拆分_拆分字符串 - CSDN
  • excel如按某一列拆分成多个工作表(支持多列),或多个Excel文件,或按某几列拆分成多个文件。 使用这个在线工具,无需vba,不用复杂的透视表,地址:http://www.excelfb.com/,点击:(按指定列)拆分成多个表 ...

      excel如按某一列拆分成多个工作表(支持多列),或多个Excel文件,或按某几列拆分成多个文件。

     

      使用这个在线工具,无需vba,不用复杂的透视表,地址:http://www.excelfb.com/ ,点击: (按指定列)拆分成多个表

     操作如下图:(如果是多列,例如A列和B列,在按第几列填入A,B  用‘,’隔开A和B)

     

       

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  • 整数拆分问题的四种解法

    万次阅读 多人点赞 2019-01-21 11:50:34
    整数划分问题是算法中的一个经典命题之一   所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式: n=m1+m2+m3+....+mi;(其中mi为正整数,并且1<=mi&...=n),则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。...

    整数划分问题是算法中的一个经典命题之一

     

    所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:

    n=m1+m2+m3+....+mi;(其中mi为正整数,并且1<=mi<=n),则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

    如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m,即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

    例如当n=4时,它有5个划分:{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1};

    注意:4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

    该问题是求出n的所有划分个数,即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

     

    方法一:递归法

    根据n和m的关系,考虑下面几种情况:

    (1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分,即{1};

    (2)当m=1时,不论n的值为多少(n>0),只有一种划分,即{1,1,....1,1,1};

    (3)当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:

    1. 划分中包含n的情况,只有一个,即{n};
    2. 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分;

      因此,f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

    (4)当n<m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n);

    (5)当n>m时,根据划分中是否包含m,可以分为两种情况:

    1. 划分中包含m的情况,即{m,{x1,x2,x3,...,xi}},其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m,可能再次出现m,因此是(n-m)的m划分,因此这种划分个数为f(n-m, m);
    2. 划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n, m - 1);

     因此,f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

    综合以上各种情况,可以看出,上面的结论具有递归定义的特征,其中(1)和(2)属于回归条件,(3)和(4)属于特殊情况,而情况(5)为通用情况,属于递归的方法,其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件,从而解决问题。

    其递归表达式如下所示。

     

    参考源码1.1(递归版本(较慢))

    #include <stdio.h>
    
    #define MAXNUM 100            //最高次数
    
    //递归法求解整数划分
    unsigned long GetPartitionCount(int n, int max)
    {
        if(n == 1 || max == 1)
        {
            return 1;
        }
        if(n < max)
        {
            return GetPartitionCount(n, n);
        }
        if(n == max)
        {
            return 1 + GetPartitionCount(n, n - 1);
        }
        else
        {
            return GetPartitionCount(n - max, max) + GetPartitionCount(n, max - 1);
        }
    }
    
    
    int main(int argc, char **argv)
    {
        int n;
        int m;
        unsigned long count;
        while(1)
        {
            scanf("%d", &n);
            if(n<=0)
                return 0;
            m=n;
            count = GetPartitionCount(n, m);
            printf("%d\n",count);
        }
        return 0;
    }

     

    方法二:动态规划

    考虑到使用递归中,很多的子递归重复计算,这样不仅在时间开销特别大,这也是运算太慢的原因,比如算120的时候需要3秒中,计算130的时候需要27秒钟,在计算机200的时候....计算10分钟还没计算出来。。。鉴于此,可以使用动态规划的思想进行程序设计,原理如同上面一样,分成三种情况,只是使用一个数组来代替原有的递归,具体可以参看源码,源码中提供了两个版本 递归+记录版本和数组版本

    2.1 递归加记录版本

    此版本使用数组标记,如果之前计算过,则直接调用数组中内容,否则计算子递归,这样保证了每次计算一次,减少冗余量

    源码如下:

     

    /*----------------------------------------------
     *        Author    :NEWPLAN
     *        Date    :2015-04-01
     *        Email    :xxxxxxx
     *        Copyright:NEWPLAN
    -----------------------------------------------*/
    #include <iostream>
    
    
    #define MAXNUM 100            //最高次数
    unsigned  long ww[MAXNUM*11][MAXNUM*11];
    unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max);
    
    using namespace std;
    int main(int argc, char **argv)
    {
        int n;
        int m;
        unsigned long count;
    	
    	while(1)
    	{
    		cin>>n;
    		cout<<dynamic_GetPartitionCount(n,n)<<endl;
    	}
    	
        return 0;
    }
    
    unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max)
    {
        if(n == 1 || max == 1)
        {
    		ww[n][max]=1;
            return 1;
        }
        if(n < max)
        {
    		ww[n][n]=ww[n][n]? ww[n][n] : dynamic_GetPartitionCount(n, n);
    		return ww[n][n];
        }
        if(n == max)
        {
    		ww[n][max]=ww[n][n-1]?1+ww[n][n-1]:1 + dynamic_GetPartitionCount(n, n - 1);
    		return ww[n][max];
        }
        else
        {
    		ww[n][max]=ww[n - max][max]? (ww[n - max][max]) : dynamic_GetPartitionCount(n - max, max);
    		ww[n][max]+=ww[n][max-1]? (ww[n][max-1]): dynamic_GetPartitionCount(n, max - 1);	
            return ww[n][max];
        }
    }

     

     

     

    2.2 数组标记法动态规划(从小到大)

     

    考虑到计算ww[10][10]=ww[10][9]+1;所以在每次计算中都是用到之前的记录,这样就可以先从小到大计算出程序,使得计算较大数的时候调用已经计算出的较小的记录,程序直接是用循环就可以完成任务,避免了重复计算和空间栈的开销。

    源码:

     

    /*----------------------------------------------
     *        Author    :NEWPLAN
     *        Date    :2015-04-01
     *        Email    :xxxxxxx
     *        Copyright:NEWPLAN
    -----------------------------------------------*/
    #include <iostream>
    
    #define MAXNUM 100            //最高次数
    
    unsigned  long ww[MAXNUM*11][MAXNUM*11];
    unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max);
    
    using namespace std;
    
    int main(int argc, char **argv)
    {
        int n;
        int m;
        unsigned long count;
    	
    	while(1)
    	{
    		cin>>n;
    		cout<<dynamic_GetPartitionCount(n,n)<<endl;
    	}
    	
        return 0;
    }
    
    unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max)
    {
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		for(int j=1;j<=i;j++)
    		{
    			if(j==1|| i==1)
    			{
    				ww[i][j]=1;
    			}
    			else 
    			{
    				if(j==i)
    					ww[i][j]=ww[i][j-1]+1;
    				else if((i-j)<j)
    					ww[i][j]=ww[i-j][i-j]+ww[i][j-1];
    				else
    					ww[i][j]=ww[i-j][j]+ww[i][j-1];
    			}
    		}
    	return ww[n][max];
    }
    

     

     

    三种方法效果对比十分明显,在写此博客之前测试数据200,动态规划版本输入直接算出结果,现在这片博客写完了,,,使用递归的还没计算出结果。。。


     

     

    方法三:母函数

     

        下面我们从另一个角度,即“母函数”的角度来考虑这个问题。

        所谓母函数,即为关于x的一个多项式G(x):

        有G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......

        则我们称G(x)为序列(a0, a1, a2,.....)的母函数。关于母函数的思路我们不做更过分析。

        我们从整数划分考虑,假设n的某个划分中,1的出现个数记为a1,2的个数记为a2,.....,i的个数记为ai,

        显然有:ak <= n/k(0<= k <=n)

        因此n的划分数f(n,n),也就是从1到n这n个数字抽取这样的组合,每个数字理论上可以无限重复出现,即个数随意,使它们的综合为n。显然,数字i可以有如下可能,出现0次(即不出现),1次,2次,......,k次等等。把数字i用(x^i)表示,出现k次的数字i用(x^(i*k))表示,不出现用1表示。

        例如,数字2用x^2表示,2个2用x^4表示,3个2用x^6表示,k个2用x^2k表示。

        则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为:

        G(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)

                = g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)

                = a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展开式

        上面的表达式中,每个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此,该多项式展开后,由于x^a *x^b = x^(a+b),因此x^i就代表了i的划分,展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分个数,即f(n,n) = an。

        由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x);剩下的问题就是,我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

        为此,我们首先要做多项式乘法,对于我们来说,并不困难。我们把一个关于x的多项式用一个整数数组a[]表示,a[i]代表x^i的系数,即:

        g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

        则关于多项式乘法的代码如下,其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式,结果存储到数组c中。

    参考题目: HDU:1028:Ignatius and the Princess III

    参考源码:

     

    #include <iostream>
    #include <string.h>
    #include <stdio.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N=10005;
    
    int c1[N],c2[N];
    
    int main()
    {
        int n,i,j,k;
        while(cin>>n)
        {
            if(n==0) break;
            for(i=0;i<=n;i++)
            {
                c1[i]=1;
                c2[i]=0;
            }
            for(i=2;i<=n;i++)
            {
                for(j=0;j<=n;j++)
                    for(k=0;k+j<=n;k+=i)
                        c2[k+j]+=c1[j];
                for(j=0;j<=n;j++)
                {
                    c1[j]=c2[j];
                    c2[j]=0;
                }
            }
            cout<<c1[n]<<endl;
        }
        return 0;
    }

     

     

     

     

     

    方法四:五边形数定理

     

    设第n个五边形数为,那么,即序列为:1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ... 

    对应图形如下:

     

    设五边形数的生成函数为,那么有:

    以上是五边形数的情况。下面是关于五边形数定理的内容:

    五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理,描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下:

    欧拉函数展开后,有些次方项被消去,只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次,留下来的次方恰为广义五边形数。 

    五边形数和分割函数的关系

    欧拉函数的倒数是分割函数的母函数,亦即:

       其中为k的分割函数。

    上式配合五边形数定理,有:

     

    在 n>0 时,等式右侧的系数均为0,比较等式二侧的系数,可得

    p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0

    因此可得到分割函数p(n)的递归式:p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots

    例如n=10时,有:p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 -  3 = 42

    所以,通过上面递归式,我们可以很快速地计算n的整数划分方案数p(n)了。

     

    参考例题:

    HUD4651:Partition

    源码:

     

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    #define  MYDATA long long
    const MYDATA MOD=1000000007;
    
    #define  AMS 100005
    MYDATA pp[AMS];
    MYDATA asist[2*AMS];
    void myinit()
    {
    	for(int i=0;i<AMS;i++)
    	{
    		/*算出五角数(正常五角数为1,5,12,22.... k*(3*k-1)/2)*/
    		/*此部分,需要算出的是分割函数(1,2,5,7,12,15,22,26.....
    		[k*(3*k-1)/2,k*(3*k+1)/2 ])*/
    		asist[2*i]=i*(i*3-1)/2;
    		asist[2*i+1]=i*(i*3+1)/2;
    	}
    }
    void mymethod()
    {
    	pp[1]=1;
    	pp[2]=2;
    	pp[0]=1;
    	for(int i=3;i<AMS;i++)
    	{
    		int k=0;
    		int flags;
    		pp[i]=0;
    		/*pp[n]=pp[n-1]+pp[n-2]-pp[n-5]-pp[n-7]+pp[12]+pp[15]
    		-.... ..... [+pp[n-k*[3k-1]/2]  + pp[n-k*[3k+1]/2]]*/
    		for(int j=2;asist[j]<=i;j++)
    		{
    			/*说明:式子中+MOD是必须的,否则输出可能出错(有可能为负数)*/
    			flags=k&2;
    			if(!flags)
    				pp[i]=(pp[i]+pp[i-asist[j]]+MOD)%MOD;
    			else
    				pp[i]=(pp[i]-pp[i-asist[j]]+MOD)%MOD;
    			k++;
    			k%=8;
    		}
    	}
    }
    
    int main()
    { 
    	int t,n;
    	myinit();
    	mymethod();
      
        cin>>t;
        while(t--)
        {
            cin>>n;
    	cout<<pp[n]<<endl;
        }
        return 0;
    }
    

     

    附加:

     

    给定一个整数n,输出这个整数拆分的可能形式(即输出全部情况)

    使用递归情况

    整个输出类似于一颗树,以分解6为例,过程如下图

     

     

    源码实现:

     

    #include <stdio.h>
    
    //使用一个数组记录在递归过程中产生的前面需要重复输出的值
    int set[100];
    //用于在递归过程中判断是否递归到最深处,输出回车
    int k;
    
    //此函数表示使用不大于m的整数对n进行拆分的情况,i用于表示set数组已经存在的记录数长度
    void q(int n,int m,int i)
    {
        if(n==k&&n!=m)
        {
            //此时递归栈已经退回到某一分支的最上层,输出回车
            //并重置计数器i为0
            printf("\n");
            i=0;
        }
        if(n==1)
        {
            //当n为1,意味者着只能表示1
            printf("1 ");
            return;
        }
        else if(m==1)
        {
            //当m为1,意味着要输出n个m相加
            for(int i=0; i<n-1; i++)
                printf("1+");
            printf("1 ");
            return;
        }
        if(n<m)
        {
            q(n,n,i);
        }
        if(n==m)
        {
            //当n等于m时,到达本次递归求和的一个叶子,此时需要输出多一个空格,表示下一次输出为另一个叶子
            printf("%d ",n);
            //在递归输出另一个叶子之前,将之前记录的在叶子之上的数一并输出,如上图示过程1
            for(int j=0; j<i; j++)
                printf("%d+",set[j]);
            q(n,m-1,i);
    
        }
        if(n>m)
        {
            //如果n大于m,使用m作为分解,则要首先输出m+的形式
            printf("%d+",m);
            //记录下作为树干节点m的值并使i自增
            set[i++]=m;
            //递归输出m+以后的分解
            q(n-m,m,i);
            //递归完毕后需要将数组记录后退一个,回到上一个节点,如上图示过程2
            i--;
            //执行另一个分支,在下一次递归之前输出记录的数据,如上图示过程3
            for(int j=0; j<i; j++)
                printf("%d+",set[j]);
            //递归输出另一分支情况
            q(n,m-1,i);
        }
    
    
    }
    
    int main()
    {
        int n;
        while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        {
            if(n<=0)
            {
                printf("Please input a positive interger.\n\n");
                continue;
            }
            k=n;
            q(n,n,0);
            printf("\n\n");
        }
        return 0;
    }
    

     

     

     

     

     

     

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  • 差分

    2020-09-19 20:00:33
    **一维拆分 ** 巨巨巨实用的的方法,可惜现在才学 会。 给出一段为零数组a,每次给出一段区间,在这段区间上每个元素都+1,求最后数组的大小? 解法:每次给出l,r 使a[l]+1,a[r+1]-1 最后进行前缀和,所得到的前缀...

    一维差分
    给出一段为零数组a,每次给出一段区间,在这段区间上每个元素都+1,求最后数组的大小?
    解法:每次给出l,r 使a[l]+1,a[r+1]-1 最后进行前缀和,所得到的前缀和数组就是答案。
    原理:前缀和的时候 每次的a[r+1]-1把此后的前缀和抵消了。让a[l]+1的影响只停留在a[r]。

    二维差分
    和一维差不多,只是变成了给区间面积+1
    给出二维区间a[x1][y2] a[x2][y2]
    执行

    `
    	a[x1][y1]+1
    	a[x2+1][y1]-1
    	a[x1][y2+1]-1
    	a[x2+1][y2+1]+1
    `
    

    二维前缀和 :
    a[i][j] = a[i][j]+ a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];

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  • 整数拆分问题

    千次阅读 2019-04-17 22:23:47
    根据n和m的关系,考虑下面几种情况: (1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分,即{1}; (2)当m=1时,不论n的值为多少(n>0),只有一种划分,即{1,1,…1,1,1}; (3)当n=m时,根据划分中是否...

    【问题描述】:
    求将正整数n无序拆分成最大数为k的拆分方案个数,要求所有的拆分方案不重复。
    【问题求解】:
    n = 5, k = 5, 对应的拆分方案如下:
    5 = 5
    5 = 4 +1
    5 = 3 + 2
    5 = 3 + 1 + 1
    5 = 2 + 2 + 1
    5 = 2 + 1 + 1 + 1

    一、递归法
    根据n和m的关系,考虑下面几种情况:
    (1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分,即{1};
    (2)当m=1时,不论n的值为多少(n>0),只有一种划分,即{1,1,…1,1,1};
    (3)当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:
    (a)划分中包含n的情况,只有一个,即{n};
    (b)划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分;
    因此,f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。
    (4)当n<m时,f(n,m) = f(n,n)。
    (5)当n>m时,根据划分中是否包含m,可以分为两种情况:
    (a)划分中包含m的情况,即{m,{x1,x2,x3,…,xi}},其中{x1,x2,x3,…,xi}的和为n-m,可能再次出现m,因此是(n-m)的m划分,因此这种划分个数为f(n-m, m);
    (b)划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n, m - 1);
    因此,f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

    def GetPartitionCount(n,m):
        if n == 1 or m == 1:
            return 1
        elif n < m:
            return GetPartitionCount(n,n)
        elif n == m:
            return 1 + GetPartitionCount(n,n-1)
        else:
            return GetPartitionCount(n-m,m) + GetPartitionCount(n,m-1)
    

    二、动态规划

    def GetPartitionCount(n,m):
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(1,m+1):
                if j == 1 or i == 1:
                    dp[i][j] = 1
                elif i == j:
                    dp[i][j] = dp[i][j-1]+1
                elif i<j:
                    dp[i][j]=dp[i][i]
                else:
                    dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]
        return dp[n][m]
    

    三、给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

    def integerBreak(n):
        if n == 0:
            return 0
        elif n == 1:
            return 1
        elif n == 2:
            return 1
        else:
            dp = [0 for _ in range(n+1)]
            dp[0] = 0
            dp[1] = 1
            dp[2] = 1
            for i in range(3,n+1):
                tmp = 0
                for j in range(1,i):
                    tmp = max(tmp,max(j * dp[i - j],j*(i-j)))
                dp[i] = tmp
            return dp[n],dp
    
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