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Z变换(Z-transformation)是对离散序列进行的一种数学变换,常用于求线性时不变差分方程的解。它在离散系统中的地位如同拉普拉斯变换在连续系统中的地位。Z变换已成为分析线性时不变离散系统问题的重要工具,并且在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。 [1] 展开全文
Z变换(Z-transformation)是对离散序列进行的一种数学变换,常用于求线性时不变差分方程的解。它在离散系统中的地位如同拉普拉斯变换在连续系统中的地位。Z变换已成为分析线性时不变离散系统问题的重要工具,并且在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。 [1]
信息
提出者
狄莫弗 [2]
特    点
复频域、频域、差分方程 [3]
应用学科
数学 [2]
适用领域
线性常系数差分方程 [1]
中文名
Z变换 [1]
外文名
Z-transform [1]
提出时间
1730年 [2]
Z变换简介
Z变换(Z-transformation)可将时域信号(即离散时间序列)变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位,如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具,把线性移(时)不变离散系统的时域数学模型——差分方程转换为Z域的代数方程,使离散系统的分析同样得以简化,还可以利用系统函数来分析系统的时域特性、频率响应及稳定性等。 [3]  Z变换具有许多重要的特性:如线性、时移性、微分性、序列卷积特性和复卷积定理等等。这些性质在解决信号处理问题时都具有重要的作用。其中最具有典型意义的是卷积特性。由于信号处理的任务是将输入信号序列经过某个(或一系列各种)系统的处理后输出所需要的信号序列,因此,首要的问题是如何由输入信号和所使用的系统的特性求得输出信号。通过理论分析可知,若直接在时域中求解,则由于输出信号序列等于输入信号序列与所用系统的单位抽样响应序列的卷积和,故为求输出信号,必须进行繁琐的求卷积和的运算。而利用Z变换的卷积特性则可将这一过程大大简化。只要先分别求出输入信号序列及系统的单位抽样响应序列的Z变换,然后再求出二者乘积的反变换即可得到输出信号序列。这里的反变换即逆Z变换,是由信号序列的Z变换反回去求原信号序列的变换方式。 [4]  当前,已有现成的与拉氏变换表类似的Z表。对于一般的信号序列,均可以由表上直接查出其Z变换。相应地,当然也可由信号序列的Z变换查出原信号序列,从而使求取信号序列的Z变换较为简便易行。 [4] 
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  • Z变换

    2017-07-19 22:59:00
    Z变换(Z-transform) 将离散系统的时域数学模型——差分方程转化为较简单的频域数学模型——代数方程,以简化求解过程的一种数学工具。Z是个复变量,它具有实部和虚部,常常以极坐标形式表示,以Z的实部为横坐标,...

     Z变换(Z-transform) 将离散系统的时域数学模型——差分方程转化为较简单的频域数学模型——代数方程,以简化求解过程的一种数学工具。Z是个复变量,它具有实部和虚部,常常以极坐标形式表示,以Z的实部为横坐标,虚部为纵坐标构成的平面称为Z平面,即离散系统的复域平面。离散信号系统的系统函数(或者、称传递函数)一般均以该系统对单位抽样信号的响应的Z变换表示。由此可见,Z变换在离散系统中的地位与作用,类似于连续系统中的拉氏变换。

    从数学的角度来看,Z变换只是信号的一种替代表示。

    对于离散信号x(n),其Z变换定义如下:

    将复变量z表示成极坐标形式:

    Z平面为横坐标为Z变量的虚部纵坐标为Z变量实部:

     

    Z变换公式中,令 ,可以得到离散序列的傅里叶变换与Z变换的关系:

    线性:

    时移:

     Z变换的收敛域ROC(Region of Covergence):

    对于给定的序列x[n]满足条件

     

    Z反变换:

    部分分式展开,

    对于有理函数形式的X(z),可表示成:

    若M<N,并且所有的极点是一阶的,可进行部分和展开成为:

     

    对于

    零点为0,极点为a.

    收敛条件为:

    收敛域为:

     

     |a|<1, x[n]收敛,|a|=1,等幅震荡, |a|>1, 发散 

     在 z 平面上,系统函数的极点可能位于单位圆内、单位圆上或者单位圆外。对于一个因果系统而言,如果极点位于单位圆内,冲激响应的将随 n 值的增大而衰减;如果极点在单位圆上,冲激响应的将不随 n 值的大小而改变,它是一个等幅的变化;如果极点在单位圆外,冲激响应的将随 n 值的增大而增大。

     

    系统函数:

    设系统的N阶线性常系数差分方程为

    双边Z变换:

    H(Z)被称为系统函数。

    对H(Z)进行Z逆变换即得到单位采样响应。

    对于该系统其他输入信号的响应,可以将输入信号进行Z变换然后乘以H(Z),再进行Z逆变换。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/fellow1988/p/7208646.html

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  • z变换的详细介绍

    2012-01-01 17:29:24
    z变换,关于z变换的详细介绍,包括z变换的物理含义,变换的方法以及用途。
  • 《信号与系统学习笔记》—z变换(一)

    万次阅读 多人点赞 2018-05-11 16:29:14
    注:本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写,主要是为了自己学习的复习与加深。一、z变换

    注:本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写,主要是为了自己学习的复习与加深。



    一、z变换

    1、单位脉冲响应为h[n]的离散时间线性时不变系统对复指数输入的响应应y[n]为


    其中,


    若z=,这里w为实数(即|z|=1),则式(10.2)的求和式就是h[n]的离散时间博里叶变换。在更为一般的情况下,当|z|不限制为1的时候,式(10.2)就称为h[n]的z变换。

    2、一个离散时间信号x[n]的z变换为


    其中z是一个复变量。有时为了方便,也将x[n]的z变换写成Z{x[n]},而x[n]和它的z变换之间的关系记为


    3、为了说明z变换和离散时间博里叶变换之间的关系,现将复变量z表示成极坐标形式为


    用r表示z的模,而用w表示它的相角。利用r和w,式(10.3)变成


    或等效为


    由式(10.6)可知,就是序列x[n]乘以实指数够的博里叶变换,即


    指数加权可以随n增加而衰减,也可以随n增加而增长,这取决于r大于1还是小于1.特别注意到,若r=1,或等效为|z|=1,时(10.3)就变为博里叶变换,即


    4、在z变换中是当变换变量z的模为1,即z=时,z变换就演变为博里叶变换。于是,博里叶变换就成为在复数z中,半径为的圆上的z变换,如图10.1所示。


    在z平面上,这个圆称为单位圆。

    5、为了使z变换收敛,要求x[n]的博里叶变换收敛。对于任何一个具体的序列来说,可以想到对某些r值,其博里叶变换收敛,而对另一些r值来说不收敛。一般来说,对于某一序列的z变换,存在着某一个z值得范围,对该范围内的z,X(z)收敛。这些值得范围称为收敛域。如果收敛域包括单位圆,则博里叶变换叶收敛。

    1)z变换的表述即要求它的代数表示,有要求相应的收敛域。

    2)、只要x[n]是实指数或复指数的线性组合,X(z)就一定是有理的。关于极点和零点,总是利用z多项式表示的分母和分子多项式的根。若分子的阶次超过分母的阶次,那么无限远点就有极点,若分子的阶次小于分母的阶次,那么无限远点就有零点。



    二、z变换的收敛域

    1、性质一;X(z)的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。

    2、性质二;收敛域内不包含任何极点。

    3、性质三;如果x[n]是有限长序列,那么收敛域就是一整个z平面,可能除去z=0和/或z=∞。

    4、性质四;如果x[n]是一个右边序列,并且|z|=,的圆位于收敛域内,那么|z|>的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

    5、性质五;如果x[n]是一个左边序列,并且|z|=,的圆位于收敛域内,那么0<》|z|<的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

    6、性质6;如果x[n]是双边序列,而且|z|=的圆位于收敛域内,那么该收敛域在z域中一定是包含|z|=这一圆环的环形区域。

    7、性质7;如果x[n]的z变换X(z)是有理的,那么它的收敛域就被极点所界定,或者延伸至无限远。

    8、性质八;如果x[n]的z变换X(z)是有理的,并且x[n]是右边序列,那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边,也就是半径等于X(x)极点中最大模值的圆的外边。而且,若x[n]是因果序列,即x[n]为n<0时等于零的右边序列,那么收敛域也包括z=∞。

    9、性质九;如果x[n]的z变换X(z)是有理的,并且x[n]是左边序列,那么收敛域就位于z平面内最里层非零极点的里边,也就是半径等于X(x)中出去z=0的极点中最小模值的圆的外边。而且,若x[n]是反因果序列,即x[n]为n>0时等于零的左边序列,那么收敛域也包括z=∞。



    三、z逆变换

    1、z逆变换求解


    式中记为半径为r,以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。r放入值可选为使X(z)收敛的任何值;也就是使|z|=r的积分围线位于收敛域内的任何值。

    2、对于一个有理z变换,可以首先将其进行部分分式展开,然后逐项求其你变换。嘉定X(z)的部分分式展开式具有如下形式:


    X(z)的逆变换就等于式(10.55)中每一项逆变换之和。若X(z)的收敛域位于极点z=ai的外边,那么与式(10.55)中相应项的逆变换就是另方面,如X(z)的收敛域位于极点z=ai的里边,那么对应于这一项的逆变换就是一般来说,在X(z)的部分分式展开式中,可以包括除了在式(10.55)中的一次项以外的其他项。

    3、确定z逆变换的另一种是非有用的办法是建立在X(z)幂级数展开的基础上。这个方法直接来自z变换的定义式(10.3),因为由这个定义可看到,实际上z变换就是涉及z的正幂和负幂的一个幂级数,这个幂级数就是序列值x[n]。



    三、利用零-极点图对博里叶变换进行稽核求值

    1、在离散时间情况下,利用z平面内零极点向量也能对博里叶变换进行稽核求解。在这种情况下,有理函数是在|z|=1的单位圆上进行求值,所以应该考虑从极点和零点到这一单位圆上的向量。


    一)、一阶系统

    一阶因果离散时间系统的单位脉冲响应具有如下一般形式


    它的z变换是


    若|a|<1,收敛域就包括单位圆,结果h[n]的博里叶变换收敛等于H(z)。z=。因此一阶系统的频率响应是


    式(10.65)的零-极点图,以及对于不同的a值的模特性和相位特性,如图10.13所示



    1)、如果想要求式(10.65)的频率响应,就需以z=来完成对各z值得求值。

    2)、频率响应在频率w处的的模就是向量v1的长度与向量v2的长度之比。

    3)、频率响应的相位是向量v1相对于实轴的阿基哦度减去向量v2相对于实轴的角度。

    4)、从该原点的零点到单位圆的向量v1长度不变且为1,因此对H()的模特性没有任何影响。而该零点对H()的相位的奉献则是该零点向量相对于实轴的角度,可以由图看到它就等于w。


    二)、二阶系统

    1、二阶系统的单位脉冲响应和频率响应分别由下面两式给出



    其中0<r<1且0≤≤π。其z变换为


    H(z)的极点位于


    并且在z=0有二阶零点。H(z)的零-极点图,以及0<<π/2时的零-极点图和对应于不同a值的频率响应模特性和相位特性如图10.14所示



    1)、频率响应的模等于向量v1模的平方除以向量v1和v2模的乘积。由于v1的长度对所有w值都是1,所以频率响应的模就等于两个极点向量v2和v3长度乘积的倒数。

    2)、频率响应的相位等于向量v1相对于实轴的角度的两倍减去向量v2和v3的角度之和。



    四、z变换的性质

    一)、线性性质

    1、若





    如同所指出的,线性组合的收敛域至少是R1和R2相重合的部分。对于具有有理z变换的序列,如果的全部极点构成的(也就是说,没有零极点相消),那么收敛域就一定是各单个收敛域的重叠部分。如果线性部分是这样来构成的,使某些零点的引入抵消掉某些极点,那么收敛域就可以增大。


    二)、时移性质

    1、若



    1)、由于乘以因此若n0>0,将会在z=0引入极点,而这些极点可以抵消X(z)在z=0的零点。因此,虽然z=0不是X(z)的一个极点,但却可以是X(z)的一个极点。在这种情况下,X(z)的收敛域就等于X(x)的收敛域,但原点要除去。

    2)、若n0<0,将会在z=0引入零点,它可以抵消X(z)在z=0的极点。这样当z=0不是X(z)的一个极点时,但却可以是X(z)的一个零点。在这种情况下,z=∞是X(z)的一个极点,因此X(z)的收敛域就等于X(x)的收敛域,但z=∞要除去。


    三)、z域尺度变换

    1、若



    其中|z0|R代表域R的一泓尺度变化。也就是说,若z是X(z)的收敛域内的一点,那么|z0|z就在X(z/z0)的收敛域内。同样,若X(z)有一个极点(或零点)在z=a,那么X(z/z0)就有一个极点(或零点)在z=z0a。

    式(10.73)的一个重要的特烈是当时,这时|z0|R=R,并且


    式(10.74)的左边相应于乘以复指数序列,而右边可以看成在z平面内的旋转,也就是说,也就是说,全部零极点位置在z平面旋转一个w0的角度,如图10.15所示



    四)、时间反转

    1、若



    这就是说,若z0在x[n]的z变换收敛域内,那么1/z0就在x[-n]的z变换的收敛域内。


    五)、时间扩展

    1、定义为


    在这种情况下,若




    六)、共轭



    结果,若x[n]是实序列,就可由式(10.80)得到


    因此,若X(z)有一个z=z0的极点(或零点),那么就一定有一个与z0共轭成对的z=z0*的极点(或零点)。


    七)、卷积性质

    1、若





    八)、z域微分

    1、若




    九)、初值定理

    若n<0时x[n]=0,则


    对于一个因果序列,初值定理的一个直接结果就是:如果x[0]是有限值,那么就是有限值。结果,将X(z)表示成两个多项式之比,分子多项式的阶次不能大于分母多项式的解析;或者说,零点的个数不能多于极点的个数。


    十)、性质小结






    五、几个常用的z变换对



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  • 学生角度看傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换(一) 学生角度看傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换(一) 离散和连续信号的表示 信号的脉冲表示 响应与卷积 傅里叶变换 为什么需要傅里叶变换 ejwtejwte^{jwt}的...

    学生角度看傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换(一)

    离散和连续信号的表示

    • 连续信号的脉冲表示形式
    • 离散信号的脉冲表示形式
    • 响应与卷积

    信号的脉冲表示


    本文主要谈的是理解,选择性忽略学术意义上的一些条件与细节,再介绍傅里叶之前,先对信号的概念,表示方法进行透彻地理解。

    对于一个时间、幅值均连续的信号,很直觉地采用一串脉冲序列分别与单脉冲对应的信号幅值相乘,再在时间域上累加来表示这个信号。
    单位脉冲来表示信号
    这里写图片描述
    只有t=t0时,单位脉冲才为1,对信号进行取样,实际上脉冲表示法,就是在x轴为时间,y轴为幅值时的形状。
    这里写图片描述
    上述这条公式就是,对这模拟信号的表示,x(τ)表示的是t=τ时刻幅值大小,而δ(tτ)则是对x(t)的时间采样时刻,这条公式的含义就是x(t)对应的图。离散信号类似,公式如下:
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    x[n]中,n为时刻集合,k为第k个时刻,所以一段离散时间序列表示为第k个时刻的幅值与第k个时刻的单位脉冲相乘,此时为第k个时刻的脉冲,累加起来,表示原信号

    响应与卷积

    x(t)信号可以看作是输入,这个输入的执行机构是我的手,我用手拍桌子(桌子可以看作系统h(t)),然后记录桌子输出的信号y(t),那么他们之间是否具有某种联系?

    自动控制原理中,常常研究系统的特性,理想状态下给一个单位脉冲输入,看看系统的输出响应是如何的,了解了这个系统的特性(关于输出/输入的函数)后,便可以利用这个系统进行控制了。调节输入,达到想要的输出,这就是控制的本质(当然还有反馈,浅谈),那在信号处理与分析里,实际上是共通的。用信号处理的公式表示了输入,如果已知系统响应(理想状态下可以通过不断给脉冲,研究系统特性),那么就可以准确计算输出信号。公式,例子如下,已知响应h[n],x[n],计算y[n]
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    因为系统响应一般具有因果性,即用手脉冲式的在n=0时刻拍一下桌子,桌子是有记忆的,在n=0,n=1,n=2时刻都会给出响应(可以理解为余震),于是n=1时刻的输出信号,取决于当前时刻x[1]的输入响应与过去状态x[0]的输出响应。
    这就是卷积的本质。在时域上y[n]在第n时刻的输出,受当前时刻与过去时刻系统响应输出的影响,将这些影响累加在一起,得出当前时刻n的输出,就是这条公式,与时域上卷积的含义。
    要注意的是:单位脉冲信号是对输入信号x(t)进行表示,输出信号的表示依赖于系统响应与输入信号的卷积。时域上的卷积只需将n变成t,k变成τ,累加符号变成积分符号。即:
    y(t)=+x(τ)h(tτ)dτ
    附个总结图:
    这里写图片描述
    PS:略去了信号的Power,Energy以及关于系统的因果性,稳定性,时不变性,线性等问题,只帮助较为详细的理解,以及自身对信号的复习。

    傅里叶变换

    -为什么需要傅里叶变换
    -ejwt的指数项究竟意味这什么
    - 傅里叶变换的定义、公式、类型

    为什么需要傅里叶变换

    1.信号的卷积运算较为复杂
    2.脉冲函数是理想的,但实际中很难有理想的脉冲信号(时间是连续的,脉冲是基于某个时间时刻的,一个连续,一个离散,该如何是好???)
    3.傅里叶变换很好地将时域上的问题,变换到频率域,让处理过程变得更为简单

    ejwt的理解(i,j均指虚数)

    e的出处本身就让人迷惑,再加上复数j,指数形式,就更让人迷糊,这究竟代表什么?
    e简单来说,是一个超越数,即一个很特殊的常数,limx0(1+x)1x=e,就是说一个无限接近于1的数的无穷次方,逼近一个常数e,可见其特殊性。
    由著名欧拉方程可知ejwx=coswx+jsinwx,从这点出发理解ejwt为一个余弦和虚部正弦信号的组合,而j2=1可将复数j理解为逆时针旋转90度的旋转量,而最终ejwt 的值为z轴。语言苍白无力,请看下图
    在Wolframa上画的图
    这里写图片描述
    ejwt的看法取决于你选的轴,可以选时间轴t与z轴,也可选w轴与z轴,最终,整个项可理解成一个螺线型的信号特点,即将w看成常熟,假设为w0,则ejw0t表示的是,频率为w0的螺线型信号,分为实部虚部的话,如下图:这里写图片描述(此处选择了w=5,即ej5t,以时间域的角度来看.)
    这一项的理解,事关重要,此处强烈推荐一个视频傅里叶变换的形象解释

    傅里叶变换的信号表示、公式以及类型

    1. 信号复指数表示法:若给一个系统H(s),输入est的信号,系统输出为H(s)est,则基带信号输入,输出具有相似形式,于是我们希望输入x(t)可以由这种元信号表示(傅里叶证明了可以,这种表示与脉冲表示,都仅仅是表示形式,并非变换),即:这里写图片描述ak可看作对应元信号的幅值,sk=jwk可看作标志元信号频率特征的参数,于是可以理解为:在时间域上,任何一个信号都能表示成不同频率正弦与余弦信号的组合的叠加。如下图:

    出自维基百科
    2.傅里叶级数与傅里叶变换(连续、周期)

    (小公式补充:w=2πf=2πT,确保理解f,w,T的物理意义)
    这里写图片描述

    傅里叶级数,适用信号是连续、周期信号,意味着有信号自带的基频w0,这说明给定一个连续、周期为T(已知)的信号,可以将信号表示成傅里叶级数的形式,在变换中,维持着某种正弦与余弦组合不变这种特征,仅仅是幅值发生了变化,相当于是找到了一组信号基,来表示原始信号,而ak即为傅里叶级数的幅度。通俗理解:一个连续周期为T,基频为w0的信号,可以表示为无限多个幅度为ak,信号基为ejkw0t的叠加。(确保自己较为理解ejkw0t

    如图

    信号最小周期为T,自身有效信号为T1,当周期T相对自身信号扩张时,频谱的表现越来越平滑,从而当T时,原信号连续、周期化身为连续非周期,其频谱从离散、非周期到连续非周期(更为平滑),从而导出傅里叶变换(连续非周期的信号),变换公式如下:(真正的傅里叶变换)
    这里写图片描述
    对函数h(τ)的傅里叶变换后的傅里叶函数为H(jw),τt是一样的,公式含义为:对函数h(τ)这个信号在时间域上进行积分,变换到频率域上,得到关于这一个信号频率域的表示函数,无论是h(τ)还是H(jw)表示的都是同一个信号,仅仅是表示的轴不同,即我们看待的角度的不同,从时间域上看,转成成频率域上看。
    3.离散时间傅里叶变换(非周期、离散)与离散傅里叶变换(周期离散)(DTFT与DFT)
    本质上与连续时间类似,特别注意的点就是如下图,离散信号的频谱是具有周期性的,主要原因是因为它的离散基函数,由于时间是整数时刻的关系,导致其频谱折叠,理解得更深一层,就是在复平面的jw轴上进行了折叠
    这里写图片描述
    下面直接给出公式,N为离散的时刻序列点数,实际上可看作连续时间的T。
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    想要更为深入理解离散傅里叶变换的可参阅理解离散傅立叶变换

    傅里叶变换的性质

    傅里叶变换本来打算用离散角度来描述,毕竟个人感觉离散角度,实际上盲点还是比较多的,但写着写着就忘了,只能笼统地、不知廉耻地贴上离散傅里叶变换的公式,等有空的时候再来修改,补几个复平面上的图。或者等讲到z变换时,再从离散角度切入。

    性质:
    这里写图片描述

    PS:诸如傅里叶逆变换,复平面图表示,拉普拉斯变换以及z变换,一些更深入的内容,等有时间再更,and理解了这些基础概念,就可以更深入参阅斯坦福大学的网易公开课:http://open.163.com/special/opencourse/fouriertransforms.html

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  • Z变换与傅里叶变换

    千次阅读 2011-09-14 21:33:56
    Z变换与傅里叶变换    在数字信号处理中,Z变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中,我们往往只需要分析信号或系统的频率响应,也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。那么,为什么还要引进Z变换呢?Z...

     Z变换与傅里叶变换

     

            在数字信号处理中,Z变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中,我们往往只需要分析信号或系统的频率响应,也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。那么,为什么还要引进Z变换呢?Z变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢?

            傅里叶变换的物理意义非常清晰:将通常在时域表示的信号,分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱,频谱包括幅度谱和相位谱,分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。在自然界,频率是有明确的物理意义的,比如说声音信号,男同胞声音低沉雄浑,这主要是因为男声中低频分量更多;女同胞多高亢清脆,这主要是因为女声中高频分量更多。对一个信号来说,就包含的信息量来讲,时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢?因为有的信号主要在时域表现其特性,如电容充放电的过程;而有的信号则主要在频域表现其特性,如机械的振动,人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话,则相应的时域信号看起来可能杂乱无章,但在频域则解读非常方便。在实际中,当我们采集到一段信号之后,在没有任何先验信息的情况下,直觉是试图在时域能发现一些特征,如果在时域无所发现的话,很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述,就像一枚硬币的两面,看起来虽然有所不同,但实际上都是同一个东西。正因为如此,在通常的信号与系统的分析过程中,我们非常关心傅里叶变换。

            既然人们只关心信号的频域表示,那么Z变换又是怎么回事呢?要说到Z变换,可能还要先追溯到拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法,主要是针对连续信号的分析。拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人,他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代,国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心,在当时众多的科学大师中,拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文,其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。

            回到正题,傅里叶变换虽然好用,而且物理意义明确,但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻,比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。在自然界,指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一,对信号乘上指数信号之后,很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件,这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程,在18世纪计算机还远未发明的时候,意义非常重大。从上面的分析可以看出,傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式,即所乘的指数信号为exp(0)。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广,是一种更普遍的表达形式。在进行信号和系统的分析过程中,可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果,然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法,已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。

            Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换,由此我们就很容易理解Z变换的重要性,也很容易理解Z变换和傅里叶变换之间的关系。Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系,z=exp(Ts)。在Z变换中,单位圆上的结果即对应傅里叶变换的结果。

     

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