微分算子 - CSDN
  • 微分算子法总结

    2019-08-27 12:45:50
    强行假设D是可逆的, Dx^3 = 3x^2 -> x^3 = D^(-1)*(3x^2) , 所以1/D表示积分 注意到D(exp(ax)) = aD(exp(ax)) , 所以exp(ax)是D的特征向量,a是特征值,根据特征值的性质,有如下性质 ...

    强行假设D是可逆的,

    Dx^3 = 3x^2 -> x^3 = D^(-1)*(3x^2) ,   所以1/D表示积分

    注意到D(exp(ax)) = aD(exp(ax)) , 所以exp(ax)是D的特征向量,a是特征值,根据特征值的性质,有如下性质

    这个定理的证明 D(exp(ax)v(x)) =  Dv(x) exp(ax) + D(v(x)) a(exp(ax))  = (D+a)(v(x)exp(ax)) 这就是移位定理

     

    遇到特征

    出现exp(ax)x需要使用移位

    三角函数用复数运算化为指数形式

     

    虚根分子为0,同样求导。速算。

    无穷级数运算,可能出错。

    指数和x,先移位,在对x用算子运算。复数移位算法,分解, 1/D *(D+2i), 先作用 1/(D+2i) =  1/2i*(D/2i+1) = 1/2i +1/4D

    这里复数移位展开略麻烦。

     

     

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  • 先积分后微分可以消,先微分后积分可以消 反过来则不行

    先积分后微分可以消,先微分后积分可以消

    反过来则不行

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 在实际的图像分割中,往往只用到一阶和二阶导数,虽然,原理上,可以用更高阶的导数,但是,因为噪声的影响,在纯粹二阶的导数操作中就会出现对噪声的敏感现象,三阶以上的导数信息往往失去了应用价值。...

    在实际的图像分割中,往往只用到一阶和二阶导数,虽然,原理上,可以用更高阶的导数,但是,因为噪声的影响,在纯粹二阶的导数操作中就会出现对噪声的敏感现象,三阶以上的导数信息往往失去了应用价值。二阶导数还可以说明灰度突变的类型。在有些情况下,如灰度变化均匀的图像,只利用一阶导数可能找不到边界,此时二阶导数就能提供很有用的信息。二阶导数对噪声也比较敏感,解决的方法是先对图像进行平滑滤波,消除部分噪声,再进行边缘检测。不过,利用二阶导数信息的算法是基于过零检测的,因此得到的边缘点数比较少,有利于后继的处理和识别工作。
    各种算子的存在就是对这种导数分割原理进行的实例化计算,是为了在计算过程中直接使用的一种计算单位;

    Roberts算子:

    边缘定位准,但是对噪声敏感。适用于边缘明显且噪声较少的图像分割。Roberts边缘检测算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子,Robert算子图像处理后结果边缘不是很平滑。经分析,由于Robert算子通常会在图像边缘附近的区域内产生较宽的响应,故采用上述算子检测的边缘图像常需做细化处理,边缘定位的精度不是很高。

    Prewitt算子:

    对噪声有抑制作用,抑制噪声的原理是通过像素平均,但是像素平均相当于对图像的低通滤波,所以Prewitt算子对边缘的定位不如Roberts算子。

    Sobel算子:

    Sobel算子和Prewitt算子都是加权平均,但是Sobel算子认为,邻域的像素对当前像素产生的影响不是等价的,所以距离不同的像素具有不同的权值,对算子结果产生的影响也不同。一般来说,距离越远,产生的影响越小。

    Isotropic Sobel算子:

    加权平均算子,权值反比于邻点与中心点的距离,当沿不同方向检测边缘时梯度幅度一致,就是通常所说的各向同性。
    在边沿检测中,常用的一种模板是Sobel 算子。Sobel 算子有两个,一个是检测水平边沿的;另一个是检测垂直平边沿的 。Sobel算子另一种形式是各向同性Sobel(Isotropic Sobel)算子,也有两个,一个是检测水平边沿的 ,另一个是检测垂直平边沿的 。各向同性Sobel算子和普通Sobel算子相比,它的位置加权系数更为准确,在检测不同方向的边沿时梯度的幅度一致。由于建筑物图像的特殊性,我们可以发现,处理该类型图像轮廓时,并不需要对梯度方向进行运算,所以程序并没有给出各向同性Sobel算子的处理方法。
    由于Sobel算子是滤波算子的形式,用于提取边缘,可以利用快速卷积函数,简单有效,因此应用广泛。美中不足的是,Sobel算子并没有将图像的主体与背景严格地区分开来,换言之就是Sobel算子没有基于图像灰度进行处理,由于Sobel算子没有严格地模拟人的视觉生理特征,所以提取的图像轮廓有时并不能令人满意。 在观测一幅图像的时候,我们往往首先注意的是图像与背景不同的部分,正是这个部分将主体突出显示,基于该理论,我们可以给出阈值化轮廓提取算法,该算法已在数学上证明当像素点满足正态分布时所求解是最优的。
    上面的算子是利用一阶导数的信息,属于梯度算子范畴。

    Laplacian算子:

    (不是很懂?)
    这是二阶微分算子。其具有各向同性,即与坐标轴方向无关,坐标轴旋转后梯度结果不变。但是,其对噪声比较敏感,所以,图像一般先经过平滑处理,因为平滑处理也是用模板进行的,所以,通常的分割算法都是把Laplacian算子和平滑算子结合起来生成一个新的模板。
    Laplacian算子一般不以其原始形式用于边缘检测,因为其作为一个二阶导数,Laplacian算子对噪声具有无法接受的敏感性;同时其幅值产生算边缘,这是复杂的分割不希望有的结果;最后Laplacian算子不能检测边缘的方向;所以Laplacian在分割中所起的作用包括:

    1. 利用它的零交叉性质进行边缘定位;
    2. 确定一个像素是在一条边缘暗的一面还是亮的一面;一般使用的是高斯型拉普拉斯算子(Laplacian of a Gaussian,LoG),由于二阶导数是线性运算,利用LoG卷积一幅图像与首先使用高斯型平滑函数卷积改图像,然后计算所得结果的拉普拉斯是一样的。所以在LoG公式中使用高斯函数的目的就是对图像进行平滑处理,使用Laplacian算子的目的是提供一幅用零交叉确定边缘位置的图像;图像的平滑处理减少了噪声的影响并且它的主要作用还是抵消由Laplacian算子的二阶导数引起的逐渐增加的噪声影响。
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  • 微分算子

    2020-06-29 15:09:14
    D=d/dx(1) D = d/dx\tag{1} D=d/dx(1) y∗=F(D)f(x)(2) y*=F(D)f(x)\tag{2} y∗=F(D)f(x)(2) F(D)eax=F(a)eax(3) F(D)e^{ax} = F(a)e^{ax}\tag{3} F(D)eax=F(a)eax(3) F(D)eaxg(x)=eaxF(D+a)g(x)(4) ...

    D=d/dx(1) D = d/dx\tag{1}
    y=F(D)f(x)(2) y*=F(D)f(x)\tag{2}
    F(D)eax=F(a)eax(3) F(D)e^{ax} = F(a)e^{ax}\tag{3}
    F(D)eaxg(x)=eaxF(D+a)g(x)(4) F(D)e^{ax}g(x) = e^{ax}F(D+a)g(x)\tag{4}
    F(D2)sin(ax+b)=F(a2)sin(ax+b)(5) F(D^2)sin(ax+b) = F(-a^2)sin(ax+b)\tag{5}
    1F(D)eaxf(x)\frac{1}{F(D)}e^{ax}f(x)F(a)=0F(a)=0时,替换为xm1F(m)(D)eaxx^{m}\frac{1}{F^{(m)}(D)}e^{ax}
    同理有1F(D)sin(ax+b)=xm1F(m)(D)sin(ax+b)\frac{1}{F(D)}sin(ax+b)=x^{m}\frac{1}{F^{(m)}(D)}sin(ax+b)

    三种常见情况

    (1)F(D)sin(αx)F(D)sin(\alpha x)

    出现D2D^2的部分替换为a2-a^2
    然后没有D2D^2这样制造出D2D^2
    1aD+bsin(αx)=1a2D2b2(aDb)sin(αx)\frac{1}{aD+b}sin(\alpha x) =\frac{1}{a^2D^2-b^2}{(aD-b)}sin(\alpha x)
    不在分母的DD看作求导就可以了

    (2)1F(D)Qm(x)\frac{1}{F(D)}Q_m(x)
    利用多项式除法或级数展开1F(D)Qm(x)=1+0D+0D2+......F(D)Qm(x)\frac{1}{F(D)}Q_m(x)=\frac{1+0D+0D^2+......}{F(D)}Q_m(x)
    展到 mm 次之后停止,这样消去分母中的DD,之后只需要求导操作

    (3)1F(D)Qm(x)sin(ax)\frac{1}{F(D)}Q_m(x)sin(ax)1F(D)Qm(x)cos(ax)\frac{1}{F(D)}Q_m(x)cos(ax)

    1F(D)Qm(x)sin(ax)=Im(1F(D)Qm(x)eiax)\frac{1}{F(D)}Q_m(x)sin(ax)=Im(\frac{1}{F(D)}Q_m(x)e^{iax})
    1F(D)Qm(x)cos(ax)=Re(1F(D)Qm(x)eiax)\frac{1}{F(D)}Q_m(x)cos(ax)=Re(\frac{1}{F(D)}Q_m(x)e^{iax})
    之后再用公式(4)(4)
    最后eiaxe^{iax} 转为 cos(ax)+isin(ax)cos(ax)+isin(ax)

    注意

    这样求出的特解不一定是最简形式,注意和通解合并一下

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  • 图像的一阶微分算子

    2018-08-04 11:35:24
    概述 二元函数f(x,y)的一阶微分为fx=ʚf/ʚx或fx=ʚf/ʚy,图像的坐标表示如下:   假设一张图片的各像素为:  3 3 3 3 3 3  3 5 5 5 5 3  3 5 9 9 5 3 ... 3 3 3 ...
  • 预备知识: 梯度------梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数 在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。...
  • 图像边缘一般指图像的灰度变化率最大的位置。成因主要如下: 1.图像灰度在表面法向变化不连续
  • 在前面博客结尾,我们简要谈了一下二阶微分算子;对于图像; 从上面可以看出 一阶微分算子,就是求图像灰度变化曲线的导数,能够突出图像中的对象边缘; 二阶微分算子,求图像灰度变化导数的导数,对图像中...
  • 前面我们提到,可以用一阶微分算子和二阶微分算子来增强图像,由于是增强了图像中的物体边缘轮廓,起到了锐化图像的效果,因此这些算子操作可用于图像锐化。 我们在前面的图像模糊中,介绍了使用平滑空间滤波器来...
  • 一阶微分算子一般借助空域微分算子通过卷集完成,但实际上数字图像中求导是利用差分近似微分来进行的。 梯度对应一阶导数,梯度算子是一阶导数算子。对一个连续函数f(x,y),它在位置(x,y)梯度可表示为一个矢量: ...
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  • 前面我们提到,可以用一阶微分算子和二阶微分算子来增强图像,由于是增强了图像中的物体边缘轮廓,起到了锐化图像的效果,因此这些算子操作可用于图像锐化。 我们在前面的图像模糊中,介绍了使用平滑空间滤波器来...
  • %题目:Laplacian微分算子 二阶微分算子%意义:二阶微分比一阶微分更加敏感,尤其是对斜坡渐变得细节。前面讲的微分算子都有两个模板,二阶微分算子只有一个模板:实现效果:Matlab代码实现:%% %题目:Laplacian...
  • 转于 彩泓的博客 微分算子在图像处理中扮演重要的角色,其算法实现简单,而且边缘检测的效果又较好,因此这些基本的微分算子是学习图像处理过程中的必备方法,下面着重讨论几种常见的微分算子。1.Sobel 其主要用于...
  • 微分算子

    2017-06-28 11:20:33
    微分算子的研究开始于1960年代,最开始见于 Kohn,Hormander 等人的工作。拟微分算子在Atiyah-Singer 指标定理证明扮演了重要角色。[Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1968)] 常系数的线性微分算子:P(D):...
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    2012-12-15 21:04:23
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