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  • 相机模型详解

    2020-06-04 22:48:14
    相机模型理想透视模型——针孔成像模型四种坐标系实际成像模型 数码相机图像拍摄的过程实际上是一个光学成像的过程。相机的成像过程涉及到四个坐标系:世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系以及这四个...


    数码相机图像拍摄的过程实际上是一个光学成像的过程。相机的成像过程涉及到四个坐标系:世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系以及这四个坐标系的转换。

    理想透视模型——针孔成像模型

    相机模型是光学成像模型的简化,目前有线性模型和非线性模型两种。实际的成像系统是透镜成像的非线性模型。最基本的透镜成像原理如图所示:
    在这里插入图片描述
    其中 u 为物距, f 为焦距,v 为相距。三者满足关系式:
    在这里插入图片描述
    相机的镜头是一组透镜,当平行于主光轴的光线穿过透镜时,会聚到一点上,这个点叫做焦点,焦点到透镜中心的距离叫做焦距 f。数码相机的镜头相当于一个凸透镜,感光元件就处在这个凸透镜的焦点附近,将焦距近似为凸透镜中心到感光元件的距离时就成为小孔成像模型。小孔成像模型如图所示。
    在这里插入图片描述
    小孔成像模型是相机成像采用最多的模型。在此模型下,物体的空间坐标和图像坐标之间是线性的关系,因而对相机参数的求解就归结到求解线性方程组上。四个坐标系的关系图如下图所示,其中 M 为三维空间点,m 为 M 在图像平面投影成的像点。
    在这里插入图片描述

    四种坐标系

    世界坐标系:是客观三维世界的绝对坐标系,也称客观坐标系。因为数码相机安放在三维空间中,我们需要世界坐标系这个基准坐标系来描述数码相机的位置,并且用它来描述安放在此三维环境中的其它任何物体的位置,用(Xw, Yw, Zw)表示其坐标值。

    相机坐标系(光心坐标系):以相机的光心为坐标原点,X 轴和Y 轴分别平行于图像坐标系的 X 轴和Y 轴,相机的光轴为Z 轴,用(Xc, Yc, Zc)表示其坐标值。

    图像坐标系:以CCD 图像平面的中心为坐标原点,X轴和Y 轴分别平行于图像平面的两条垂直边,用( x , y )表示其坐标值。图像坐标系是用物理单位(例如毫米)表示像素在图像中的位置。

    像素坐标系:以 CCD 图像平面的左上角顶点为原点,X 轴和Y 轴分别平行于图像坐标系的 X 轴和Y 轴,用(u , v )表示其坐标值。数码相机采集的图像首先是形成标准电信号的形式,然后再通过模数转换变换为数字图像。每幅图像的存储形式是M × N的数组,M 行 N 列的图像中的每一个元素的数值代表的是图像点的灰度。这样的每个元素叫像素,像素坐标系就是以像素为单位的图像坐标系。

    像素坐标系与图像坐标系的关系如图。
    在这里插入图片描述
    转换关系为:
    在这里插入图片描述
    采用齐次坐标再用矩阵形式将上式表示为:
    在这里插入图片描述
    其中(u0, v0)是图像坐标系原点在像素坐标系中的坐标,dx 和 dy分别是每个像素在图像平面x和 y方向上的物理尺寸。
    图像坐标系与相机坐标系的转换为:
    在这里插入图片描述
    其中 f 为焦距(像平面与相机坐标系原点的距离)。用齐次坐标系和矩阵表示上述关系:
    在这里插入图片描述
    相机坐标系与世界坐标系的变换为:
    在这里插入图片描述
    其中 R 为3 × 3正交旋转矩阵,t 为三维平移向量,综合起来:
    在这里插入图片描述
    ax, ay分别是图像水平轴和垂直轴的尺度因子。K的参数中只包含焦距、主点坐标等只由相机的内部结构决定,因此称 K 为内部参数矩阵ax, ay , u0, v0叫做内部参数。M1中包含的旋转矩阵和平移向量是由相机坐标系相对于世界坐标系的位置决定的,因此称M1为相机的外部参数矩阵R和t叫做外部参数M 叫投影矩阵。相机标定就是确定相机的内部参数和外部参数。

    实际成像模型

    理想的透视模型是针孔成像模型,物和像会满足相似三角形的关系。但是实际上由于相机光学系统存在加工和装配的误差,透镜就并不能满足物和像成相似三角形的关系,所以相机图像平面上实际所成的像与理想成像之间会存在畸变。畸变属于成像的几何失真,是由于焦平面上不同区域对图像的放大率不同形成的画面扭曲变形的现象,这种变形的程度从画面中心至画面边缘依次递增,主要在画面边缘反映比较明显。为了减小畸变,拍摄图片时应尽量避免用镜头焦距的最广角端或最远端拍摄。实际的相机成像模型如下图所示。
    在这里插入图片描述
    其中 mr(xr,yr)表示实际投影点的像平面坐标系下的物理坐标,mi(xi,yi)表示理想投影点的像平面坐标系下的物理坐标。镜头的畸变模型可表示为:
    在这里插入图片描述
    σx 和σy是非线性畸变值,它包括径向畸变和偏心畸变和薄棱镜畸变等。
    理论上来说镜头都存在径向和切向畸变,但是通常径向畸变较大,切向畸变较小。径向畸变的模型可由下面的模型来表示:
    在这里插入图片描述
    其中k1 k2 k3……示径向畸变系数,在这里插入图片描述,通常情况下径向畸变系数只考虑到一阶或二阶就可以满足精度需求了。

    偏心畸变模型是由于多个光学镜头的光轴不能完全共线产生的,这种畸变是由径向和切向畸变共同构成的,数学模型可表示如下:
    在这里插入图片描述

    其中p1, p2为切向畸变系数。薄棱镜畸变是由于镜头设计制造缺陷和加工安装所造成的,如镜头与相机成像平面有一个很小的倾角等。因为薄棱镜畸变非常小,通常不考虑,这里只考虑径向畸变和偏心畸变,畸变总的可以表示为:
    在这里插入图片描述
    实际的成像模型为:
    在这里插入图片描述

    转载链接:https://blog.csdn.net/lsh_2013/article/details/47615309

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  • 相机模型(一)

    千次阅读 2019-05-27 17:10:36
    相机模型相机与图像一些基本概念针孔相机模型坐标系描述成像过程1、世界坐标系->相机坐标系2、相机坐标系-->象平面坐标系3、象平面坐标系-->像素平面坐标系4、世界坐标到像素坐标畸变 相机与图像 一些基本...

    相机与图像

    一些基本概念

    在这里插入图片描述
    aperture(光圈)与depth of field(景深):光圈可以看做是小孔成像模型中的孔径,光圈越大进光面积就会越大。
    在这里插入图片描述
    光圈越小,景深越大,但光圈太小会产生衍射现象,如下图。
    在这里插入图片描述
    下图展示了光圈和景深的关系(截取自百度百科)
    图片来自百度百科
    field of view(视野)
    在这里插入图片描述
    θ=arctan(d/2f)\theta=arctan(\frac{d/2}{f})
    视野取决与两个因素:成像平面(sensor)的大小、焦距。焦距越大视野越小。

    针孔相机模型

    针孔相机模型(图取自网络)
    图片截取自网络

    坐标系描述

    以相机光心O组成的坐标系称为相机坐标系OxyzO-x-y-z
    以光心在像平面投影OO^{'}(图像平面中心)为原点的坐标系称为图像坐标系(象平面坐标系)OxyO^{'}-x^{'}-y^{'}
    以图像平面左上角为远点的坐标系称为像素坐标系OuvO-u-v
    物体在真是世界中的坐标用世界坐标系描述OwxwywO^{w}-x^{w}-y^{w}

    成像过程

    世界坐标系—>相机坐标系—>图像坐标系—>像素坐标系

    1、世界坐标系->相机坐标系

    从世界坐标系到相机坐标系的,为刚体变换,反应了物体与相机的相对运动关系。Pw(xw,yw,zw)P^{w}(x^{w},y^{w},z^{w}) -->PO(x,y,z)P^{O}(x,y,z)

    [xyz1]=[Rt0T1][xwywzw1] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} R & t \\ 0^{T} & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x^{w} \\ y^{w} \\ z^{w} \\ 1 \end{matrix} \right]
    有6个自由度,这6个参数称为相机的外参(Extrinsic)

    2、相机坐标系–>象平面坐标系

    在这里插入图片描述
    若将成像平面移动到,相机光心与物体之间,则中心透视模型:PO(x,y,z)P^{O}(x,y,z) --> p(x,y)p^{'}(x^{'},y^{'})
    z[xy1]=[f0000f000010][xyz1] z\left[ \begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} f & 0 & 0 &0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix} \right]
    从相机坐标系到图像坐标系的,投影只和相机的焦距f有关。一个自由度f

    3、象平面坐标系–>像素平面坐标系

    p(x,y)p^{'}(x^{'},y^{'}) --> pO(u,v)p^{O}(u,v)
    dxdydx、dy分别表示感光sensor 上每个点在象平面x和y方向上的物理尺寸。
    [uv1]=[fu0u00fvv0001][xy1] \left[ \begin{matrix} u \\ v \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} f_{u} & 0 &u_{0} \\ 0 & f_{v} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix} \right]
    其中:fu=1dxf_{u}=\frac{1}{dx} , fv=1dyf_{v}=\frac{1}{dy}
    从象平面到像素平面的变换有 4个自由度。

    4、世界坐标到像素坐标

    z[uv1]=[fu0u00fvv0001][f0000f000010][Rt0T1][xwywzw1] z\left[ \begin{matrix} u \\ v \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} f_{u} & 0 &u_{0} \\ 0 & f_{v} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} f & 0 & 0 &0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} R & t \\ 0^{T} & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x^{w} \\ y^{w} \\ z^{w} \\ 1 \end{matrix} \right]
    由上式可知,该模型中,内参有5个,外参有6个。

    畸变

    引起畸变的两个主要因素:
    1、透镜形状:径向畸变
    2、透镜与成像平面不平行:切向畸变
    径向畸变如下图:(图片截取自网络)
    在这里插入图片描述
    切向畸变如下图:(图片截取自网络)
    在这里插入图片描述
    对于象平面中的点,其畸变可由下图说明。
    dr:径向畸变
    dt:切向畸变
    在这里插入图片描述

    径向畸变:
    xcorrected=x(1+k1r2+k2r4+k3r6)x^{'}_{corrected}=x^{'}(1+k_{1}r^2+k_{2}r^4+k_{3}r^6)
    ycorrected=y(1+k1r2+k2r4+k3r6)y^{'}_{corrected}=y^{'}(1+k_{1}r^2+k_{2}r^4+k_{3}r^6)
    切向畸变
    xcorrected=x+2p1xy+p2(r2+2x2)x^{'}_{corrected}=x+2p_{1}xy+p_{2}(r^2+2x^2)
    ycorrected=y+p1(x2+2y2)+2p2xyy^{'}_{corrected}=y+p_{1}(x^{2}+2y^{2})+2p_{2}xy

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  • 相机模型——针孔相机

    万次阅读 2014-05-21 16:52:24
    想到学习下相机模型,是因为最近做的事情涉及到求解相机参数、恢复相机位置等。而在这里开博,主要也是当做学习笔记来用。 在相机模型中,针孔相机是相对简单而常用的模型。由于其用的是投影成像的方法,因此要先...

            想到学习下相机模型,是因为最近做的事情涉及到求解相机参数、恢复相机位置等。而在这里开博,主要也是当做学习笔记来用。其中【】表示引用和参考。

            在相机模型中,针孔相机是相对简单而常用的模型。简单的说,针孔相机模型就是把相机简化成小孔成像,如图1【3】,f标注的距离是焦距。可以想见,这种简化对于精度要求高的情况或者广角相机是不适用的。但由于其用的是投影成像的方法,因此要先了解下投影变换。


    图1

            比较基础简单的投影变换有正交变换和透视变换。正交变换就是物体上的点全都平行地投射到投影面,没有远近的区别,即没有透视效果。透视变换正好相反,被投影物体处于一个四棱台区域中,物体被投影到离相机较近的平面上。相机被抽象为一个点,而投影点是物体上的点和相机的连线与投影平面的交点。由于投影的路径不再相互平行,因此会产生透视效果,这个随便自己画下就明白了。具体可以参考【1】。

            针孔相机模型是基于透视变换的相机模型。其公式如图2【2】,而以字母表示矩阵,则如图3【2】。


    图2


    图3

    其中m‘为屏幕uv坐标,A为相机内参,[R|t]为相机外参,M’为物体世界坐标,而s为物体在相机坐标系中的z坐标,这是公式推导过程中产生的参数。这里提到的相机内参是指仅由相机本身决定的参数,也就是对某一相机一旦这个值算好就不用再次进行计算。相对的,外参是和世界坐标系和相机位置有关的。

           那么这个公式是如何产生的呢?相机模型是属于计算机3d视觉中的,而所谓3d视觉就是要建立二维图像和三维场景的联系,比较主要的一个用途是根据二维图片重建三维场景。所以一个自然的想法就是通过各种方式使得可以从三维坐标计算得到屏幕空间坐标或者相反。在进行推导之前,先要普及下齐次坐标的知识,因为所有推导都是在齐次坐标系下进行的。齐次坐标简单的来说就是将原来的坐标添加一个维度,比如[x,y,z]在齐次坐标系下就是[nx,ny,nz,n](n!=0),其中n为多少是无所谓的。针对于相机模型这个话题,也只会将[x,y,z]变为[x,y,z,1]。在对于图形图像的处理中,大量的使用到齐次坐标,因为这样在非齐次坐标系下需要通过加法进行的运算就都可以合并到乘法运算中去了,也就是合并为一个参数矩阵,各种方便。

            想要推导这个公式,就要先分析相机及其所处环境的模型。将世界中的物体映射到屏幕上的整个过程,涉及四个坐标系。首先是世界坐标系,这个不用多说了。而相机本身也是世界中的物体,因此在世界坐标系中也有一个位置。但是还需要一个相对与相机位置不变的相机坐标系。一般这个坐标系的原点设在抽象出的针孔相机处,z轴为光轴。而相机的投影平面存在两个坐标系。投影平面是和相机相隔焦距距离并垂直于光轴的平面,一般位于z的正方向。这两个坐标系最大的区别是一个像前两个坐标系一样使用浮点数,其原点位于光轴和和投影平面的交点处,x、y轴与相机坐标系对应轴平行,如图4【4】。将三维空间物体投影到这样一个平面坐标系上是很直观的,但是对于计算机的显示来说,不但要求位置以像素为单位表示,而且最好值全是正数,才符合编程的需要。因此就产生了第四个坐标系——uv坐标系。这个坐标系的原点在显示屏幕的一个角上,使得显示部分全落在第一象限,同时坐标值是以像素为单位的正数。uv坐标和平面浮点坐标关系如图5【4】。


    图4


    图5

            在此要注意下相机坐标系部分模型和实际相机的关系。实际相机的朝向在相机坐标系中应当是朝向负z方向,也是景物真实所在的方向。而在图4和很多其他图中都将真实景物的位置绘制在正z方向,个人理解是这样在推导上比较直观。景物在真实的位置,还要将投影好的影像颠倒位置才合理,而将其假想在负方向,不但推导容易,而且直接就得出所需的结果。

            接下来就是详述如何进行公式的推导了。这部分基本参考马颂德等人的《计算机视觉》一书中的推导。

            首先是由世界坐标系转换到相机坐标系,这部分使用图形学中基础的旋转平移矩阵的推导,不详述了,以后有时间再补上。可以得到如下等式,如图6


    图6

    其中,带有下标w的代表世界坐标系,而带有下标c的表示相机坐标系,R、t分别表示旋转与平移矩阵。

            继而是由相机坐标系到投影平面的转换,使用的是相似三角形的原理,有如图7所示关系。由于全部过程使用齐次坐标系,对于这个关系也尽量使用齐次坐标和矩阵,如图8。Zc这个系数被单独放在等号左边作为系数,是为了凑出[Xc, Yc, Zc, 1]。


    图7


    图8

            之后处理投影平面上的坐标系转换,其中使用浮点数作为单位的坐标系,在此称为浮点平面坐标系。uv坐标系和浮点平面坐标系的关系如图5所示。在这里注意到《计算机视觉》中的图示都是y轴向下的,感觉是因为uv坐标的原点是设置在屏幕左上角,v轴向下的。这样设置是由于习惯还是计算机显存将较高部分像素标记为较小序号等原因还没有考证过,但是可以想见y轴都向下是为了推导方便,而且如果全部翻转向上应该也是没有影响的。

    设想uv坐标系中每个像素在浮点平面坐标系中在x方向长dx,在y方向长dy,浮点平面坐标系在uv坐标系中的位置是(u0, v0)。则它们有如图9所示关系。依旧要用齐次坐标表示,如图10。


    图9


    图10

            至此,便可以将几个矩阵合并,最终得到一个uv坐标系与世界坐标系的关系,如图11。可以注意到内参全部是由相机本身确定的,而外参是需要根据相机位置变化的。


    图11


    参考资料

    【1】http://netclass.csu.edu.cn/NCourse/hep089/Chapter5/CG_Txt_5_033.htm

    【2】http://wiki.opencv.org.cn/index.php/Cv%E7%85%A7%E7%9B%B8%E6%9C%BA%E5%AE%9A%E6%A0%87%E5%92%8C%E4%B8%89%E7%BB%B4%E9%87%8D%E5%BB%BA

    【3】http://baike.baidu.com/view/104209.htm?fr=aladdin

    【4】《计算机视觉》,马松德等

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  • 相机模型成像原理

    千次阅读 2018-07-14 10:19:31
    本内容为slam学习中所涉及的关于相机模型与非线性优化的基础知识整理。一.针孔相机模型与图像照片记录了真实世界在成像平面上的投影,这个过程丢弃了“距离”维度上的信息,普通相机可以用针孔模型很好的近似。小孔...

    本内容为slam学习中所涉及的关于相机模型基础知识整理。

    一.针孔相机模型与图像

    照片记录了真实世界在成像平面上的投影,这个过程丢弃了“距离”维度上的信息,普通相机可以用针孔模型很好的近似。

    小孔成像模型:就是初高中物理讲过的成像原理


    由于成像平面的坐标系是在图像的中心并且像素的排布是一个离散的过程,所以从成像平面到像素坐标还要进行以下转化过程:


    这里补充一个齐次坐标系的知识,之前学线代时经常用到齐次非齐次的概念,可是当看到上图中左右两个不同的坐标时没有理解为什么一个是齐次一个是非齐次的,所以百度了一下深入理解一下这个概念。

    https://www.zhihu.com/question/59595799/answer/301242100

    言归正传,由此可以看出同一直线上的投影点扔是同一个。

    除了内参外,像极坐标系与世界坐标系还相差一个变换:


    这里的R,t或T称为外参(注:右侧式子隐含了一次非齐次到齐次的变换),这个外参就是SLAM估计的目标。

    下面整理一下投影顺序:世界-----相机-------归一化平面-------像素(激光模型要更加简单,因为激光直接能够获得距离)



    针孔前的镜头会引入畸变,下面来介绍一下畸变:

    主要的畸变类型有:径向畸变和切向畸变


    那么怎么建立数学模型去表示畸变后的坐标呢?畸变可以用归一化坐标的变换来描述:


    最后再整理一下针孔相机模型成像的整个过程:


    下面介绍双目相机成像模型:


    除了单目双目外再介绍一下用物理手段测量深度的RGBD相机:

    主要分为ToF或结构光两种主要原理,通常能够得到与RGB图对应的深度图。


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  • 单目视觉(4):SFM之相机模型(二)

    千次阅读 2018-04-02 10:02:41
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  • 视觉SLAM:相机模型介绍
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  • 计算机视觉-相机模型

    千次阅读 2016-05-15 16:17:36
    计算机视觉
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  • 1. 相机模型中的四个平面坐标系:  (1)图像像素坐标系(u,v)  以像素为单位,是以图像的左上方为原点的图像坐标系;  (2)图像物理坐标系(也叫像平面坐标系)(x,y)  以毫米为单位, 用物理单位表示图像像素...
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空空如也

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相机模型