相关系数 订阅
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,是研究变量之间线性相关程度的量,一般用字母 r 表示。由于研究对象的不同,相关系数有多种定义方式,较为常用的是皮尔逊相关系数。相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向,但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算,同样以两变量与各自平均值的离差为基础,通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度;着重研究线性的单相关系数。需要说明的是,皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数,但是最常见的相关系数,以下解释都是针对皮尔逊相关系数。依据相关现象之间的不同特征,其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数(相关系数的平方称为判定系数);将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数;将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。 展开全文
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,是研究变量之间线性相关程度的量,一般用字母 r 表示。由于研究对象的不同,相关系数有多种定义方式,较为常用的是皮尔逊相关系数。相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向,但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算,同样以两变量与各自平均值的离差为基础,通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度;着重研究线性的单相关系数。需要说明的是,皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数,但是最常见的相关系数,以下解释都是针对皮尔逊相关系数。依据相关现象之间的不同特征,其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数(相关系数的平方称为判定系数);将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数;将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
信息
外文名
Correlation coefficient
描    述
线性关系
特    点
无量纲
中文名
相关系数
基本释义
度量两个变量间的线性关系
常    用
皮尔逊相关系数
相关系数定义
相关关系是一种非确定性的关系,相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同,相关系数有如下几种定义方式。简单相关系数:又叫相关系数或线性相关系数,一般用字母r 表示,用来度量两个变量间的线性关系。定义式 [1]  其中,Cov(X,Y)为X与Y的协方差,Var[X]为X的方差,Var[Y]为Y的方差复相关系数:又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如,某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。典型相关系数:是先对原来各组变量进行主成分分析,得到新的线性关系的综合指标,再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。
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  • 在二元变量的相关分析过程中比较常用的有Pearson相关系数,Spearman秩相关系数和判定系数。 Pearson相关系数 一般用于分析两个连续性变量之间的关系,其计算公式如下。 r=∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾)∑i=1n(xi−x‾)2...

    数据探索

    计算相关系数

    为了更加准确地描述变量之间的线性相关程度,可以通过计算相关系统来进行相关分析。

    在二元变量的相关分析过程中比较常用的有Pearson相关系数,Spearman秩相关系数和判定系数。

    皮尔逊相关系数(Pearson Correlation Coefficient)

    一般用于分析两个连续性变量之间的关系,其计算公式如下。
    r=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2i=1n(yiy)2 r = { \sum_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})(yi-\overline{y})\over\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})^2\sum_{i=1}^{n}(yi-\overline{y})^2}}
    相关系数r的取值范围:-1 <= r <= 1
    {r&gt;0r&lt;0r=0线r=1线 \begin{cases} r &gt; 0 为正相关,r&lt;0为负相关\\ |r| = 0 表示不存在线性关系\\ |r| = 1 表示完全线性相关 \end{cases}
    0<|r|<1表示存在不同程度线性相关
    {r&lt;=0.3线0.3&lt;r&lt;=0.5线0.5&lt;r&lt;=0.8线r&gt;0.8线 \begin{cases} |r|&lt;=0.3为不存在线性相关\\ 0.3&lt;|r|&lt;=0.5为低度线性相关\\ 0.5&lt;|r|&lt;=0.8为显著线性相关\\ |r|&gt;0.8为高度线性相关 \end{cases}

    Spearman秩相关系数

    Pearson线性相关系数要求连续变量的取值服从正太分布。不服从正态分布的变量、分类或等级变量之间的关联性可采用Spearman秩相关系数,也称等级相关系数来描述。

    其计算公式如下:
    r=16i=1n(RiQi)2n(n21) r={1-{{6\sum_{i=1}^{n}(Ri-Qi)^2}\over{n(n^2-1)}}}
    研究表明,在正态分布假设下,Spearman秩相关系数与Pearson相关系数在效率上是等价的,而对于连续测量数据,更适合用Pearson相关系数来进行分析。

    判定系数

    判定系数是相关系数的平方,用r2r^2表示;用来衡量回归方程对y的解释程度。

    判定系数取值范围:0<=r2r^2<=1, r2r^2越接近于1,表示x与y之间的相关性越强;

    r2r^2​越接近于0,表明两个变量之间几乎没有直线相关关系。

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  • 在二元变量的相关分析过程中比较常用的有Pearson相关系数,Spearman秩相关系数和判定系数。 皮尔逊相关系数(Pearson Correlation Coefficient) 一般用于分析两个连续性变量之间的关系,其计算公式如下。 r=∑i=1n...

    数据探索

    计算相关系数

    为了更加准确地描述变量之间的线性相关程度,可以通过计算相关系统来进行相关分析。

    在二元变量的相关分析过程中比较常用的有Pearson相关系数,Spearman秩相关系数和判定系数。

    皮尔逊相关系数(Pearson Correlation Coefficient)

    一般用于分析两个连续性变量之间的关系,其计算公式如下。
    r=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2i=1n(yiy)2 r = { \sum_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})(yi-\overline{y})\over\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})^2\sum_{i=1}^{n}(yi-\overline{y})^2}}
    相关系数r的取值范围:-1 <= r <= 1
    {r&gt;0r&lt;0r=0线r=1线 \begin{cases} r &gt; 0 为正相关,r&lt;0为负相关\\ |r| = 0 表示不存在线性关系\\ |r| = 1 表示完全线性相关 \end{cases}
    0<|r|<1表示存在不同程度线性相关
    {r&lt;=0.3线0.3&lt;r&lt;=0.5线0.5&lt;r&lt;=0.8线r&gt;0.8线 \begin{cases} |r|&lt;=0.3为不存在线性相关\\ 0.3&lt;|r|&lt;=0.5为低度线性相关\\ 0.5&lt;|r|&lt;=0.8为显著线性相关\\ |r|&gt;0.8为高度线性相关 \end{cases}

    近似计算公式

    ​ 上面的公式有一个问题在于算法时可能需要对数据进行多遍扫描。幸运的是,对于算法实现人员而言,还有一个皮尔逊相关系数的近似计算公式:
    r=i=1nxiyii=1nxii=1nyini=1nxi2(i=1nxi)2ni=1nyi2(i=1nyi)2n r=\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i-\frac{\sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^ny_i}{n}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^nx_i)^2}{n}}\sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^ny_i)^2}{n}}}

    Python

    def pearson(rating1, rating2):
        sum_xy = 0
        sum_x = 0
        sum_y = 0
        sum_x2 = 0
        sum_y2 = 0
        n = 0
        for key in rating1:
            if key in rating2:
                n += 1
                x = rating1[key]
                y = rating2[key]
                sum_xy += x * y
                sum_x += x
                sum_y += y
                sum_x2 += pow(x, 2)
                sum_y2 += pow(y, 2)
        # now compute denominator
        denominator = sqrt(sum_x2 - pow(sum_x, 2) / n) * sqrt(sum_y2 - pow(sum_y, 2) / n)
        if denominator == 0:
            return 0
        else:
            return (sum_xy - (sum_x * sum_y) / n) / denominator
    

    Spearman秩相关系数

    Pearson线性相关系数要求连续变量的取值服从正太分布。不服从正态分布的变量、分类或等级变量之间的关联性可采用Spearman秩相关系数,也称等级相关系数来描述。

    其计算公式如下:
    r=16i=1n(RiQi)2n(n21) r={1-{{6\sum_{i=1}^{n}(Ri-Qi)^2}\over{n(n^2-1)}}}
    研究表明,在正态分布假设下,Spearman秩相关系数与Pearson相关系数在效率上是等价的,而对于连续测量数据,更适合用Pearson相关系数来进行分析。

    判定系数

    判定系数是相关系数的平方,用r2r^2表示;用来衡量回归方程对y的解释程度。

    判定系数取值范围:0<=r2r^2<=1, r2r^2越接近于1,表示x与y之间的相关性越强;

    r2r^2越接近于0,表明两个变量之间几乎没有直线相关关系。

    相似度的选择

    如果数据受分数贬值(grade-inflation,即不同用户使用不同的评级范围)的影响,则使用皮尔逊相关系数

    如果数据稠密(几乎所有属性都没有零值)且属性值大小十分重要,那么使用诸如欧式距离或者曼哈顿距离

    如果数据稀疏,考虑使用余弦相似度

    相关代码

    import codecs 
    from math import sqrt
    
    users = {"Angelica": {"Blues Traveler": 3.5, "Broken Bells": 2.0,
                          "Norah Jones": 4.5, "Phoenix": 5.0,
                          "Slightly Stoopid": 1.5,
                          "The Strokes": 2.5, "Vampire Weekend": 2.0},
             
             "Bill":{"Blues Traveler": 2.0, "Broken Bells": 3.5,
                     "Deadmau5": 4.0, "Phoenix": 2.0,
                     "Slightly Stoopid": 3.5, "Vampire Weekend": 3.0},
             
             "Chan": {"Blues Traveler": 5.0, "Broken Bells": 1.0,
                      "Deadmau5": 1.0, "Norah Jones": 3.0, "Phoenix": 5,
                      "Slightly Stoopid": 1.0},
             
             "Dan": {"Blues Traveler": 3.0, "Broken Bells": 4.0,
                     "Deadmau5": 4.5, "Phoenix": 3.0,
                     "Slightly Stoopid": 4.5, "The Strokes": 4.0,
                     "Vampire Weekend": 2.0},
             
             "Hailey": {"Broken Bells": 4.0, "Deadmau5": 1.0,
                        "Norah Jones": 4.0, "The Strokes": 4.0,
                        "Vampire Weekend": 1.0},
             
             "Jordyn":  {"Broken Bells": 4.5, "Deadmau5": 4.0,
                         "Norah Jones": 5.0, "Phoenix": 5.0,
                         "Slightly Stoopid": 4.5, "The Strokes": 4.0,
                         "Vampire Weekend": 4.0},
             
             "Sam": {"Blues Traveler": 5.0, "Broken Bells": 2.0,
                     "Norah Jones": 3.0, "Phoenix": 5.0,
                     "Slightly Stoopid": 4.0, "The Strokes": 5.0},
             
             "Veronica": {"Blues Traveler": 3.0, "Norah Jones": 5.0,
                          "Phoenix": 4.0, "Slightly Stoopid": 2.5,
                          "The Strokes": 3.0}
            }
    
    
    
    class recommender:
    
        def __init__(self, data, k=1, metric='pearson', n=5):
            """ initialize recommender
            currently, if data is dictionary the recommender is initialized
            to it.
            For all other data types of data, no initialization occurs
            k is the k value for k nearest neighbor
            metric is which distance formula to use
            n is the maximum number of recommendations to make"""
            self.k = k
            self.n = n
            self.username2id = {}
            self.userid2name = {}
            self.productid2name = {}
            # for some reason I want to save the name of the metric
            self.metric = metric
            if self.metric == 'pearson':
                self.fn = self.pearson
            #
            # if data is dictionary set recommender data to it
            #
            if type(data).__name__ == 'dict':
                self.data = data
    
        def convertProductID2name(self, id):
            """Given product id number return product name"""
            if id in self.productid2name:
                return self.productid2name[id]
            else:
                return id
    
    
        def userRatings(self, id, n):
            """Return n top ratings for user with id"""
            print ("Ratings for " + self.userid2name[id])
            ratings = self.data[id]
            print(len(ratings))
            ratings = list(ratings.items())
            ratings = [(self.convertProductID2name(k), v)
                       for (k, v) in ratings]
            # finally sort and return
            ratings.sort(key=lambda artistTuple: artistTuple[1],
                         reverse = True)
            ratings = ratings[:n]
            for rating in ratings:
                print("%s\t%i" % (rating[0], rating[1]))
            
    
            
    
        def loadBookDB(self, path=''):
            """loads the BX book dataset. Path is where the BX files are
            located"""
            self.data = {}
            i = 0
            #
            # First load book ratings into self.data
            #
            f = codecs.open(path + "BX-Book-Ratings.csv", 'r', 'utf8')
            for line in f:
                i += 1
                #separate line into fields
                fields = line.split(';')
                user = fields[0].strip('"')
                book = fields[1].strip('"')
                rating = int(fields[2].strip().strip('"'))
                if user in self.data:
                    currentRatings = self.data[user]
                else:
                    currentRatings = {}
                currentRatings[book] = rating
                self.data[user] = currentRatings
            f.close()
            #
            # Now load books into self.productid2name
            # Books contains isbn, title, and author among other fields
            #
            f = codecs.open(path + "BX-Books.csv", 'r', 'utf8')
            for line in f:
                i += 1
                #separate line into fields
                fields = line.split(';')
                isbn = fields[0].strip('"')
                title = fields[1].strip('"')
                author = fields[2].strip().strip('"')
                title = title + ' by ' + author
                self.productid2name[isbn] = title
            f.close()
            #
            #  Now load user info into both self.userid2name and
            #  self.username2id
            #
            f = codecs.open(path + "BX-Users.csv", 'r', 'utf8')
            for line in f:
                i += 1
                #print(line)
                #separate line into fields
                fields = line.split(';')
                userid = fields[0].strip('"')
                location = fields[1].strip('"')
                if len(fields) > 3:
                    age = fields[2].strip().strip('"')
                else:
                    age = 'NULL'
                if age != 'NULL':
                    value = location + '  (age: ' + age + ')'
                else:
                    value = location
                self.userid2name[userid] = value
                self.username2id[location] = userid
            f.close()
            print(i)
                    
            
        def pearson(self, rating1, rating2):
            sum_xy = 0
            sum_x = 0
            sum_y = 0
            sum_x2 = 0
            sum_y2 = 0
            n = 0
            for key in rating1:
                if key in rating2:
                    n += 1
                    x = rating1[key]
                    y = rating2[key]
                    sum_xy += x * y
                    sum_x += x
                    sum_y += y
                    sum_x2 += pow(x, 2)
                    sum_y2 += pow(y, 2)
            if n == 0:
                return 0
            # now compute denominator
            denominator = (sqrt(sum_x2 - pow(sum_x, 2) / n)
                           * sqrt(sum_y2 - pow(sum_y, 2) / n))
            if denominator == 0:
                return 0
            else:
                return (sum_xy - (sum_x * sum_y) / n) / denominator
    
    
        def computeNearestNeighbor(self, username):
            """creates a sorted list of users based on their distance to
            username"""
            distances = []
            for instance in self.data:
                if instance != username:
                    distance = self.fn(self.data[username],
                                       self.data[instance])
                    distances.append((instance, distance))
            # sort based on distance -- closest first
            distances.sort(key=lambda artistTuple: artistTuple[1],
                           reverse=True)
            return distances
    
        def recommend(self, user):
           """Give list of recommendations"""
           recommendations = {}
           # first get list of users  ordered by nearness
           nearest = self.computeNearestNeighbor(user)
           #
           # now get the ratings for the user
           #
           userRatings = self.data[user]
           #
           # determine the total distance
           totalDistance = 0.0
           for i in range(self.k):
              totalDistance += nearest[i][1]
           # now iterate through the k nearest neighbors
           # accumulating their ratings
           for i in range(self.k):
              # compute slice of pie 
              weight = nearest[i][1] / totalDistance
              # get the name of the person
              name = nearest[i][0]
              # get the ratings for this person
              neighborRatings = self.data[name]
              # get the name of the person
              # now find bands neighbor rated that user didn't
              for artist in neighborRatings:
                 if not artist in userRatings:
                    if artist not in recommendations:
                       recommendations[artist] = (neighborRatings[artist]
                                                  * weight)
                    else:
                       recommendations[artist] = (recommendations[artist]
                                                  + neighborRatings[artist]
                                                  * weight)
           # now make list from dictionary
           recommendations = list(recommendations.items())
           recommendations = [(self.convertProductID2name(k), v)
                              for (k, v) in recommendations]
           # finally sort and return
           recommendations.sort(key=lambda artistTuple: artistTuple[1],
                                reverse = True)
           # Return the first n items
           return recommendations[:self.n]
    
    
    
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  • 参考维基百科 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9A%AE%E5%B0%94%E9%80%8A%E7%A7%AF%E7%9F%A9%E7%9B%B8%E5%85%B3%E7%B3%BB%E6%95%B0 百度百科 ...

    参考材料:
    维基百科
    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9A%AE%E5%B0%94%E9%80%8A%E7%A7%AF%E7%9F%A9%E7%9B%B8%E5%85%B3%E7%B3%BB%E6%95%B0
    百度百科
    http://baike.baidu.com/link?url=j_7tQcoyyOGlVXy5lgpCnskIhQZqxrx0hKvyfaD-crncE1_SGz4OLVYL4xhqA0omLf19ABxHdhHtCbSx47bRcbOSPItZ5May05AWJbiJjZkmGaSuwdcov3G2ItV2FS3CnyFbjT1yEv_YdvpMyhDERkx0Hvcxw60pp4ZfqGg2q1_

    今天老板突然推荐了解下皮尔森相关系数,有些莫名其妙,看了下,就是之前在数理统计里学到的相关系数,还是比较容易理解的,不过还是写点记录下学到的东西吧。

    皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ,是一种线性相关系数,是最常用的一种相关系数。记为r,用来反映两个变量X和Y的线性相关程度,r值介于-1到1之间,绝对值越大表明相关性越强。

    定义:

    总体相关系数ρ定义为两个变量X、Y之间的协方差和标准差的比值,如下:
    这里写图片描述
    估算样本的协方差和标准差,可得到样本相关系数(即样本皮尔森相关系数),常用r表示:
    这里写图片描述
    r还可以由(Xi,Yi)样本点的标准分数均值估计得到与上式等价的表达式:
    这里写图片描述
    其中这里写图片描述为Xi样本的标准分数、样本均值和样本标准差,n为样本数量。

    物理意义:

    皮尔森相关系数反映了两个变量的线性相关性的强弱程度,r的绝对值越大说明相关性越强。当r>0时,表明两个变量正相关,即一个变量值越大则另一个变量值也会越大;当r<0时,表明两个变量负相关,即一个变量值越大则另一个变量值反而会越小;当r=0时,表明两个变量不是线性相关的(注意只是非线性相关),但是可能存在其他方式的相关性(比如曲线方式);当r=1和-1时,意味着两个变量X和Y可以很好的由直线方程来描述,所有样本点都很好的落在一条直线上。

    皮尔森距离:

    通过皮尔森系数定义:
    这里写图片描述
    皮尔森系数范围为[-1,1],因此皮尔森距离范围为[0,2]。

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  • Pearson相关性系数可以看出是升级版的欧氏距离平方,因为它提供了对于变量取值范围不同的处理步骤。因此对不同变量间的取值范围没有要求(unit free),最后得到的相关性所衡量的是趋势,而不同变量量纲上差别在计算...

    Pearson相关性系数可以看出是升级版的欧氏距离平方,因为它提供了对于变量取值范围不同的处理步骤。因此对不同变量间的取值范围没有要求(unit free),最后得到的相关性所衡量的是趋势,而不同变量量纲上差别在计算过程中去掉了,等价于z-score标准化。

    而未经升级的欧式距离以及cosine相似度,对变量的取值范围是敏感的,在使用前需要进行适当的处理。在低维度可以优先使用标准化后的欧式距离或者其他距离度量,在高维度时Pearson相关系数更加适合。

    欧氏距离(Euclidean Distance)是常见的相似性度量方法,可求两个向量间的距离,取值范围为0至正无穷。显然,如果两个向量间的距离较小,那么向量也肯定更为相似。此处需要注意的一点是,欧氏距离计算默认对于每一个维度给予相同的权重,因此如果不同维度的取值范围差别很大,那么结果很容易被某个维度所决定。解决方法除了对数据进行处理以外,还可以使用加权欧氏距离,不同维度使用不同的权重。

    公式1:
    在这里插入图片描述
    Pearson相关性系数(Pearson Correlation)是衡量向量相似度的一种方法。输出范围为-1到+1, 0代表无相关性,负值为负相关,正值为正相关。

    公式2:
    在这里插入图片描述

    Cosine相似度也是一种相似性度量,输出范围和Pearson相关性系数一致,含义也相似。

    公式3:
    在这里插入图片描述

    标准化(Standardization)是一种常见的数据缩放手段,标准化后的数据均值为0,标准差为1。
    公式4:
    在这里插入图片描述

    平方和(Summed Square)与样本方差(Sample Variance)之间的关系:
    公式5:
    在这里插入图片描述
    公式6:由公式5可得
    在这里插入图片描述

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  • 协方差、相关系数Pearson 相关系数

    万次阅读 多人点赞 2018-08-30 10:41:16
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    2019-11-29 21:55:25
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  • Pearson 相关系数

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    千次阅读 2018-09-26 14:25:14
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