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  • wavelet小波变换工具箱

    2014-09-17 15:56:36
    wavelet小波变换工具箱 matalb版
  • 进行图像分割时,需要对每一个像素进行小波分解,这里选用db3进行3层分解,分解后提取子带能量,构成10维特征向量。
  • 小波变换和小波阈值法去噪

    万次阅读 多人点赞 2017-07-24 18:05:38
    小波变换是一种信号的时间——尺度(时间——频率)分析方法,它具有多分辨分析的特点,而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,。在小波分析中经常用到近似和细节,近似表示信号的高尺度,即低频信息;细节...

    小波变换和小波阈值法去噪

    1. 小波变换

    小波变换是一种信号的时间——尺度(时间——频率)分析方法,它具有多分辨分析的特点,而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,是一种窗口大小固定不变但其形状可改变,时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征,所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。

    傅里叶是将信号分解成一系列不同频率的正余弦函数的叠加,同样小波变换是将信号分解为一系列的小波函数的叠加(或者说不同尺度、时间的小波函数拟合),而这些小波函数都是一个母小波经过平移和尺度伸缩得来的,如下图。

    小波变换常见的形式有连续小波变换(CWT)、离散小波变换(DWT)等。连续小波变换是在尺度基础上连续变换的,做信号的小波分析得到的是幅值,a时间的三维图,对应的a值所截得的曲线即为该尺度的小波图形。而离散小波变换常用的是二进小波变换,对尺度和时间进行离散化处理。

     

    CWT连续小波变换

     

    CWT步骤:

    首先选择一个小波基函数,固定一个尺度因子,将它与信号的初始段进行比较;
    通过CWT的计算公式计算小波系数(反映了当前尺度下的小波与所对应的信号段的相似程度);
    改变平移因子,使小波沿时间轴位移,重复上述两个步骤完成一次分析;
    增加尺度因子,重复上述三个步骤进行第二次分析;
    循环执行上述四个步骤,直到满足分析要求为止。

     

     

     连续小波变换是在尺度基础上连续变换的,做信号的小波分析得到的是幅值,a时间的三维图,对应的a值所截得的曲线即为该尺度的小波图形。而集散小波变换常用的是二进小波变换。

        但是,cwt的结果都相当于DWT中的细节信息(即所谓DWT中的高频信息。虽然越向后频率越低,有时已不能用“高频”来形容了,但这时的高频是相对概念,是相对于同阶逼近信息还是高的),只是其尺度是连续的尺度越大频率越低,一直低下去。

        morlet等小波只能做CWT,有些是因为没法儿构造尺度函数,有些是根本就没有逆变换(只有满足某些条件,CWT才存在逆变换,这与小波基有关),有些是如何离散化也不能构成正交或双正交基,甚至按照二进制的离散化不能构成紧支的框架,所以它们通常不能做DWT,也就没有逆变换、重构一说了。

    DWT离散小波变换
    离散小波变换DWT对尺度参数按幂级数进行离散化处理,对时间进行均匀离散化取值如二进制离散化尺度时间为2,4,6,8...2n(要求采样率满足尼奎斯特采样定理),常用于信号的多分辨分析、信号分解重构。


    多分辨分析也称为多尺度分析,是建立在函数空间概念上的理论。在不同的尺度和时间下,分别构造了尺度函数向量组合小波函数向量组,也即是尺度函数向量空间V与小波函数向量空间W,在一定层次下,信号在尺度空间做卷积所得到的是信号的近似、低频信息,信号在小波空间W做卷积所得到的是信号的细节、高频信息。(注意:尺度与分解层数不是一个概念,尺度与频率成反比的,分解层数是对频率的范围进行一定的划分)。

     

    在多分辨分析中,如正交小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程,即信号通过一个分解高通滤波器和分解低通滤波器,自然的高通滤波器输出对应的信号的高频分量部分,称为细节分量,低通滤波器输出对应了信号的相对较低的频率分量部分,称为近似分量。对应的快速算法称为Mallat算法。
     

     

     
    小波分解重构过程(其中CA为低频信息、近似分量,CD为高频、细节分量):
     

    小波阈值去噪

    通常情况下, 我们在从设备上采集到的信号都是具有一定的噪声的,大多数情况下,可认为这种噪声为高斯白噪声。被噪声污染的信号=干净的信号+噪声。
     为什么要使用阈值:由于信号在空间上(或者时间域)是有一定连续性的,因此在小波域,有效信号所产生的小波系数其模值往往较大;而高斯白噪声在空间上(或者时间域)是没有连续性的,因此噪声经过小波变换,在小波阈仍然表现为很强的随机性,通常仍认为是高斯白噪的。 那么就得到这样一个结论:在小波域,有效信号对应的系数很大,而噪声对应的系数很小。 刚刚已经说了,噪声在小波域对应的系数仍满足高斯白噪分布。如果在小波域,噪声的小波系数对应的方差为sigma,那么根据高斯分布的特性,绝大部分(99.99%)噪声系数都位于[-3*sigma,3*sigma]区间内(切比雪夫不等式, 3sigma准则)。因此,只要将区间[-3*sigma,3*sigma]内的系数置零(这就是常用的硬阈值函数的作用),就能最大程度抑制噪声的,同时只是稍微损伤有效信号。将经过阈值处理后的小波系数重构,就可以得到去噪后的信号。 常用的软阈值函数,是为了解决硬阈值函数“一刀切”导致的影响(模小于3*sigma的小波系数全部切除,大于3*sigma全部保留,势必会在小波域产生突变,导致去噪后结果产生局部的抖动,类似于傅立叶变换中频域的阶跃会在时域产生拖尾)。软阈值函数将模小于3*sigma的小波系数全部置零,而将模大于3*sigma的做一个比较特殊的处理,大于3*sigma的小波系数统一减去3*sigma,小于-3*sigma的小波系数统一加3*sigma。经过软阈值函数的作用,小波系数在小波域就比较光滑了,因此用软阈值去噪得到的图象看起来很平滑,类似于冬天通过窗户看外面一样,像有层雾罩在图像上似的。 
    比较硬阈值函数去噪和软阈值函数去噪:硬阈值函数去噪所得到的峰值信噪比(PSNR)较高,但是有局部抖动的现象;软阈值函数去噪所得到的PSNR不如硬阈值函数去噪,但是结果看起来很平滑,原因就是软阈值函数对小波系数进行了较大的 “社会主义改造”,小波系数改变很大。因此各种各样的阈值函数就出现了,其目的我认为就是要使大的系数保留,小的系数被剔出,而且在小波域系数过渡要平滑。
    如何估计小波域噪声方差sigma的估计,这个很简单:把信号做小波变换,在每一个子带利用robust estimator估计就可以(可能高频带和低频带的方差不同)。 robust estimator就是将子带内的小波系数模按大小排列,然后取最中间那个,然后把最中间这个除以0.6745就得到噪声在某个子带内的方差sigma。利用这个sigma,然后选种阈值函数,就可以去去噪了,在matlab有实现api可使用。

    小波阈值去噪过程

     
    在小波分析中经常用到近似和细节,近似表示信号的高尺度,即低频信息;细节表示信号的低尺度,即高频信息。对含有噪声的信号,噪声分量的主要能量集中在小波解的细节分量中。
    在以上过程中,小波基和分解层数的选择,阈值的选取规则,和阈值函数的设计,都是影响最终去噪效果的关键因素。
     
    1、小波基的选择
     
    可参考 http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/42586749 博文,一般选取小波基函数要从支撑长度、消失矩、对称性、正则性以及相似性等进行综合考虑。由于小波基函数在处理信号时各有特点,且没有任何一种小波基函数可以对所有类型信号都取得最优的去噪效果。一般来讲,db小波系和sym小波系在语音去噪中是经常会被用到的两族小波基。
    2、分解层数的选择
    对于一个要采集的信号,根据奈奎斯采样定理,其采样频率>= 2*信号的最大频率。而其他噪声频率如高斯白噪声的信号是幅度分布服从高斯分布,功率谱密度服从均匀分布的,并且与有效信号进行混合叠加的。
    在小波分解中,分解层数的选择也是非常重要的一步。取得越大,则噪声和信号表现的不同特性越明显,越有利于二者的分离。但另一方面,分解层数越大,重构到的信号失真也会越大,在一定程度上又会影响最终去噪的效果。因此在应用时要格外注意处理好两者之间的矛盾,选择一个合适的分解尺度。
    通常小波分解的频段范围与采样频率有关。若N层分解,则各个频段大小为Fs/2/2^N 。例如:一个原始信号,经历的时间长度为2秒,采样了2000个点,那么做除法,可得出采样频率为1000hz,由采样定理(做除法)得该信号的最大频率为500hz,那么对该信号做3层的DWT,一阶细节的频段为250-500hz,一阶逼近的频段为小于250hz,二阶细节的频段为125-250hz,逼近的频段为小于125hz,三阶细节的频段约为62.5-125hz,逼近的频段为小于62.5hz。对于更多阶的分解也是以此类推的。
    3、阈值的选取
     
    在小波域,有效信号对应的系数很大,而噪声对应的系数很小。噪声在小波域对应的系数仍满足高斯白噪分布。
    阈值选择规则基于模型 y = f(t) + e,e是高斯白噪声N(0,1)。因此可以通过小波系数、或者原始信号来进行评估能够消除噪声在小波域的阈值。
    目前常见的阈值选择方法有:固定阈值估计、极值阈值估计、无偏似然估计以及启发式估计等(N为信号长度)。
     
     
     
    一般来讲,极值阈值估计和无偏似然估计方法比较保守,当噪声在信号的高频段分布较少时,这两种阈值估计方法效果较好可以将微弱的信号提取出来。而固定阈值估计和启发式阈值估计去噪比较彻底,在去噪时显得更为有效,但是也容易把有用的信号误认为噪声去掉。
     
    4、 阈值函数选择
     
    确定了高斯白噪声在小波系数(域)的阈值门限之后,就需要有个阈值函数对这个含有噪声系数的小波系数进行过滤,去除高斯噪声系数,常用的阈值函数有软阈值和硬阈值方法,很多文献论文中也有在阈值函数进行一些大量的改进和优化。
     
    软硬阈值函数优缺点对比:
     
     
     
    硬阈值函数在均方误差意义上优于软阈值法,但是信号会产生附加震荡,产生跳跃点,不具有原始信号的平滑性。
    软阈值估计得到的小波系数整体连续性较好,从而使估计信号不会产生附加震荡,但是优于会压缩信号,会产生一定的偏差,直接影响到重构的信号与真实信号的逼近程度。
     
    5、 matlab中小波工具箱
     
     
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  • 上次说到小波变换的知识体系,这篇博客就主要说小波变换里的连续信号的连续小波变换与离散小波变换。 连续信号的连续小波变换 话不多说,我们先放公式,如果你是第一次接触小波,你可会有点懵,但是不要怕,我希望...

    前言
    上次说到小波变换的知识体系,这篇博客就主要说小波变换里的连续信号的连续小波变换与离散小波变换。
    连续信号的连续小波变换
    话不多说,我们先放公式,如果你是第一次接触小波,你可会有点懵,但是不要怕,我希望我的描述可以让你逐渐理解其意义。
    在这里插入图片描述
    由公式我们可以看到,其小波变换后的结果是一个关于τ和s的二元函数,而这也与之前说的小波变换是一种时-频域变换相一致。下面我们开始对上述方程开始分析,其中x(t)就是原时域信号,Ψ(t)就是我们所说的小波基,这里说下小波基是有很多种的,不同的小波基有其不同的特点,所以在进行小波变换选择合适的小波基也是很重要的一步,但是这些小波基在时域上长度是有限的,而这也是其被叫做小波的原因。而τ和s很明显就是对小波基进行平移变换和尺度变换,而前面的s的绝对值的负二分之一这个系数是为了能量归一化。那么直观的来看,这个公式计算的就是原信号与小波基的不同尺度变换、平移变换版本的正交值,正交值越大说明这个版本的小波在原信号中占的比重越大。下面来看看小波变换是如何分析具体信号的,我们给出一个信号,波形如下图,下面对这个信号进行小波变换。
    在这里插入图片描述
    举个例子,我们先令s=1,也是就是小波的未压缩版本,τ从0开始变化,逐渐变大,计算原信号与小波的未压缩版本的多个平移版本的正交值,过程如下图,其中蓝色部分就是我们的小波。
    在这里插入图片描述
    相似的,我们令s=5、20,也就是小波的延伸5、20倍版本,τ从0开始变化,逐渐变大,计算原信号与小波的延伸5、20倍版本的多个平移版本的正交值,过程如下图。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    清楚了过程,我们给出一个更加熟悉的信号,没错,就是上篇博客中提到的变频率的正弦函数。
    在这里插入图片描述
    我们直接给出它的小波变换结果,注意下图中的xy坐标为平移和尺度,不是时间和频率
    在这里插入图片描述
    就像图中所呈现的,较小的尺度对应较大的频率,较大的尺度对应较小的频率,这也与上面举的例子一致,当尺度s较小时,小波函数比较尖锐,就对应高频,而当尺度s较大时,小波函数比较平缓,就对应低频。而平移与时间相似,所以通过这个小波变换结果图我们就可以读出原信号在时间轴0到30上频率最高,30到60频率变低,60到80再变低,80到100最低,这也与时域图像相对应。下图是上图的另一个角度,体现的更加明显。
    在这里插入图片描述
    所以说,通过上面的连续信号的连续小波变换,我们可以将一个信号变换到时-频域进行分析,不过,显然这种方法的计算量是十分庞大的,并且计算结果还有一定程度上的冗余,所以人们就想能不能把上图的变换结果在不损失结果信息的前提下进行简化,所以,连续信号的离散小波变换就诞生了。
    连续信号的离散小波变换
    仿照着连续信号的连续小波变换,我们直接给出离散小波变换的公式,见下图。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    与一开始的连续小波变换的公式相比,此时的离散小波变换只分析小波函数的某几个特定的尺度变换和平移变换版本与原信号的正交值,将结果数据量大幅降低,并且此时原信号还可以拆解成类似级数的形式,其正交值也被赋予了物理意义,值得一说的是尺度变换的幅度不必非要是2的几次方形式,只不过在一般情况下为了方便计算,一般取2的次方的形式。
    这篇博客主要大体介绍了下连续信号的连续和离散小波变换的公式和过程,下篇博客中我将介绍连续信号的离散小波变换中的多分辨分析、尺度函数、小波函数(这里的小波函数要与之前提到的小波基区别开,两者无直接关联)概念。

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  • 为什么会出先小波变换 窗口傅立叶变换(短时傅立叶变换)虽然可以部分定位时间,但由于窗口大小是固定的,只适用于频率波动小的平稳信号,不适用于...连续小波变换(Continuous Wavelet Transform,CWT)的定义如下:

    为什么会出现小波变换

    窗口傅立叶变换(短时傅立叶变换)虽然可以部分定位时间,但由于窗口大小是固定的,只适用于频率波动小的平稳信号,不适用于频率波动大的非平稳信号。而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小,是一种自适应的时频分析方法,可以进行多分辨率分析。


    从连续小波变换说起

    连续小波变换(Continuous Wavelet Transform,CWT)的定义如下:

    这里有两个变量——a,b,它们分别控制小波的两个变换。

    scaling(或者叫dilation,延展)stretching and shrinking the signal in time,完全由a控制,可以改变小波变换的中心频率( center frequency)

    设母小波的中心频率为Fc,那么子小波等效的信号频率(pseudo-frequency,伪频率)为:
     (Fc是尺度为1的小波中心频率,a是尺度,delta t是采样间隔)或者写成(fs是采样频率)

    在matlab中cwt将信号的采样频率归一化为1了.


    可见,等效频率和尺度成反比关系。

    中心频率指的是对小波进行傅立叶变换,最小的那个频率就是这个小波的频率,这个频率最能代表小波中间部分的频率和小波的能量。 the center frequency-based approximation captures the main wavelet oscillations. The center frequency is a convenient and simple characterization of the dominant frequency of the wavelet.


    小波在时域上还是衰减的,且积分面积为0!

    小波的中心频率和带宽 的计算公式如下:


    以Morlet wavelet为例,我们可以得到一些重要的结论:

    1.横着看,b不影响小波频率

    2.竖着看,a=1是基小波,当a<1时,时域压缩,带宽增大,频率增大;当a>1时,时域伸展,带宽减小,频率减小。

    事实上,带宽只与a有关,而且时间宽度*频率宽度是一个常数。尺度越大,越低频,时间分辨率越高,频率分辨率越低;尺度越小,越高频,时间分辨率越低,频率分辨率越高。这一特性非常重要:


    注:小波作用在信号上,具有带通特性:



    shifting(或者叫translation,平移):delaying or advancing the onset of the wavelet along the length of the signal,完全由b控制,控制小波基在时间轴上沿着信号滑动

    举个例子:

    用小波刻画下面这个时间信号:



    a stretched wavelet help capture the solely varying changes:



    a compressed wavelet help capture the abrupt changes:


    我们可以调整小波尺度构建出任意频率的子小波!!


    连续小波变换的主要应用如下:time frequency analysis and filtering of time localized frequency components

    常用的小波有:Morse Wavelets、Bump Wavelets、Analytic Morlet Wavelet


    在实际应用时,将尺度以2为基底采样:


    一般每一组的尺度个数选择:10 、12、16、32

    将不同尺度的小波沿着信号移动,与信号比较得到一系列coefficients。例如1000 samples X 20 scales = 20,000 coefficients,以此刻画随时间振荡的信号

    回到离散小波变换

    离散小波变换(Discrete Wavelet Transform,DWT)定义如下,对连续小波的尺度和平移参数采样,一般是以2为底进行采样:

    主要应用有:denoising and compression of signals and images 


    由于内积运算太复杂,所以试图去找快速算法。

    第一代小波:Mallat分解 1987

    采用低通滤波器h(n)和高通滤波器g(n),在行方向对图像滤波,并进行下2 采样;再在列方向滤波并进行下2 采样,可以进一步对低频部分进行多级小波金字塔分解。

    First the samples are passed through a low pass filter with impulse response  g resulting in a convolution of the two.The signal is also decomposed simultaneously using a high-pass filter h. The outputs giving the detail coefficients (from the high-pass filter) and approximation coefficients (from the low-pass). It is important that the two filters are related to each other and they are known as a quadrature mirror filter.(正交镜像)



    多次进行低通,高通滤波及将采样,可以得到如下滤波器组:

    下面是3级变换后得到的4个输出的频率范围示意图:

    分解后的序列是原序列与滤波器序列的卷积再进行隔点抽取而来。即分解抽取的结果长度为(srcLen+filterLen-1)/2。


    分解与重构:




    分解和重构滤波器的关系:


    计算时边缘是要补0的,有如下方法:
    1)零值填补
    0 , -(filterLen -1)≤ n< 0
    f′(n)= f(n) , 0≤ n≤srcLen -1
    0 , srcLen -1< n≤srcLen+filterLen -2
    举例说明:以“1 2 3 4 5 6 7 8”这个长度为8的信号为例,当滤波器的长度为4时,其具体的拓延长度为6(单边为3):0 0 0 (1 2 3 4 5 6 7 8)0 0 0

    2)周期拓延:
    f(n+ srcLen) , -(filterLen -1)≤ n< 0
    f′(n)= f(n) , 0≤ n≤ srcLen -1
    f(n -srcLen) , srcLen -1< n≤srcLen+filterLen -2
    举例说明:以“1 2 3 4 5 6 7 8”这个长度为8的信号为例,当滤波器的长度为4时,其具体的拓延长度为6(单边为3):6 7 8 (1 2 3 4 5 6 7 8)1 2 3

    3)对称延拓(重点)
    f(-n -1) , -(filterLen-1)≤ n< 0
    f′(n)= f(n) , 0≤ n≤srcLen-1
    f(2srcLen -n -1) , srcLen-1< n≤ srcLen+ filterLen-2
    举例说明:以“1 2 3 4 5 6 7 8”这个长度为8的信号为例,当滤波器的长度为4时,其具体的拓延长度为6(单边为3):3 2 1 (1 2 3 4 5 6 7 8)8 7 6

    一个实例:



    Mallat算法是基于卷积的,计算复杂度较高,存储空间要求较高。


    第二代小波,提升格式(Sweldens和Daubechies等)1995

    (1)分解。将输入信号s(i)分为2个较小的子集s(i-1)和d(i-1)。最简单的分解方法是按奇偶分为2 组,这种分裂所产生的小波称为懒小波(lazy wavelet)。
    (2)预测。在基于原始数据相关性的基础上,用偶数序列s(i-1)的预测值P(s(i-1))去预测(或者内插)奇数序列d(i-1),即将滤波器P对偶数信号作用以后作为奇数信号的预测值,奇数信号的实际值与预测值相减得到残差信号。实际中虽然不能从子集s(i-1)中准确地预测子集d(i-1),但是P(s(i-1))有可能很接近d(i-1),因此我们可以使用P(s(i-1))和d(i-1)的差值来代替原来的d(i-1),这样产生的d(i-1)比原来的 d(i-1)包含更少的信息,于是得到d(i-1)=d(i-1)-P(s(i-1)),这里,已经可以用更小的子集s(i-1)和子集d(i-1)来代替原信号集s(i)。重复分解和预测过程,经过n步以后原信号集可用{s(n),d(n),s(n-1),d(n-2),.....,d(1)}来表示。
    (3)更新。为 了使原始信号集的某些全局特性在其子集s(i-1)中继续保持,使得它保持原图的某一标量特性Q(x)(如均值、消失矩等不变),即有Q(s(i-1))=Q(s(i))。可能利用已经计算的小波子集d(i-1)对s(i-1)进行更新,从而使得后者保持特性Q(x),即要构造一个算子U去更新 s(i-1)。定义如下:
    s(i-1)=s(i-1)+U(d(i-1))
    从上述分析可以知道,提升方法可以实现原位运算,即该方法不需要除了前级提升步骤的输出之外的数据,这样在每个点都可以运用新的数据流替换旧的数据流。


    优点:速度是mallat分解的两倍,可以实现原位运算(同址运算,不需要额外的存储单元),可以实现整数小波变换,实现无损压缩。


    JP2K里的小波压缩

    Le Gall 5/3小波变换,用于无损压缩

    分解是将数据分为偶数序列和奇数序列2个部分,预测是用分解的偶数序列预测奇数序列,得到的预测误差为变换的高频分量,更新是由预测误差来更新偶数序列,得到变换的低频分量。






    Daubechies 9/7小波变换,用于有损压缩

    双正交小波基,具有线性相位,消失矩较大,能量集中性好等特性,在图像处理领域有广泛的应用。图像经过9 /7小波分解后的低频部分分辨率高,高频部分细节突出。


    9 /7小波增加了一个预测和更新环节,可以防止图像重建误差的扩大,提高系统稳定性,同时也保留了原位计算的特性,运算所需内存少,变换速度快。




    5/3的分解与重构matlab实现:5/3分解与重构

    Verilog代码通用性不强,就不上了。

    附上一个经典的小波教程(含中文翻译):WaveletTutorial原文及其翻译

    展开全文
  • Wavelet(小波变换)

    千次阅读 2017-07-07 09:05:13
    wavelet

    From paper 0013:
    Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series

    • phase angle statistics can be used to gain confidence in causal relationships
    • wavelet transforms expand time series into time frequency space and can therefore find localized intermittent periodicities.

    小波变换两种类型
    - Continuous Wavelet Transform (CWT)
    - Discrete Wavelet Transform(DWT)
    区别:
    DWT是数据的压缩表示,对于噪声的减少和书压缩很有用;
    CWT则是对特征提取很有用

    此处只涉及CWT

    (1) The Continuous Wavelet Transform (CWT)

    首先说说小波(wavelet)
    小波是什么呢?小波首先是一个函数,该函数的均值为零,且既在时域又在频域存在。我们可以通过一个小波所在的时间(Δt)和所在的频率(Δω或者带宽 bandwidth)来表征一个小波。

    根据海森堡不确定原理(Heisenberg uncertainty principle),我们不能同时确定时间和频率。

    当然有很多种小波的定义方式,
    Morlet 小波是这样定义的:

    ψ0(η)=π1/4eiω0ηe1/2η2

    其中ω0 是无量纲的频率,η 是无量纲的时间。
    在处理特征提取的时候,Morlet wavelet(ω0=6)是一个不错的选择,因为它权衡了时间和频率。所以接下来的套路都是基于这个Morlet wavelet的。

    其实连续小波变换(CWT)的思想就是,将小波作为一个带通滤波器作用到时间序列上。小波通过变换它的尺度(scale)来在时间维度上拉伸(stretch)。
    所以 η=st,然后再标准化到单位能量上去。
    对于Morlet wavelet(ω0=6),傅里叶时段(λwt)几乎就等于scale为(λwt=1.03s)的时候。

    一段有固定步长 δt 的时间序列(xn,n=1,,N)的连续小波变换,定义为 xn 与scale和normalize之后的小波的卷积,如下

    WXn(s)=δtsn=1Nxnψ0[(nn)δts]

    在实际操作中,将这个卷积在傅里叶空间下计算或快一点。
    小波功率定义为: |WXn(s)|2
    WXn(s)的复数部分,可以看作是 local phase(相位)

    注意CWT有边缘效应,因为小波不是完全在时域上的,有个不太准确的时间点(不确定原理)。因此在这里引入一个概念叫 Cone of Influence (COI) ,在这个Cone里,边缘效应就不能被忽略。

    小波功率的统计显著性可以同一个null hypotheses比较,这个null hypotheses为,信号是由一个给定背景功率谱( Pk )的平稳过程产生的。很多时间序列具有明显的红色噪声特性,这个特性可以用一个一阶自回归模型(AR1)来模拟。

    一个lag-1的自相关为 α 的自回归模型(an AR1 process with lag-1 autocorrelation α )的傅里叶功率为:

    Pk=1α2|1αe2iπk|2

    其中 k 为傅里叶频率指数

    小波变换可以看成是将一系列的带通滤波器应用到时间序列上,小波尺度(wavelet scale)与滤波器(λwt)的特征时段(characteristic period)线性相关。
    所以,对于一个具有功率谱 Pk 的平稳过程,在给定小波尺度下的方差,通过调用傅立叶卷积定理可知,就是 Pk 在相应波段的方差。
    如果 Pk 是足够光滑的,那么我们可以将该方差用给定尺度下 k1=λwt 这样的转换来近似。
    Torrence和Compo(1998)使用蒙特卡洛法表明这种近似对 AR1谱很适用。
    他们还表明了,在给定功率谱(Pk)的过程中,小波功率的概率会大于P:

    D(|WXn(s)|2σ2X<p)=12Pkχ2v(p)

    其中 v is equal to 1 for real and 2 for complex wavelets.

    (2) The cross wavelet transform

    两个时间序列 xnyn 的交叉小波变换定义为 WXY=WXWY,* 表示复共轭。
    那么交叉小波变换的攻率为 |WXY|
    复数参数 arg(WXY) 可以解释为 xnyn 在频域的局部相对相位。

    (3) Wavelet coherence

    交叉小波变换能够找出具有相同的较高的功率的区域。小波相干性则是这种交叉变换在时频域的相关性。定义如下:

    R2n(s)=|S(s1WXYn(s))|2S(s1|WXn(s)|2)S(s1|WYn(s)|2)

    其中 S 是一个平滑算子( smoothing operator):
    S(W)=Sscale(Stime(Wn(s)))

    Sscale 表示沿小波尺度轴平滑,Stime 表示沿时间轴平滑
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