');

subplot(2,2,2);
imshow(H);
title('水平镜像');

subplot(2,2,3);
imshow(V);
title('垂直镜像');

subplot(2,2,4);
imshow(A);
title('对角镜像');
  • 伸缩变换
%将图像大小归一化为500*400大小
function normal_img = normalize(input_img)

%最近邻插值,效果不好,有马赛克
%nearest = imresize(input_img,[400 500],'nearest');
%双线性插值,效果一般
%bilinear = imresize(input_img,[400 500],'bilinear');
%双三次插值,效果很好
% bicubic = imresize(input_img,[400 500],'bicubic');
normal_img = imresize(input_img,[400 500],'bicubic');



2019-04-25 08:48:38 kuizhao8951 阅读数 157
  • 多角度带你编写更规范的黑盒测试用例

    讲解方式 通过类比生活中的例子,轻松理解测试用例的设计方法。课程内容条理清晰,目标明确,由浅入深,环环相扣。重点部分进行额外梳理和总结,更易理解和吸收。 课程亮点 1,测试用例的要素讲解,让测试用例的编写更加规范 2、多种测试用例方法的学习,让用例设计更加全面。测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3,多角度的案例实践,以理解各种方法的应用 课程内容 1、测试用例的定义和组成要素 2、测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3:每种设计方法对应的案例讲解 适用人群 1、对软件测试感兴趣的在校生及应届生。 2、希望转行软件测试的在职人员。 3、希望巩固软件测试设计方法的测试同行。 4、对软件测试感兴趣的其他听众。

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该文档基于本人上过的课程,所以章节有混乱,慎重观看。PS:所有用分隔符分割开的内容是我的补充部分,不用背诵。粉色要背一背。

考试类型:

  1. 填空。总共18分,每空1分。(范围:每章均涉及)
  2. 选择。总共22分,11道题,每题2分。(范围:每章均涉及)
  3. 简答题。总共4题,每题5分,总共20分。(范围:每章都有可能)
  4. 计算大题。总共40分,2题。(范围:哈达玛矩阵,直方图,滤波,编码,图像分割,相似性描绘)

目录

第一章:

一幅图像需要多少存储空间

像素、灰度的含义是什么? 灰度图像、二值图像、彩色图像的区别是什么?

我们学了什么数字图像处理的内容:

图像增强与图像复原有什么区别?

第三章傅里叶变换(课程ppt):

什么是正交变换?图像处理为什么需要正交变换?我们学了什么正交变换?各种正交变换优缺点在哪里? ppt ;变换到变换域上能量可能会重新分配;

各种正交变换优缺点在哪里?

什么是傅里叶变换的线性、旋转性、移位特性、可分性、周期性等特性?这些特性在二维图像变换中相应的含义是?理解含义 定性掌握

快速傅立叶变换的核心思想是什么?基于 复杂度和长度成平方比,所以长度变短,有公式推导,一个序列变成两个序列,简化冗余部分。

第三章沃尔什变换:

什么是哈达玛矩阵,怎么通过哈达玛矩阵生成沃尔什函数?

小波变换: 

为什么要引入短时傅立叶变换和小波变换?

什么是小波变换的多分辨率分析特性? 这与短时傅立叶变换的时频分析有什么区别?


 

第一章:

一幅图像需要多少存储空

数字图像是由像素(Pixel)组成,一幅1024×1024的灰度图像,如果每个像素灰度级的范围为[0,255], 则所需的存储空间为8Mbit(1024×1024×8 bit=8Mb)。  b代表bit,B代表Byte 

  • 8bit=1Byte   
  • 1024B=1KB   
  • 1024KB=1MB

像素、灰度的含义是什么? 灰度图像、二值图像、彩色图像的区别是什么?

 

  • 像素:是指在由一个数字序列表示的图像中的一个最小单位
  • 灰度值:指黑白图像中点的颜色深度,范围一般从0到255,白色为255,黑色为0,故黑白图片也称灰度图像,在医学、图像识别领域有很广泛的用途。黑色的饱和度

三者区别:

  1. 灰度图像每个像素用灰度级范围内的单个数值表示
  2. 二值图像用0或1表示图像
  3. 彩色图像常用RGB/HSI/YIQ模型表示

详情:图像的颜色空间——RGB、CMY与CMYK、HSI、YUV、YIQ、YCbCr

们学了什么数字图像处理的内容

  • (1)正交变换
  • (2)图像增强
  • (3)图像编码
  • (4)图像的表示与描述
  • (5)区域分割/边缘检测
  • (6)数字形态学

    数字图像处理定义:把利用计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等的理论、方法和技术称为数字图像处理(Digital Image Processing)。

  1. 图像获取、表示和表现
  2. 图像增强(Image Enhancement):(1)增强感兴趣特征的可检测性(2)未知退化有关定量信息时,改善视感质量。
  3. 图像复原:造成图像退化的原因已知时,基于模型和数据的图像回复,消除退化的影响
  4. 图像重建:图像重建是指从数据到图像的处理,输入的是某种数据,而经过处理后得到的结果是图像。Eg. CT
  5. 图像压缩编码(Image Encoding ):利用图像信号的统计特性及人类视觉的生理学及心理学特性,对图像信号进行高效编码, 以便在保证图像质量的前提下压缩数据。
  6. 图像分割(Image Segmentation)
  7. 图像分析( Image  analysis):对图像中的不同对象进行分割、特征提取和表示.
  8. 模式识别(Pattern Recognition)
  9. 图像理解(Image  Understanding):输入图像,输出描述

图像增强与图像复原有什么区别?

  • 图像复原时根据图像退化的先验知识建立一个退化模型,以模型为基础,采用各种逆退化处理方法进行恢复,得到质量改善的图像。
  • 而图像增强对退化先验未知,是为了在主观改善视感质量或者增强感兴趣的特征

 

第三章傅里叶变换(课程ppt):

什么是正交变换?图像处理为什么需要正交变换我们学了什么正交变换

  • 什么是正交变换:线性代数中,正交变换线性变换的一种。对一个由空间投射到另一空间的线性转换,如果转换后的向量长度与转换前的长度相同,则为正交变换。正交变换要求变换所用的基是正交基,所谓正交基是指不同的基之间,它们的点乘为0
  • 图像处理为什么需要正交变换图像处理中正交变换的目的是将图像的能量尽量集中在少量系数上,从而最大限度地去除原始数据中的相关性主要用于图像特征提取、图像增强、图像复原及图像编码等处理中从而使后续运算变得简单。
  • 我们学习了傅里叶变换,离散余弦变换,沃尔什变换,小波变换,短时傅里叶变换

实向量a,b的内积\left \langle a,b \right \rangle=a^{T}b,如果a,b是复数向量,那么a,b的内积定一维\left \langle a,b \right \rangle=a^{H}b,H则代表共轭转置。

内积的物理意义是向量在另一个向量上的投影的积,从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。

\left \langle a,a \right \rangle=\left \| a \right \|,\left \| a \right \|是a向量的长度,或称范数

而正交变换一般是线性变换,其基本线性运算式是严格可逆的,并且满足一定的正交条件,因此,也将其称作酉变换。

酉矩阵具有这样的性质\Phi ^{H}\Phi =I,则可以证明酉变换前后长度不变\left \| \Phi z \right \|^{2}=(\Phi z)^{H}(\Phi z)=z^{H}(\Phi ^{H}\Phi)z=z^{H}z=\left \| z \right \|^{2}


各种正交变换优缺点在哪里?

(1)傅里叶变换

优点:

1.将时域变换到频域

2.物理意义明确

缺点:

1.由于FT计算中包括复数的分量,收敛速度慢,复数乘法

2.与离散余弦变换相比,能量不够集中

3.没有时频的信息

(2)离散余弦变换

优点:没有复数分量,因此与FT,、沃尔什变换相比,能量较集中(能量集中是指变换后只有少数的系数不为0,其他都接近为0)。

缺点:

1.和沃尔什变换相比,表达式复杂,占用时间多     

2.没有时频信息

(3)沃尔什变换

优点:存储空间少,系数只取1和-1,因此计算速度快

缺点:比起傅里叶变换,能量较分散

(4)短时傅里叶变换

优点:有时频特性,可以得到不同时间段内的频率分布情况

缺点:计算量大,且没有多尺度分辨率

(5)小波变换

优点:不仅有时频特性,还具有多尺度分辨率,可以在低频上用更宽的时间尺度观察,在高频上用更窄的时间尺度观察信号。

缺点:计算量大,概念复杂

什么傅里叶变换的线性、旋转性、移位特性、可分性周期性特性?这些特性在二维图像变换中相应含义是?(理解含义 定性掌握)

下面是二维傅里叶的性质:

(1)可分性:可分性是指计算的时候可以先对某一个方向(变量x)做傅里叶变换,再对另一个方向(变量y)做傅里叶变换。一个二维傅里叶变换可以用两次一维傅里叶变换来实现。

(2)线性:傅里叶变换是线性算子,满足线性可加性。 

(3)旋转性如果空间域函数旋转的角度为,那么在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度,即

  (4)  移位特性:

时间移位:。如果序列向右(或向左)移动k位,则:

频率移位:。则

含义:空域上移位了多少,频域的值上都乘上一个常量(常量大小由K决定);反之对称。

5周期性 F(u,v)=F(u+N,v+N)离散傅里叶变化里,时域和频域信号都是 离散周期信号。

 

连续非周期函数的傅里叶谱是连续的非周期函数,连续的周期函数的傅里叶谱是离散的非周期函数。

时域长度受限的信号,频域信号为无限长;反之亦然。


PS:

共轭对称性:F(u,v)<-->f(x,y);F(-u,-v)<-->f(-x,-y)则F(u,v)=F*(-u,-v) 

详细解答:傅里叶变换的共轭与共轭对称性(详细推导)

帕斯瓦尔定理:变换前后能量不变。

 

注意:

傅里叶变换后两边是低频部分,中间是高频(求问:?为什么?),为了观察方便,我们会进行移位。

详情参考:图像的傅里叶变换的迷思----频谱居中


快速傅立叶变换的核心思想是什么?(基于 复杂度和长度成平方比,所以长度变短,有公式推导,一个序列变成两个序列,简化冗余部分。)

核心思想:在分析离散傅里叶变换中的多余运算的基础上,进而消除这些重复工作。

  1. 把原始的N点序列依次分解成一系列的短序列(例如可以把N变成2个N/2,再变成4个N/4......详见书本P84页公式3-53),这样可以降低运算的复杂度。
  2. 系数存在许多冗余,可以利用快速傅里叶变换的规律进行简化。

具体步骤如下:

  • (1)迭代次数r的确定;
  • (2)对偶节点的计算;
  • (3)加权系数的计算;
  • (4)重新排序。

    快速傅里叶变换并不是一种新的变换,它是离散傅里叶变换的一种算法。

:因为要得到一个频率分量就需要N次乘法和N-1次加法,N个采样长度的一维数组的傅里叶变换就需要N^2次乘法和N(N-1)次加法。复杂度和长度成平方比。

傅里叶变换是,可以看到是先乘一个指数再积分;

那么很容易得到其离散形式,其中,是先乘一个离散的指数算子,再求和。

正是因为这个离散算子有周期性,且有时候算子的结果是1/-1/j/-j,造成了乘法运算的冗余。

所以库利—图基就把原始的N点序列分解成系列短序列单独求短序列离散傅里叶变换,减少了乘法运算,便有了FFT。

详见:小学生都能看懂的FFT


 

第三章沃尔什变换:

什么是哈达玛矩阵,怎么通过哈达玛矩阵生成沃尔什函数?

2^n阶哈达玛矩阵的每一行就对应着一个离散沃尔什函数

哈达玛矩阵的递推关系式:

其中,可以推出H(2)=\begin{bmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 1&-1 &1 &-1 \\ 1& 1 &-1 & -1\\ 1& -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

对应的沃尔什函数

怎么通过矩阵的形式来实现沃尔什-哈达玛变换及反变换?(重点)

正变换:

右边是长度为N的f(n)序列,注意要除以长度N! 

反变换:

例题:将时间序列[ 0, 0, 1 ,1 ,0, 0, 1, 1]做沃尔什-哈达玛变换以及反变换。

反变换:


如果是多维数据怎么办呢?——多维变换,由于二维可以推广到多维,这里只介绍二维变换:

    (不用记)

二维变换可以如下计算:

方法1:

(1)以  N=Nx ,对 f(x,y)   中  Ny  个列中的每一列做变换,得到 [Wx(u,y)]  ;

(2)以  N=Ny  对 [Wx(u,y)]  中Nx 行的每一行作变换,即可得到二维变换系数  Wxy(u,v)  。

方法2:

将数据矩阵的各列依次顺序排列,这样就形成由 NxNy  个元素的列矩阵。然后再按照一维沃尔什-哈达玛变换方法来计算。

例题:

第一步:对第一列变换

第二步:对第二列变换 

第三步:对第三列第四列变换 

记得都要除以行数2~

结果:然后继续,得到


小波变换: 

为什么要引入短时傅立叶变换和小波变换?

引入短时傅立叶变换STFT的原因傅立叶变换只能给出总体频率分量,无法看出这些频率所对应信号的出现时间,无法做时频分析。

短时傅里叶:时间域分割成小的等时间间隔,再一个个傅里叶;

缺点:时间间隔不能调整,难以检测持续时间很短、频率很高的脉冲信号的发生时刻。窗口太大,时间分辨率低,窗口太小,频率分析率差。

引入小波变换【CWT】的原因:短时傅立叶变换仍存在固有的局限--不能同时兼顾时间和频率分辨率即用在时域和频域上短时傅里叶变换都用同样的分辨率进行表示(如下下图所示),而小波变换可以多分辨率分析。

可以看到,STFT时间和频率上查看的窗口大小相同,但是CWT就可以在短内看到频率大的

小波变换:“小”:时域具有紧支集或近似紧支集,“波”:具有正负交替的波动性,直流分量为0。
小波概念:是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。
一维信号小波变换得到时频谱,如下图

因为小波系数有a,b两个自变量,分别代表不同的尺度(时间)和频率,所以小波分析属于时频分析。

什么是小波变换的多分辨率分析特性? 这与短时傅立叶变换的时频分析有什么区别?

小波变换的多分辨率分析特性:时频窗中如果时间宽度大,则频率宽度小;时频窗中如果时间宽度小,则频率宽度大。也就是在下图的右图中高频部分(S3),时间分辨尺度小(横坐标),频率分辨尺度大(纵坐标)。

短时傅立叶变换的时频分析的区别就是:当频率不同时,短时傅里叶变换的时间分辨率是固定的,而小波变换可以多分辨率分析。

小波望远镜~~(可能简答题):因为小波基尺度可以变换,类似望远镜拉远拉近,并且小波基时间可以变化,类似望远镜上下左右移动,故可以将小波变换类比成望远镜,如下图。

f(t)是观察的目标,a,b代表小波基的两个自变量,a相当于镜头向目标推进或远离,b相当于使镜头相对于目标平行移动。


上面有一个对小波的认识够考试了,但是这里有一个宝藏科普分享!

小波变换完美通俗解读1

小波变换和motion信号处理(二) 【等我有钱了就把百度文库买下来】

还没找到(三)希望有天使来告诉我~

2018-12-05 10:54:27 weixin_40851250 阅读数 6554
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    讲解方式 通过类比生活中的例子,轻松理解测试用例的设计方法。课程内容条理清晰,目标明确,由浅入深,环环相扣。重点部分进行额外梳理和总结,更易理解和吸收。 课程亮点 1,测试用例的要素讲解,让测试用例的编写更加规范 2、多种测试用例方法的学习,让用例设计更加全面。测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3,多角度的案例实践,以理解各种方法的应用 课程内容 1、测试用例的定义和组成要素 2、测试用例的设计方法:等价类、边界值、判定表、因果图、状态迁移图、场景法、正交实验法、错误推测法 3:每种设计方法对应的案例讲解 适用人群 1、对软件测试感兴趣的在校生及应届生。 2、希望转行软件测试的在职人员。 3、希望巩固软件测试设计方法的测试同行。 4、对软件测试感兴趣的其他听众。

    604 人正在学习 去看看 传智

虽然写这个博客主要目的是为了给我自己做一个思路记忆录,但是如果你恰好点了进来,那么先对你说一声欢迎。我并不是什么大触,只是一个菜菜的学生,如果您发现了什么错误或者您对于某些地方有更好的意见,非常欢迎您的斧正!

目录

楔子

①傅里叶变换的作用

②知识储备

1、泰勒级数

2、欧拉公式(真正的宇宙第一公式)

3、三角级数

4、三角函数系的正交性

③傅里叶变换对

④傅立叶变换的相关概念

⑤一维傅立叶逆变换

⑥傅立叶谱的平移

⑦傅立叶变换频谱

⑧二维Fourier变换的应用

1、Fourier变换在图像滤波中的应用

2、Fourier变换在图像压缩中的应用

3、Fourier变换在卷积中的应用


楔子

之前就已经总结过一次,但是我觉得真的写的晦涩难懂,都是公式,让我感觉哪怕以后自己再看这篇文章,连自己都不会有勇气去读完它。于是只好破釜沉舟,重新学习傅里叶!(其实我已经学过这个了,现在学习这个数字图像处理,竟然又遇到了傅里叶,不得不感慨,它真的无所不在!大学里总是伴随着泰勒、拉格朗日、柯西、傅里叶,但是不得不承认,傅里叶变换真的很牛!)我不是知识的讲述者,我只是一个大佬们对这些知识的理解的搬运工。

强烈推荐两篇文章:

傅里叶分析之掐死教程(完整版

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358


欧拉公式——真正的宇宙第一公式

http://k.sina.com.cn/article_6385529085_17c9b70fd001006gjp.html?from=science

以下就是正文部分了

 

①傅里叶变换的作用

首先你搜索“傅里叶变换”,你将得到一个公式:

你会想,它的意义是什么呢?我要这个公式有何用!

我们不难发现,傅里叶变换总是伴随着“信号”,看一下下图中这个原信号,是不是晦涩难懂,而傅里叶变换的作用,就是将这样一个复杂的波形拆分成简单的正弦波余弦波叠加。(任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成)

就像这样:从b->a->c的巨大演变,只需要一个傅里叶!

②知识储备

1、泰勒级数

这又是一个麻烦的东西,泰勒级数是干什么用的呢?

就是用多项式函数去逼近光滑函数。

(https://www.zhihu.com/question/21149770)

这是我在网上看到的一个解释,我觉得是最贴切的解释了!

还有一幅图可以感受一下,请点击这里。(打不开就用下面的链接)

https://www.matongxue.com/madocs/7.html

接下来看一下它的系统性定义,以及一些常见的泰勒级数,就不多讲了。

泰勒级数:如果函数f(x)在它含点x0的某一区间(a,b)内具有的任何导数都存在,因此对任何正整数n,有下面的n阶泰勒公式成立

2、欧拉公式(真正的宇宙第一公式

作用:将正弦波统一成了简单的指数形式

它的图像意义

3、三角级数

数学中,三角级数是任何具有下述形式的级数

具有以下形式时,该级数称为傅立叶级数

其中可积函数

傅里叶级数是一种三角级数,傅里叶级数也常称为三角级数。但并不是所有三角级数都是傅立叶级数。

4、三角函数系的正交性

 

组成三角级数的函数系:1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...

1)其中任意两个不同的函数之积在[-π,π]上的积分等于0

2)两个相同的函数的乘积在[-π,π]上的积分不等于0

将三角函数展开成傅里叶级数

③傅里叶变换对

④傅立叶变换的相关概念

⑤一维傅立叶逆变换

⑥傅立叶谱的平移

⑦傅立叶变换频谱

⑧二维Fourier变换的应用

1、Fourier变换在图像滤波中的应用

首先,我们来看Fourier变换后的图像,中间部分为低频部分,越靠外边频率越高。因此,我们可以在Fourier变换图中,选择所需要的高频或是低频滤波

 

2、Fourier变换在图像压缩中的应用

变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时,用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0,骗过人眼。

3、Fourier变换在卷积中的应用

        从前面的图像处理算法中知道,如果抽象来看,其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波(如:平滑滤波、锐化滤波等 )。 如果滤波器的结构比较复杂时,直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。

 

参考文章(感谢大佬!):

傅里叶分析之掐死教程(完整版)

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

 

欧拉公式——真正的宇宙第一公式

http://k.sina.com.cn/article_6385529085_17c9b70fd001006gjp.html?from=science

2019-07-10 16:32:04 Es_Li_sir 阅读数 38
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一、图像的傅里叶变换

目的与用途

图像变换的目的:

  1. 使得图像处理问题简化;
  2. 有利于图像特征提取;(我们知道特征提取的目的是为了对影像进行分析,根据特征从影像中提取目标等有用信息,特征提取对影像中提取目标非常重要)
  3. 有助于从概念上增强对图像信息的理解。

图像变换其实就是对图像的另一种表达,正如我们可以将一个函数分解表示为奇偶函数等一系列不同系数的正交函数和等多种方式一样。图像变换通常采用的是一种二维正交变换。其一般要求如下:

  • 正交变换必须是可逆的;
  • 正变换和反变换的算法不能太复杂;
  • 正交变换的特点是变换域中图像将集中分布在低频率成分上,边缘、线状信息反映在高频率成分上,有利于图像处理。

傅里叶变换:将空间域转换为频率域的变换。

任一函数都可以展成三角函数的无穷级数,任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦和的形式,每个正弦和余弦乘以不同的系数(即傅里叶级数展开)。

定义:如果一个周期为T的函数f(t)在[-T/2,T/2]满足狄利克雷条件,则在[-T/2,T/2]可以将函数f(t)展开为无穷个正交三角函数的和,如下所示:周期为大写T函数f(t)被展开表示成了无穷多个不同频率的三角函数的加权和,an和bn即为权重系数。

依据欧拉公式,上面的三角函数形式可以转换成复数形式

其中,

每个nw就代表一个频率分量,不同的n代表不同的频率,Cn为每个频率分量的系数,代表各频率分量的权重。可见,傅里叶级数清楚的表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重,从而有利于度信号进行分析和处理。

通过上述分析,可将傅里叶变换形象地比作一个玻璃棱镜,可将光分解成不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长(或频率)来决定

傅里叶变换可以看成数学上的棱镜,将函数基于频率分解成不同的成分,使得我们能通过频率成分来分析一个函数。

2.连续函数的傅里叶变换

图像作为一个特殊的二维空间信号,可以看成是一维信号的组合,故我们首先来认识以为傅里叶变换及其反变换。

  • 一维连续傅里叶变换及其反变换

另f(x)为实变量x的连续函数,f(x)的傅里叶变换F(u)表示,则其定义为

若已知F(u),则傅里叶反变换为

以上两个公式称为傅里叶变换对。

一般情况下,实际信号f(x)是实函数,它的傅里叶变换F(u)通常是复函数。故,F(u)可以表示成实部和虚部的形式或者振幅与相位的形式,以及通过F(u)来表示信号的能量,同样根据欧拉公式具体表示如下:

傅里叶变换出现的变量u通常称为频率变量。

  • 二维连续函数的傅里叶变换

一维傅里叶变换很容易推广到二维的情况,如果f(x,y)是连续可积的 且F(u,v)是可积的,则二维傅里叶变换对为:

二维函数的傅里叶变换的幅度、相位和能量谱分别为

连续信号可以等间隔抽样进行处理,这样便于计算机处理。

这里我们可以用f(n)的长度为N,则离散信号的傅里叶变换定义式为

式中u=0,1,2,...,N-1。反变换为,式中n=0,1,2,...N-1

二维离散函数的傅里叶变换

在二维离散的情况下,比如大小为M*N的图像信号f(m,n)的傅里叶变换对表示为

,式中u=0,1,2,...,M-1;v=0,1,2,...,N-1。

,式中m=0,1,2,...,M-1;n=0,1,2,...,N-1。

这里的u,v是频率变量,m和n是空间变量。

一般来说,对一幅图像进行傅里叶变换运算量很大,特别是对大幅面的遥感影像,不直接采用以上公式计算,而是采用快速傅里叶变换算法(FFT),快速傅里叶变换大大减少了计算量,通过软件编程或者专门的硬件来实现。也是傅里叶变换得到更广泛应用的原因之一。

从二维傅里叶变换的定义式知道,一个M行N列的二维图像的傅里叶变换结果也是一个M*N大小的二维矩阵,与原空间域图像像素坐标对应,频率域图像的左上角坐标也为(0,0),该坐标处的值F(0,0)根据傅里叶变换的定义式可以得到,F(0,0)表示, 

这说明:假设f(x,y)是一幅图像,在原点的傅里叶变换等于图像的平均灰度级。

因此,傅里叶变换的原点值反映了图像的平均灰度,即平时信号理论中所说的直流分量。

 

3.二维离散傅里叶变换的性质

1.可分离性

二维离散傅里叶变换DFT可分离性的基本思想是二维DFT可分离为两次一维DFT。

用通过计算两次一维的FFT来得到二维快速傅里叶变换FFT算法。根据快速傅里叶变换的计算要求,需要图像的行列数均满足2的n次,如果不满足,在计算FFT之前先要对图像补零以满足2的n次。

一个M行N列的二维图像f(x,y),先按照行对列变量y做一次长度为N的一维离散傅里叶变换,再将计算结果按列向对变量x做一次长度为M傅里叶变换就可以得到该图像的傅里叶变换结果,如下式

将上式分解开就是如下两个部分,首先得到F(x,v)再由F(x,v)得到F(u,v):

 

 

 

 

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