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  • 1. 与简单线性回归区别(simple linear ...2. 多元回归模型 y=β0+β1x1+β2x2+ … +βpxp+ε 其中:β0,β1,β2… βp是参数 ε是误差值 3. 多元回归方程 E(y)=β0+β1x1+β2x2+ … +βpxp 4. 估计

    1. 与简单线性回归区别(simple linear regression)
    多个自变量(x)

    2. 多元回归模型
    y=β0+β1x1+β2x2+ … +βpxp+ε
    其中:β0,β1,β2… βp是参数
    ε是误差值

    3. 多元回归方程
    E(y)=β0+β1x1+β2x2+ … +βpxp

    4. 估计多元回归方程:
    y_hat=b0+b1x1+b2x2+ … +bpxp

    一个样本被用来计算β0,β1,β2… βp的点估计b0, b1, b2,…, bp

    5. 估计流程 (与简单线性回归类似)
    这里写图片描述
    6. 估计方法
    使sum of squares最小
    这里写图片描述
    运算与简单线性回归类似,涉及到线性代数和矩阵代数的运算
    7. 例子

    一家快递公司送货:X1: 运输里程 X2: 运输次数 Y:总运输时间
    这里写图片描述
    目的,求出b0, b1,…. bp:
    y_hat=b0+b1x1+b2x2+ … +bpxp

    Time = b0+ b1*Miles + b2 * Deliveries
    Time = -0.869 + 0.0611 Miles + 0.923 Deliveries

    8. 描述参数含义
    b0: 平均每多运送一英里,运输时间延长0.0611 小时
    b1: 平均每多一次运输,运输时间延长 0.923 小时

    9. 预测
    如果一个运输任务是跑102英里,运输6次,预计多少小时?
    Time = -0.869 +0.0611 102+ 0.923 6= 10.9 (小时)

    10. 如果自变量中有分类型变量(categorical data) , 如何处理?
    这里写图片描述
    11. 关于误差的分布
    误差ε是一个随机变量,均值为0
    ε的方差对于所有的自变量来说相等
    所有ε的值是独立的
    ε满足正态分布,并且通过β0+β1x1+β2x2+ … +βpxp反映y的期望值

    # -*- coding:utf-8 -*-
    from numpy import genfromtxt
    from sklearn import linear_model
    # genfromtxt函数
    #  genfromtxt函数创建数组表格数据
    #  genfromtxt主要执行两个循环运算。第一个循环将文件的每一行转换成字符串序列。第二个循环将每个字符串序列转换为相应的数据类型。
    #  genfromtxt能够考虑缺失的数据,但其他更快和更简单的函数像loadtxt不能考虑缺失值。
    #  详细用法参考:https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.genfromtxt.html
    #  附加numpy.savetxt该函数能够将数据存储为 CSV 格式:https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.savetxt.html
    
    datapath=r"Delivery_Dummy.csv"
    data = genfromtxt(datapath,delimiter=",")
    #delimiter: the str used to separate data. 横纵坐标以 ',' 分割,因此给 delimiter 传入 ','。delimiter是区分横纵坐标的
    # skip_header: the number of lines to skip at the beginning of the file. 这个参数是跳过表头信息的
    
    x = data[1:,:-1]
    y = data[1:,-1]
    print x
    print y
    
    mlr = linear_model.LinearRegression()
    
    mlr.fit(x, y)
    
    print mlr
    print "coef:"
    print mlr.coef_
    print "intercept"
    print mlr.intercept_
    
    xPredict =  [90,2,0,0,1]
    yPredict = mlr.predict(xPredict)
    
    print "predict:"
    print yPredict
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  • 多元线性回归模型

    万次阅读 多人点赞 2019-07-02 19:22:12
    多元线性回归模型通常用来研究一个应变量依赖多个自变量的变化关系,如果二者的以来关系可以用线性形式来刻画,则可以建立多元线性模型来进行分析。 1.模型简介 1.1模型的结构 多元线性回归模型通常用来描述变脸y和x...

    多元线性回归模型通常用来研究一个应变量依赖多个自变量的变化关系,如果二者的以来关系可以用线性形式来刻画,则可以建立多元线性模型来进行分析。
    1.模型简介
    1.1模型的结构
    多元线性回归模型通常用来描述变量y和x之间的随机线性关系,即:
    在这里插入图片描述
    如果对y和x进行了x次观测,得到n组观察值yi,x1i,…,xki(i=1,2,…,n),他们满足一下关系式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    1.2模型参数的检验
    在正态假定下,如果X是列满秩的,则普通线性回归模型的参数最小二乘估计为:
    在这里插入图片描述
    于是y的估计值为:
    在这里插入图片描述
    (1)回归方程的显著性检验
    在这里插入图片描述
    (2)回归系数的显著性检验
    在这里插入图片描述
    2.建模步骤
    (1)根据数据建立回归模型
    (2)对模型进行显著性检验
    (3) 对模型进行回归诊断
    3.建模

    library(car)
    a=read.table("C:/Users/MrDavid/data_TS/reg.csv",sep=",",header=T)
    a
    lm.salary=lm(锘縴~x1+x2+x3+x4,data=a)
    summary(lm.salary)
    #注:锘縴是y乱码之后的结果
    

    在这里插入图片描述
    发现x2,x3,x4系数不显著。
    (2)对变量进行选择

    lm.step=step(lm.salary,direction="both")
    

    在这里插入图片描述
    如果去掉变量x2,AIC的值为648.49,如果去掉变量x3,AIC的值为650.85,如果去掉变量x1,AIC的值为715.19,所以在这里去掉x2.
    进行下一轮的计算:

    lm.salary=lm(锘縴~x1+x3+x4,data=a)
    lm.step=step(lm.salary,direction="both")
    

    在这里插入图片描述
    发现去掉x3,AIC 的值为647.64,所以去掉x3.
    单独对x1和x4,进行拟合。

    lm.salary=lm(锘縴~x1+x4,data=a)
    summary(lm.salary)
    

    在这里插入图片描述
    可以看出F检验P值小于0.05显著,各个参数系数也是显著的。
    (3)对上述回归模型进行回归残差诊断

    算出模型的标准化残差

    library(TSA)
    y.rst=rstandard(lm.step)
    y.rst
    

    在这里插入图片描述
    画出其残差散点图:
    在这里插入图片描述
    很明显发现4和35号点异常,将这两个点去除。

    lm.salary=lm(log(锘縴)~x1+x2+x3+x4,data=a[-c(4,35),])
    lm.step=step(lm.salary,direction="both")
    y.rst=rstandard(lm.step)
    y.fit=predict(lm.step)
    plot(y.rst~y.fit)
    

    去除两点后的结果:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    绘制模型诊断图:

    par(mfrow=c(2,2))
    plot(lm.step)
    influence.measures(lm.step)
    

    在这里插入图片描述
    残差拟合图基本上呈现随机分布模式,正态Q-Q图基本落在直线上,表明残差服从正态分布;大小-位置图和残差-杠杆图以小组的形式存在并且离中心不远。这说明3,4,35号观测值可能是异常点和强影响点。

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  • 多元相关分析与多元回归分析

    万次阅读 多人点赞 2018-10-27 17:13:02
    多元回归分析模型建立 线性回归模型基本假设 多元回归分析用途 多元线性相关分析 矩阵相关分析 复相关分析 曲线回归模型 多项式曲线 二次函数 对数函数 指数函数 幂函数 双曲线函数 变量间的...

    目录

    变量间的关系分析

    什么是相关分析

    什么是回归分析

    分析步骤

    回归分析与相关分析的主要区别

    一元线性相关分析

    一元线性回归分析

    建模

    方差分析检验

     t检验

    多元回归分析模型建立

    线性回归模型基本假设

    多元回归分析用途

    多元线性相关分析

    矩阵相关分析

    复相关分析

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    对数函数

    指数函数

    幂函数

    双曲线函数


    变量间的关系分析

    变量间的关系有两类,一类是变量间存在着完全确定的关系,称为函数关系,另一类是变量间的关系不存在完全的确定性,不能用精缺的数学公式表示,但变量间存在十分密切的关系,这种称为相关关系,存在相关关系的变量称为相关变量

    相关变量间的关系有两种:一种是平行关系,即两个或两个以上变量相互影响。另一种是依存关系,即是一个变量的变化受到另一个或多个变量的影响。相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系。而回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量-independent variable,表示结果的变量称为因变量-dependent variable

    什么是相关分析

    通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关。

    什么是回归分析

    通过研究变量的依存关系,将变量分为因变量和自变量,并确定自变量和因变量的具体关系方程式

    分析步骤

    建立模型、求解参数、对模型进行检验

    回归分析与相关分析的主要区别

    1.在回归分析中,解释变量称为自变量,被解释变量称为因变量,相关分析中,并不区分自变量和因变量,各变量处于平的地位。--(自变量就是自己会变得变量,因变量是因为别人改变的)

    2.在相关分析中所涉及的变量全部是随机变量,在回归分析中只有只有因变量是随机变量。

    3.相关分析研究主要是为刻画两类变量间的线性相关的密切程度,而回归分析不仅可以揭示自变量对因变量的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制。

    一元线性相关分析

    线性相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的线性关系,总体相关系数的计算公式为:

     δ^2x代表x的总体方差, δ^2y代表y的总体方差,δxy代表x变量与y变量的协方差,相关系数ρ没有单位,在-1到1之间波动,绝对值越接近1越相关,符号代表正相关或复相关。

    一元线性回归分析

    使用自变量与因变量绘制散点图,如果大致呈直线型,则可以拟合一条直线方程

    建模

    直线模型为:

     y是因变量y的估计值,x为自变量的实际值,a、b为待估值

    几何意义:a是直线方程的截距,b是回归系数

    经济意义:a是x=0时y的估计值,b是回归系数

    对于上图来说,x与y有直线的趋势,但并不是一一对应的,y与回归方程上的点的差距成为估计误差或残差,残差越小,方程愈加理想。

    当误差的平方和最小时,即Q,a和b最合适

    对Q求关于a和b的偏导数,并令其分别等于零,可得:

     式中,lxx表示x的离差平方和,lxy表示x与y的离差积和。

    方差分析检验

    将因变量y实测值的离均差平方和分成两部分即使:

    分为:

    实测值yi扣除了x对y的线性影响后剩下的变异

    和x对y的线性影响,简称为回归评方或回归贡献

    然后证明:

     t检验

    当β成立时,样本回归系数b服从正态分布,这是可以使用T检验判断是否有数学意义,检验所用统计量为

    例如t=10,那么可以判断α=0.05水平处拒绝H0,接受H1,那么x与y存在回归关系

    多元回归分析模型建立

    一个因变量与多个自变量间的线性数量关系可以用多元线性回归方程来表示

    b0是方程中的常数项,bi,i=1,2,3称为偏回归系数。

    当我们得到N组观测数据时,模型可表示为:

    其矩阵为:

    X为设计阵,β为回归系数向量。

    线性回归模型基本假设

    在建立线性回归模型前,需要对模型做一些假定,经典线性回归模型的基本假设前提为:

    1.解释变量一般来说是非随机变量

    2.误差等方差及不相关假定(G-M条件)

    3.误差正太分布的假定条件为:

    4. n>p,即是要求样本容量个数多于解释变量的个数

    多元回归分析用途

    1.描述解释现象,希望回归方程中的自变量尽可能少一些

    2.用于预测,希望预测的均方误差较小

    3.用于控制,希望各个回归系数具有较小的方差和均方误差

    变量太多,容易引起以下四个问题:
    1.增加了模型的复杂度

    2.计算量增大

    3.估计和预测的精度下降

    4.模型应用费用增加

    多元线性相关分析

    两个变量间的关系称为简单相关,多个变量称为偏相关或复相关

    矩阵相关分析

    设n个样本的资料矩阵为:

    此时任意两个变量间的相关系数构成的矩阵为:

    其中rij为任意两个变量之间的简单相关系数,即是:

    复相关分析

    系数计算:

    设y与x1,x2,....,回归模型为

    y与x1,x2,....做相关分析就是对y于y^做相关分析,相关系数计算公式为

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    y=a+bx+cx^2

    对数函数

    y=a+blogx

    指数函数

    y = ae^bx或y = ae^(b/x)

    幂函数

    y=ax^b (a>0)

    双曲线函数

    y = a+b/x

     实战操作见下一篇文章

    展开全文
  • 多元回归

    千次阅读 2019-04-13 21:02:58
    多元回归 多元线性回归模型的基本假定 为了方便地进行模型的参数估计,我们对以下回归方程式有如下假定: Y^=Xβ+ε\hat{Y}=X\beta+\varepsilonY^=Xβ+ε 解释变量x1,x2,⋯ ,xpx_1,x_2,\cdots,x...

    多元回归

    多元线性回归模型的基本假定

    为了方便地进行模型的参数估计,我们对以下回归方程式有如下假定:

    Y^=Xβ+ε\hat{Y}=X\beta+\varepsilon

    1. 解释变量x1,x2, ,xpx_1,x_2,\cdots,x_p 是确定性变量,不是随机变量,且要求rank(X)=p+1<nrank(X)=p+1<n。这里的rank(X)=p+1<nrank(X)=p+1<n,表明设计矩阵XX中的自变量列之间不相关,样本量的个数应该大于解释变量的个数,XX是以满秩矩阵。
    2. 随机误差项具有零均值等方差,即

    {E(εi)=0i=1,2, ,ncov(εi,εj)={σ2,i=j0,ij,i,j=1,2, ,n\begin{cases} E(\varepsilon_i)=0,\quad i =1,2,\cdots,n\\ cov(\varepsilon_i,\varepsilon_j)= \begin{cases} \sigma^2, &{i = j} \\ 0, & {i\neq j} \end{cases}\quad,i,j=1,2,\cdots,n \end{cases}
    这个假定常称为Gauss-Markov条件。E(εi)=0E(\varepsilon_i)=0,即假设观察值没有系统误差,随机误差项εi\varepsilon_i的平均值为零。随机误差项εi\varepsilon_i的协方差为零,表明误差项在不同点之间是不相关的(在正态假定下即为独立的),不存在序列相关,并且有相同的精度。

    参数估计量的性质

    多元线性回归方程未知β0,β1,...,βp\beta_0,\beta_1, ..., \beta_p 的估计是用最小二乘估计得到的。y^=Xβ^=X(XX)1Xy\hat{y}=X\hat{\beta}=X(X^{'}X)^{-1}X^{'}y中的H=X(XX)1XH=X(X^{'}X)^{-1}X^{'}是一个帽子矩阵,可以证明其是nn阶对称阵,同时还是幂等矩阵,即H=H2H=H^2。以下说一下参数估计量的性质:

    1. β^\hat{\beta}是随机向量yy的线性变换。
    2. β^\hat{\beta}β\beta的无偏估计。
    3. D(β^)=σ2(XX)1D(\hat{\beta})=\sigma^2(X^{'}X)^{-1}
    4. 高斯-马尔可夫定理:在假定的E(y)=Xβ,D(y)=σ2InE(y)=X\beta,D(y)=\sigma^2I_n时,β\beta任一线性函数cβc^{'}\beta的最小方差线性无偏估计(BLUE)(BLUE)cβc^{'}\beta,其中,cc是任一p+1p+1维常数向量,β^\hat{\beta}β{\beta}的最小二乘估计。
      读者在阅读高斯-马尔可夫定理的时候应该注意一下几点:可能存在非线性的,有偏估计使得方差不是最小。在正态假定下,即不可能存在y1,y2, ,yny_1,y_2,\cdots,y_n非线性函数,,也不可能存在y1,y2, ,yny_1,y_2,\cdots,y_n的其他非线性函数,作为cβc^{'}\beta的无偏估计,比最小二乘估计cβ^c^{'}\hat{\beta}的方差更小。
    5. cov(β^,e)cov(\hat{\beta},e)=0
    6. y=N(Xβ,σ2In)y = N(X\beta,\sigma^2I_n)时,则
      1. β^\hat{\beta}~N(β,σ2(XX)1)N(\beta,\sigma^2(X^{'}X)^{-1})
      2. SSEσ2\frac{SSE}{\sigma^2}~X2(np1)X^2(n-p-1)

    回归方程的显著性检验

    最小二乘法只是定性地给出了线性回归模型,但模型是否有效或者回归系数是否显著还需要经过检验才行。一般对线性回归模型进行两项统计检验:1、回归方程显著性FF检验。2、回归系数显著性tt检验。同时介绍衡量回归拟合程度的拟合优度检验。

    1. FF检验
      FF检验的原假设是:H0:β1=β2, ,βp=0H_0 :\beta_1=\beta_2,\cdots,\beta_p=0,当F>Fα(p,np1)F>F_{\alpha}(p,n-p-1)时,拒接原假设,认为在显著水平α\alpha下,yyx1,x2, ,xpx_1,x_2,\cdots,x_p有显著关系,即方程回归显著的。也可以看它的pp值,当p<αp<\alpha时,拒绝原假设。

    2. tt检验
      tt检验的目是检验单个回归系数是否显著的,从而达到剔除多余无效变量的作用。注意由于各个变量之间是有交互作用的,因此不能一次剔除多个不显著变量,原则上每次只剔除一个变量,先剔除其中tt值最小的(或者pp值最大的)一个变量,然后再对求的得的新的回归回归方程进行检验,有不显著的变量再剔除,直到保留的变量对yy有显著影响为止。在一元回归中,这两个检验是等价的,但是在多元检验中两者是不等价的。

    3. 拟合优度
      拟合优度用于检验回归方程对样本观察值的拟合程度。样本决定系数:R2=SSRSST=1SSESSTR^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}
      当样本量nn和回归变量数目差接近的时候,R2R^2接近1,隐含虚假成分,因此在用这个决定系数决定模型的优劣一定要慎重。

    中心化、标准化和相关系数与偏相关系数

    在解释中心化之前先介绍一下舍入误差,及病态矩阵的概念。舍入误差主要是四舍五入等导致的误差,产生舍入误差产生的主要原因有二:①数据之间的量级悬殊;②设计矩阵XX的列向量近似线性相关,导致XXX^{'}X为病态矩阵,其逆矩阵(XX)1(X^{'}X)^{-1}就会产生较大的误差。病态矩阵:方程AX=BAX=B当其解集对AA高度敏感,那么称AA为病态矩阵。为了解决数据量纲和舍入误差的影响,因此要中心化和标准化。

    1.中心化
    中心化变换只改变直线截距,不改变直线斜率。通过坐标系的平移变换,使坐标原点移至样本中心,即做变换:
    {xj=xijxjˉyi=yiyˉ\begin{cases}{x_j}^{'}=x_{ij}-\bar{x_j}\\{y_i}^{'}=y_i-\bar{y}\end{cases}
    2.标准化及标准化回归系数
    为了消除量纲不同和数量级的差异带来的影响,就需要将数据标准化处理。让后利用得到标准化处理后的数据进行最小二乘估计位置参数,得到标准化回归系数。
    3.复相关系数RR反映的是yy与一组自变量之间的相关关系,是整体和共性指标简单相关系数反映两个自变量间的相关性,是局部和个性指标。
    4.偏相关系数可以度量p+1p+1个变量y,x1,x2, ,xpy,x_1,x_2,\cdots,x_p之中任意两个变量的线性程度,而这种线性相关程度实在固定其余p+1p+1个变量的影响下的线性相关。

    小结

    我们一般用最小二乘法进行模型的参数估计,不过在之前,我们要检验样本数据是否满足高斯-马尔可夫条件。初步得到模型以后,我们要做的是检验模型是否反映了线性关系,模型是否有效,模型参数是否显著。模型不通过可能有以下几方面的原因:①问题应该用非线性取描述,而错误地用线性进行拟合;由于认识的局限性,把重要的自变量给露了。用R2R^2进行的时候,要注意自变量个数要远小于样本量个数,这时的拟合优度检验才不会出现虚假因素。在存在交互现象的时候,用控制变量的方法解释单个参数对模型的影响是不合理的。

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  • 多元线性回归 及其Python实现

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    多元线性回归 Python实现 多元线性回归求解过程 多元线性回归的形式: 目标函数: 将一个样本的向量化: 将所有样本的向量化: 向量化后的目标函数及求解结果: ps.上述多元线性回归的正规方程解问题是:事件...
  • Python实现机器学习二(实现多元线性回归

    万次阅读 多人点赞 2015-10-25 15:45:11
    接着上一次的一元线性回归...1、什么是多元线性回归模型? 当y值的影响因素不唯一时,采用多元线性回归模型。 y =y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn 例如商品的销售额可能不电视广告投入,收音机广告
  • 多元线性回归的基础理解

    万次阅读 多人点赞 2018-11-19 01:09:28
    多元线性回归  Multivarate Linear Regression Multiple Feature 前面我们学习了一元线性回归,也动手亲自从底层编写了梯度下降算法来实现一元线性回归。相信大家已经对梯度下降和线性回归有了很清晰的理解了。 ...
  • matlab实现一元线性回归和多元线性回归

    万次阅读 多人点赞 2018-01-30 10:58:46
    在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。 ...
  • 多元线性回归c++算法

    热门讨论 2011-04-04 15:06:30
    实现任意多个变量以最小二乘法拟合成的新线性方程,通过变量带入线性方程可求得任意的拟合值。文件首行为行号、列号,其余行为数据行。
  • 多元线性回归:在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,...
  • MATLAB多元线性回归

    2018-08-19 23:45:22
    MATLAB多元线性回归: 基于MATLAB的多元非线性回归模型.pdf 多元线性回归建模以及MATLAB和SPSS求解.pdf MATLAB语言在多元线性回归中的应用.pdf
  • 多元线性回归完美C语言模型

    热门讨论 2009-12-08 11:33:50
    这是一个完美的任意元线性回归模型,使用c语言编写,采用初等变换实现,使用非常方便,只有2个函数,只要把要用到的函数拷到你的程序中即可。里面还附上逆阵的测试程序方便你验证,源文件使用.cpp或记事本打开
  • 多元线性回归java实现

    2017-11-28 16:08:08
    根据随机变量y及自变量x0,x1...xm-1的n组观测值做线性回归分析,简单实例,有注释,Java实现
  • 主要用于数学建模(Matlab)的学习,下载下来换成你的数据就可以用了。
  • 线性回归,前面用Python从底层一步一个脚印用两种方法实现了回归拟合。在这个高级语言层出不穷的年代,这样做显然不明智,所以我考虑用优秀的数据分析工具——R语言(不敢说最...
  • 多元线性回归方程原理及其推导

    万次阅读 多人点赞 2018-10-21 14:19:22
    多元线性方程原理及推导 概念 1.在统计学中,线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况...
  • 本资源包含了收集到的”多元线性回归“算法的介绍文档、Java实现以及Excel多元线性回归分析功能的使用方法。并基于同一份数据,分别用来源于网络的2种Java代码、Excel进行了计算,并对3者的计算结果进行了比较,以...
  • R语言——多元线性回归

    万次阅读 2017-06-05 10:26:00
    1、多元线性回归模型 1.1多元回归模型与多元回归方程 设因变量为y,k个自变量分别为,描述因变量y如何依赖于自变量和误差项ε的方程称为多元回归模型。其一般形式可表示为: 式中,为模型的参数,ε为随机误差...
  • 多元线性回归求解过程 解析解求解

    万次阅读 多人点赞 2018-10-30 17:21:00
    常用算法一 多元线性回归详解2(解析解求解多元线性回归)  上一篇讲到什么是多元线性回归以及多元线性回归的推导过程详解,本章我们一起来看如何求得最优解,就是我们得到了多元线性回归到损失函数就是最小二乘公式...

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