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  • 【数学基础】拉格朗日乘子法

    千次阅读 2018-08-04 17:01:34
    在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。 我们这里提到的最优化问题通常...

    概述

    在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。

    我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数,求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化,即最大值问题可以转化成最小值问题)。提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子。对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象。二者均是求解最优化问题的方法,不同之处在于应用的情形不同。

    (1)无约束条件

      这是最简单的情况,解决方法通常是函数对变量求导,令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可。

    拉格朗日乘子法实例

    (2)等式约束条件

          设目标函数为f(x),约束条件为h_k(x),形如:

            s.t. 表示subject to ,“受限于”的意思,l表示有l个约束条件。

            

       则解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比较简单不在赘述,这里主要讲拉格朗日法,因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。

    例如给定椭球:

                   

        求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题,即在条件      下,求的最大值。

             当然这个问题实际可以先根据条件消去 z (消元法),然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难,甚至是做不到的,这时候就需要用拉格朗日乘数法了。

             首先定义拉格朗日函数F(x):

              ( 其中λk是各个约束条件的待定系数。)                                                           

            然后解变量的偏导方程:

              ......,

       如果有l个约束条件,就应该有l+1个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值(高等数学中提到的极值),将结果带回原方程验证就可得到解。

               回到上面的题目,通过拉格朗日乘数法将问题转化为

             

       对求偏导得到

              

       联立前面三个方程得到,带入第四个方程解之

              

       带入解得最大体积为:

              

    为什么这么做可以求解最优化

    举个例子:

    1

    这个式子可以好好考量一下,结合下文那个简单的例子,可以发现例子中的1,2两个偏导保证了梯度同向,第3个偏导保证了满足等式约束。

     

    拉格朗日乘子法的几何认识

    现在,我们来感性地认识一下,为什么拉格朗日认为相切才能找到最低点(只是感性认识,不添加任何数学推导)。

    在橙点这个位置,由于两条曲线不相切,所以橙线的梯度(上图橙色箭头)和蓝线的切线(蓝色虚线)肯定不垂直。在这种情况下,蓝线的两个切线方向,必定有一个往函数高处走(与梯度的夹角小于 90 度),有一个往函数低处走(与梯度的夹角大于 90 度)。所以,在两条曲线相交时,我们肯定不在最低点或最高点的位置。

    那么,反过来想,如果两条曲线相切(上图),那么在切点这个位置,蓝线的切线和橙线的梯度是垂直的,这个时候,蓝线的切线方向都指向橙线的等高线方向。换句话说,在切点的位置沿蓝线移动很小的一步,都相当于在橙线的等高线上移动,这个时候,可以认为函数值已经趋于稳定了。所以,我们认为这个点的值“可能”是最低(高)的(之后解释为什么是“可能“。另外,个人觉得拉格朗日乘子法最好用反证法从不相切的点入手思考,从相切的点思考总有点别扭)

    根据拉格朗日乘子法的定义,这是一种寻找极值的策略,换句话说,该方法并不能保证找到的一定是最低点或者最高点。事实上,它只是一种寻找极值点的过程,而且,拉格朗日乘子法找到的切点可能不只一个(也就是上面的方程组可能找到多个解),例如下图:

    图中相切的点有两个,而红点的函数值明显比黑点小。事实上,要想判断找到的点是极低点还是极高点,我们需要将切点代入原函数再进行判断。

    很简单例子1

    虽然上面已经有一个实例的例子了,但总感觉有点乱,原理啥的也不是让人特别清晰。所以接下来会再举一个便于理解的例子。

    求此方程的最大值:

    f(x,y)=x^2y

    s.t  x^2+y^2=1

    因为只有一个未知数的限制条件,我们只需要用一个乘数λ.

    g(x,y)=x^2+y^2-1

    L(x,y,\lambda )=x^2y+\lambda (x^2+y^2-1)

    将所有L方程的偏微分设为零,得到一个方程组,最大值是以下方程组的解中的一个:

    \frac{\partial L}{\partial x}=2xy+2\lambda x=0

    \frac{\partial L}{\partial y}=x^2+2\lambda y=0

    \frac{\partial L}{\partial \lambda }=x^2+y^2-1=0

    由上面三个条件可以知道,f(x,y)取到最优解时,必然满足等式约束。

    解得x=\frac{\sqrt6}{3}      y=\frac{\sqrt3}{3}      \lambda =-\frac{\sqrt3}{3}

    实际上这边没必要对\lambda求偏导,求了也就是原来的等式约束。

    很简单例子2

    又看到一个例子,mark一下,希望能帮助理解。

    这边为什么没有对\alpha _1,\alpha _2求导呢?注意看,有一句话“把它在带到约束条件中去”,其实就是对\alpha _1,\alpha _2求导了,因为f对\alpha _1,\alpha _2求导之后就是约束条件。

    系数λ的作用

    这边的λ和上面的\alpha一样的。

    对于有不等式约束的问题我们要引进KKT条件和对偶变换。在下一篇中会详细介绍。

     

    参考文章:

    深入理解拉格朗日乘子法

    拉格朗日乘子法:写得很通俗的文章

     

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  • 拉格朗日乘子法详解(Lagrange multiplier)

    千次阅读 多人点赞 2019-05-19 16:25:59
    拉格朗日乘子法Lagrange multiplier详解 最近在视频的变换编码里推导最优变换(KL变换)时需要用拉格朗日乘子法,之前在机器学习的各种优化问题里也要用到这个方法,特此仔细钻研一番,总结如下: 注:这篇博客讲的...

    最近在视频的变换编码里推导最优变换(KL变换)时需要用拉格朗日乘子法,之前在机器学习的各种优化问题里也要用到这个方法,特此仔细钻研一番,总结如下:

    注:这篇博客讲的很全面,这里部分参考了他的讲解。

    注:本文只讲了拉格朗日函数的构造,看完本文后再去了解拉格朗日对偶函数的推导以及对偶问题


    先上浓缩精华
    • 核心极值点处,函数和约束条件一定相切,梯度一定共线(同向or反向)!!!
      以此为思想基础构建拉格朗日函数,把等式约束条件和不等式约束都通过引入拉格朗日乘子(就是个系数)整合到一个新函数里,使得原本的复杂的多约束优化问题变成了最简单的无约束优化问题,直接对构造出的拉格朗日函数的所有变量(包括原本的变量xi,i=1,2,mx_i,i=1,2\ldots,m和新引入的乘子变量 λk,μj,j=1,2,n,k=1,2,l\lambda_k,\mu_j,j=1,2\ldots,n,k=1,2\ldots,l)求偏导等于零,得到的就是最终解。

    • 用途:求解含有等式约束的最优化问题的局部最优解!!(极值点不一定是最小点,所以不是全局最小哟);对于含有不等式约束的问题,要用到扩展的拉格朗日乘数法,这个扩展就是KKT条件的引入,更多细节参见这篇博文


    再谈完整细节

    最优化问题按照约束条件的有无和类别可分为三类:
    (一) “无约束" 优化问题
    直接对所有mm个变量求偏导,令偏导等于0,联立方程组求出来的点就可能是极值点,具体是不是那就代到原函数里看看是不是比周围的值都小就行。
    Fxi=0i=1,2,m \frac{\partial F}{x _i}=0 \quad i=1,2\ldots,m
    补充注解:

    1. 偏导等于0只是极值点的必要条件,所以可能是。
    2. 直观地看,极值点左右的导数一定异号,又因为函数连续,所以极值点的导数只能为0。
    3. 必要条件:满足必要条件不能说明一定是;不满足则一定不是!!
    4. 充分条件:满足充分条件则一定是;不满足则给出的信息为0

    下面(二)(三)类优化问题都是通过构造拉格朗日函数把问题转化为第(一)类的。

    (二)“等式约束” 优化问题
    目标函数(待优化的函数)为f(x)f(x),约束条件为hk(x),k=1,2,lh_k(x),k=1,2\ldots,l,问题建模为
    minf(x)s.t.hk(x)=0min f(x) \quad s.t. \quad h_k(x)=0
    这时候我们构建拉格朗日函数
    为什么这么构建参见知乎这个回答,很好理解,就因为梯度共线:
    一个等式约束欸但表示对理解共线最有帮助:
    f(x)+λh(x)=0,x\nabla f(x^*)+\lambda\nabla h(x^*)=0,x^*为极值点
    多个等式约束则表示为:
    f(x)+k=1lλkhk(x)=0,x\nabla f(x^*)+\sum_{k=1}^l\lambda_k \nabla h_k(x^*)=0,x^*为极值点
    L(x,λ)=f(x)+k=1lλkhk(x)L(x,\lambda)=f(x)+\sum_{k=1}^l\lambda_kh_k(x)
    L(x,λ)L(x,\lambda)即拉格朗日函数,λk\lambda_k是拉格朗日乘子.上面的公式实际上就是下面的拉格朗日函数对x求偏导的结果。

    这时就成了第一类的无约束优化了,只是变量增多了ll个,同第一类问题,分别对m+lm+l个变量求偏导,得出来的解代入目标函数就ok了!
    Fλk=0\frac{\partial F}{\lambda _k}=0 , 这得到的就是那组等式约束
    Fxi=0f(x)+k=1lλkhk(x)=0\quad \frac{\partial F}{x _i}=0,这得到的就是\nabla f(x^*)+\sum_{k=1}^l\lambda_k \nabla h_k(x^*)=0
    (三)“等式约束+不等式约束” 优化问题
    这是最复杂也最常见的一种模型。问题建模为:
    minf(x)s.t.hk(x)=0,gj(x)0j=1,2,n;k=1,2,lminf(x) \quad s.t.h_k(x)=0\quad,\quad g_j(x)\leq0\quad j=1,2\ldots,n;k=1,2\ldots,l
    思路一样,还是要最终转化为无约束的简单优化问题,但这里要分为两步:

    1. 先把不等式约束条件转化为等式约束条件。 how?\to 引入 松弛变量 / KKT乘子
    2. 再把等式约束转化为无约束优化问题。 how? \to 同(二),引入拉格朗日乘子

    构造拉格朗日函数为:
    L(x,λ,μ)=f(x)+k=1lλkhk(x)+j=1nμjgj(x)L(x,\lambda,\mu)=f(x)+\sum_{k=1}^l\lambda_kh_k(x)+\sum_{j=1}^n\mu_jg_j(x)

    λk\lambda_k是为等式约束引入的拉格朗日乘子
    μj\mu_j是为不等式约束引入的松弛变量

    至此,含不等式约束的最复杂的优化问题也转化为无约束的简单问题了,剩下的就只有求偏导了。
    即最终只需要求解,解出来的就可能是极值点啦(KKT也只是必要条件):
    {f(x)+kλkhk(x)+jμjgj(x)=0(1)μj0(2)μjgj(x)=0(3)hk(x)=0(4)gj(x)0(5)\left\{ \begin{aligned} \nabla f(x^*) + \sum_{k}\lambda_k\nabla h_k(x^*)+\sum_{j}\mu_j\nabla g_j(x^*)& = &0 \quad (1)\\ \mu_j & \geq & 0 \quad (2)\\ \mu_jg_j(x^*) & = & 0 \quad (3)\\ h_k(x^*) & = & 0 \quad (4)\\ g_j(x^*) & \leq & 0\quad (5)\\ \end{aligned} \right.

    这里由于有不等式约束因此要引入KKT条件(Karush–Kuhn–Tucker conditions)

    这个KKT可以说是很神秘很厉害了,之前学无线网络也一直在用它求解不等式优化问题,现在学机器学习,视频编码竟然还是要用,所以只要有不等式约束的优化是绕不开了,不过thank god也不算太难?(手动一个不太自信还很尴尬的微笑) 关于KKT条件,我这篇博文做了详解。

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  • 在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。  我们这里提到的最优化问题...

    在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。

      我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数,求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化,即最大值问题可以转化成最小值问题)提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子。对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象。二者均是求解最优化问题的方法,不同之处在于应用的情形不同。

          一般情况下,最优化问题会碰到一下三种情况:

    (1)无约束条件

      这是最简单的情况,解决方法通常是函数对变量求导,令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可。

    (2)等式约束条件

          设目标函数为f(x),约束条件为h_k(x),形如:

            s.t. 表示subject to ,“受限于”的意思,l表示有l个约束条件。

            

       则解决方法是消元法或者拉格朗日法消元法比较简单不在赘述,这里主要讲拉格朗日法,因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。

       例如给定椭球:

                   

        求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题,即在条件      下,求的最大值。

        当然这个问题实际可以先根据条件消去 z (消元法),然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难,甚至是做不到的,这时候就需要用拉格朗日乘数法了。  

        首先定义拉格朗日函数F(x):

              ( 其中λk是各个约束条件的待定系数。)                                                           

            然后解变量的偏导方程:

              ......,

       如果有l个约束条件,就应该有l+1个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值(高等数学中提到的极值),将结果带回原方程验证就可得到解。

       回到上面的题目,通过拉格朗日乘数法将问题转化为

             

       对求偏导得到

              

       联立前面三个方程得到,带入第四个方程解之

              

       带入解得最大体积为:

              

      

     

    (3)不等式约束条件

           设目标函数f(x),不等式约束为g(x),有的教程还会添加上等式约束条件h(x)。此时的约束优化问题描述如下:

            

            则我们定义不等式约束下的拉格朗日函数L,则L表达式为:

            

          其中f(x)是原目标函数,hj(x)是第j个等式约束条件,λj是对应的约束系数,gk是不等式约束,uk是对应的约束系数。

      常用的方法是KKT条件,同样地,把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x),

      KKT条件是说最优值必须满足以下条件:

        1)L(a, b, x)对x求导为零;

        2)h(x) =0;

        3)a*g(x) = 0;

     

      求取这些等式之后就能得到候选最优值。其中第三个式子非常有趣,因为g(x)<=0,如果要满足这个等式,必须a=0或者g(x)=0. 这是SVM的很多重要性质的来源,如支持向量的概念。

      接下来主要介绍KKT条件,推导及应用。详细推导过程如下:

     

    ????从几何角度看拉格朗日乘子法的物理意义:

     


          该方法适用于约束条件下求极值的问题。对于没有约束的极值问题,显然,如果某一点是极值的必要条件是该点的各方向的偏导数皆为零,也就是说,如果偏导数不全为零,那么就不可能是极值。

    例如,一个三元函数w(x,y,z), 它是x,y,z的函数,且在一个约束条件下求它的极值。我们假设图中的曲面就是约束方程g(x,y,z)=0的图像,即约束面。之前没有约束面时,w取极值的必要条件是各个方向偏导数为零,而对于可微函数各个方向偏导为零的充分必要条件是沿x,y,z 方向的偏导为零。现在有了约束面,我们不再需要这么苛刻的必要条件,因为有了约束面,x,y,z在一定程度上被限制了,只能在约束面内移动,因此只需要沿约束面内的各个方向运动时的偏导数(变化化率)为零就可以了,此时自由度由三维下降到两维。满足在约束面内的各个方向偏导为零,也就是说,w取极值的必要条件减弱为待求函数的方向导数(梯度)垂直于约束面,从数学上看,也就是方向导数和约束面的法线方向同向(一个向量等于另一个向量的常数倍),而不需要梯度为零,因为和梯度垂直的方向偏导数一定为零,这样,沿约束面各个方向运动时w的偏导数也就为零了。这便是拉格朗日乘子法求极值的几何意义。

     

    个人总结:

    想象一下我们爬山(优化函数)找最高点(求最大值),要想最快的上,要找最陡的方向,陡峭的程度以坡度(方向导数)度量,最陡的方向即为最大坡度(梯度)决定的方向,理想情况下,当无法再上升,坡度(梯度)变成0时,找到最高点(求得最大值)。但是,当我们必须绕圆弧行盘山路爬行时,盘山路(约束条件)约束了我们的路径及方向,我们必须沿着盘山路最陡的方向(梯度,注意此时退化为一维,只有一个方向,为道路切向),当道路不再上升(及切向为0),即找到最高点。

    再想想一下我们是海水,从山底向上移动(集体作战),领袖沿着盘山路行进,每一步我们可以找到同海拔的海岸线(等高线),海岸线与盘山路想交,我们可以继续向上移动,直到海岸线与盘山路向切,此时,找到最高海拔,海岸线(等高线)同时与约束方程确定的边界相切。

    在极值点,优化函数的等高线、优化函数与约束方程的交线、约束方程的投影线(类似约束曲面的等高线,约束曲线)相切于一点。等高线与约束曲线法向相同(不考虑正负),而优化函数的梯度数值等于其等高线的法向数值约束方程的梯度数值等于约束曲线的法向数值。故∆f=λ∆g,λ!=0

    极值点的2个条件:

    1、极值点在优化函数及约束方程上;

    2、在极值点,优化函数的等高线、优化函数与约束方程交线、约束曲线相切,优化函数与约束方程交线的梯度(导数)为0

    可利用这2个条件求解:

    一、根据1将约束方程带入优化函数消元、降维变成无约束低维问题求解,根据2求梯度为0

    二、根据2构造似然函数L(X,λ),使在特殊条件下满足1和2,对L(X,λ)解特殊条件。

     

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  • 如何理解拉格朗日乘子法

    万次阅读 多人点赞 2018-08-01 10:55:18
    1 与原点的最短距离 假如有方程: 图像是这个样子滴: 现在我们想求其上的点与原点的最短距离: 这里介绍一种解题思路。首先,与原点距离为 的点全部在半径为 的圆上: ...为了继续解题,需要引入等高...

    1 与原点的最短距离

    假如有方程:

    x^2y=3

    图像是这个样子滴:

    现在我们想求其上的点与原点的最短距离:

    这里介绍一种解题思路。首先,与原点距离为a 的点全部在半径为a 的圆上:

    那么,我们逐渐扩大圆的半径:

    显然,第一次与x^2y=3 相交的点就是距离原点最近的点:

    此时,圆和曲线相切,也就是在该点切线相同:

    至此,我们分析出了:

    在极值点,圆与曲线相切

    2 等高线

    为了继续解题,需要引入等高线。这些同心圆:

    可以看作函数f(x,y)=x^2+y^2 的等高线:

    根据梯度的性质(关于梯度可以查看如何通俗地理解梯度?),梯度向量:

    \nabla f=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}

    是等高线的法线:

    另外一个函数g(x,y)=x^2y 的等高线为:

    之前的曲线x^2y=3 就是其中值为3的等高线:

    ,因此,梯度向量:

    \nabla g=\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x}\\\frac{\partial g}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2xy\\x^2\end{pmatrix}

    也垂直于等高线x^2y=3 :

    梯度向量是等高线的法线,更准确地表述是:

    梯度与等高线的切线垂直

    3 拉格朗日乘子法

    3.1 求解

    根据之前的两个分析:

    \begin{cases}     在极值点,圆与曲线相切\\     \\     梯度与等高线的切线垂直 \end{cases}

    综合可知,在相切点,圆的梯度向量和曲线的梯度向量平行:

    也就是梯度向量平行,用数学符号表示为:

    \nabla f=\lambda\nabla g

    还必须引入x^2y=3 这个条件,否则这么多等高线,不知道指的是哪一根:

    因此联立方程:

    \begin{cases}    \nabla f=\lambda\nabla g\\    \\    x^2y=3\end{cases}

    求一下试试:

    \begin{cases}    \begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2xy\\x^2\end{pmatrix}\\    \\    x^2y=3\end{cases}\implies\begin{cases}    x\approx\pm 1.61\\    \\    y\approx 1.1\\    \\    \lambda\approx 0.87\end{cases}

    这就是拉格朗日乘子法。

    3.2 定义

    要求函数f 在g 约束下的极值这种问题可以表示为:

    minmax\ f\\    s.t.\ g=0

    s.t. 意思是subject to,服从于,约束于的意思。

    可以列出方程组进行求解:

    \begin{cases}    \nabla f=\lambda\nabla g\\    \\    g=0\end{cases}

    用这个定义来翻译下刚才的例子,要求:

    令:

    \begin{cases}    f(x,y)=x^2+y^2\\    \\    g(x,y)=x^2y-3\end{cases}

    求:

    min\ f(x,y)\\    s.t.\ g(x,y)=0

    联立方程进行求解:

    \begin{cases}    \nabla f=\lambda\nabla g\\    \\    g(x,y)=0\end{cases}

    3.3 变形

    这个定义还有种变形也比较常见,要求:

    minmax\ f\\    s.t.\ g=0

    定义:

    F=f+\lambda g

    求解下面方程组即可得到答案:

    \begin{pmatrix}\frac{F}{\partial x}\\\frac{F}{\partial y}\\\frac{F}{\partial \lambda}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

    把等式左边的偏导算出来就和上面的定义是一样的了。

    3.4 多个约束条件

    如果增加一个约束条件呢?比如说:

    x-y-3=0

    求:

    min\ x^2+y^2\\    s.t.\         \begin{cases}            x^2y-3=0\\            x-y-3=0        \end{cases}

    从图上看约束条件是这样的:

    很显然所求的距离是这样的:

    那这三者的法线又有什么关系呢?x^2+y^2 的法线是x^2y-3 和x-y-3 的法线的线性组合:

    假设:

    \begin{cases}    f(x,y)=x^2+y^2\\    \\    g(x,y)=x^2y-3\\    \\    h(x,y)=x-y-3\end{cases}

    那么线性组合就表示为:

    \nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h

    联立方程:

    \begin{cases}    \nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h\\    \\    g(x,y)=0\\    \\    h(x,y)=0\end{cases}

    即可求解。

    往更高纬度走的话,多约束条件的情况下,问题变为了g_1,g_2 围成的曲线C 和f 相切,直观上看\nabla f 必然在\nabla g_1,\nabla g_2 张成的空间中:

    这点的严格性这里就不证明了。

    文章最新版本在(有可能会有后续更新):如何通俗地理解拉格朗日乘子法?

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