图像处理2d傅立叶变换。

2019-03-27 10:48:21 sw3300255 阅读数 613

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2D中的傅里叶变换

傅里叶变换的应用

傅里叶变换的应用:人为的场景

总结


2D中的傅里叶变换

我已经在一维中展示过了。它很简单地在二维空间中扩展这是二维形式,Okay?

这是 f (u) ,这是一个连续的二维函数(如图),

这里是 f (x, y) ,

当我们在离散的情况下做的时候(如图),f (x, y) 现在是在离散的点上,我们有 f (k_{x},k_{y}) 这是两个不同的频率,x的离散频率,y的离散频率,

顺便说一下,如果你把k的原点放在中间,你想把0放在中间,从- n / 2到+ n / 2。让我们来看看把这个二维离散傅里叶变换应用到图像上。所以,请记住,我们向你们展示了(如图),我们曾经讨论过,这些基可以组合成水平垂直分量。当我们把这些东西应用到图像上时是什么样子的?

让我们来看一些简单的例子,这里我有一个正弦曲线它在某个特定的频率上它只由垂直条纹组成(如图),

它的傅里叶变换的功率谱是什么样的?嗯,它看起来就像这样(如图),你们很难看到,但是这里有两个亮点(如图),原点在中间,左边有一个点,右边有一个点,这是这个正弦信号的频率峰值。

所以下面这张图,你看到的只有水平条纹,它变化更快,所以这些点垂直分布在这个方向的正弦曲线上它们离得更远,因为频率分量更高,

如果我有一个拥有下面这个方向的正弦曲线,会是同样的处理。这个图有点看不清,这些点沿着这个方向扩散。

让我们回到线性问题,假设我把左边的画和中间的画合起来(如图),我们实际上要做一个总和,它是线性的。

这张图是这样的,这是正弦曲线的组合。但是请记住,傅里叶变换、傅里叶级数只是由加法和乘法组成,它是一个线性运算。

因此,傅里叶变换的总和就是傅立叶变换的总和,因此,这就是为什么这张图片只是这些组合的原因。

傅里叶变换的应用

我们来看看一些真实图像的频谱和一些例子, Okay? 这里是一个。现在,如果你还记得,左边的图这是Lena来从1972年的,右边的猩猩这可不是Lena的亲戚,Okay?

你会注意到,仅仅看图像,你知道,中间有很多能量,然后东西朝边缘掉落。就像我说的,通常情况下,自然图像有相似的功率谱。重构图像真正重要的是相位。这里我们不做重构,我们只看大小,

假设我想去掉高频成分。以下是你能做的(如图),我们下次会讨论使用逆傅里叶变换。但我可以取Lena(左图1),我可以取她的功率谱(左图2)。我可以把所有的东西都移走(右图2),然后重建它(右图1)。你可以看到这里有很多难看的线条(右图1),Okay? 这就是所谓的振铃效应(科普:振铃效应(Ringingeffect)是影响复原图像质量的众多因素之一,是由于在图像复原中选取了不适当的图像模型造成的,振铃效应产生的直接原因是图像退化过程中信息量的丢失,尤其是高频信息的丢失,其严重降低了复原图像的质量,并且使得难于对复原图像进行后续处理)之所以会出现这种响声是因为它实际上根本没有任何高频,但是你需要高频来平滑这些小边。好的,当我移走它们的时候,我得到的只是这些小波纹,这被称为振铃效应。

这是另一个例子,我们取莉娜(左图1),Okay? 我们把中间的东西去掉(左图2),这样你就能看到这个0(右图2),你会注意到这里剩下的基本上是一个边缘图像(右图1)。如果你仔细想想,高频分量会告诉你边缘在哪里, Okay? 我们还会在讲到混叠的时候再多讲一点。

在这里快速了解更多的东西。还记得我们的锐化滤波器吗? 所以我们的锐化滤波器通过减去,给你两倍的原始图像,减去一点点模糊,来锐化图像。这是我们的莉娜。如果你把这个和这个相比较,你会发现这里(右图2)比那里(左图2)有更亮的东西。在那儿。你会注意到这张照片(右图1)比那张照片(左图1)更清晰,那是因为我们加剧了高频。

还有一个,这是一个很酷的纹理。这是我们的砖纹理(左图1),对吧,这里有很多横的线条,这里有一些垂直的线条。你能看到的是这里的垂直方向,那里的水平方向(左图2)。 然后在这张照片(右图1),Okay,你已经拥有了所有这些有角度的线条(右图1),这就是所有这些角度正弦曲线在这里出现的情况(右图2)。

傅里叶变换的应用:人为的场景

让我再给你们举个例子来说明一个特别的小问题。这里我们有一个很好的人造景观,在欧洲某处的一座美丽的桥。你会注意到这里有一个很强的垂直方向,如果你想从这边下来,从那边下来,垂直方向是水平方向的阶梯边缘。 Okay。记住,像这样的点是正弦曲线随着上下移动而变化。

还记得吗,如果你有一个阶梯边,记得我们有一个方波, Okay? 它具有所有的频率,只是在降低功率。你看到的是一大堆降低功率的频率(如图)。所以问题是,该垂直线所暗示的强水平边缘在哪里?记住,垂直线就是所有这些频率,这意味着它有一个水平尖锐的边缘,答案有点棘手。

基本上,如果你想一下正弦函数是如何在图像中运动的,它本质上就好像它假设图像一直在绕圈, Okay? 还记得我们讲过傅里叶级数吗,假设一切都是重复的? 在这里,当我们做这个从 - n / 2到 n / 2 的求和时,我们实际上在做的是,我们假设这个东西是连续的,它是周期性的。这意味着这里的东西应该和那里的一样。如果不是,那将代表一个重大的变化。下面这条红色边,和下面这条红色边是不一样的(如图)。所以当你把它包起来的时候,你就迈出了一大步。这就是傅立叶变换中造成这种古怪的原因。

你还记得我们谈到在MATLAB中进行过滤的时候吗?有一个包装选项。避开边缘,而不是复制或反射。你可以把上面的东西拿出来放在下面。我说过,在我们进行傅里叶分析之前,这对你们没有任何意义。好吧,就好像你有一个周期性的信号。因为如果你没有这个,你就会得到这种有趣的尖锐的边缘。消去它的一种方法是当你在做傅里叶分析的时候你会取你的图像,你会把整个图像乘以一个高斯函数它的边缘逐渐趋近于0,然后一切都变得很好很平滑。当你不确定的时候,用高斯函数来修正你的生活。

总结

这就结束了关于频率分析的环节,它给了你们一些关于图像中的东西,和它的频率分量之间的关系。下次,我们要做的是我们要讨论滤波和卷积是如何在频域中表达的这就是它是如何让我们得到混叠的。我还想说,如果你们没有完全理解刚才的内容,没关系,我只是想让你们关注频率的概念,以及傅里叶变换。然后,作为得到不同元素的一种方法。然后我会向你们展示频率变换是如何与采样相联系的,或者说频域与采样相联系的,它会让我们得到混叠。


——学会编写自己的代码,才能练出真功夫。

2019-07-03 14:00:02 weixin_42902413 阅读数 626

    傅里叶变换经常被用来分析不同滤波器的频率特性。可以使用2D傅里叶变换(DFT)分析图像的频域特性,实现DFT的一个快速算法被称为快速傅里叶变换(FFT)。

1. Numpy中的傅里叶变换

    函数np.fft.fft2()可以对信号进行频率转换,输出结果是一个复杂的数组。

  • 第一个参数是输入图像,要求灰度图;
  • 第二个参数是可选的,决定输出数组的大小;一般输出数组和输入数组一样大,但是如果输出图像比输入图像大,输入图像就需要在进行FFT前补0;如果小,输入图像会被切割。

1)将频率为0的部分(直流分量)从图像的左上角移动到图像中心

用np.fft.fftshift()实现,代码如下:

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv2.imread("/~/logo.jpg", 0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Magnititude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

结果图:
Numpy傅里叶变换

2)频域变换

    使用功能一个60*60的矩形窗口对图像进行掩模操作从而去除低频分量;然后在进行逆平移操作,最后进行FFT逆变换。代码如下:

rows, cols = img.shape
crow, ccol = rows//2, cols//2
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
#取绝对值
img_back = np.abs(img_back)
plt.subplot(131), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132), plt.imshow(img_back, cmap='gray')
plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133), plt.imshow(img_back)
plt.title('Result in IET'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

结果图:
频域变换

从结果图看,高通滤波其实是一种边界检测操作。且由于用矩形窗口滤波出现了振铃效应,所以实际应用中,最好用高斯窗口进行滤波。

2. OpenCV中的傅里叶变换

1)直流分量平移

dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('magnitude spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

在这里插入图片描述

2)逆DFT

  • 先实现HPF(高通滤波)
  • 再做LPF(低通滤波)将高频部分去除
rows, cols = img.shape
crow, ccol = rows//2, cols//2
#创建掩模,中心部分是1,其余为0
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1
# 逆DFT
fshift = dft_shift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv2.idft(f_ishift)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(img_back, cmap='gray')
plt.title('img back'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

在这里插入图片描述

cv2.dft() 和cv2.idft()要比Numpy快,但是Numpy更加用户友好。

2019-04-23 16:24:29 Eastmount 阅读数 19601

该系列文章是讲解Python OpenCV图像处理知识,前期主要讲解图像入门、OpenCV基础用法,中期讲解图像处理的各种算法,包括图像锐化算子、图像增强技术、图像分割等,后期结合深度学习研究图像识别、图像分类应用。希望文章对您有所帮助,如果有不足之处,还请海涵~

该系列在github所有源代码:https://github.com/eastmountyxz/ImageProcessing-Python
PS:请求帮忙点个Star,哈哈,第一次使用Github,以后会分享更多代码,一起加油。

同时推荐作者的C++图像系列知识:
[数字图像处理] 一.MFC详解显示BMP格式图片
[数字图像处理] 二.MFC单文档分割窗口显示图片
[数字图像处理] 三.MFC实现图像灰度、采样和量化功能详解
[数字图像处理] 四.MFC对话框绘制灰度直方图
[数字图像处理] 五.MFC图像点运算之灰度线性变化、灰度非线性变化、阈值化和均衡化处理详解
[数字图像处理] 六.MFC空间几何变换之图像平移、镜像、旋转、缩放详解
[数字图像处理] 七.MFC图像增强之图像普通平滑、高斯平滑、Laplacian、Sobel、Prewitt锐化详解

前文参考:
[Python图像处理] 一.图像处理基础知识及OpenCV入门函数
[Python图像处理] 二.OpenCV+Numpy库读取与修改像素
[Python图像处理] 三.获取图像属性、兴趣ROI区域及通道处理
[Python图像处理] 四.图像平滑之均值滤波、方框滤波、高斯滤波及中值滤波
[Python图像处理] 五.图像融合、加法运算及图像类型转换
[Python图像处理] 六.图像缩放、图像旋转、图像翻转与图像平移
[Python图像处理] 七.图像阈值化处理及算法对比
[Python图像处理] 八.图像腐蚀与图像膨胀
[Python图像处理] 九.形态学之图像开运算、闭运算、梯度运算
[Python图像处理] 十.形态学之图像顶帽运算和黑帽运算
[Python图像处理] 十一.灰度直方图概念及OpenCV绘制直方图
[Python图像处理] 十二.图像几何变换之图像仿射变换、图像透视变换和图像校正
[Python图像处理] 十三.基于灰度三维图的图像顶帽运算和黑帽运算
[Python图像处理] 十四.基于OpenCV和像素处理的图像灰度化处理
[Python图像处理] 十五.图像的灰度线性变换
[Python图像处理] 十六.图像的灰度非线性变换之对数变换、伽马变换
[Python图像处理] 十七.图像锐化与边缘检测之Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子和Laplacian算子
[Python图像处理] 十八.图像锐化与边缘检测之Scharr算子、Canny算子和LOG算子
[Python图像处理] 十九.图像分割之基于K-Means聚类的区域分割
[Python图像处理] 二十.图像量化处理和采样处理及局部马赛克特效
[Python图像处理] 二十一.图像金字塔之图像向下取样和向上取样

前面一篇文章我讲解了Python图像量化、采样处理及图像金字塔。本文主要讲解图像傅里叶变换的相关内容,在数字图像处理中,有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中,傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号,用来进行图像除噪、图像增强等处理。基础性文章,希望对你有所帮助。同时,该部分知识均为杨秀璋查阅资料撰写,转载请署名CSDN+杨秀璋及原地址出处,谢谢!!

1.图像傅里叶变换
2.Numpy实现傅里叶变换
3.Numpy实现傅里叶逆变换
4.OpenCV实现傅里叶变换
5.OpenCV实现傅里叶逆变换


PS:文章参考自己以前系列图像处理文章及OpenCV库函数,同时参考如下文献:
《数字图像处理》(第3版),冈萨雷斯著,阮秋琦译,电子工业出版社,2013年.
《数字图像处理学》(第3版),阮秋琦,电子工业出版社,2008年,北京.
《OpenCV3编程入门》,毛星云,冷雪飞,电子工业出版社,2015,北京.
百度百科-傅里叶变换
网易云课堂-高登教育 Python+OpenCV图像处理
安安zoe-图像的傅里叶变换
daduzimama-图像的傅里叶变换的迷思----频谱居中
tenderwx-数字图像处理-傅里叶变换在图像处理中的应用
小小猫钓小小鱼-深入浅出的讲解傅里叶变换(真正的通俗易懂)


一.图像傅里叶变换原理

傅里叶变换(Fourier Transform,简称FT)常用于数字信号处理,它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同,对同一个事物的了解角度也随之改变,因此在时域中某些不好处理的地方,在频域就可以较为简单的处理。同时,可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成(或者无限逼近)一系列正弦信号的叠加。”

下面引用李老师 “Python+OpenCV图像处理” 中的一个案例,非常推荐同学们去购买学习。如下图所示,他将某饮料的制作过程的时域角度转换为频域角度。

绘制对应的时间图和频率图如下所示:

傅里叶公式如下,其中w表示频率,t表示时间,为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数f(t)的积分。

傅里叶变换认为一个周期函数(信号)包含多个频率分量,任意函数(信号)f(t)可通过多个周期函数(或基函数)相加合成。从物理角度理解,傅里叶变换是以一组特殊的函数(三角函数)为正交基,对原函数进行线性变换,物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如下图所示,它是由三条正弦曲线组合成。

傅里叶变换可以应用于图像处理中,经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号,而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作,例如图像除噪、图像增强和锐化等。

二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式(15-3)表达,其中f是空间域(Spatial Domain))值,F是频域(Frequency Domain)值

对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后,下面通过Numpy和OpenCV分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。


二.Numpy实现傅里叶变换

Numpy中的 FFT包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换,其函数原型如下所示,该输出结果是一个复数数组(Complex Ndarry)。

fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)

  • a表示输入图像,阵列状的复杂数组
  • s表示整数序列,可以决定输出数组的大小。输出可选形状(每个转换轴的长度),其中s[0]表示轴0,s[1]表示轴1。对应fit(x,n)函数中的n,沿着每个轴,如果给定的形状小于输入形状,则将剪切输入。如果大于则输入将用零填充。如果未给定’s’,则使用沿’axles’指定的轴的输入形状
  • axes表示整数序列,用于计算FFT的可选轴。如果未给出,则使用最后两个轴。“axes”中的重复索引表示对该轴执行多次转换,一个元素序列意味着执行一维FFT
  • norm包括None和ortho两个选项,规范化模式(请参见numpy.fft)。默认值为无

Numpy中的fft模块有很多函数,相关函数如下:

#计算一维傅里叶变换
numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#计算二维的傅里叶变换
numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#计算n维的傅里叶变换
numpy.fft.fftn()
#计算n维实数的傅里叶变换
numpy.fft.rfftn()
#返回傅里叶变换的采样频率
numpy.fft.fftfreq()
#将FFT输出中的直流分量移动到频谱中央
numpy.fft.shift()

下面的代码是通过Numpy库实现傅里叶变换,调用np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布,接着调用np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间,最终通过Matplotlib显示效果图。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv.imread('test.png', 0)

#快速傅里叶变换算法得到频率分布
f = np.fft.fft2(img)

#默认结果中心点位置是在左上角,
#调用fftshift()函数转移到中间位置
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅
fimg = np.log(np.abs(fshift))

#展示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Fourier')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('Fourier Fourier')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图15-2所示,左边为原始图像,右边为频率分布图谱,其中越靠近中心位置频率越低,越亮(灰度值越高)的位置代表该频率的信号振幅越大。


三.Numpy实现傅里叶逆变换

下面介绍Numpy实现傅里叶逆变换,它是傅里叶变换的逆操作,将频谱图像转换为原始图像的过程。通过傅里叶变换将转换为频谱图,并对高频(边界)和低频(细节)部分进行处理,接着需要通过傅里叶逆变换恢复为原始效果图。频域上对图像的处理会反映在逆变换图像上,从而更好地进行图像处理。

图像傅里叶变化主要使用的函数如下所示:

#实现图像逆傅里叶变换,返回一个复数数组
numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#fftshit()函数的逆函数,它将频谱图像的中心低频部分移动至左上角
numpy.fft.fftshift()
#将复数转换为0至255范围
iimg = numpy.abs(逆傅里叶变换结果)

下面的代码分别实现了傅里叶变换和傅里叶逆变换。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
res = np.log(np.abs(fshift))

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#展示结果
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图15-4所示,从左至右分别为原始图像、频谱图像、逆傅里叶变换转换图像。


四.OpenCV实现傅里叶变换

OpenCV 中相应的函数是cv2.dft()和用Numpy输出的结果一样,但是是双通道的。第一个通道是结果的实数部分,第二个通道是结果的虚数部分,并且输入图像要首先转换成 np.float32 格式。其函数原型如下所示:

dst = cv2.dft(src, dst=None, flags=None, nonzeroRows=None)

  • src表示输入图像,需要通过np.float32转换格式
  • dst表示输出图像,包括输出大小和尺寸
  • flags表示转换标记,其中DFT _INVERSE执行反向一维或二维转换,而不是默认的正向转换;DFT _SCALE表示缩放结果,由阵列元素的数量除以它;DFT _ROWS执行正向或反向变换输入矩阵的每个单独的行,该标志可以同时转换多个矢量,并可用于减少开销以执行3D和更高维度的转换等;DFT _COMPLEX_OUTPUT执行1D或2D实数组的正向转换,这是最快的选择,默认功能;DFT _REAL_OUTPUT执行一维或二维复数阵列的逆变换,结果通常是相同大小的复数数组,但如果输入数组具有共轭复数对称性,则输出为真实数组
  • nonzeroRows表示当参数不为零时,函数假定只有nonzeroRows输入数组的第一行(未设置)或者只有输出数组的第一个(设置)包含非零,因此函数可以处理其余的行更有效率,并节省一些时间;这种技术对计算阵列互相关或使用DFT卷积非常有用

注意,由于输出的频谱结果是一个复数,需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为0到255的范围。其函数原型如下:

cv2.magnitude(x, y)

  • x表示浮点型X坐标值,即实部
  • y表示浮点型Y坐标值,即虚部
    最终输出结果为幅值,即:

完整代码如下所示:

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

#将频谱低频从左上角移动至中心位置
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

#频谱图像双通道复数转换为0-255区间
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))

#显示图像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

输出结果如图15-5所示,左边为原始“Lena”图,右边为转换后的频谱图像,并且保证低频位于中心位置。


五.OpenCV实现傅里叶逆变换

在OpenCV 中,通过函数cv2.idft()实现傅里叶逆变换,其返回结果取决于原始图像的类型和大小,原始图像可以为实数或复数。其函数原型如下所示:

dst = cv2.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]])

  • src表示输入图像,包括实数或复数
  • dst表示输出图像
  • flags表示转换标记
  • nonzeroRows表示要处理的dst行数,其余行的内容未定义(请参阅dft描述中的卷积示例)

完整代码如下所示:

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift = np.fft.fftshift(dft)
res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)
iimg = cv2.idft(ishift)
res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#显示图像
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图15-6所示,第一幅图为原始“Lena”图,第二幅图为傅里叶变换后的频谱图像,第三幅图为傅里叶逆变换,频谱图像转换为原始图像的过程。


六.总结

傅里叶变换的目的并不是为了观察图像的频率分布(至少不是最终目的),更多情况下是为了对频率进行过滤,通过修改频率以达到图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、压缩加密等目的。下一篇文章,作者将结合傅里叶变换和傅里叶逆变换讲解它的应用。

时也,命也。
英语低分数线一分,些许遗憾,但不气馁,更加努力。雄关漫道真如铁,而今迈过从头越,从头越。苍山如海,残阳如血。感谢一路陪伴的人和自己。

无论成败,那段拼搏的日子都很美。结果只会让我更加努力,学好英语。下半年沉下心来好好做科研写文章,西藏之行,课程分享。同时,明天的博士考试加油,虽然裸泳,但也加油!还有春季招考开始准备。

最后补充马刺小石匠精神,当一切都看起来无济于事的时候,我去看一个石匠敲石头.他一连敲了100次,石头仍然纹丝不动。但他敲第101次的时候,石头裂为两半。可我知道,让石头裂开的不是那最后一击,而是前面的一百次敲击的结果。人生路漫漫,不可能一路一帆风顺,暂时的不顺只是磨练自己的必经之路,夜最深的时候也是距黎明最近的时刻,经历过漫漫长夜的打磨,你自身会更加强大。

最后希望这篇基础性文章对您有所帮助,如果有错误或不足之处,请海涵!

(By:Eastmount 2019-04-23 周二下午6点写于花溪 https://blog.csdn.net/Eastmount )

2017-10-11 15:18:40 tsfx051435adsl 阅读数 5571

1.1、信号变化越快,说明频率越大,信号变化越慢,说明频率越小。这里的频率不一定是通常意义上的频率,通常的频率是指周期的倒数,我们把通常意义上的频率叫时间频率。广义上的频率是指变化的快慢,比如图片来说,从这个像素到另外一个像素的灰度值差距比较大,那么频率就比较高。

1.2、对于灰度图来说,先说它是怎么来的,我们真实的图像,比如一本书的封面,海报这些图像都是连续图像(模拟图像),当我们在计算机中看到的图像就是数字图像了,从连续图像到数字图像有个过程,分别是抽样、量化、编码(也就是A/D转换过程)。
       抽样过程是每隔一段距离抽取一个像素点,每次抽样的距离就是采样频率,采样频率越高,采样点就越多,由这些采样点构成的图像就更接近于真实图像。采样频率越高,也就是说分辨率越高,采样频率直接影响分辨率。但是连续图像本身是有噪声的,模拟图像的噪声是由于光学反射和折射产生的,现在我们研究的是数字图像,所以先不研究模拟图像的噪声。
      量化过程是将采样点分成好几个不同的等级,将连续的灰度转换为离散的灰度,用来表示不同的灰度层次。
       编码过程是将每个采样点用二进制比特数来存储到计算机里面,换句话说,对于灰度图像,暗,较暗,很暗,亮,很亮怎么表示,也就是说一个像素可以用2bit,4bit,8bit来存储,比如2bit,0表示亮,1表示暗,那么这个图像只有两种级别的亮度,此时的图像也叫二值图像;当采用8bit编码的时候,灰度级从00000000B到11111111B共2的8次方共256种灰度级。如果是16bit来存储的话,就会有65536中灰度级。
1.3、对于彩色图像,只谈RGB图像,RGB图像是由Red红色,Green绿色,Blue蓝色三个通道来合成的一种图像,单纯的看每一个通道都是和灰色图像是一样的。常见的也是单通道采用8bit编码,每个通道的值是0-255共256个级别。三种通道结合,总共的彩色种类一共256*256*256种。
1.4、图像的基础知识
       1.4.1、图像会表示成一个2D实数矩阵f(x,y),也称为是图像在那个像素的灰度或者是亮度,对于double类型的是0.0黑 1.0白,对于unit8类型是0黑,255是白
       1.4.2、图像常见的数字形式编码:位图(栅格)和矢量
1.5、几个结论
       1.5.1、傅里叶变换的幅值称为傅里叶谱或频谱。
       1.5.2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反比。
       1.5.3、卷积定理:空间域两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积。f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)
       1.5.4、采样定理:如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本,连续的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。
       1.5.5、严重的混淆甚至会产生完全的误解效果。
       1.5.6、变化最慢的频率分量(u=v=0)与图像的平均灰度成正比。直流项决定图像的平均灰度。
       1.5.7、零平均表示存在负灰度,此时图像不是原图像的真实描述,因为所有负灰度为显示目的的都被修剪过。
       1.5.8、对高通滤波器加一个小常数不会影响尖锐性,但是它的确能防止直流项的消除,并保留色调。
       1.5.9、在频谱图中,中心部分(uv坐标系中点(0,0)附近)表示原图像中的低频部分。
       1.5.10、如果原始图像具有十分明显的规律,例如将一个简单图样有规律的平移并填满整个图形,那么其频谱一般表现为坐标原点周围的一圈亮点。
       1.5.11、将一张灰度图像反相,其频谱的“样式”不变。(个人理解:反相只是将黑白颠倒,但并不改变灰度变化处的对比度)
       1.5.12、如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小);反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。
       1.5.13、高频分量解释信号的突变部分,而低频分量决定信号的整体形象。
       1.5.14、如果输入二维图像数据,则显示的图像是输入的灰度分布,傅立叶频谱是输入的频率分布,频谱图中心对称;图像频谱即二维频谱图通过对原图像进行水平和竖直两个方向的所有扫描线处一维傅立叶变换的叠加得到;频谱图中以图中心为圆心,圆的相位对应原图中频率分量的相位,半径对应频率高低,低频半径小,高频半径大,中心为直流分量,某点亮度对应该频率能量高低。

2018-11-23 19:39:43 shanwenkang 阅读数 3255

二维傅里叶变换

我们先来看看一维情况的傅里叶变换。在信号系统中讲过连续时间的傅里叶变换和离散时间的傅里叶变换,连续时间傅里叶变换在频谱上时非周期的,离散时间傅里叶变换(DTFT)在频谱上是周期的。在DSP中讲了离散傅里叶变换,它的思想是将时域周期化,反映在频域上就是对连续的周期频谱进行抽样

有了一维的离散傅里叶变换(DFT),我们可以将其推广到二维的情况

我们其实可以将二维离散傅里叶变换看成两次一维的离散傅里叶变换,在matlab中我们可以用fft2这个函数来计算

和一维DFT类似,二维DFT显示了图像的频率成分组成情况

如下图所示就是不同的频率成分,也就是说图像实际上是由以下各种不同的图像叠加而成

由于在某一幅特定的图像中,频谱值差距很大,因此我们通常会用log来调整。在实际调用的时候我们还可以采用频谱搬移的方法使得频谱特性更容易观察,例如out=fftshift(log(abs(fft2(im))));由于图像频谱具有中心对称性(一维傅里叶变换是轴对称,二维傅里叶变换是中心对称),我们实际上只需要看频谱的1/2就可以了

我们会看到图中会有两条白色的线,在课程中老师解释说是由于DFT会将图像进行周期化,使得图像的边缘不连续(也就是图像下半部分会与下一幅图的上半部分接壤,左半部分会与右半部分接壤),引入了高频成分导致的。但是关于这点我有点不是很理解,我认为对于一幅图像而言,我们直接对他进行DTFT得到的是一个连续的周期谱,我们对图像进行周期化的过程实际上只是对连续谱进行一个采样,而不会引入新的频率成分,也就是说周期化与否并不影响频谱成分,而差别只是频谱由连续变为离散了。因此我认为频谱存在横竖的白线仅仅是因为图像中存在水平或竖直的边缘(例如上图中的海水与海岸形成竖直的线,山峦与天空形成水平的线)导致的

那么为什么图像中的边缘会使得频谱中也出现相应的白线呢,我们先给出结论:如果图像中存在角度为θ的边线,那么在频谱中我们会看到角度为θ+90度的一条白线。我们在此不做数学上的推导而是举个例子让大家能够理解:我们假设有一幅图像是黑白相间的竖条纹,我们对这幅图像进行傅里叶变换,我们知道二维傅里叶变换可以看做两次一维的傅里叶变换,因此我们对产生图像的矩阵分别进行DFT,得到的结果就是只有频谱中央的一条横线上是有值的,而这个值具体是什么,跟条纹的图案有关

下图是一个实际的例子,我们可以看到对于一幅存在倾斜方格的图片,它的频谱也会出现对应角度的白线

 

二维傅里叶变换的性质

以下是二维傅里叶变换的一些性质,在这就不细讲了

要注意的是DTFT中的卷积性质到DFT中变成了循环卷积,也就是将信号周期化后做卷积(每个位置的值会被循环使用)

但是循环卷积出来的结果往往不是我们想要的,因为周期化的过程使得引入的循环部分也参与卷积运算,而这部分是我们不需要的,解决方法是在序列后面补零,使得循环卷积结果与普通卷积相同,好消息是我们在matlab中调用函数时这些函数会自动帮我们完成这些工作