图像处理 边缘检测算法

2018-12-20 20:55:06 HHH_ANS 阅读数 4301

1 - 引言

在图像识别中,如果可以将图像感兴趣的物体或区别分割出来,无疑可以增加我们图像识别的准确率,传统的数字图像处理中的分割方法多数基于灰度值的两个基本性质

  • 不连续性、
    以灰度突变为基础分割一副图像,比如图像的边缘
  • 相似性
    根据一组预定义的准则将一副图像分割为相似的区域。阈值处理、区域生长、区域分裂和区域聚合都是这类方法的例子。

2 - 点、线和边缘检测基础

虽然许多检测算法都被opencv封装成函数可以直接调用,但是理解其背后的理论依据可以更好地帮助我们理解和改进算法

2.1 背景知识

  1. 一阶导数通常在图像中产生较粗的边缘;
  2. 二阶导数对精细细线,如细线、孤立点和噪声有较强的响应;
  3. 二阶导数在灰度斜坡和灰度台阶过渡出会产生双边响应;
  4. 二阶导数的符号可以用于确定边缘的过渡是从亮到暗还是从暗到亮

用于计算图像中每个像素位置处的一阶导数和二阶导数可选择方法是使用空间滤波器
R=w1z1+w2z2++w9z9=k=19wkzkR = w_1z_1+w_2z_2+\dots +w_9z_9=\sum_{k=1}^9w_kz_k

在这里插入图片描述

2.1 - 孤立点的检测

点的检测以二阶导数为基础。这意味可以着使用拉普拉斯模板(详情见空间域滤波基础

如果在某点该处模板的响应的绝对值超过了一个指定的阈值,那么我们` 说在模板中心位置(x,y)处的该点已被检测到了。在输入图像中,这样的点被标注为1,而所有其他点则被标注为0,从而产生一副二值图像。

g(x,y)={1R(x,y)T0 其他 g(x,y)=\begin{cases} 1& | R(x,y)| \geq T\\ 0 & \text{ 其他 } \end{cases}

其中,g是输出图像,T是一个非负的阈值,R由上式给出。

2.2 - 线检测

复杂度更高的检测是线检测,对于线检测,可以预期二阶导数将导致更强的响应,并产生比一阶导数更细的线。这样对于线检测,我们也可以使用拉普拉斯模板,记住,二阶导数的双线效应必须做适当的处理。
在这里插入图片描述

2.4 边缘模型

边缘检测是基于灰度突变来分割图像最常用的方法。我们从介绍一些边缘建模的方法开始,然后讨论一些边缘检测的方法。
在这里插入图片描述

实际中,数字图像都存在被模糊且带有噪声的边缘,模糊程度主要取决于聚焦机理中的兼职,而噪声水平主要取决于成像系统的电子元件。在这种情况下,边缘被建模为一个更接近灰度斜坡的剖面。

在这里插入图片描述

并且我们可以得出结论:一阶导数的幅度可用于检测图像中的某个点是否存在一个边缘,二阶导数可以用于确定一个边缘像素位于该边缘的暗的一侧还是亮的一侧。

那么这是理想情况下的图片边缘,如果图片有噪声的话,其边缘函数则为

在这里插入图片描述

微弱的可见噪声对检测边缘所用的两个关键导数的严重影响的这一事实,是我们应记住的一个重要问题。特别地,在类似于我们刚刚讨论的水平的噪声很可能存在的应用中,使用导数之前的图像平滑处理是应该认真考虑的问题。

因此边缘检测的三个基本步骤

  1. 为降噪对图像进行平滑处理
  2. 边缘点的检测
  3. 边缘定位

2.4.1 - 基本的边缘检测算子

Roberts算子
Roberts算子以求对角像素之差为基础,该算子用于识别对角线方向的边缘:
gx=(z9z5)gy=(z8z6)g_x=(z_9-z_5)和g_y=(z_8-z_6)
在这里插入图片描述

Prewitt算子
Prewitt算子使用以z5z_5为中心的3x3领域对gxg_xgyg_y的近似如下式所示
gx=(z7+z8+z9)(z1+z2+z3)g_x=(z_7+z_8+z_9)-(z_1+z_2+z_3)
gy=(z3+z6+z9)(z1+z4+z7)g_y=(z_3+z_6+z_9)-(z_1+z_4+z_7)
模板如下图:
在这里插入图片描述

Sobel算子
Sobel算子使用以z5z_5为中心的3x3领域对gxg_xgyg_y的近似如下式所示:
gx=(z7+2z8+z9)(z1+2z2+z3)g_x=(z_7+2z_8+z_9)-(z_1+2z_2+z_3)
gy=(z3+2z6+z9)(z1+2z4+z7)g_y=(z_3+2z_6+z_9)-(z_1+2_z4+z_7)

Sobel模板能较好地抑制(平滑)噪声地特性使得它更为可取,因为在处理导数时噪声抑制是一个重要地问题。 在这里插入图片描述

检测对角边缘的Prewitt和Sobel模板

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

3 - 成熟先进的边缘检测技术

3.1 - Marr-Hildreth边缘检测器

① 概念背景:
最早的成功地尝试将更高级的分析结合到边缘检测处理之一应归功与Marr和Hildreth[1980]。

Marr和Hildreth证明了:

  1. 灰度边缘与图像尺寸无关,因此他们的检测要求使用不同尺寸的算子;
  2. 灰度的突然变化会在一阶导数中引起波峰或波谷,或在二阶导数中等效地引起零交叉

这些概念建议,用于边缘检测的算子应有两个显著的特点。

  • 第一个和最重要的特点是它应该是一个能计算图像中每一点处的一阶导数或二阶导数的数字近似的微分算子。
  • 第二个是它应能被“调整”以便在任何期望的尺寸上起作用
    因此,大的算子也可以用于检测模糊边缘,小的算子也可以用于检测锐度集中的精细细节。

② 高斯拉普拉斯(LoG):
Marr和Hildreth证明了:满足这些最令人满意的算子是滤波器2G\triangledown^2G,2\triangledown^2是拉普拉斯算子(2/x2+2/y2\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2),而G是标准差为σ\sigma的二维高斯函数
G(x,y)=ex2+y22σ2G(x,y)=e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}
为求2G\triangledown^2G的表达式,我们执行如下微分:
2G(x,y)=2G(x,y)x2+2G(x,y)y2=x[xσ2ex2+y22σ2]+y[yσ2ex2+y22σ2]\triangledown^2G(x,y)=\frac{\partial^2G(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2G(x,y)}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial x}[\frac{-x}{\sigma^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}]+\frac{\partial}{\partial y}[\frac{-y}{\sigma^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}]

整理各项后给出如下最终表达式:
2G(x,y)=[x2+y22σ2σ4]ex2+y22σ2\triangledown^2G(x,y)=[\frac{x^2+y^2-2\sigma^2}{\sigma^4}]e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}

该表达式成为高斯拉普拉斯(LoG)

在这里插入图片描述

③ Marr-Hildreth算法
Marr-Hildreth算法由LOG滤波器与一副输入图像f(x,y)卷积组成,即
g(x,y)=[2G(x,y)]f(x,y)g(x,y)=[\triangledown^2G(x,y)]\bigstar f(x,y)
然后找寻g(x,y)的零交叉来确定f(x,y)中边缘的位置。因为这些都是线性操作,故可以写为
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\bigstarf' at position 30: …ledown^2[G(x,y)\̲b̲i̲g̲s̲t̲a̲r̲f̲(x,y)]

它指出我们可以先使用一个高斯滤波器来平滑图像,然后计算该结果的拉普拉斯。

Marr-Hildreth算法小结

  1. 用一个G(x,y)取样得到的nxn的高斯高斯低通滤波器对输入图像滤波。
  2. 计算由第一步得到的图像的拉普拉斯
  3. 找到步骤2所有图像的零交叉

零交叉是Marr-Hildreth边缘检测方法的关键特征,实现简单,并且通常能给出好的结果。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cv2

def edgesMarrHildreth(img, sigma):
    """
        finds the edges using MarrHildreth edge detection method...
        :param im : input image
        :param sigma : sigma is the std-deviation and refers to the spread of gaussian
        :return:
        a binary edge image...
    """
    size = int(2 * (np.ceil(3 * sigma)) + 1)

    x, y = np.meshgrid(np.arange(-size / 2 + 1, size / 2 + 1), np.arange(-size / 2 + 1, size / 2 + 1))

    normal = 1 / (2.0 * np.pi * sigma ** 2)

    kernel = ((x ** 2 + y ** 2 - (2.0 * sigma ** 2)) / sigma ** 4) * np.exp(
        -(x ** 2 + y ** 2) / (2.0 * sigma ** 2)) / normal  # LoG filter

    kern_size = kernel.shape[0]
    log = np.zeros_like(img, dtype=float)

    # applying filter
    for i in range(img.shape[0] - (kern_size - 1)):
        for j in range(img.shape[1] - (kern_size - 1)):
            window = img[i:i + kern_size, j:j + kern_size] * kernel
            log[i, j] = np.sum(window)

    log = log.astype(np.int64, copy=False)

    zero_crossing = np.zeros_like(log)

    # computing zero crossing
    for i in range(log.shape[0] - (kern_size - 1)):
        for j in range(log.shape[1] - (kern_size - 1)):
            if log[i][j] == 0:
                if (log[i][j - 1] < 0 and log[i][j + 1] > 0) or (log[i][j - 1] < 0 and log[i][j + 1] < 0) or (
                        log[i - 1][j] < 0 and log[i + 1][j] > 0) or (log[i - 1][j] > 0 and log[i + 1][j] < 0):
                    zero_crossing[i][j] = 255
            if log[i][j] < 0:
                if (log[i][j - 1] > 0) or (log[i][j + 1] > 0) or (log[i - 1][j] > 0) or (log[i + 1][j] > 0):
                    zero_crossing[i][j] = 255

                # plotting images
    fig = plt.figure()
    a = fig.add_subplot(1, 2, 1)
    imgplot = plt.imshow(log, cmap='gray')
    a.set_title('Laplacian of Gaussian')
    a = fig.add_subplot(1, 2, 2)
    imgplot = plt.imshow(zero_crossing, cmap='gray')
    string = 'Zero Crossing sigma = '
    string += (str(sigma))
    a.set_title(string)
    plt.show()

    return zero_crossing

img = cv2.imread('images/17.jpg',0)
img = edgesMarrHildreth(img,4)

在这里插入图片描述

(可以看到这个算法检测出了图像的边缘,但是有很多地方都是不连续的,那么之后我们会介绍如何检测边界和边缘连接)

3.2 - 坎尼边缘检测(Canny)

虽然其算法更为复杂,但是Canny边缘检测是迄今为止讨论过的边缘检测器中最为优秀的,Canny基于三个基本目标:

  1. 低错误率。所有边缘都应被找到,并且应该没有伪相应,也就是检测到的边缘必须尽可能是真是的边缘
  2. 边缘点应被很好的定位。已定位边缘必须尽可能接近真实边缘。也就是由检测器标记为边缘的点和真实边缘的中心之间的距离应该最小
  3. 单一的边缘点响应。对于真实的边缘点,检测器仅应返回一个点。也就是真是边缘周围的局部最大数应该是最小的。这意味着在仅存一个单一边缘点到额位置,检测器不应指出多个边缘像素。

Canny工作的本质是,从数学上表达前面的三个准则,并试图找到这些表达式的最佳解,通常这是很困难的,但是我们可以使用高斯近似得出最优解:首先使用一个环形二维高斯函数平滑图像,计算结果的梯度,然后使用梯度幅度和方向来估计每一点的边缘强度与方向

第一步
令f(x,y)表示输入图像,G(x,y)表示高斯函数:
G(x,y)=ex2+y22σ2G(x,y)=e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}

我们用G和f卷积形成一幅平滑的图像fs(x,y)f_s(x,y)
fs(x,y)=G(x,y)f(x,y)f_s(x,y)=G(x,y)\bigstar f(x,y)

第二步
接下来计算结果的梯度幅度和方向:
M(x,y)=gx2+gy2M(x,y)=\sqrt {g_x^2+g_y^2}
α(x,y)=arctan[gygx]\alpha(x,y)=arctan[\frac{g_y}{g_x}]

第三步
细化边缘,使用非最大抑制:

  1. 寻找最接近α(x,y)\alpha(x,y)的方向dkd_k
  2. M(x,y)M(x,y)的值至少小于沿dkd_k的两个零邻居之一,零gN(x,y)=0g_N(x,y)=0(抑制);否则令gN(x,y)=M(x,y)g_N(x,y) = M(x,y),得到最大非抑制后的图像gN(x,y)g_N(x,y)

第四步
最后操作时对gN(x,y)g_N(x,y)进行阈值处理,以便减少伪边缘点,Canny算法使用两个阈值:低阈值TLT_L和高阈值THT_H(Canny建议高低阈值比为2:1或3:1)

gNH={gN(x,y)TH}g_{NH}=\left \{ g_N(x,y)\geq T_H\right\}
gNL={gN(x,y)TL}g_{NL}=\left \{ g_N(x,y)\geq T_L\right\}
gNH=gNL(x,y)gNH(x,y)g_{NH}= g_{NL}(x,y)-g_{NH}(x,y)

gNH(x,y)g_{NH}(x,y)gNL(x,y)g_{NL}(x,y)的非零像素可分别视为“强”和“弱”边缘像素。其中gNH(x,y)g_{NH}(x,y)为边缘点,gNL(x,y)g_{NL}(x,y)为候选点,对于候选点,如果与边缘点邻近,就标记为边缘点。

具体步骤如下:

  1. gNH(x,y)g_{NH}(x,y)中定位一下个未被访问的边缘像素p
  2. gNL(x,y)g_{NL}(x,y)中与p是8邻接的像素标记为有效边缘像素
  3. gNH(x,y)g_{NH}(x,y)中的所有非零像素已被访问,则跳到步骤4,否走返回步骤1
  4. gNL(x,y)g_{NL}(x,y)中未标记为有效边缘像素的所有像素置零
    在这一过程的末尾,将来自gNL(x,y)g_{NL}(x,y)的所有非零像素附近到gNH(x,y)g_{NH}(x,y),用Canny算子形成最终的输出图像。

那么我们来总结一下Canny算法
Canny算法步骤

  1. 用一个高斯滤波器平滑输入图像
  2. 计算梯度幅度图像和角度图像
  3. 对梯度幅度图像应用非最大抑制
  4. 用双阈值处理和连接分析来检测并连接边缘(这相对Marr-Hildreth优化了边缘的连接使得检测的边缘更加完整)

OpenCV将这一算法封装成了一个函数

def Canny(image, threshold1, threshold2, edges=None, apertureSize=None, L2gradient=None): # real signature unknown; restored from __doc__
    """
    Canny(image, threshold1, threshold2[, edges[, apertureSize[, L2gradient]]]) -> edges
    .   @brief Finds edges in an image using the Canny algorithm @cite Canny86 .
    .   
    .   The function finds edges in the input image and marks them in the output map edges using the
    .   Canny algorithm. The smallest value between threshold1 and threshold2 is used for edge linking. The
    .   largest value is used to find initial segments of strong edges. See
    .   <http://en.wikipedia.org/wiki/Canny_edge_detector>
    .   
    .   @param image 8-bit input image.
    .   @param edges output edge map; single channels 8-bit image, which has the same size as image .
    .   @param threshold1 first threshold for the hysteresis procedure.
    .   @param threshold2 second threshold for the hysteresis procedure.
    .   @param apertureSize aperture size for the Sobel operator.
    .   @param L2gradient a flag, indicating whether a more accurate \f$L_2\f$ norm
    .   \f$=\sqrt{(dI/dx)^2 + (dI/dy)^2}\f$ should be used to calculate the image gradient magnitude (
    .   L2gradient=true ), or whether the default \f$L_1\f$ norm \f$=|dI/dx|+|dI/dy|\f$ is enough (
    .   L2gradient=false ).

必要参数:

  • 第一个参数是需要处理的原图像,该图像必须为单通道的灰度图;
  • 第二个参数是阈值1;
  • 第三个参数是阈值2。

函数返回一副二值图,其中包含检测出的边缘。

使用
Canny函数的使用很简单,只需指定最大和最小阈值即可。如下:

# coding=utf-8
import cv2
import numpy as np

img = cv2.imread("images/17.jpg", 0)
cv2.imshow('img',img)
img = cv2.GaussianBlur(img, (3, 3), 0)
canny = cv2.Canny(img, 50, 150)

cv2.imshow('Canny', canny)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

在这里插入图片描述

可以看到,Canny算法明显提取边缘的效果要优于Marr-Hildreth算法,对边缘的连接也做的更好。

2018-04-03 16:41:15 u012197749 阅读数 10951

一、边缘检测算子类别 

     常见边缘检测算子:Roberts 、Sobel 、Prewitt、Laplacian、Log/Marr、Canny、Kirsch、Nevitia

二、一阶微分算子:Roberts 、Sobel 、Prewitt

        Robert算子是第一个边缘检测算子,提出者Lawrence Roberts in 1963。

        Sobel边缘算子,当年作者并没有公开发表过论文,仅仅是在一次博士生课题讨论会(1968)上提出("A 3x3 Isotropic Gradient Operator for Image Processing"),后在1973年出版的一本专著("Pattern Classification and Scene Analysis")的脚注里作为注释出现和公开的。提出者Irwin Sobel。

        Prewitt算子来自J.M.S. Prewitt "Object Enhancement and Extraction" in "Picture processing and Psychopictorics", Academic Press,1970。

        我们看这三种边缘检测算子模板及写成差分的形式



 Roberts算子



Sobel算子



Prewitt算子

图 4 一阶微分算子

       如何计算边缘幅值与方向?以Sobel算子为例。3*3 Sobel两个方向的算子在图像上滑动,模板与其覆盖的图像3*3区域9个像素进行卷积,求和后得到此方向的边缘检测幅值。





f(x,y)为图像,Gx和Gy分别是水平和竖直方向算子的卷积结果,G则是最终得到的边缘幅值,θ值则是边缘方向。当然G的计算有时简化为

  

或者

 

求幅值时是有多种选择的,一般根据具体应用选择用水平还是竖直或是两个方向同时检测。

        另外,需要说明的是,Sobel算子还有一种变种,是各向同性Sobel算子,其模板为



图 5 各向同性Sobel算子

Sobel各向同性算子的权值比普通Sobel算子的权值更准确。为什么?模板的权值是离中心位置越远则权值(看绝对值)影响越小,如上图,把模板看成是9个小正方形,小正方形边长为1,则虚线三角形的斜边长为,下直角边长为1,则如果(0,0)位置权值绝对值大小为1,则按照距离关系,位置(1,0)处的权值绝对值大小应该为才是准确的。

三、 二阶微分算子:Laplacian、Log/Marr

        拉普拉斯算子来自拉普拉斯变换,而Log算子又称Marr算子,由David Courtnay Marr和Ellen Hildreth(1980)共同提出,计算神经学创始人Marr在1980年正式发表论文时,因换白血病早逝,后面设立Marr奖以此纪念其贡献,现在每两年的ICCV(与ECCV,CVPR并称计算机视觉三大顶级会议)会评出一个Marr奖。这两种算子模板如下:


Laplacian算子(两种模板)


Log算子

图 6 二阶微分算子


拉普拉斯算子数学公式是

写成差分形式为


        Log边缘检测则是先进行高斯滤波再进行拉普拉斯算子检测,然后找过零点来确定边缘位置,很多时候我们只是知道Log 5*5模板如上图所示,但是具体是怎么得到的?下面进行推导。

二维高斯公式是


按拉普拉斯算子公式求x,y方向的二阶偏导后为


这里x,y不能看成模板位置,应看成是模板其他位置到中心位置的距离。那么写成


这里x0,y0就是模板中心位置,x,y是模板其他位置,对于5*5模板,则x0=2,y0 = 2,那对于模板中(0,0)位置的权值,即把x= 0,y= 0,x0= 2,y0 = 2带入上式,另= 1,得到约等于0.0175,这样得到


通过取整变符号,且模板总和为0,得到图6所示的模板。

        另外,这里模板大小是如何取的?通常高斯分布中,在(-3,3)的范围内就覆盖了绝大部分区域,所以模板大小一般取dim = 1 + 6(在SIFT特征中,其中的高斯模糊也是这样取),dim如果为小数,则取不小于dim的最小整数,当然实际使用时没有这么严格,如上面我们取=1时,模板大小取5*5。那同一个尺寸的模板中的权值调整就是的变化得到的,变化到一定程度,模板尺寸大小改变(这个是个人理解,欢迎拍砖羡慕)。

四、非微分边缘检测算子:Canny

       Canny边缘检测大家应该很熟悉,这里列出步骤,并给出一个详细介绍的链接Canny算子

    1.      彩色图像转换为灰度图像
    2.      对图像进行高斯模糊
    3.      计算图像梯度,根据梯度计算图像边缘幅值与角度(这里其实用到了微分边缘检测算子来计算梯度幅值方向)
    4.      非最大信号压制处理(边缘细化)
    5.      双阈值边缘连接处理

    6.      二值化图像输出结果

五、方向算子Kirsch(8个3*3模板),Nevitia (12个5*5模板)

        这两个算子是利用多个方向的子模板进行分别计算,最后取幅值最大的那个为最终边缘幅值,方向即最大幅值对应的那个方向。

六、各边缘检测算子对比


参考文献:

1、http://blog.csdn.net/xiaojiegege123456/article/details/7714863

2、http://blog.csdn.net/yanmy2012/article/details/8110316

3、http://blog.csdn.net/langb2014/article/details/45667921

4、https://blog.csdn.net/tigerda/article/details/61192943

2016-11-02 14:02:34 guanyuqiu 阅读数 19004

1.Sobel边缘检测算法

sobel边缘算子认不同为邻域的像素对当前像素产生的影响不是等价的,所以距离不同的像素具有不同的权值,对算子结果产生的影响也不同。一般来说,距离越大,产生的影响越小。这两个卷积因子分别对垂直边缘和水平边缘影响最大,两个卷积的最大值做为该点的输出位。


该算子包含两组3*3的矩阵,分别为图像横向及纵向,将之与图像作平面卷积,即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。如果以A代表原始图像,Gx及Gy分别代表经横向及纵向边缘检测的图像灰度值,其公式如下:


具体计算如下:


其中f(a,b)表示图像(a,b)点的灰度值;

图像的每一个像素的横向及纵向灰度值通过以下公式结合,来计算该点灰度的大小:


通常,为了提高效率,使用不开平方的近似值:


如果梯度G大于某一阈值,则认为改点(x,y)为边缘点。

然后可用以下公式计算梯度方向:


sobel算子根据像素点上下、左右邻点灰度加权差,在边缘处达到极值这一现象检测边缘。对噪声具有平滑作用,提供较为精确的边缘方向信息,边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时,是一种较为常见的边缘检测方法。

代码:

void Sobel(unsigned char *pSource, unsigned char *pDst)
{
	int				i,j,Gx,Gy,nSum;
	unsigned char	*pDs1,*pDs2,*pDs3,*pDs4,*pDst5,*pDst6,*pDst7,*pDst8,*pDst9,*pResut;
	memset(pDst,0,sizeof(unsigned char)*m_nWidth*m_nHeight);
	pDs1 = pSource;
	pDs2 = pDs1+1;
	pDs3 = pDs2+1;
	pDs4 = pSource+m_nWidth;
	pDst5 = pDs4+1;
	pDst6 = pDst5+1;
	pDst7 = pSource+2*m_nWidth;
	pDst8 = pDst7+1;
	pDst9 = pDst8+1;
	pResut = pDst+m_nWidth+1;

	for (i=1;i<m_nHeight-1;i++)
	{
		for (j=1;j<m_nWidth-1;j++)
		{
			Gx = (*pDs3)+2*(*pDst6)+(*pDst9)
				-(*pDst7)-(*pDs1)-2*(*pDs4);
			Gy = (*pDs1)+2*(*pDs2)+(*pDs3)
				-(*pDst7)-2*(*pDst8)-(*pDst9);
			nSum = abs(Gx)+abs(Gy);
			*pResut = nSum>175?255:0;
			pDs1++;
			pDs2++;
			pDs3++;
			pDs4++;
			pDst5++;
			pDst6++;
			pDst7++;
			pDst8++;
			pDst9++;
			pResut++;
		}
		pDs1+=2;
		pDs2+=2;
		pDs3+=2;
		pDs4+=2;
		pDst5+=2;
		pDst6+=2;
		pDst7+=2;
		pDst8+=2;
		pDst9+=2;
		pResut+=2;
	}
}

2.Robert算子——无方向一阶锐化


3.Priwitt算子——无方向一阶锐化

Priwitt算子在一个方向求微分,而在另一个方向求平均,因而对噪声相对不敏感,有抑制噪声的作用,但是像素平均相对于对图像的低通滤,所以Prewitt算子对边缘的定位不如Roberts算子。与Sobel相比,有一定的抗干扰性,图像效果比较干净。


几种方法的效果比较:

  • Sobel算子与Priwitt算法的思路相同,属于同一类型,因此处理效果基本相同;
  • Roberts算子的模板时2*2,提取信息弱;
  • 单方向锐化经过处理之后,也可以对边界进行增强。

4.拉普拉斯算子

二维函数f(x,y)的拉普拉斯是一个二阶的微分,定义为:

最终结果为:



Laplacian算子利用二阶导数信息,具有各向同性,即与坐标轴方向无关,坐标轴旋转后梯度结果不变。使得图像经过二阶微分后,在边缘处产生一个陡峭的零交叉点,根据这个对零交叉点判断边缘。

为了改善锐化效果,可以脱离微分的计算原理,在原有的算子基础上,对模板系数进行改变,获得Laplacian变形算子


Laplacian算子对噪声比较敏感,Laplacian算子有一个缺点是它对图像中的某些边缘产生双重响应。所以图像一般先经过平滑处理,通常把Laplacian算子和平滑算子结合起来生成一个新的模板。





2011-11-01 20:36:10 xiajun07061225 阅读数 55386

Canny边缘检测算法一直是边缘检测的经典算法。下面详细介绍Canny边缘检测算法的原理以及编程实现。

Canny边缘检测基本原理
(1)图象边缘检测必须满足两个条件:一能有效地抑制噪声;二必须尽量精确确定边缘的位置。
 (2)根据对信噪比与定位乘积进行测度,得到最优化逼近算子。这就是Canny边缘检测算子。
 (3)类似与Marr(LoG)边缘检测方法,也属于先平滑后求导数的方法。

Canny 的目标是找到一个最优的边缘检测算法,最优边缘检测的含义是:
(1)好的检测 - 算法能够尽可能多地标识出图像中的实际边缘。
(2)好的定位 - 标识出的边缘要尽可能与实际图像中的实际边缘尽可能接近。
(3)最小响应 - 图像中的边缘只能标识一次,并且可能存在的图像雜訊不应标识为边缘。

Canny边缘检测算法的步骤

(1)去噪

任何边缘检测算法都不可能在未经处理的原始数据上很好地處理,所以第一步是对原始数据与高斯 mask 作卷积,得到的图像与原始图像相比有些轻微的模糊(blurred)。这样,单独的一个像素雜訊在经过高斯平滑的图像上变得几乎没有影响。

(2)用一阶偏导的有限差分来计算梯度的幅值和方向。

(3)对梯度幅值进行非极大值抑制。

仅仅得到全局的梯度并不足以确定边缘,因此为确定边缘,必须保留局部梯度最大的点,而抑制非极大值。(non-maxima suppression,NMS)
解决方法:利用梯度的方向。


四个扇区的标号为0到3,对应3*3邻域的四种可能组合。在每一点上,邻域的中心象素M与沿着梯度线的两个象素相比。如果M的梯度值不比沿梯度线的两个相邻象素梯度值大,则令M=0。

(4)用双阈值算法检测和连接边缘。

减少假边缘段数量的典型方法是对N[i,j]使用一个阈值。将低于阈值的所有值赋零值。但问题是如何选取阈值?
 解决方法:双阈值算法。双阈值算法对非极大值抑制图象作用两个阈值τ1和τ2,且2τ1≈τ2,从而可以得到两个阈值边缘图象N1[i,j]和N2[i,j]。由于N2[i,j]使用高阈值得到,因而含有很少的假边缘,但有间断(不闭合)。双阈值法要在N2[i,j]中把边缘连接成轮廓,当到达轮廓的端点时,该算法就在N1[i,j]的8邻点位置寻找可以连接到轮廓上的边缘,这样,算法不断地在N1[i,j]中收集边缘,直到将N2[i,j]连接起来为止。

在连接边缘的时候,用数组模拟队列的实现。以进行8-连通域搜索。

更详细的资料请参考维基百科:http://zh.wikipedia.org/wiki/Canny%E7%AE%97%E5%AD%90

下面是我编程实现的Canny边缘检测代码,如有错误,请大家包涵、指正:

I = imread('rice.png');
I = double(I);
[height,width] = size(I);
J = I;

conv = zeros(5,5);%高斯卷积核
sigma = 1;%方差
sigma_2 = sigma * sigma;%临时变量
sum = 0;
for i = 1:5
    for j = 1:5
        conv(i,j) = exp((-(i - 3) * (i - 3) - (j - 3) * (j - 3)) / (2 * sigma_2)) / (2 * 3.14 * sigma_2);%高斯公式
        sum = sum + conv(i,j);
    end
end
conv = conv./sum;%标准化

%对图像实施高斯滤波
for i = 1:height
    for j = 1:width
        sum = 0;%临时变量
        for k = 1:5
            for m = 1:5
                if (i - 3 + k) > 0 && (i - 3 + k) <= height && (j - 3 + m) > 0 && (j - 3 + m) < width
                    sum = sum + conv(k,m) * I(i - 3 + k,j - 3 + m);
                end
            end
        end
        J(i,j) = sum;
    end
end
figure,imshow(J,[])
title('高斯滤波后的结果')
%求梯度
dx = zeros(height,width);%x方向梯度
dy = zeros(height,width);%y方向梯度
d = zeros(height,width);
for i = 1:height - 1
    for j = 1:width - 1
        dx(i,j) = J(i,j + 1) - J(i,j);
        dy(i,j) = J(i + 1,j) - J(i,j);
        d(i,j) = sqrt(dx(i,j) * dx(i,j) + dy(i,j) * dy(i,j));
    end
end
figure,imshow(d,[])
title('求梯度后的结果')

%局部非极大值抑制
K = d;%记录进行非极大值抑制后的梯度
%设置图像边缘为不可能的边缘点
for j = 1:width
    K(1,j) = 0;
end
for j = 1:width
    K(height,j) = 0;
end
for i = 2:width - 1
    K(i,1) = 0;
end
for i = 2:width - 1
    K(i,width) = 0;
end

for i = 2:height - 1
    for j = 2:width - 1
        %当前像素点的梯度值为0,则一定不是边缘点
        if d(i,j) == 0
            K(i,j) = 0;
        else
            gradX = dx(i,j);%当前点x方向导数
            gradY = dy(i,j);%当前点y方向导数
            gradTemp = d(i,j);%当前点梯度
            %如果Y方向幅度值较大
            if abs(gradY) > abs(gradX)
                weight = abs(gradX) / abs(gradY);%权重
                grad2 = d(i - 1,j);
                grad4 = d(i + 1,j);
                %如果x、y方向导数符号相同
                %像素点位置关系
                %g1 g2
                %   C
                %   g4 g3
                if gradX * gradY > 0
                    grad1 = d(i - 1,j - 1);
                    grad3 = d(i + 1,j + 1);
                else
                    %如果x、y方向导数符号反
                    %像素点位置关系
                    %   g2 g1
                    %   C
                    %g3 g4
                    grad1 = d(i - 1,j + 1);
                    grad3 = d(i + 1,j - 1);
                end
            %如果X方向幅度值较大
            else
                weight = abs(gradY) / abs(gradX);%权重
                grad2 = d(i,j - 1);
                grad4 = d(i,j + 1);
                %如果x、y方向导数符号相同
                %像素点位置关系
                %g3
                %g4 C g2
                %     g1
                if gradX * gradY > 0
                    grad1 = d(i + 1,j + 1);
                    grad3 = d(i - 1,j - 1);
                else
                    %如果x、y方向导数符号反
                    %像素点位置关系
                    %     g1
                    %g4 C g2
                    %g3
                    grad1 = d(i - 1,j + 1);
                    grad3 = d(i + 1,j - 1);
                end
            end
            %利用grad1-grad4对梯度进行插值
            gradTemp1 = weight * grad1 + (1 - weight) * grad2;
            gradTemp2 = weight * grad3 + (1 - weight) * grad4;
            %当前像素的梯度是局部的最大值,可能是边缘点
            if gradTemp >= gradTemp1 && gradTemp >= gradTemp2
                K(i,j) = gradTemp;
            else
                %不可能是边缘点
                K(i,j) = 0;
            end
        end
    end
end
figure,imshow(K,[])
title('非极大值抑制后的结果')

%定义双阈值:EP_MIN、EP_MAX,且EP_MAX = 2 * EP_MIN
EP_MIN = 12;
EP_MAX = EP_MIN * 2;
EdgeLarge = zeros(height,width);%记录真边缘
EdgeBetween = zeros(height,width);%记录可能的边缘点
for i = 1:height
    for j = 1:width
        if K(i,j) >= EP_MAX%小于小阈值,不可能为边缘点
            EdgeLarge(i,j) = K(i,j);
        else if K(i,j) >= EP_MIN
                EdgeBetween(i,j) = K(i,j);
            end
        end
    end
end
%把EdgeLarge的边缘连成连续的轮廓
MAXSIZE = 999999;
Queue = zeros(MAXSIZE,2);%用数组模拟队列
front = 1;%队头
rear = 1;%队尾
edge = zeros(height,width);
for i = 1:height
    for j = 1:width
        if EdgeLarge(i,j) > 0
            %强点入队
            Queue(rear,1) = i;
            Queue(rear,2) = j;
            rear = rear + 1;
            edge(i,j) = EdgeLarge(i,j);
            EdgeLarge(i,j) = 0;%避免重复计算
        end
        while front ~= rear%队不空
            %队头出队
            temp_i = Queue(front,1);
            temp_j = Queue(front,2);
            front = front + 1;
            %8-连通域寻找可能的边缘点
            %左上方
            if EdgeBetween(temp_i - 1,temp_j - 1) > 0%把在强点周围的弱点变为强点
                EdgeLarge(temp_i - 1,temp_j - 1) = K(temp_i - 1,temp_j - 1);
                EdgeBetween(temp_i - 1,temp_j - 1) = 0;%避免重复计算
                %入队
                Queue(rear,1) = temp_i - 1;
                Queue(rear,2) = temp_j - 1;
                rear = rear + 1;
            end
            %正上方
            if EdgeBetween(temp_i - 1,temp_j) > 0%把在强点周围的弱点变为强点
                EdgeLarge(temp_i - 1,temp_j) = K(temp_i - 1,temp_j);
                EdgeBetween(temp_i - 1,temp_j) = 0;
                %入队
                Queue(rear,1) = temp_i - 1;
                Queue(rear,2) = temp_j;
                rear = rear + 1;
            end
            %右上方
            if EdgeBetween(temp_i - 1,temp_j + 1) > 0%把在强点周围的弱点变为强点
                EdgeLarge(temp_i - 1,temp_j + 1) = K(temp_i - 1,temp_j + 1);
                EdgeBetween(temp_i - 1,temp_j + 1) = 0;
                %入队
                Queue(rear,1) = temp_i - 1;
                Queue(rear,2) = temp_j + 1;
                rear = rear + 1;
            end
            %正左方
            if EdgeBetween(temp_i,temp_j - 1) > 0%把在强点周围的弱点变为强点
                EdgeLarge(temp_i,temp_j - 1) = K(temp_i,temp_j - 1);
                EdgeBetween(temp_i,temp_j - 1) = 0;
                %入队
                Queue(rear,1) = temp_i;
                Queue(rear,2) = temp_j - 1;
                rear = rear + 1;
            end
            %正右方
            if EdgeBetween(temp_i,temp_j + 1) > 0%把在强点周围的弱点变为强点
                EdgeLarge(temp_i,temp_j + 1) = K(temp_i,temp_j + 1);
                EdgeBetween(temp_i,temp_j + 1) = 0;
                %入队
                Queue(rear,1) = temp_i;
                Queue(rear,2) = temp_j + 1;
                rear = rear + 1;
            end
            %左下方
            if EdgeBetween(temp_i + 1,temp_j - 1) > 0%把在强点周围的弱点变为强点
                EdgeLarge(temp_i + 1,temp_j - 1) = K(temp_i + 1,temp_j - 1);
                EdgeBetween(temp_i + 1,temp_j - 1) = 0;
                %入队
                Queue(rear,1) = temp_i + 1;
                Queue(rear,2) = temp_j - 1;
                rear = rear + 1;
            end
            %正下方
            if EdgeBetween(temp_i + 1,temp_j) > 0%把在强点周围的弱点变为强点
                EdgeLarge(temp_i + 1,temp_j) = K(temp_i + 1,temp_j);
                EdgeBetween(temp_i + 1,temp_j) = 0;
                %入队
                Queue(rear,1) = temp_i + 1;
                Queue(rear,2) = temp_j;
                rear = rear + 1;
            end
            %右下方
            if EdgeBetween(temp_i + 1,temp_j + 1) > 0%把在强点周围的弱点变为强点
                EdgeLarge(temp_i + 1,temp_j + 1) = K(temp_i + 1,temp_j + 1);
                EdgeBetween(temp_i + 1,temp_j + 1) = 0;
                %入队
                Queue(rear,1) = temp_i + 1;
                Queue(rear,2) = temp_j + 1;
                rear = rear + 1;
            end
        end
        %下面2行用于观察程序运行的状况
        i
        j
    end
end

figure,imshow(edge,[])
title('双阈值后的结果')

对图片rice.png进行处理后的结果如下:



2018-01-19 23:08:12 KYJL888 阅读数 56274
边缘的定义
首先介绍什么是边缘。在数字图像中,边缘是指图像局部变化最显著的部分,边缘主要存在于目标与目标,目标与背景之间,是图像局部特性的不连续性,如灰度的突变、纹理结构的图标、颜色的图标等。尽管图像的边缘点产生的原因各不相同,但他们都是图形上灰度不连续或灰度几句辩护的点,图像边缘分为阶跃状、斜坡状和屋顶状。

边缘检测的基本方法
一般图像边缘检测方法主要有如下四个步骤
图像滤波
传统边缘检测算法主要是基于图像强度的一阶和二阶导数,但导数的计算对噪声很敏感,因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测器的性能。需要指出的是,大多数滤波器在降低噪声的同时也造成了了边缘强度的损失,因此,在增强边缘和降低噪声之间需要一个折衷的选择。
图像增强
增强边缘的基础是确定图像各点邻域强度的变化值。增强算法可以将邻域(或局部)强度值有显著变化的点突显出来。边缘增强一般是通过计算梯度的幅值来完成的。
图像检测
在图像中有许多点的梯度幅值比较大,而这些点在特定的应用领域中并不都是边缘,所以应该用某种方法来确定哪些点是边缘点。最简单的边缘检测判断依据是梯度幅值。
图像定位
如果某一应用场合要求确定边缘位置,则边缘的位置可在子像素分辨率上来估计,边缘的方位也可以被估计出来。近20多年来提出了许多边缘检测算子,在这里我们仅讨论集中常见的边缘检测算子。

常见边缘检测算子分析
1)  差分边缘检测
处理数字图像的离散域时,可以用图像的一阶差分来代替图像函数的导数。定义二维离散图像函数在 X 轴方向的一阶差分为:
f(i+1,j)-f(i,j)                          (2.3.1)

Y轴方向上的一阶差分定义为:

f(i,j+1)-f(i,j)       (2.3.2) 

利用图像灰度的一阶导数算子在灰度值变化显著的地方得到的极值来检测边缘点。它在某一个点的值就代表了该点的边缘强度值,可通过设置阈值来进一步得到边缘图像。但用差分的方法进行边缘检测必须使差分的方向和边缘的方向相垂直,这就需要对图像的不同方向分别进行差分运算,增加了运算量。一般可将边缘分为水平边缘、垂直边缘和对角线边缘:

图像算法 - 常用边缘检测算法对比分析 - dingmz_frc - dingmz_frc的博客
显然,差分边缘是最原始、最基础的方法,这种算子具有方向性,并且由于计算不方便等原因,在现在已经很少应用了,但其思想还是很多其他算法的基础。

2)Reborts算子

Reboerts算子是一种利用局部差分来寻找边缘的算子,Roberts 梯度算子所采用的是对角方向相邻两像素值之差,算子形式如下:

Gx = f(i,j) - f(i-1,j-1)           (2.3.3)
Gy = f(i-1,j) - f(i,j-1)           (2.3.4)
|G(x,y)| = sprt(Gx^2-Gy^2)         (2.3.5)

Roberts梯度算子对应的卷积模版为:

图像算法 - 常用边缘检测算法对比分析 - dingmz_frc - dingmz_frc的博客
用以上两个卷积算子与图像运算后,可求出图像的梯度幅值 G ( x,y),然后选择

适当的阈值τ ,若 G ( x,y)>τ,则 (i  ,j)为边缘点,否则,判断 (i  ,j)为非边缘点。由此得到一个二值图像 { g (i,j)},即边缘图像。Roberts 算子采用的是用对角线方向上相邻两像素的差近似梯度幅值来检测边缘,它的定位精度高,对于水平和垂直方向的边缘,检测效果较好,而对于有一定倾角的斜边缘,检测效果则不理想,存在着许多的漏检。另外,在含噪声的情况下,Roberts 算子不能有效的抑制噪声,容易产生一些伪边缘。因此,该算子适合于对低噪声且具有陡峭边缘的图像提取边缘。

Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值检测边缘。检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘,定位精度高,对噪声敏感

3)Sobel算子

Sobel算子在边缘检测算子扩大了其模版,在边缘检测的同时尽量削弱了噪声。其模版大小为3×3,其将方向差分运算与局部加权平均相结合来提取边缘。在求取图像梯度之前,先进行加权平均,然后进行未分,加强了对噪声的一致。Sobel算子所对应的卷积模版为:

图像算法 - 常用边缘检测算法对比分析 - dingmz_frc - dingmz_frc的博客
 图像中的每个像素点和以上水平和垂直两个卷积算子做卷积运算后,再计算得到

梯度幅值 G ( x,y),然后选取适当的阈值τ ,若 G ( x,y)>τ,则 (i  ,j)为边缘点,否则,判断 (i  ,j)为非边缘点。由此得到一个二值图像 { g (i,j)},即边缘图像。Sobel 算子在空间上比较容易实现,不但产生较好的边缘检测效果,同时,由于其引入了局部平均,使其受噪声的影响也较小。若使用较大的邻域,抗噪性会更好,但也增加了计算量,并且得到的边缘比较粗。在对精度要求不是很高的场合下,Sobel 算子是一种较为常用的边缘检测算法。

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转载请注明出处:  http://blog.csdn.net/tianhai110

索贝尔算子Sobel operator)主要用作边缘检测,在技术上,它是一离散性差分算子,用来运算图像亮度函数的灰度之近似值。在图像的任何一点使用此算子,将会产生对应的灰度矢量或是其法矢量

 

Sobel卷积因子为:

 

该算子包含两组3x3的矩阵,分别为横向及纵向,将之与图像作平面卷积,即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。如果以A代表原始图像,GxGy分别代表经横向及纵向边缘检测的图像灰度值,其公式如下:

 

 

具体计算如下:

Gx = (-1)*f(x-1, y-1) + 0*f(x,y-1) + 1*f(x+1,y-1)

      +(-2)*f(x-1,y) + 0*f(x,y)+2*f(x+1,y)

      +(-1)*f(x-1,y+1) + 0*f(x,y+1) + 1*f(x+1,y+1)

= [f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)+f(x-1,y+1)]

 

Gy =1* f(x-1, y-1) + 2*f(x,y-1)+ 1*f(x+1,y-1)

      +0*f(x-1,y) 0*f(x,y) + 0*f(x+1,y)

      +(-1)*f(x-1,y+1) + (-2)*f(x,y+1) + (-1)*f(x+1, y+1)

= [f(x-1,y-1) + 2f(x,y-1) + f(x+1,y-1)]-[f(x-1, y+1) + 2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]

 

其中f(a,b), 表示图像(a,b)点的灰度值;

 

图像的每一个像素的横向及纵向灰度值通过以下公式结合,来计算该点灰度的大小:

 

通常,为了提高效率 使用不开平方的近似值:

 

如果梯度G大于某一阀值 则认为该点(x,y)为边缘点。

 

然后可用以下公式计算梯度方向:

 

 

 

Sobel算子根据像素点上下、左右邻点灰度加权差,在边缘处达到极值这一现象检测边缘。对噪声具有平滑作用,提供较为精确的边缘方向信息,边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时,是一种较为常用的边缘检测方法。
  

 


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4)Prewitt 算子

同 Sobel 算子相似,Prewitt 算子也是一种将方向的差分运算和局部平均相结合的方法,也是取水平和垂直两个卷积核来分别对图像中各个像素点做卷积运算,所不同的是,Sobel 算子是先做加权平均然后再微分,Prewitt 算子是先平均后求微分,其对应的卷积模版为:

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图像中的每个像素点和以上水平和垂直两个卷积算子做卷积运算后,再计算得到
梯度幅值 G ( x,y),然后选取适当的阈值τ ,若 G ( x,y)>τ,则 (i  ,j)为边缘点,否则,判断 (i  ,j)为非边缘点。由此得到一个二值图像 { g (i,j)},即边缘图像。
在此基础上,有人提出了改进的Prewitt算子,将其扩展到八个方向,依次用这些边缘模板去检测图像,与被检测区域最为相似的样板给出最大值。用这个最大值作为算子的输出值 P[ i ,j],这样就可将边缘像素检测出来。八个方向的 Prewitt 算子模板及其所对应的边缘方向如下所示:
Prewitt 算子通过对图像上的每个像素点的八方向邻域的灰度加权差之和来进行检测边缘,对噪声有一定抑制作用,抗噪性较好,但由于采用了局部灰度平均,因此容易检测出伪边缘,并且边缘定位精度较低。
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附带知识:

普利维特算子(Prewitt operate) 

sobel边缘检测外 还有Prewitt算子, 它的卷积因子如下:

 

其他计算 sobel差不多;

Prewitt算子利用像素点上下、左右邻点灰度差,在边缘处达到极值检测边缘。对噪声具有平滑作用,定位精度不够高。

 

罗伯茨交叉边缘检测(Roberts Cross operator

卷积因子如下:

 

灰度公式为:

 

近似公式为:

 

具体计算如下:

G(x,y)=abs(f(x,y)-f(x+1,y+1))+abs(f(x,y+1)-f(x+1,y))

 

灰度方向 计算公式为:

 

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5)Kirsch 算子
Kirsch 算子是一种 3×3 的非线性方向算子。其基本思想是希望改进取平均值的过程,从而尽量使边缘两侧的像素各自与自己同类的像素取平均值,然后再求平均值之差,来减小由于取平均值所造成的边缘细节丢失。通常采用八方向 Kirsch 模板的方法进行检测,取其中最大的值作为边缘强度,而将与之对应的方向作为边缘方向。常用的八方向 Kirsch 模板如下所示:
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实际的应用中,通常都是利用简单的卷积核来计算方向差分的,不同的算子对应着不同的卷积核。它们在图像的像素点上所产生的两个方向的偏导数用均方值或者绝对值求和的形式来近似代替梯度幅值,然后选取一个合适的阈值,用所得到的梯度幅值和所设定的阈值进行比较来判断边缘点。若大于所取的阈值,则判断为边缘点;否则,判断为非边缘点。很显然,在提取边缘的过程中,阈值的选取特别重要,尤其在含噪图像中,阈值的选择要折衷考虑噪声造成的伪边缘和有效边缘的丢失。
6)Laplace 算子
拉普拉斯算子是不依赖于边缘方向的二阶导数算子,它是一个标量而不是向
量,具有旋转不变即各向同性的性质。若只关心边缘点的位置而不需要了解一其周围的实际灰度差时,一般选择该算子提取图像的边缘。Laplace算子的定义为:
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用差分方程近似二阶偏倒数的结果如下:

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 将这两个式子合并,可以得到近似Laplace算子的模版:
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当Laplace算子输出出现过零点时就表明有边缘存在,其中忽略无意义的过零点(均匀零区)。原则上,过零点的位置精度可以通过线性内插方法精确到子像素分辨率。但是拉普拉斯算子在图像边缘检测中并不常用。主要原因有:任何包含有二阶导数的算子比只包含有一阶导数的算子更易受噪声的影响,一阶导数很小的局部峰值也能导致二阶导数过零点,所以Laplace算子对噪声具有无法接受的敏感性; Laplace算子的幅值产生双边元,这是复杂的分割不希望有的结果;最后,Laplace算子不能检测边缘的方向。为了避免噪声的影响,必须采用特别有效的滤波方法。所以,人们提出了改进的功LOG算子。
7)LOG算子(高斯拉普拉斯算子)
LOG算子基本思想是:先在一定的范围内做平滑滤波,然后再利用差分算子来检测在相应尺度上的边缘。滤波器的选择要考虑以下两个因素:其一是滤波器在空间上要求平稳,即要求空间位置误差 Δ x要小;其二是平滑滤波器本身要求是带通滤波器,并且在有限的带通内是平稳的,即要求频域误差 Δω 要小。根据信号处理中的测不准原理, Δx 和 Δ ω是相互矛盾的,而达到测不准下限的滤波器就是高斯滤波器。Marr 和 Hildreth 提出的这种差分算子是各向同性的拉普拉斯二阶差分算子。该边缘检测器的基本特征是:
(1) 所用的平滑滤波器是高斯滤波器
(2) 增强步骤采用的是二阶导数(即二维拉普拉斯函数)
(3) 边缘检测的判据是二阶导数过零点并且对应一阶导数的极大值
该方法的特点是先用高斯滤波器与图像进行卷积,既平滑了图像又降低了噪声,使孤立的噪声点和较小的结构组织被滤除。然而由于对图像的平滑会导致边缘的延展,因此只考虑那些具有局部梯度极大值的点作为边缘点,这可以用二阶导数的零交叉来实现。拉普拉斯函数可用作二维二阶导数的近似,因为它是一种标量算子。为了避免检测出非显著的边缘,所以应该选择一阶导数大于某一阈值的零交叉点来作为边缘点。实际应用中,常用的LOG算子的模版为:
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说明: 高斯平滑运算不但可以滤除噪声,还会导致图像中的边缘和其它尖锐不连续部分模糊,而模糊程度取决于空间尺度因子σ 的大小。σ 越大,高斯滤波对噪声的滤除效果越好,但同时也会丢失重要的边缘信息,影响到边缘检测器的性能。如果σ 较小,又可能导致平滑作用不完全而留有较多的噪声。因此在实际应用中,要根据情况选择适当的σ。
8) Canny算子
1986年,Canny从边缘检测算子应该满足的三个准则出发,推导出了最优边
缘检测算子Canny算子,该算子是目前理论上相对最完善的一种边缘检测算法。
Canny提出的评价边缘检测性能优劣的三个准则分别是:
(1)好的信噪比准则。即将非边缘点判为边缘点的概率要低,将边缘点判为非边缘点的概率要低;
(2)好的定位性能准则。即检测出的边缘点要尽可能在实际边缘的中心;
(3)单边缘响应准则。即单一边缘具有唯一响应,单一边缘产生的多个响
应的概率要低,并且对虚假边缘的响应应得到最大抑制。
利用Canny算子检测边缘的土体算法如下:
(1)用式所示的高斯函数h(r)对图像进行平滑滤波,去除图像中的噪声。
(2)在每一点计算出局部梯度和边缘方向,可以利用Sobel算子、Roberts算子等来计算。边缘点定义为梯度方向上其强度局部最大的点。
(3)对梯度进行“非极大值抑制”。在第二步中确定的边缘点会导致梯度幅度图像中出现脊。然后用算法追踪所有脊的顶部,并将所有不在脊的顶部的像素设为零,以便在输出中给出一条细线。
(4)双阐值化和边缘连接。脊像素使用两个闽值Tl和竹做阂值处理,其中Tl<T2.值大于竹的脊像素称为强边缘像素,Tl和T2之间的脊像素称为弱边缘像素。由于边缘阵列孔是用高闽值得到的,因此它含有较少的假边缘,但同时也损失了一些有用的边缘信息。而边缘阵列Tl的闽值较低,保留了较多信息。因此,可以以边缘阵列几为基础,用边缘阵列Tl进行补充连接,最后得到边缘图像。
Canny算子也存在不足之处:
(1)为了得到较好的边缘检测结果,它通常需要使用较大的滤波尺度,这样容易丢失一些细节
(2)Canny算子的双阈值要人为的选取,不能够自适应

实验与结果分析
实验在MATLAB R2007a平台下进行,实验的结果如下图所示
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 其他博文参照http://wenku.baidu.com/view/ce3aa547be1e650e52ea9945.html
                         http://wenku.baidu.com/view/d521aee9172ded630b1cb6ed.html


数字图像处理

几种边缘检测算子的比较

边缘检测是图像处理和计算机视觉中的基本问题,边缘检测的目的是标识数字图像中亮度变化明显的点。图像属性中的显著变化通常反映了属性的重要事件和变化。这些包括深度上的不连续、表面方向不连续、物质属性变化和场景照明变化。边缘检测是图像处理和计算机视觉中,尤其是特征提取中的一个研究领域。图像边缘检测大幅度地减少了数据量,并且剔除了可以认为不相关的信息,保留了图像重要的结构属性。有许多方法用于边缘检测,它们的绝大部分可以划分为两类:基于查找一类和基于零穿越的一类。基于查找的方法通过寻找图像一阶导数中的最大和最小值来检测边界,通常是将边界定位在梯度最大的方向。基于零穿越的方法通过寻找图像二阶导数零穿越来寻找边界,通常是Laplacian过零点或者非线性差分表示的过零点。

人类视觉系统认识目标的过程分为两步:首先,把图像边缘与背景分离出来;然后,才能知觉到图像的细节,辨认出图像的轮廓。计算机视觉正是模仿人类视觉的这个过程。因此在检测物体边缘时,先对其轮廓点进行粗略检测,然后通过链接规则把原来检测到的轮廓点连接起来,同时也检测和连接遗漏的边界点及去除虚假的边界点。图像的边缘是图像的重要特征,是计算机视觉、模式识别等的基础,因此边缘检测是图象处理中一个重要的环节。然而,边缘检测又是图象处理中的一个难题,由于实际景物图像的边缘往往是各种类型的边缘及它们模糊化后结果的组合,且实际图像信号存在着噪声。噪声和边缘都属于高频信号,很难用频带做取舍。

这就需要边缘检测来进行解决的问题了。边缘检测的基本方法有很多,一阶的有Roberts Cross算子,Prewitt算子,Sobel算子,Canny算子, Krisch算子,罗盘算子;而二阶的还有Marr-Hildreth,在梯度方向的二阶导数过零点。现在就来简单介绍一下各种算子的算法

   1.1   Roberts算子

     Roberts算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子,它有下式给出:

x,y)=

其中、、 分别为4领域的坐标,且是具有整数像素坐标的输人图像;其中的平方根运算使得该处理类似于人类视觉系统中发生的过程。

      Roberts算子是2X2算子模板。图1所示的2个卷积核形成了Roberts算子。图象中的每一个点都用这2个核做卷积。

1

0

0

-1

0

1

-1

0

     


1    Roberts算子

  1.2    Sobel算子

      Sobel算子是一种一阶微分算子,它利用像素邻近区域的梯度值来计算1个像素的梯度,然后根据一定的绝对值来取舍。它由下式给出:

 

Sobel算子是3*3算子模板。图2所示的2个卷积核dx  dy形成Sobel算子。一个核对通常的垂直边缘响应最大,而另一个核对水平边缘响应最大。2个卷积的最大值作为该点的输出值。运算结果是一幅边缘幅度图像。

-1

0

1

-2

0

2

-1

0

1

1

2

1

0

0

0

-1

-2

-1

2      Sobel算子

     Prewitt算子

     Prewitt算子由下式给出:

 

Prewitt算子是3*3算子模板。图3所示的2个卷积核dx ,dy.形成了Prewitt算子。与Sobel算子的方法一样,图像中的每个点都用这2个核进行卷积,取最大值作为输出值。Prewitt算子也产生一幅边缘幅度图像。

-1

0

1

-1

0

1

-1

0

1

1

1

1

0

0

0

-1

-1

-1

  1.3 Canny算子

     Canny算子是是一阶算子。其方法的实质是用1个准高斯函数平滑运算fs=f(x,y)*G(x,y),然后以带方向的一阶微分算子定位导数最大值

     平滑后fs(xy)的梯度可以使用2*2的一阶有限差分近似式:

P[i,j]≈(fs[i,j+1]-fs[i,j]+fs[i+1,j+1]-fs[i+1,j])/2

Q[i,j] ≈(fs[i,j]-fs[i+1,j]+fs[i,j+1]-fs[i+1,j+1])/2

在这个2x2正方形内求有限差分的均值,便于在图像中的同一点计算二和y的偏导数梯度。幅值和方向角可用直角坐标极坐标的坐标转化来计算:

M[i,j]=

 

M[i,j]反映了图象的边缘强度;反映了边缘的方向。使得M}i,j}取得局部最大值的方向角,就反映了边缘的方向。

Canny算子也可用高斯函数的梯度来近似,在理论上很接近4个指数函数的线性组合形成的最佳边缘算子。在实际工作应用中编程较为复杂且运算较慢。

 

2.1 LOG滤波器

LOG滤波器又称Marr-Hildreth模板或算子

=

式中:G(x,y)是对图像进行处理时选用的平滑函数(Gaussian函数);x,y为整数坐标; σ为高斯分布的均方差。对平滑后的图像fs(fs=f(x,y)*G(x,y))做拉普拉斯变换,得:

h(x,y)=G(x,y)

即先对图象平滑,后拉氏变换求二阶微分,等效于把拉氏变化作用于平滑函数,得到1个兼有平滑和二阶微分作用的模板,再与原来的图像进行卷积。用Marr-Hildreth模板与图像进行卷积的优点在于,模板可以预先算出,实际计算可以只进行卷积。

LOG滤波器有以下特点:

(1)通过图象平滑,消除了一切尺度小于σ的图像强度变化;

(2)若用其它微分法,需要计算不同方向的微分,而它无方向性,因此可以节省计算量;

(3)它定位精度高,边缘连续性好,可以提取对比度较弱的边缘点。

LOG滤波器也有它的缺点:当边缘的宽度小于算子宽度时,由于过零点的斜坡融合将会丢失细节。

LOG滤波器有无限长的拖尾,若取得很大尺寸,将使得计算不堪重负。但随着:r=的增加,LOG滤波器幅值迅速下降,当r大于一定程度时,可以忽略模板的作用,这就为节省计算量创造了条件。实际计算时,常常取n* n大小的LOG滤波器,近似n=3σ。另外,LOG滤波器可以近似为两个指数函数之差,即DOG ( Difference Of two Gaussians functions):

DOG(σ1,σ2)=-

     σ1/σ2=1.6时,DOG代替LOG减少了计算量。

   

几种算子的比较

Robert算子定位比较精确,但由于不包括平滑,所以对于噪声比较敏感。

Prewitt算子和Sobel算子都是一阶的微分算子,而前者是平均滤波,后者是加权平均滤波且检测的图像边缘可能大于2个像素。这两者对灰度渐变低噪声的图像有较好的检测效果,但是对于混合多复杂噪声的图像,处理效果就不理想了。

LOG滤波器方法通过检测二阶导数过零点来判断边缘点。LOG滤波器中的a正比于低通滤波器的宽度,a越大平滑作用越显著,去除噪声越好,但图像的细节也损失越大,边缘精度也就越低。所以在边缘定位精度和消除噪声级间存在着矛盾,应该根据具体问题对噪声水平和边缘点定位精度要求适当选取。

讨论和比较了几种常用的边缘检测算子。梯度算子计算简单,但精度不高,只能检测出图像大致的轮廓,而对于比较细的边缘可能会忽略。Prewitt 和Sobel 算子比Roberts 效果要好一些。LOG 滤波器和Canny 算子的检测效果优于梯度算子,能够检测出图像较细的边缘部分。不同的系统,针对不同的环境条件和要求,选择合适的算子来对图像进行边缘检测。