拉格朗日乘子_拉格朗日乘子法 - CSDN
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  • 如何理解拉格朗日乘子法?

    万次阅读 多人点赞 2018-08-01 10:55:18
    1 与原点的最短距离 假如有方程: 图像是这个样子滴: 现在我们想求其上的点与原点的最短距离: 这里介绍一种解题思路。首先,与原点距离为 的点全部在半径为 的圆上: ...为了继续解题,需要引入等高...

    1 与原点的最短距离

    假如有方程:

    x^2y=3

    图像是这个样子滴:

    现在我们想求其上的点与原点的最短距离:

    这里介绍一种解题思路。首先,与原点距离为a 的点全部在半径为a 的圆上:

    那么,我们逐渐扩大圆的半径:

    显然,第一次与x^2y=3 相交的点就是距离原点最近的点:

    此时,圆和曲线相切,也就是在该点切线相同:

    至此,我们分析出了:

    在极值点,圆与曲线相切

    2 等高线

    为了继续解题,需要引入等高线。这些同心圆:

    可以看作函数f(x,y)=x^2+y^2 的等高线:

    根据梯度的性质(关于梯度可以查看如何通俗地理解梯度?),梯度向量:

    \nabla f=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}

    是等高线的法线:

    另外一个函数g(x,y)=x^2y 的等高线为:

    之前的曲线x^2y=3 就是其中值为3的等高线:

    ,因此,梯度向量:

    \nabla g=\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x}\\\frac{\partial g}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2xy\\x^2\end{pmatrix}

    也垂直于等高线x^2y=3 :

    梯度向量是等高线的法线,更准确地表述是:

    梯度与等高线的切线垂直

    3 拉格朗日乘子法

    3.1 求解

    根据之前的两个分析:

    \begin{cases}     在极值点,圆与曲线相切\\     \\     梯度与等高线的切线垂直 \end{cases}

    综合可知,在相切点,圆的梯度向量和曲线的梯度向量平行:

    也就是梯度向量平行,用数学符号表示为:

    \nabla f=\lambda\nabla g

    还必须引入x^2y=3 这个条件,否则这么多等高线,不知道指的是哪一根:

    因此联立方程:

    \begin{cases}    \nabla f=\lambda\nabla g\\    \\    x^2y=3\end{cases}

    求一下试试:

    \begin{cases}    \begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2xy\\x^2\end{pmatrix}\\    \\    x^2y=3\end{cases}\implies\begin{cases}    x\approx\pm 1.61\\    \\    y\approx 1.1\\    \\    \lambda\approx 0.87\end{cases}

    这就是拉格朗日乘子法。

    3.2 定义

    要求函数f 在g 约束下的极值这种问题可以表示为:

    minmax\ f\\    s.t.\ g=0

    s.t. 意思是subject to,服从于,约束于的意思。

    可以列出方程组进行求解:

    \begin{cases}    \nabla f=\lambda\nabla g\\    \\    g=0\end{cases}

    用这个定义来翻译下刚才的例子,要求:

    令:

    \begin{cases}    f(x,y)=x^2+y^2\\    \\    g(x,y)=x^2y-3\end{cases}

    求:

    min\ f(x,y)\\    s.t.\ g(x,y)=0

    联立方程进行求解:

    \begin{cases}    \nabla f=\lambda\nabla g\\    \\    g(x,y)=0\end{cases}

    3.3 变形

    这个定义还有种变形也比较常见,要求:

    minmax\ f\\    s.t.\ g=0

    定义:

    F=f+\lambda g

    求解下面方程组即可得到答案:

    \begin{pmatrix}\frac{F}{\partial x}\\\frac{F}{\partial y}\\\frac{F}{\partial \lambda}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

    把等式左边的偏导算出来就和上面的定义是一样的了。

    3.4 多个约束条件

    如果增加一个约束条件呢?比如说:

    x-y-3=0

    求:

    min\ x^2+y^2\\    s.t.\         \begin{cases}            x^2y-3=0\\            x-y-3=0        \end{cases}

    从图上看约束条件是这样的:

    很显然所求的距离是这样的:

    那这三者的法线又有什么关系呢?x^2+y^2 的法线是x^2y-3 和x-y-3 的法线的线性组合:

    假设:

    \begin{cases}    f(x,y)=x^2+y^2\\    \\    g(x,y)=x^2y-3\\    \\    h(x,y)=x-y-3\end{cases}

    那么线性组合就表示为:

    \nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h

    联立方程:

    \begin{cases}    \nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h\\    \\    g(x,y)=0\\    \\    h(x,y)=0\end{cases}

    即可求解。

    往更高纬度走的话,多约束条件的情况下,问题变为了g_1,g_2 围成的曲线C 和f 相切,直观上看\nabla f 必然在\nabla g_1,\nabla g_2 张成的空间中:

    这点的严格性这里就不证明了。

    文章最新版本在(有可能会有后续更新):如何通俗地理解拉格朗日乘子法?

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  • 在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。  我们这里提到的最优化问题...

    在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。

      我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数,求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化,即最大值问题可以转化成最小值问题)提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子。对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象。二者均是求解最优化问题的方法,不同之处在于应用的情形不同。

          一般情况下,最优化问题会碰到一下三种情况:

    (1)无约束条件

      这是最简单的情况,解决方法通常是函数对变量求导,令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可。

    (2)等式约束条件

          设目标函数为f(x),约束条件为h_k(x),形如:

            s.t. 表示subject to ,“受限于”的意思,l表示有l个约束条件。

            

       则解决方法是消元法或者拉格朗日法消元法比较简单不在赘述,这里主要讲拉格朗日法,因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。

       例如给定椭球:

                   

        求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题,即在条件      下,求的最大值。

        当然这个问题实际可以先根据条件消去 z (消元法),然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难,甚至是做不到的,这时候就需要用拉格朗日乘数法了。  

        首先定义拉格朗日函数F(x):

              ( 其中λk是各个约束条件的待定系数。)                                                           

            然后解变量的偏导方程:

              ......,

       如果有l个约束条件,就应该有l+1个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值(高等数学中提到的极值),将结果带回原方程验证就可得到解。

       回到上面的题目,通过拉格朗日乘数法将问题转化为

             

       对求偏导得到

              

       联立前面三个方程得到,带入第四个方程解之

              

       带入解得最大体积为:

              

      

     

    (3)不等式约束条件

           设目标函数f(x),不等式约束为g(x),有的教程还会添加上等式约束条件h(x)。此时的约束优化问题描述如下:

            

            则我们定义不等式约束下的拉格朗日函数L,则L表达式为:

            

          其中f(x)是原目标函数,hj(x)是第j个等式约束条件,λj是对应的约束系数,gk是不等式约束,uk是对应的约束系数。

      常用的方法是KKT条件,同样地,把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x),

      KKT条件是说最优值必须满足以下条件:

        1)L(a, b, x)对x求导为零;

        2)h(x) =0;

        3)a*g(x) = 0;

     

      求取这些等式之后就能得到候选最优值。其中第三个式子非常有趣,因为g(x)<=0,如果要满足这个等式,必须a=0或者g(x)=0. 这是SVM的很多重要性质的来源,如支持向量的概念。

      接下来主要介绍KKT条件,推导及应用。详细推导过程如下:

     

    ????从几何角度看拉格朗日乘子法的物理意义:

     


          该方法适用于约束条件下求极值的问题。对于没有约束的极值问题,显然,如果某一点是极值的必要条件是该点的各方向的偏导数皆为零,也就是说,如果偏导数不全为零,那么就不可能是极值。

    例如,一个三元函数w(x,y,z), 它是x,y,z的函数,且在一个约束条件下求它的极值。我们假设图中的曲面就是约束方程g(x,y,z)=0的图像,即约束面。之前没有约束面时,w取极值的必要条件是各个方向偏导数为零,而对于可微函数各个方向偏导为零的充分必要条件是沿x,y,z 方向的偏导为零。现在有了约束面,我们不再需要这么苛刻的必要条件,因为有了约束面,x,y,z在一定程度上被限制了,只能在约束面内移动,因此只需要沿约束面内的各个方向运动时的偏导数(变化化率)为零就可以了,此时自由度由三维下降到两维。满足在约束面内的各个方向偏导为零,也就是说,w取极值的必要条件减弱为待求函数的方向导数(梯度)垂直于约束面,从数学上看,也就是方向导数和约束面的法线方向同向(一个向量等于另一个向量的常数倍),而不需要梯度为零,因为和梯度垂直的方向偏导数一定为零,这样,沿约束面各个方向运动时w的偏导数也就为零了。这便是拉格朗日乘子法求极值的几何意义。

     

    个人总结:

    想象一下我们爬山(优化函数)找最高点(求最大值),要想最快的上,要找最陡的方向,陡峭的程度以坡度(方向导数)度量,最陡的方向即为最大坡度(梯度)决定的方向,理想情况下,当无法再上升,坡度(梯度)变成0时,找到最高点(求得最大值)。但是,当我们必须绕圆弧行盘山路爬行时,盘山路(约束条件)约束了我们的路径及方向,我们必须沿着盘山路最陡的方向(梯度,注意此时退化为一维,只有一个方向,为道路切向),当道路不再上升(及切向为0),即找到最高点。

    再想想一下我们是海水,从山底向上移动(集体作战),领袖沿着盘山路行进,每一步我们可以找到同海拔的海岸线(等高线),海岸线与盘山路想交,我们可以继续向上移动,直到海岸线与盘山路向切,此时,找到最高海拔,海岸线(等高线)同时与约束方程确定的边界相切。

    在极值点,优化函数的等高线、优化函数与约束方程的交线、约束方程的投影线(类似约束曲面的等高线,约束曲线)相切于一点。等高线与约束曲线法向相同(不考虑正负),而优化函数的梯度数值等于其等高线的法向数值约束方程的梯度数值等于约束曲线的法向数值。故∆f=λ∆g,λ!=0

    极值点的2个条件:

    1、极值点在优化函数及约束方程上;

    2、在极值点,优化函数的等高线、优化函数与约束方程交线、约束曲线相切,优化函数与约束方程交线的梯度(导数)为0

    可利用这2个条件求解:

    一、根据1将约束方程带入优化函数消元、降维变成无约束低维问题求解,根据2求梯度为0

    二、根据2构造似然函数L(X,λ),使在特殊条件下满足1和2,对L(X,λ)解特殊条件。

     

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  • 基本的拉格朗日乘子法(又称为拉格朗日乘数法),就是求函数f(x1,x2,...)在g(x1,x2,...)=0的约束条件下的极值的方法。其主要思想是引入一个新的参数λ(即拉格朗日乘子),将约束条件函数与原函数联系到一起,使能配成...

    基本的拉格朗日乘子法(又称为拉格朗日乘数法),就是求函数f(x1,x2,...)在g(x1,x2,...)=0的约束条件下的极值的方法。其主要思想是引入一个新的参数λ(即拉格朗日乘子),将约束条件函数与原函数联系到一起,使能配成与变量数量相等的等式方程,从而求出得到原函数极值的各个变量的解。

     

    具体方法:

    假设需要求极值的目标函数 (objective function) 为 f(x,y),限制条件为 φ(x,y)=M

    设g(x,y)=M-φ(x,y)

    定义一个新函数

    F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

    则用偏导数方法列出方程:

    ∂F/∂x=0

    ∂F/∂y=0

    ∂F/∂λ=0

    求出x,y,λ的值,代入即可得到目标函数的极值.

     

    扩展为多个变量的式子为:

    F(x1,x2,...λ)=f(x1,x2,...)+λg(x1,x2...)

    则求极值点的方程为:

    ∂F/∂xi=0 (xi即为x1、x2……等自变量)

    ∂F/∂λ=g(x1,x2...)=0

     

    以上内容在《数学手册》当中有。另外,可以将这种把约束条件乘以λ(即不定乘子)后加到待求函数上的求极值方法推广到变分极值问题及其它极值问题当中,理论力学当中对非完整约束的处理方法就是利用变分法当中的拉格朗日乘子法。

     

    拉格朗日乘子法的用途:

    从经济学的角度来看,λ代表当约束条件变动时,目标函数极值的变化。因为∂F/∂M=λ,当M增加或减少一个单位值时,F会相应变化λ。

    例如,假设目标函数代表一个工厂生产产品的数量,约束条件限制了生产中投入的原料和人力的总成本,我们求目标函数的极值,就是要求在成本一定的条件下,如何分配利用人力和原料,从而使得生产量达到最大。此时λ便代表,当成本条件改变时,工厂可达到的生产量最大值的变化率。

     

    ---------------------------------------------------

           在数学最优化问题中,拉格朗日乘数法(以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题,其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数,即拉格朗日乘数:约束方程的梯度(gradient)的线性组合里每个矢量的系数。

     

    很简单的例子

    求此方程的最大值:

    f(x,y) = x2y

    同时未知数满足

    x2 + y2 = 1

    因为只有一个未知数的限制条件,我们只需要用一个乘数λ.

    g(x,y) = x2 + y2 − 1
    Φ(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) = x2y + λ(x2 + y2 − 1)

    将所有Φ方程的偏微分设为零,得到一个方程组,最大值是以下方程组的解中的一个:

    2xy + 2λx = 0
    x2 + 2λy = 0
    x2 + y2 − 1 = 0

    ---------------------------------------------------

    在数学中,卡罗需-库恩-塔克条件(英文原名: Karush-Kuhn-Tucker Conditions常见别名: Kuhn-Tucker,KKT条件,Karush-Kuhn-Tucker最优化条件, Karush-Kuhn-Tucker条件,Kuhn-Tucker最优化条件,Kuhn-Tucker条件)是在满足一些有规则的条件下,一个非线性规划(Nonlinear Programming)问题能有最优化解法的一个必要和充分条件。这是一个广义化拉格朗日乘数的成果。

     

    http://baike.baidu.com/view/2415642.htm

    http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B9%98%E6%95%B0

    http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E7%BE%85%E9%9C%80%EF%BC%8D%E5%BA%AB%E6%81%A9%EF%BC%8D%E5%A1%94%E5%85%8B%E6%A2%9D%E4%BB%B6

    转载于:https://www.cnblogs.com/emanlee/archive/2012/02/06/2339510.html

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  • 拉格朗日乘子法的证明

    千次阅读 2017-06-19 09:01:38
    在学习支持向量机的时候,计算对偶问题时用到了拉格朗日乘子法((Lagrange multiplier method)),回想起高中时使用拉格朗日乘子法求不等式约束条件下的最优化问题时的困惑,虽然一直知道用,但是却不知道为什么...

    拉格朗日乘子法的证明

    在学习支持向量机的时候,计算对偶问题时用到了拉格朗日乘子法((Lagrange multiplier method)),回想起高中时使用拉格朗日乘子法求不等式约束条件下的最优化问题时的困惑,虽然一直知道用,但是却不知道为什么拉格朗日乘子法能够用。知其然更应知其所以然,本文就来扒一扒“拉格朗日乘子法”的来龙去脉。

    等式约束下的最优化问题

    给定一个不等式约束条件下的最优化问题,

    $$\begin{array} {I}\mathop {\min }\limits_x \quad f(x) \ s.t.\quad g(x) = 0\end{array}\quad\quad (1)$$

    此处假定$f(x)$为凸函数,需要找到的是在约束条件$g(x)=0$的条件下,使得目标函数$f(x)$最小的$x$值(注:$x$为一个n维向量)。一般情况下,对于一个凸函数的极值问题,我们只需要找到令目标函数的导数${f_x^{'}}=0$的点$x$即可。然而,由于此处存在的等式约束条件,使得目标函数导数等于0的点不一定能够满足约束条件。

    从几何的角度看,这个问题的目标是在由方程$g(x)=0$所确定的$d-1$维曲面上,找到能使得目标函数$f(x)$最小化的$d$维点。我们以下图中二维空间为例:求函数$f(x,y)$在约束条件$g(x,y)=0$下的最小值。我们想象$f(x,y)$是一座“山”,$x$与$y$分别是其经纬度,$f(x,y)$为其海拔,图中的椭圆为这座"山"的等高线;约束条件$g(x,y)=0$为海拔为0的平面上的一条曲线。我们在这座"山"上乱逛,想要找到一个最高的点(最大与最小问题是相对的),但是我们的经纬度必须满足$g(x)=0$,即投影到海拔为0的平面上的话必须与图中红色曲线一致。

    430fda3a1e81943f.png

    显然,如果我们找到了一个最高点,必然有最高点所在的等高线$f(x,y)=d_1$与约束曲线$g(x)=0$是相切的。否则,我必然还可以沿着红色的约束曲线继续走,找到一个更高的点(例如:图中红色曲线与登高线$f(x,y)=d_2$相交)。用数学语言描述相切便意味着,在极值点,有:$$\nabla f(x) = \lambda *\nabla g(x)$$,即两个函数在极值点的梯度向量是平行的。

    这个时候我们引入拉格朗日函数:$L(x, \lambda) = f(x) + \lambda g(x)$, 其中,$\lambda$就是拉格朗日乘子,为一个未知常数。 在求该函数关于$x,\lambda$极值问题时有:

    $$\begin{array}{I}{1}^{o}\quad \nabla_x L(x,\lambda) = \nabla f(x) - \lambda *\nabla g(x)=0 \ 2^{o} \quad \nabla_{\lambda}L(x,\lambda) = g(x)=0\end{array} \qquad (2)$$

    这意味着: 无约束条件下最小化拉格朗日函数$L(x,\lambda)$与有约束条件$g(x)=0$下原目标函数$f(x)$最小化的问题是一致的。求出令拉格朗日函数$L(x,\lambda)$最小的$(x,\lambda)$的值,便解出了原优化问题$(1)$的解,即我们将原优化问题$(1)$转换成了优化问题$(2)$:

    $$\mathop{\min}\limits_{x, \lambda}L(x, \lambda) = f(x)+\lambda g(x) \qquad(3)$$

    只要解除了$(2)$中线性方程组的解,那么便能够得到原目标函数的极值了。

    不等式约束条件下的最优化问题

    等式约束下的最优化的问题只是热热身,真正麻烦却也重要的,是不等式约束下的最优化问题。考虑将$(1)$中的问题进行推广,对最优化问题加上不等式约束:

    $$\begin{array} {I}\mathop {\min }\limits_x \quad f(x) \ s.t.\quad h(x) = 0\ \qquad \ \ \ g(x) \le 0\end{array} \quad\quad (4)$$

    仍然考虑向量$x$为二维空间中的点的场景,图中阴影部分为$g(x)<0$区域,椭圆线为"盆地"的登高线, 不等式约束意味着我们只能在阴影区域找"盆地"的最低点。此时可能存在两种情况:

    1. “盆地“的中心在阴影部分区域,此时我们可以不用理会约束条件,直接求$f(x)$的极小值就行;
    2. “盆地”的中心在阴影部分外面,此时在我们所能找到的极值点,必然有$g(x)=0$曲线与极值点的登高线相切,否则必然能够往阴影区域继续找到一个海拔更低的点。并且该极小值点关于约束函数的梯度$\nabla g(x)$与关于目标函数的梯度$\nabla f(x)$方向必定是相反的(不相反却相切的情况,只能是第一种,但那种情况的切点并不是极小值) 。

    5942468433a34.png

    总结上面的情况,给出不等式约束条件下的库恩-塔克条件为:

    $$相切要么相切要么极大值与无关\begin{array}{I}1^{o}\nabla_x L(x) = \nabla f(x) + \lambda\nabla g(x) +u\nabla h(x) = 0 \quad...相切\ 2^{o} \nabla_u L(x) = h(x) = 0 \ 3^{o} \nabla_ \lambda L(x) = g(x) \le 0 \ 4^{o}\lambda \ge0 \ 5^{o}u*g(x) = 0 \quad....要么相切g(x)=0,要么极大值与g(x)无关,\lambda=0\end{array}$$

    对偶问题

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  • 拉格朗日乘数法 —— 通俗理解

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    拉格朗日乘数法(Lagrange Multiplier Method)在数学最优问题中,是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。记得以前大学高数、数模等课程多次提到过,在求解最有问题中很有用处,最近重温了...
  • 真正理解拉格朗日乘子法和KKT条件

    万次阅读 多人点赞 2018-05-29 11:08:13
     这篇博文中直观上讲解了拉格朗日乘子法和 KKT 条件,对偶问题等内容。 首先从无约束的优化问题讲起,一般就是要使一个表达式取到最小值: minf(x)minf(x) min f(x)  如果问题是 maxf(x)maxf(x)maxf(x) 也可以...
  • 拉格朗日乘子法的由来

    千次阅读 2020-08-08 14:52:23
    某日偶然间翻看钱伟长的《变分法及有限元》,只翻看了前面几页,但已经有所收获。虽然还有很多可以补充,以及还有更高的层次可以提升;其中的逻辑在某些拐点处也略显卡顿。但毕竟这是困扰着很多人的一个问题,我下面...
  • 解密SVM系列(一):关于拉格朗日乘子法和KKT条件

    万次阅读 多人点赞 2017-01-05 18:28:19
    写在之前 支持向量机(SVM),一个神秘而众知的名字,在其出来就受到了莫大的追捧,号称最优秀的分类算法之一,以其简单的理论构造了复杂的算法,又以其简单的用法实现了复杂的问题,不得不说确实完美。...
  • 拉格朗日乘子法、罚函数法、乘子罚函数法

    万次阅读 多人点赞 2018-08-24 09:34:46
    拉格朗日乘子法 1 无约束问题 2 等式约束问题 3 不等式约束问题KTT条件 罚函数法 1 定义 2 内罚函数法 3 外罚函数法 增广拉格朗日乘子法 1 定义 2 求解 本文简单总结一些相关概念,具体证明以后再补充; 1. ...
  • 拉格朗日乘子法 最近在学习 SVM 的过程中,遇到关于优化理论中拉格朗日乘子法的知识,本文是根据几篇文章总结得来的笔记。由于是刚刚接触,难免存在错误,还望指出?。另外,本文不会聊到深层次的数学推导,仅仅是...
  • 基础数学知识(一)——拉格朗日乘子

    万次阅读 多人点赞 2018-05-25 22:45:01
    这几天一直在看支持向量机,然后就是大量大量的数学公式,一直迷迷糊糊的,然后一直遇到拉格朗日,拉格朗日,原来数学基础也不好,没怎么学过,于是下定决心要把拉格朗日乘子法搞懂,花了几天,看了一些文章,算是对...
  • 增广拉格朗日乘子

    2020-07-30 23:30:30
    这是一个描述增广拉格朗日乘子法原理及Java算法的文档,很值得大家学习!
  • 拉格朗日乘子

    千次阅读 2014-04-02 10:52:37
    之前两篇blog介绍了等式约束最优化,不等式约束最优化的最优性条件。 ... ... 了解最优性条件后,我们通过最优性条件的性质可以来求解,或者验证最优解。通常会构造一个拉格朗日乘子
  • 拉格朗日乘子法详解

    千次阅读 2019-06-07 12:34:16
    引言 优化问题,是生活中常见问题,比如建筑美学中黄金比例1.618可以取得最佳的...拉格朗日乘子法是其中一种解决方案。 优化问题数学分类 通常,需要求解的优化问题有如下几类: 无约束优化问题,写为 min&...
  • 增广拉格朗日乘子法ALM算法是机器学习中十分常用且有效的一种优化算法,经常用于低秩和稀疏问题的优化求解中,这个包是增广拉格朗日乘子法的matlab代码
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