2015-11-14 15:20:37 baimafujinji 阅读数 6037

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图像处理中的数学原理详解(Part1 总纲)

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在泛函分析中,索伯列夫空间并不像 巴拿赫空间或者希尔伯特空间那么引入注意。但是在图像处理中,索伯列夫空间在介绍BV空间(有界变差函数空间)时,会被提到。而BV函数空间对于理解TV算法(偏微分方程在图像处理中的重要内容)至关重要!所以我特别在“图像处理中的数学原理详解”系列文章中留出一个小节来对索伯列夫空间进行必要的介绍。


2.3.7 索伯列夫空间



由广义导数的定义可以看出,这种导数不是关于函数的个别点处局部性质反映,因为它是通过在整个区间上积分的极限来确定的,而积分是一种关于函数的整体性质的概念。但也应该指出,广义导数其实是对通常意义下导数概念的推广。如果函数本身是通常意义下可微的,则其导函数与广义导数是一致的。




2015-11-12 13:17:43 baimafujinji 阅读数 8094

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2.4  从泛函到变分法

作为数学分析的一个分支,变分法(Calculus of Variations)在物理学、经济学以及信息技术等诸多领域都有着广泛而重要的应用。变分法是研究依赖于某些未知函数的积分型泛函极值的普遍方法。换句话说,求泛函极值的方法就称为是变分法。

2.4.1  理解泛函的概念

变分法是现代泛函分析理论的重要组成部分,但变分法却是先于泛函理论建立的。因此,即使我们不过深地涉及泛函分析之相关内容,亦可展开对于变分法的学习。而在前面介绍的有关抽象空间的内容基础之上来讨论泛函的概念将是非常方便的。



需要说明的是,此处我们所讨论的仅限于实数范围内的泛函。

        如果把上述泛函定义中的线性赋范空间局限于函数空间的话,那么也可以从另外一个角度来理解此处我们所要讨论的泛函。



此处所讨论的部分主要是古典变分法的内容。它所研究的主要问题可以归结为:在适当的函数类中选择一个函数使得类似于上述形式的积分取得最值。而解决这一问题又归结为求解欧拉-拉格朗日方程。这看起来并非一个多么复杂的问题,而且方法也似乎也平常无奇。但依靠这种方法,我们惊异地发现原来自然世界中许多千差万别的问题居然能够使用统一的数学程序来求解,而且奇妙的变分原理还可以用来解释无数的自然规律。在下一小节中,我们就将从最简泛函开始导出欧拉-拉格朗日方程。


我的“图像处理中的数学原理”专栏中之系列文章已由“清华大学出版社”结集出版,新书的名字为《图像处理中的数学修炼》(Applied Mathematics in Digital Image Processing)。欢迎关注该书——详细介绍图像处理中的数学原理,为你打开一道通往图像世界的数学之门,详细内容及目录请见 http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/48467225




2015-09-26 13:11:56 baimafujinji 阅读数 5778

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1.3.9 斯托克斯公式与旋度


本小节完。


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2.3.3 赋范空间


每个实数或复数,都有相对应的绝对值或者模,每一个n维矢量,也都可以定义其长度。如果把“长度”的概念推广到一般抽象空间中的元素上,就可以得到范数这个概念。



本节完。

2015-11-12 13:26:17 baimafujinji 阅读数 4062

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2.3  泛函与抽象空间

牛顿说:“把简单的问题看得复杂,可以发现新领域;把复杂的问题看得简单,可以发现新规律。”而从历史的角度来看,一个学科的发展也亦是如此。随着学科的发展,最开始的一个主干方向会不断衍生出各自相对独立的分支,这也就是所谓“把简单的问题看得复杂”的过程。然而,一旦学科发展到一定程度之后,某些分支学科又开始被抽象综合起来,这也就是所谓“把复杂的问题看得简单”的过程。例如,在很长一段时间里,物理学家们都把电和磁看成是两种独立的物理现象在研究,当学科研究积累到一定程度时,麦克斯韦就创立了电磁学从而完成了物理学中的一次大综合。而在数学发展的历史中,几何与代数也曾经在很长的一段时间里是彼此独立的。直到笛卡尔引入了直角坐标系的概念之后,人们才开始建立了一种代数与几何之间的联系,也就是所谓的解析几何。泛函分析也是对以往许多数学问题或者领域进行高度抽象和综合的结果,其主要研究对象之一是抽象空间。其实在学习线性代数的过程中,读者已经建立了一种从矩阵到线性方程组之间的一种联系。而在泛函分析中,实数系、矩阵、多项式以及函数族这些看似关联不大的概念都可以抽成空间。由于泛函分析是一门比较晦涩抽象的学问,读者应该注意联系以往学习中比较熟悉的一些已知的、具体的概念,从而帮助自己理解那些全新的、抽象的概念。此外,需要说明的是本部分内容的重点在于有关定义或者概念的介绍,希望读者能够努力领会这些定义或者概念。

2.3.1  线性空间



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