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  • 机器学习KKT条件

    2017-03-15 09:39:31
    概念:KTT条件是指在满足一些有规则的条件下, 一个非线性规划(Nonlinear Programming)问题能有最优化解法的一个必要和充分条件. 这是一个广义化拉格朗日乘数的成果. 一般地, 一个最优化数学模型的列标准形式参考开头...

    概念:

    min.:f(x)
    s.t.:gi(x)≤0,i=1,2,…,p,
    hj(x)=0,k=1,2,…,q,
    x∈Ω⊂Rn
    KTT条件是指在满足一些有规则的条件下, 一个非线性规划(Nonlinear Programming)问题能有最优化解法的一个必要和充分条件. 这是一个广义化拉格朗日乘数的成果. 一般地, 一个最优化数学模型的列标准形式参考开头的式子, 所谓 Karush-Kuhn-Tucker 最优化条件,就是指上式的最优点x∗必须满足下面的条件:
    - 1. 约束条件满足gi(x∗)≤0,i=1,2,…,p, 以及,hj(x∗)=0,j=1,2,…,q
    - 2. ∇f(x∗)+∑i=1pμi∇gi(x∗)+∑j=1qλj∇hj(x∗)=0, 其中∇为梯度算子;
    - 3. λj≠0且不等式约束条件满足μi≥0,μigi(x∗)=0,i=1,2,…,p

    解释:

    • KKT条件第一项是说最优点x∗必须满足所有等式及不等式限制条件, 也就是说最优点必须是一个可行解, 这一点自然是毋庸置疑的.
    • 第二项表明在最优点x∗, ∇f必须是∇gi和∇hj的线性組合, μi和λj都叫作拉格朗日乘子. 所不同的是不等式限制条件有方向性, 所以每一个μi都必须大于或等于零, 而等式限制条件没有方向性,所以λj没有符号的限制, 其符号要视等式限制条件的写法而定.
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  • KKT条件(几何的解释)对于凸优化,KKT条件的点就是其极值点(可行下降方向)。 设x∗x^*是非线性规划的局部最小点,目标函数f(x)f(x)在x∗x^*可微,约束方程(g(x))在x∗x^*处可微,连续;则X*点不存在可行下降方向(因为...

    KKT条件(几何的解释)

    对于凸优化,KKT条件的点就是其极值点(可行下降方向)。

    • x是非线性规划的局部最小点,目标函数f(x)x可微,约束方程(g(x))在x处可微,连续;则X*点不存在可行下降方向(因为已经是局部最小点了)

    • 若极小值点在内部,则无约束问题,直接拉格朗日乘子法

    • 若极小值在边界上,(gi(x)=0)
    • 互补松弛条件
      f(x)γ1g1(x)γ2g2(x)=0
      γi0γigi(x)=0
      满足其他约束

    • 一阶得到是局部极值点 ,还需要通过二阶判断是否是鞍点


    强对偶条件( 鞍点解释)->对偶函数取下确界,则对偶函数一定是凹函数

    • 原函数不好求,转换为求解对偶函数,则对偶函数下确界求得,则比为凹函数(负号为凸函数)
    • 上确界求得,比为凸函数
    • 满足KKT条件后,对偶函数和原函数最优值相等
    • 求解对偶函数,及求解凸函数
    • 对偶和原函数相等(对偶间隔=0)需要满足的式子也是KKT,同时最优点是鞍点,也就是KKT方程的解

    这里写图片描述

    这里写图片描述


    对偶问题:若要对偶函数的最大值即为原问题的最小值问题(对偶间隙是0),解凸优化问题等价于解KKT方程;

    • f0(x)=g(λ,ν)>
      =infx(f0(x)+i=1mλifi(x)+i=1pvihi(x)
      infx(f0(x)+i=1mλifi(x)+i=1pvihi(x)
      f0(x)

    上式等号成立需要:

    fi(x)0,i=1,...,m
    hi(x)=0,i=1,...,m
    λi0,i=1,...,m
    λifi(x)=0,i=1,...,m
    f0(x)+i=1mλifi(x)+i=1pvihi(x)=0

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  • 机器学习之SVM算法(一)KKT条件

    千次阅读 2016-09-25 11:05:54
    要深入理解SVM算法必需深入理解KKT条件,本文尝试使用简单易懂的方法向读者介绍KKT条件的推导和使用方法。博主尽量使用图形来阐述KKT条件的深层内涵,数学功底较弱的读者可直接跳过推导过程看结论和

    前言

      本文旨在详细介绍KKT条件的推导和计算方法。
      拉格朗日算子常用语等式约束最优化的求解中,是KKT条件的特殊形式。KKT条件用于含有不等式约束的条件下的优化问题,例如SVM算法。要深入理解SVM算法必需深入理解KKT条件,本文尝试使用简单易懂的方法向读者介绍KKT条件的推导和使用方法。博主尽量使用图形来阐述KKT条件的深层内涵,数学功底较弱的读者可直接跳过推导过程看结论和例子。

    拉格朗日乘子法

      考虑如下约束条件下的:
      

    minxf(x)s.t.hi(x)=0i=1,2,k

      其中:
      
    xRn

      本博客以二元函数为例介绍拉格朗日乘子法的推导过程。
      考虑如下优化问题:f(x,y)满足约束h(x,y)=0
      如果在(x0,y0)处取得极值,那么有:
      
    h(x0,y0)=0

      约束条件确定一个连续且具有连续导数的函数:
      
    y=φ(x)

      这时,原问题为:
      
    f(x,φ(x))

      上式在(x0,y0)处取得极值,由一元可导函数取得极值的必要条件知道:
      
    fx(x0,y0)+fy(x0,y0)dydxx=x0=0

      由隐函数求导公式有:
      
    dydxx=x0=hx(x0,y0)hy(x0,y0)

      所以有:
      
    fx(x0,y0)fy(x0,y0)hx(x0,y0)hy(x0,y0)=0

      引入λ,有:
      
    fx(x0,y0)hx(x0,y0)=fy(x0,y0)hy(x0,y0)=λ

      这样,上述必要条件就变为:
      
    fx(x0,y0)+λhx(x0,y0)=0fy(x0,y0)+λhy(x0,y0)=0h(x0,y0)=0

      若引入辅助函数:
      
    L(x,y)=f(x,y)+λh(x,y)

      这不难看出,上述极值条件为:
      
    Lx(x,y)=0Ly(x,y)=0Lλ(x,y)=0

      推广到多元情况为:
      
    L(x1,,xn)=f(x1,,xn)+ikαihi(x1,,xn)

      L(x1,,xn)的极值点即原问题的极值点。
      即满足以下条件的点即原问题的最优解:
    Lxi(x1,,xn)=0 i=1,,nLαj(x1,,xn)=0j=1,,k

      以下以几何形式阐述这一原理:
    这里写图片描述
      图中的用等高线表示f(x,y)。由于原优化问题是凸优化问题,当h(x,y)=0 和等高线相交时意味着在两个交点之间存在更优的点。只有当等高线和h(x,y)=0 相切时才是满足约束条件的最优点。即在交点处满足:
      
    f(x,y)=λh(x,y)h(x,y)=0

      以下以一例子说明拉格朗日乘子法的计算步骤。

    未完待续。。。
    /**********************
    * 本文来自博客 “zhb_bupt“
    * 转载请标明出处:http://blog.csdn.net/zhb_bupt
    * 博客迁往: http://deepminer.ailifenet.com
    ********************************/

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  • 1.引言本篇博客主要总结了拉格朗日乘子和KTT条件在机器学习中求解最优值的原理,博主尽量举点小例子帮助大家一起共同学习。2.拉格朗日和KTT作用我们在求解问题时,经常会遇到一些在约束条件下求解函数的。 在有等式...

    1.引言

    本篇博客主要总结了拉格朗日乘子和KTT条件在机器学习中求解最优值的原理,博主尽量举点小例子帮助大家一起共同学习。

    2.拉格朗日和KKT作用

    我们在求解问题时,经常会遇到一些在约束条件下求解函数的。
    在有等式约束条件下,我们选用拉格朗日乘子;
    在有不等式约束条件下,选用KKT方法求解最优解。
    因此我们可以将KKT条件看成是拉格朗日乘子的泛化。

    3.求解最优问题的集中形式

    通常我们需要求解的最优化问题有如下几类:

    • 无约束条件下求最优值
      minf(x,y)
    • 在等式条件下求解最优值
      minf(x,y)
      s.t...g(x,y)=c
    • 在不等式条件下求解最优值
      minf(x,y)
      s.tg(x)<=0,h(x)<=0

    4.求解不同最优问题方法

    4.1无约束条件下的最优值求解

    无约束条件下的函数f(x,y)求解最大或者最小值,一般求该函数对各个参数的偏导数,令偏导数为0,求解得到的x0,y0即为在该条件下可以使函数f(x,y)最优。

    αf(x,y)/αx=0

    αf(x,y)/αy=0

    这样求解的首先需要保证函数f(x,y)为凸函数。

    4.2 等式条件下的最优值求解(拉格朗日乘子)

    假设我们需要求解的函数为f(x,y)的最优值,同时需要满足条件 g(x,y)=c,因此问题就转化为,在 g(x,y)=c条件下,求解函数f(x,y)的最优值。函数f(x,y)=d在x,y平面上面具有一些等高线,如下图所示
    这里写图片描述
    g(x,y)=c是一条红色的曲线,那么我们在什么样的情况下可以求出他的最优值呢,我们发现函数g(x,y)=c会与f(x,y)=d相交,那么交点是不是最优值呢,我们以前知识学过,两个函数的交点说明,是两个函数共同的可行解。那最优点怎样求取呢,我们可以更改d的大小,我们得到一系列的等高线。红色曲线与函数f(x,y)=d的交点就是最优解。
    而拉格朗日乘子就是解决这样问题的,通过引入一个λ约束条件g(x,y)=c组合得到一个新的函数,这个新函数与目标函数f(x,y),得到最终需要优化函数。

    L(x,y,λ)=f(x,y)+λ[g(x,y)c]

    接下来就是求解函数L(x,y,λ)对各个参数的偏导数,并令各个偏导数为0,联立可以求出三个参数x,y,λ,代入原式,可以求解最优解。
    αL(x,y,λ)/αx=0

    αL(x,y,λ)/αy=0

    αL(x,y,λ)/αλ=0

    接下来举一个小例子
    f(x,y)=x2y,g(x,y)=x2+y21
    则可以得到

    L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)=x2y+λ(x2+y21)

    对各个参数求解偏导数得到
    2xy+2λx=0
    x2+2λy=0
    x2+y21=0

    4.3不等式条件下求解最优解(KKT条件)

    对KTT条件的讲解主要采用作者(xianlingmao),对作者表示感谢
    对于含有不等式约束的优化问题,如何求取最优值呢?常用的方法是KKT条件,同样地,把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a,b,x)=f(x)+ag(x)+bh(x),KKT条件是说最优值必须满足以下条件:

    • L(a, b, x)对x求导为零;
    • h(x) =0;
    • a*g(x) = 0;

    求取这三个等式之后就能得到候选最优值。其中第三个式子非常有趣,因为g(x)<=0,如果要满足这个等式,必须a=0或者g(x)=0.
    KTT满足的强对偶条件可以这样理解,我们要求minf(x), L(a,b,x)=f(x)+ag(x)+bh(x)a>=0,我们可以把f(x)写为:maxa,bL(a,b,x),为什么呢?因为h(x)=0,g(x)<=0,现在是取L(a,b,x)的最大值,a*g(x)是<=0,所以L(a,b,x)只有在a*g(x) = 0的情况下才能取得最大值,否则,就不满足约束条件,因此max_{a,b} L(a,b,x)在满足约束条件的情况下就是f(x),因此我们的目标函数可以写为 min_x max_{a,b} L(a,b,x)。如果用对偶表达式: max_{a,b} min_x L(a,b,x),由于我们的优化是满足强对偶的(强对偶就是说对偶式子的最优值是等于原问题的最优值的),所以在取得最优值x0的条件下,它满足 f(x0) = max_{a,b} min_x L(a,b,x) = min_x max_{a,b} L(a,b,x) =f(x0),我们来看看中间两个式子发生了什么事情:
    f(x0) = max_{a,b} min_x L(a,b,x) = max_{a,b} min_x f(x) + a*g(x) + b*h(x) = max_{a,b} f(x0)+a*g(x0)+b*h(x0) = f(x0)

    可以看到上述加黑的地方本质上是说 min_x f(x) + a*g(x) + b*h(x) 在x0取得了最小值,用fermat定理,即是说对于函数 f(x) + a*g(x) + b*h(x),求取导数要等于零,即

    f(x)的梯度+a*g(x)的梯度+ b*h(x)的梯度 = 0

    这就是kkt条件中第一个条件:L(a, b, x)对x求导为零。

    而之前说明过,a*g(x) = 0,这时kkt条件的第3个条件,当然已知的条件h(x)=0必须被满足,所有上述说明,满足强对偶条件的优化问题的最优值都必须满足KKT条件,即上述说明的三个条件。可以把KKT条件视为是拉格朗日乘子法的泛化。

    展开全文
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