无偏估计的证明_有偏估计和无偏估计证明 - CSDN
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  • 最近学习PCA,在求最大化方差 σ2=1P−1∑k=1P(vT(xk−μ))2−λ(∥v∥2−1)\sigma^{2} = \frac{1}{P-1} \sum_{k=1}^{P}(v^{T}(x_{k}-\mu ))^{2}-\lambda(\left \| v \right \|^{2}-...时遇到了无偏估计的问题——为...

    最近学习PCA,在求最大化方差 σ2=1P1k=1P(vT(xkμ))2λ(v21)\sigma^{2} = \frac{1}{P-1} \sum_{k=1}^{P}(v^{T}(x_{k}-\mu ))^{2}-\lambda(\left \| v \right \|^{2}-1) 时遇到了无偏估计的问题——为什么是P-1而不是P?整理了一些笔记写上来供参考,有错误的地方望批评指正。

    简单理解

    首先我们了解下无偏估计的定义:
    估计量的数学期望等于被估计参数的真实值,则此估计量为被估计参数的无偏估计。

    乍一看很绕口,我们从现实中的简单例子去解释会更好理解。
    如果我们想知道一个城市人口的平均高度,我们可以通过采集该城市所有人的身高并计算平均值,这样得到的就是无偏的平均身高。
    但实际情况是,出于成本考虑,我们不太可能去测量所有人的身高,于是我们通过采样来估计实际的平均身高。于是我们应用了随机采样等方法,而这些方法虽然没法准确地估计该城市的平均身高,但不同的采样方法均在真实平均身高附近波动,那么我们就可以说这个估计是无偏的。

    类似的,我们用一下以下算法去估计总体方差:
    s2=1ni=1n(xixˉ)2s^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}

    以芯靶图为例,如果我们用n代入计算得到的预测值会偏离靶图中心;而用n计算,得到的值会在靶图中心。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    数学证明及解析

    将公式展开计算如下:
    s2=i=1n(xixˉ)2n1E(s2)=E(i=1n(xixˉ)2n1)=1n1E[i=1n(xixˉ)2]=1n1E[i=1n[(xiμ)(xˉμ)]2]\begin{aligned} & s^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}\\ & E(s^{2}) = E(\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1})\\ &= \frac{1}{n-1}E[\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}]\\ &= \frac{1}{n-1}E[\sum_{i=1}^{n}[(x_{i}-\mu) - (\bar{x}-\mu)]^{2}] \end{aligned}

    E[i=1n[(xiμ)(xˉμ)]2]E[\sum_{i=1}^{n}[(x_{i}-\mu) - (\bar{x}-\mu)]^{2}]E[i=1n(xixˉ)2]E[\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}]加一个μ\mu括号里面再减一个μ\mu得到。展开得到:

    =1n1E[i=1n(xiμ)22i=1n(xiμ)(xˉμ)+i=1n(xˉμ)2]=1n1E[i=1n(xiμ)22(xˉμ)i=1n(xiμ)+i=1n(xˉμ)2]=1n1E[i=1n(xiμ)2n(xˉμ)2]=1n1(i=1nE(xiμ)2nE[(xˉμ)2])=1n1(i=1nσxi2nσxˉ2)\begin{aligned} & = \frac{1}{n-1}E[\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} - 2\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)(\bar{x}-\mu) + \sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-\mu)^{2}]\\ & = \frac{1}{n-1}E[\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} - 2(\bar{x}-\mu)\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu) + \sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-\mu)^{2}]\\ & = \frac{1}{n-1}E[\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} - n(\bar{x}-\mu)^{2}]\\ & = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}E(x_{i}-\mu)^{2} - nE[(\bar{x}-\mu)^{2}])\\ & = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}\sigma_{x_{i}}^{2} - n\sigma_{\bar{x}}^{2})\\ \end{aligned}

    其中,xˉμ\bar{x}-\mu是个数所以能够被从求和符号内提出来。

    又因为σxi2=σ2\sigma_{x_{i}}^{2}=\sigma^{2},且σxi2=σ2n\sigma_{x_{i}}^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n},因此:

    =1n1(nσ2σ2)=1n1(n1)σ2=σ2\begin{aligned} &=\frac{1}{n-1}(n\sigma^{2}-\sigma^{2})\\ &=\frac{1}{n-1}(n-1)\sigma^{2}\\ &=\sigma^{2} \end{aligned}

    因此E(s2)E(s^{2})σ2\sigma^{2}的无偏估计量。

    Reference

    https://www.zhihu.com/question/22983179
    https://www.youtube.com/watch?v=wlcvRrYKkx8

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  • 1、问题描述:假设有一批样本{xi,i=1,2,3...,n−1,n{x_i,i=1,2,3...,n-1,n}xi​,i=1,2,3...,n−1,n}。 标准方差的公式为: S2=1n∑i=1n(xi−x‾)2S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^{2}S2=n1​...

    1、问题描述:假设有一批独立同分布的样本{xi,i=1,2,3...,n1,n{x_i,i=1,2,3...,n-1,n}}。
    标准方差的公式为:
    S2=1ni=1n(xix)2 S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^{2}
    ,其中x=1ni=1nxi\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i


    另外假设均值E(xi)=μE(x_i) = \mu,方差D(xi)=σ2D(x_i) = \sigma^{2}


    证明:标准方差是方差的无偏估计。

    【分析】:要想证明标准方差是方差的无偏估计,只需证明E(S2)=σ2=D(xi)E(S^2) = \sigma^{2} = D(x_i),其中比较麻烦的地方是xixx_i * \overline{x},所以要把x\overline{x}中的xix_i分离处理。

    2、证明开始:
    E(S2)=E(1n1i=1n(xix)2)=1n1E(i=1n(xi1nxi1nji,j=1nxj))=1n1E(i=1n((n1)2n2xi22(n1)n2xiji,j=1nxj+1n2(ji,j=1nxj)2)) \begin{aligned} E(S^{2}) &= E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^{2}) \\ &= \frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^{n}(x_i - \frac{1}{n}x_i - \frac{1}{n}\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}x_j))\\ &= \frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^{n}(\frac{(n-1)^2}{n^2}x_i^{2} - \frac{2(n-1)}{n^{2}}x_i *\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}x_j + \frac{1}{n^2}(\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}x_j)^{2})) \\ \end{aligned}
    下面将E()E(\centerdot)中的三部分分别计算,按照从左往右的顺序,系数1n1\frac{1}{n-1}暂时不带,最后算完结果一起带入。
    第一部分:
    E(i=1n((n1)2n2)xi2)=(n1)2n2i=1nE(xi2)=(n1)2n2i=1n(E2(xi)+D(xi))=(n1)2n2i=1n(μ2+σ2)=(n1)2n(μ2+σ2) \begin{aligned} E(\sum_{i=1}^{n}(\frac{(n-1)^2}{n^2})x_i^{2}) &= \frac{(n-1)^2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}E(x_i^{2}) \\ &= \frac{(n-1)^2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}(E^2(x_i) + D(x_i)) \\ &= \frac{(n-1)^2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}(\mu^{2} + \sigma^{2}) \\ &= \frac{(n-1)^2}{n}(\mu^{2} + \sigma^{2}) \end{aligned}
    第二部分:
    E(i=1n(2(n1)n2xiji,j=1nxj))=2(n1)n2i=1nE(xiji,j=1nxj))=2(n1)n2i=1n(E(xi)ji,j=1nE(xj))=2(n1)n2i=1n(μ(n1)μ)=2(n1)n2n(n1)μ2=2(n1)2μ2n \begin{aligned} E(\sum_{i=1}^{n}( \frac{2(n-1)}{n^{2}}x_i *\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}x_j)) &= \frac{2(n-1)}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}E(x_i *\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}x_j)) \\ &= \frac{2(n-1)}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}(E(x_i) * \sum_{j\neq{i},j=1}^{n}E(x_j)) \\ &= \frac{2(n-1)}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}(\mu * (n-1)\mu) \\ &= \frac{2(n-1)}{n^{2}} * n*(n-1)*\mu^{2} \\ & = \frac{2(n-1)^{2}*\mu^{2}}{n} \end{aligned}
    第三部分:
    E(i=1n(1n2(ji,j=1nxj)2))=1n2i=1nE(((ji,j=1nxj)2))=1n2i=1n(E2(ji,j=1nxj)+D(ji,j=1nxj))=1n2i=1n((ji,j=1nE2(xj))+ji,j=1nD(xj))=1n2i=1n(((ji,j=1nμ)2)+ji,j=1nσ2)=1n2i=1n((n1)2μ2+(n1)σ2)=(n1)2n2nμ2+n1n2nσ2=(n1)2nμ2+n1nσ2 \begin{aligned} E(\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{n^2}(\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}x_j)^{2})) &= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}E(((\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}x_j)^{2})) \\ &= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}(E^{2}(\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}x_j) +D(\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}x_j)) \\ &= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}((\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}E^{2}(x_j))+\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}D(x_j)) \\ &= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}(((\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}\mu)^{2})+\sum_{j\neq{i},j=1}^{n}\sigma^{2}) \\ &= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}((n-1)^{2}*\mu^2+(n-1)*\sigma^2) \\ &= \frac{(n-1)^2}{n^2} *n *\mu^2+\frac{n-1}{n^2} *n\sigma^2\\ &= \frac{(n-1)^2}{n} *\mu^2+\frac{n-1}{n} \sigma^2 \end{aligned}
    终于到了相加的时候了,将1-3部分的内容带上系数相加如下:
    (n1)E()=(n1)2n(μ2+σ2) 2(n1)2μ2n+(n1)2nμ2+n1nσ2=(n1)2nσ2+n1nσ2=n2nnσ2=(n1)σ2 \begin{aligned} (n-1)E(\centerdot) & =\frac{(n-1)^2}{n}(\mu^{2} + \sigma^{2}) \ - \frac{2(n-1)^{2}*\mu^{2}}{n} + \frac{(n-1)^2}{n} *\mu^2+\frac{n-1}{n} \sigma^2 \\ &= \frac{(n-1)^2}{n}\sigma^{2} + \frac{n-1}{n} \sigma^2 \\ &= \frac{n^2-n}{n}\sigma^{2} \\ &= (n-1)\sigma^{2} \end{aligned}
    所以
    E()=σ2 E(\centerdot) = \sigma^2
    得证。
    注:标准方差前面的系数1n1\frac{1}{n-1}是为了让其是方差的无偏估计而加上的。

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  • 样本均值和样本方差  首先对于样本$x_1...x_n$来说,他们的均值为与方差分别为:  $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i$ ... 要证明样本方差的无偏性,首先要计算样本均值的方差。 样本均值的方差...

    样本均值和样本方差

      首先对于样本$x_1...x_n$来说,他们的均值为与方差分别为:

      $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i$

      $s^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

      要证明样本方差的无偏性,首先要计算样本均值的方差。 

    样本均值的方差

      $D(\bar{x}) = D(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n}) = \frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}D(x_i) = \frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

    样本均值和样本方差的无偏性证明

      $E(\bar{x}) = E(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}E(x_i) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu = \mu$

      $E(s^2)$

      $= E(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1})$

      $= \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}E(x_i^2 + \bar{x}^2 - 2x_i\bar{x}) $

      $= \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}[D(x) + E(x)^2 + D(\bar{x}) + E(\bar{x})^2 - 2E((x_i^2 + x_ix_1 + ... + x_ix_{i-1} + x_ix_{i+1} + ... + x_ix_n)/n)]$

      $\xlongequal[]{E(x_ix_j) = E(x_i)E(x_j)} \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}[\sigma^2 + \mu^2 + \sigma^2/n + \mu^2 - 2(\sigma^2 + \mu^2 + (n-1)\mu^2)/n]$

      $=  \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(\frac{n - 1}{n}\sigma^2)$

      $= \sigma^2$

    样本方差的方差

      如果总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$,那它的样本方差有:

      $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$.

      由于$\chi^2$分布的方差为两倍的自由度,得:

      $D(\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}) = 2(n - 1)$

      $D(s^2) = \frac{2\sigma^4}{n - 1}$

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  • 无偏估计实例证明

    万次阅读 2014-04-01 11:07:19
    无偏估计 在概率论和数量统计中,学习过无偏估计,最近在学习论文时候,也经常论文中提到无偏估计。虽然对无偏估计有所了解,但是还是有些问题: 1)总体期望的无偏估计量是样本均值x-,总体方差的无偏估计是...

    无偏估计

    在概率论和数量统计中,学习过无偏估计,最近在学习论文时候,也经常论文中提到无偏估计。虽然对无偏估计有所了解,但是还是有些问题:

    1)总体期望的无偏估计量是样本均值x-,总体方差的无偏估计是样本方差S^2,为什么样本方差需要除以n-1,而不是除以n;

    2)样本在总体中是怎样的抽样过程,是放回抽样,是随机抽样,还是不放回抽样等等。

    为了解决这个问题,首先来回忆一下什么叫无偏估计:

    无偏估计是参数的样本估计值的期望值等于参数的真实值。估计量的数学期望等于被估计参数,则称此为无偏估计。
        设A'=g(X1,X2,...,Xn)是未知参数A的一个点估计量,若A'满足
        E(A')= A
        则称A'为A的无偏估计量,否则为有偏估计量。
        注:无偏估计就是系统误差为零的估计。

    由于公式A'=g(X1,X2,...,Xn)中的X1,X2,...,Xn一般为一次抽样的结果,没有明确是怎么抽样的一个过程,所以导致不好理解为什么A'就是A的无偏估计量,特别是很难举出实例来给与证明。经过自己的查阅资料和理解,实际上无偏估计量可以理解如下:

    简单的理解,无偏估计量就是:在样本中进行n次随机的抽样,每次抽样都可以计算出一个对某一个参数的点估计量,计算n次,得到n个点估计量,然后对n个点估计量计算期望,得到的值和需要估计的总体参数相等,则称n中的任何点估计量为总体参数的无偏估计量。

    能否举出一个例子呢?因为实际的应用中总体是不知道,只有样本,这能够举例子吗?是可以的,不妨设总体容量为3,样本容量为2,计算出总体方差的无偏估计为样本方差,而且样本方差是除以n-1,而不是除以n。



    上图为手算的两个例子,说明了总体方差的无偏估计量是样本方差,总体方差是除以n,样本方差是除以n-1。为了是上面的例子根据通用化,下面为matlab写的代码:

    % %总容量可以改变,抽样样本容量为固定2
    % clc;
    % clear;
    % %%无偏估计验证
    % %%总共容量
    % M=7;
    % %%样本容量
    % N=2;
    % %填充第一列
    % %填充循环次数
    % for t=1:M^(N-1)
    %     for i=1:M
    %         Sample1((i-1)*M^(N-1)+t) = i;
    %     end
    % end
    % Sample1'
    % %填充第二列
    % for t=1:M
    %     for i=1:M
    %         Sample2(M*(t-1)+i) = i;
    %     end
    % end
    % Sample2'
    % Sample = [Sample1',Sample2']
    % sLenght = length(Sample);
    % for s=1:sLenght
    %     subSample = Sample(s,:)
    %     stdSample(s) = var(subSample,1);
    % end
    % stdSample =  var(Sample');
    % stdSampleE = sum(stdSample)/M^N
    % Total = 1:M;
    % stdTotalE = var(Total,1)

     


    % % %总容量可以改变,抽样样本容量为固定3
    % clc;
    % clear;
    % %%无偏估计验证
    % %%总共容量
    % M=7;
    % %%样本容量
    % N=3;
    % %填充第一列
    % %填充循环次数
    % for t=1:M^(N-1)
    %     for i=1:M
    %         Sample1((i-1)*M^(N-1)+t) = i;
    %     end
    % end
    % Sample1'
    % %填充第二列
    % for t=1:M
    %     for i=1:M
    %         for j=1:M
    %             Sample2(M*M*(t-1)+(i-1)*M+j) = i;
    %         end
    %     end
    % end
    % Sample2'
    %  %填充第三列
    % for t=1:M^2
    %     for i=1:M
    %         Sample3(M*(t-1)+i) = i;
    %     end
    % end
    % Sample = [Sample1',Sample2',Sample3']
    % stdSample =  var(Sample');
    % stdSampleE = sum(stdSample)/M^N
    % Total = 1:M;
    % stdTotalE = var(Total,1)


    % % %总容量可以改变,抽样样本容量为固定3
    % clc;
    % clear;
    % %%无偏估计验证
    % %%总共容量
    % M=4;
    % %%样本容量
    % N=3;
    % %填充第一列
    % %填充循环次数
    % for t=1:M^0
    %     for i=1:M
    %         for j=1:M^2
    %             Sample1(M^3*(t-1)+(i-1)*M^2+j) = i;
    %         end
    %     end
    % end
    % Sample1'
    % %填充第二列
    % for t=1:M^1
    %     for i=1:M
    %         for j=1:M^1
    %             Sample2(M^2*(t-1)+j+(i-1)*M) = i;
    %         end
    %     end
    % end
    % Sample2'
    %  %填充第三列
    % for t=1:M^2
    %     for i=1:M
    %          for j=1:M^0
    %               Sample3(M^1*(t-1)+(i-1)*M^0+j) = i;
    %          end
    %     end
    % end
    % Sample = [Sample1',Sample2',Sample3']
    % stdSample =  var(Sample');
    % stdSampleE = sum(stdSample)/M^N
    % Total = 1:M;
    % stdTotalE = var(Total,1)


    clear;
    %%无偏估计验证
    %%总共容量
    M=5;
    %%样本容量
    N=2;

    %构造抽样的过程矩阵
    for index=1:N  
        for t=1:M^(index-1)
            for i=1:M
                for j=1:M^(N-index)
                    Sample(M^(N-index+1)*(t-1)+(i-1)*M^(N-index)+j,index) = i;
                end
            end
        end
    end

    %计算每一行的方差
    varSample =  var(Sample');

    %计算样本方差
    varSampleE = sum(varSample)/M^N
    Total = 1:M;

    %计算总体方差
    varTotalE = var(Total,1)

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    千次阅读 2018-06-29 20:29:06
    最佳线性无偏估计BLUE 1、定义:线性估计是参数估计最重要的一类,应用 广泛。如果对参数x 的估计可以表示成为量测信 息的线性函数就是线性估计。而线性偏最小方差估计称为BLUE ( Best Linear Unbiased ...
  • 1) 只要谈估计,那就是告诉我们一种方法,利用这个方法可以管中规豹似的获取某个统计量(这个统计量很可能限于人力物力无法真正获取,而我们又很想知道)。 2) 只要是谈估计,那就告诉我们这个估计量本身也是个...
  • 样本的均值和方差的无偏估计

    千次阅读 2019-01-06 05:29:44
    什么是无偏估计?? 估计是用样本统计量(可以理解为随机抽样)来估计总体参数时的一种偏推断。 无偏估计的要求就是:估计出来的参数的数学期望等于被估计参数的真实值。 所以呢,可以看出:估计值也是一个变量,...
  • 估计——最小方差无偏估计

    千次阅读 2019-08-30 14:54:18
    - 确定好的估计量 - 建立数据的数学模型:一般由于数据固有的随机性,则选择它们的PDF来描述它,...- 最佳估计量的选择:估计量性能的评估(无偏性、有效性以及一致性)。常用的方法:期望验证无偏;CRLB(Cramer-R...
  • 彻底理解样本方差为何除以n-1

    万次阅读 多人点赞 2018-05-20 09:59:11
    本文转自:https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/77859173 ,...1,而不是n,但是翻阅资料,发现很多都是交代到,如果除以n,对样本方差的估计不是无偏估计,比总体方差要小,要想是无偏估计就要调小...
  • 最佳线性无偏估计量(BLUE)

    千次阅读 2020-07-02 08:57:00
    这些请况下,依赖于CRLB以及充分统计量就不可用,而且充分统计量的方法也无法保证得到的估计量是最佳的MVU估计量。 要得到最佳MVU估计量,就有必要取寻找准最佳MVU估计量。若准最佳MVU估计量的方差可确定,且满足...
  • 最简单的原因,是因为因为均值已经用了n个数的平均来做估计在求方差时,只有(n-1)个数和均值信息是不相关的。而你的第n个数已经可以由前(n-1)个数和均值 来唯一确定,实际上没有信息量。所以在计算方差时,只除以...
  • 来一点废话,帮助大家理解概率的精髓: 1) 只要谈估计,那就是告诉你一种方法,利用这个方法可以管中规豹似的获取某个统计量(这个统计量很可能限于人力物力无法真正获取,而...的无偏估计量。 其中是样本均值,...
  • estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的,尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义,这个问题我们不在这里探讨;不符合直觉的是,为什么分母必须得是而不是才能使得该估计...
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无偏估计的证明