2019-12-04 00:43:18 qq_35306281 阅读数 27
  • 携手STM32CubeMX玩转STM32

    本课程教大家如何利用STM32CubeMX玩转STM32(STM32CubeMX支持的所有型号MCU都适用于本课程)。课程内容分为基础内容和扩展内容,例如:讲解串口时会扩展开讲Xmodem通信协议,讲解ADC/DAC时会扩展讲傅里叶计算,讲解完FLASH操作会扩展将bootloader的编写,讲解完M3的bootloader编写会扩展讲解M0的bootloader...... 内容绝对实在,对于学习以及工作都会有很大的帮助。最终的目的就是让大家学会快速开发STM32并收获与STM32有关的实用技术知识。

    783 人正在学习 去看看 李凯龙

傅里叶变换在图像处理中应用十分广泛。
本文主要是通过实现傅里叶正逆变换,熟悉时域到频域,频域到时域的换算过程。
正变换公式:

在这里插入图片描述逆变换
在这里插入图片描述

#include <stdio.h>
#include <complex>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <assert.h>
#include <opencv2/opencv.hpp>

#define PI 3.1415926
template<class T>
double static_cast_double(T a)
{
	return static_cast<double>(a);
}
template<class T>
float static_cast_float(T a)
{
	return static_cast<float>(a);
}
template<class T>
unsigned char static_cast_uchar(T a)
{
	return static_cast<unsigned char>(a);
}

class dft{
public:
	dft(){};
	virtual ~dft(){};
public:
	cv::Mat dt(const cv::Mat& src, bool backwards = false);
	cv::Mat reduce(const cv::Mat& ft);
protected:
	cv::Mat pt(const cv::Mat& src);
	cv::Mat bt(const cv::Mat& src);
};

cv::Mat dft::pt(const cv::Mat& src)
{

	int M = src.rows;
	int N = src.cols;
	int u, v, m, n;

	std::complex<double> ci{ 0, 1 };
	std::vector<float> real_t;
	std::vector<float> imag_t;
	for (u = 0; u < M; u++)
		for (v = 0; v < N; v++)
		{
			std::complex<double> sum_0(0.0, 0.0);
			for (m = 0; m < M; m++)
			{
				std::complex<double> sum_1(0.0, 0.0);
				for (n = 0; n < N; n++)
				{
					sum_1 += std::exp(-2 * PI*n*v / N*ci) * static_cast_double(src.at<uchar>(m, n));
				}
				sum_1 /= (double)N;
				sum_0 += sum_1 * std::exp(-2 * PI*m*u / M*ci);
			}
			std::complex<double> tmp = sum_0 / (double)M;
			real_t.push_back(static_cast_float(tmp.real()));
			imag_t.push_back(static_cast_float(tmp.imag()));
		}
	cv::Mat s1(real_t);
	s1 = s1.reshape(0, M);
	cv::Mat s2(imag_t);
	s2 = s2.reshape(0, M);
	cv::Mat s[2] = { s1, s2 };
	cv::Mat dst;
	cv::merge(s, 2, dst);
	return dst;
}

cv::Mat dft::bt(const cv::Mat& ft)
{
	assert(ft.channels() == 2);
	int M = ft.rows;
	int N = ft.cols;
	double M_ = static_cast_double(M);
	double N_ = static_cast_double(N);

	std::vector<cv::Mat> ft_mats;
	cv::split(ft, ft_mats);
	int m, n, u, v;
	std::complex<double> ci{ 0.0, 1.0 };
	std::vector<uchar> real_t;
	for (m = 0; m < M; m++)
	for (n = 0; n < N; n++)
	{
		std::complex<double>sum{ 0.0, 0.0 };
		for (u = 0; u < M; u++)
		for (v = 0; v < N; v++)
		{
			float rt = ft_mats[0].at<float>(u, v);
			float it = ft_mats[1].at<float>(u, v);
			std::complex<double> temp{ rt, it };
			sum += temp * std::exp(2 * PI*(m*u / M_ + n*v / N_));
		}
		real_t.push_back(static_cast_uchar(sum.real()));
	}
	cv::Mat real(real_t);
	real = real.reshape(0, M);
	return real;
}

cv::Mat dft::reduce(const cv::Mat& ft)
{
	assert(ft.channels() == 2);
	std::vector<cv::Mat> ft_mats;
	cv::split(ft, ft_mats);
	cv::magnitude(ft_mats[0], ft_mats[1], ft_mats[0]);
	cv::Mat magnitudeImage = ft_mats[0];
	magnitudeImage += cv::Scalar::all(1);
	cv::log(magnitudeImage, magnitudeImage);
	
	//magnitudeImage.convertTo(magnitudeImage, CV_8UC1, 255, 0);

	int cx = magnitudeImage.cols / 2;
	int cy = magnitudeImage.rows / 2;
	cv::Mat q0(magnitudeImage(cv::Rect(0, 0, cx, cy)));
	cv::Mat q1(magnitudeImage(cv::Rect(cx, 0, cx, cy)));
	cv::Mat q2(magnitudeImage(cv::Rect(0, cy, cx, cy)));
	cv::Mat q3(magnitudeImage(cv::Rect(cx, cy, cx, cy)));

	cv:: Mat tmp;
	q0.copyTo(tmp);
	q3.copyTo(q0);
	tmp.copyTo(q3);

	q1.copyTo(tmp);
	q2.copyTo(q1);
	tmp.copyTo(q2);

	cv::normalize(magnitudeImage, magnitudeImage, 0, 1, cv::NORM_MINMAX);

	return magnitudeImage;
}

cv::Mat dft::dt(const cv::Mat& src, bool backwards)
{
	return backwards ? bt(src) : pt(src);
}

int main(int argc, char** argv)
{
	cv::Mat src = cv::imread("apple.jpg", 0);
	cv::resize(src, src, cv::Size(src.cols / 8, src.rows / 8));

	dft* dftops = new dft();

	cv::Mat ft = dftops->dt(src);

	ft = dftops->reduce(ft);

	cv::imshow("fft.jpg", ft);
	cv::waitKey(0);
	delete dftops;
	return 0;
}

在这里插入图片描述

2019-04-23 16:24:29 Eastmount 阅读数 8825
  • 携手STM32CubeMX玩转STM32

    本课程教大家如何利用STM32CubeMX玩转STM32(STM32CubeMX支持的所有型号MCU都适用于本课程)。课程内容分为基础内容和扩展内容,例如:讲解串口时会扩展开讲Xmodem通信协议,讲解ADC/DAC时会扩展讲傅里叶计算,讲解完FLASH操作会扩展将bootloader的编写,讲解完M3的bootloader编写会扩展讲解M0的bootloader...... 内容绝对实在,对于学习以及工作都会有很大的帮助。最终的目的就是让大家学会快速开发STM32并收获与STM32有关的实用技术知识。

    783 人正在学习 去看看 李凯龙

该系列文章是讲解Python OpenCV图像处理知识,前期主要讲解图像入门、OpenCV基础用法,中期讲解图像处理的各种算法,包括图像锐化算子、图像增强技术、图像分割等,后期结合深度学习研究图像识别、图像分类应用。希望文章对您有所帮助,如果有不足之处,还请海涵~

该系列在github所有源代码:https://github.com/eastmountyxz/ImageProcessing-Python
PS:请求帮忙点个Star,哈哈,第一次使用Github,以后会分享更多代码,一起加油。

同时推荐作者的C++图像系列知识:
[数字图像处理] 一.MFC详解显示BMP格式图片
[数字图像处理] 二.MFC单文档分割窗口显示图片
[数字图像处理] 三.MFC实现图像灰度、采样和量化功能详解
[数字图像处理] 四.MFC对话框绘制灰度直方图
[数字图像处理] 五.MFC图像点运算之灰度线性变化、灰度非线性变化、阈值化和均衡化处理详解
[数字图像处理] 六.MFC空间几何变换之图像平移、镜像、旋转、缩放详解
[数字图像处理] 七.MFC图像增强之图像普通平滑、高斯平滑、Laplacian、Sobel、Prewitt锐化详解

前文参考:
[Python图像处理] 一.图像处理基础知识及OpenCV入门函数
[Python图像处理] 二.OpenCV+Numpy库读取与修改像素
[Python图像处理] 三.获取图像属性、兴趣ROI区域及通道处理
[Python图像处理] 四.图像平滑之均值滤波、方框滤波、高斯滤波及中值滤波
[Python图像处理] 五.图像融合、加法运算及图像类型转换
[Python图像处理] 六.图像缩放、图像旋转、图像翻转与图像平移
[Python图像处理] 七.图像阈值化处理及算法对比
[Python图像处理] 八.图像腐蚀与图像膨胀
[Python图像处理] 九.形态学之图像开运算、闭运算、梯度运算
[Python图像处理] 十.形态学之图像顶帽运算和黑帽运算
[Python图像处理] 十一.灰度直方图概念及OpenCV绘制直方图
[Python图像处理] 十二.图像几何变换之图像仿射变换、图像透视变换和图像校正
[Python图像处理] 十三.基于灰度三维图的图像顶帽运算和黑帽运算
[Python图像处理] 十四.基于OpenCV和像素处理的图像灰度化处理
[Python图像处理] 十五.图像的灰度线性变换
[Python图像处理] 十六.图像的灰度非线性变换之对数变换、伽马变换
[Python图像处理] 十七.图像锐化与边缘检测之Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子和Laplacian算子
[Python图像处理] 十八.图像锐化与边缘检测之Scharr算子、Canny算子和LOG算子
[Python图像处理] 十九.图像分割之基于K-Means聚类的区域分割
[Python图像处理] 二十.图像量化处理和采样处理及局部马赛克特效
[Python图像处理] 二十一.图像金字塔之图像向下取样和向上取样

前面一篇文章我讲解了Python图像量化、采样处理及图像金字塔。本文主要讲解图像傅里叶变换的相关内容,在数字图像处理中,有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中,傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号,用来进行图像除噪、图像增强等处理。基础性文章,希望对你有所帮助。同时,该部分知识均为杨秀璋查阅资料撰写,转载请署名CSDN+杨秀璋及原地址出处,谢谢!!

1.图像傅里叶变换
2.Numpy实现傅里叶变换
3.Numpy实现傅里叶逆变换
4.OpenCV实现傅里叶变换
5.OpenCV实现傅里叶逆变换


PS:文章参考自己以前系列图像处理文章及OpenCV库函数,同时参考如下文献:
《数字图像处理》(第3版),冈萨雷斯著,阮秋琦译,电子工业出版社,2013年.
《数字图像处理学》(第3版),阮秋琦,电子工业出版社,2008年,北京.
《OpenCV3编程入门》,毛星云,冷雪飞,电子工业出版社,2015,北京.
百度百科-傅里叶变换
网易云课堂-高登教育 Python+OpenCV图像处理
安安zoe-图像的傅里叶变换
daduzimama-图像的傅里叶变换的迷思----频谱居中
tenderwx-数字图像处理-傅里叶变换在图像处理中的应用
小小猫钓小小鱼-深入浅出的讲解傅里叶变换(真正的通俗易懂)


一.图像傅里叶变换原理

傅里叶变换(Fourier Transform,简称FT)常用于数字信号处理,它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同,对同一个事物的了解角度也随之改变,因此在时域中某些不好处理的地方,在频域就可以较为简单的处理。同时,可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成(或者无限逼近)一系列正弦信号的叠加。”

下面引用李老师 “Python+OpenCV图像处理” 中的一个案例,非常推荐同学们去购买学习。如下图所示,他将某饮料的制作过程的时域角度转换为频域角度。

绘制对应的时间图和频率图如下所示:

傅里叶公式如下,其中w表示频率,t表示时间,为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数f(t)的积分。

傅里叶变换认为一个周期函数(信号)包含多个频率分量,任意函数(信号)f(t)可通过多个周期函数(或基函数)相加合成。从物理角度理解,傅里叶变换是以一组特殊的函数(三角函数)为正交基,对原函数进行线性变换,物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如下图所示,它是由三条正弦曲线组合成。

傅里叶变换可以应用于图像处理中,经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号,而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作,例如图像除噪、图像增强和锐化等。

二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式(15-3)表达,其中f是空间域(Spatial Domain))值,F是频域(Frequency Domain)值

对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后,下面通过Numpy和OpenCV分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。


二.Numpy实现傅里叶变换

Numpy中的 FFT包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换,其函数原型如下所示,该输出结果是一个复数数组(Complex Ndarry)。

fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)

  • a表示输入图像,阵列状的复杂数组
  • s表示整数序列,可以决定输出数组的大小。输出可选形状(每个转换轴的长度),其中s[0]表示轴0,s[1]表示轴1。对应fit(x,n)函数中的n,沿着每个轴,如果给定的形状小于输入形状,则将剪切输入。如果大于则输入将用零填充。如果未给定’s’,则使用沿’axles’指定的轴的输入形状
  • axes表示整数序列,用于计算FFT的可选轴。如果未给出,则使用最后两个轴。“axes”中的重复索引表示对该轴执行多次转换,一个元素序列意味着执行一维FFT
  • norm包括None和ortho两个选项,规范化模式(请参见numpy.fft)。默认值为无

Numpy中的fft模块有很多函数,相关函数如下:

#计算一维傅里叶变换
numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#计算二维的傅里叶变换
numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#计算n维的傅里叶变换
numpy.fft.fftn()
#计算n维实数的傅里叶变换
numpy.fft.rfftn()
#返回傅里叶变换的采样频率
numpy.fft.fftfreq()
#将FFT输出中的直流分量移动到频谱中央
numpy.fft.shift()

下面的代码是通过Numpy库实现傅里叶变换,调用np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布,接着调用np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间,最终通过Matplotlib显示效果图。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv.imread('test.png', 0)

#快速傅里叶变换算法得到频率分布
f = np.fft.fft2(img)

#默认结果中心点位置是在左上角,
#调用fftshift()函数转移到中间位置
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅
fimg = np.log(np.abs(fshift))

#展示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Fourier')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('Fourier Fourier')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图15-2所示,左边为原始图像,右边为频率分布图谱,其中越靠近中心位置频率越低,越亮(灰度值越高)的位置代表该频率的信号振幅越大。


三.Numpy实现傅里叶逆变换

下面介绍Numpy实现傅里叶逆变换,它是傅里叶变换的逆操作,将频谱图像转换为原始图像的过程。通过傅里叶变换将转换为频谱图,并对高频(边界)和低频(细节)部分进行处理,接着需要通过傅里叶逆变换恢复为原始效果图。频域上对图像的处理会反映在逆变换图像上,从而更好地进行图像处理。

图像傅里叶变化主要使用的函数如下所示:

#实现图像逆傅里叶变换,返回一个复数数组
numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#fftshit()函数的逆函数,它将频谱图像的中心低频部分移动至左上角
numpy.fft.fftshift()
#将复数转换为0至255范围
iimg = numpy.abs(逆傅里叶变换结果)

下面的代码分别实现了傅里叶变换和傅里叶逆变换。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
res = np.log(np.abs(fshift))

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#展示结果
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图15-4所示,从左至右分别为原始图像、频谱图像、逆傅里叶变换转换图像。


四.OpenCV实现傅里叶变换

OpenCV 中相应的函数是cv2.dft()和用Numpy输出的结果一样,但是是双通道的。第一个通道是结果的实数部分,第二个通道是结果的虚数部分,并且输入图像要首先转换成 np.float32 格式。其函数原型如下所示:

dst = cv2.dft(src, dst=None, flags=None, nonzeroRows=None)

  • src表示输入图像,需要通过np.float32转换格式
  • dst表示输出图像,包括输出大小和尺寸
  • flags表示转换标记,其中DFT _INVERSE执行反向一维或二维转换,而不是默认的正向转换;DFT _SCALE表示缩放结果,由阵列元素的数量除以它;DFT _ROWS执行正向或反向变换输入矩阵的每个单独的行,该标志可以同时转换多个矢量,并可用于减少开销以执行3D和更高维度的转换等;DFT _COMPLEX_OUTPUT执行1D或2D实数组的正向转换,这是最快的选择,默认功能;DFT _REAL_OUTPUT执行一维或二维复数阵列的逆变换,结果通常是相同大小的复数数组,但如果输入数组具有共轭复数对称性,则输出为真实数组
  • nonzeroRows表示当参数不为零时,函数假定只有nonzeroRows输入数组的第一行(未设置)或者只有输出数组的第一个(设置)包含非零,因此函数可以处理其余的行更有效率,并节省一些时间;这种技术对计算阵列互相关或使用DFT卷积非常有用

注意,由于输出的频谱结果是一个复数,需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为0到255的范围。其函数原型如下:

cv2.magnitude(x, y)

  • x表示浮点型X坐标值,即实部
  • y表示浮点型Y坐标值,即虚部
    最终输出结果为幅值,即:

完整代码如下所示:

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

#将频谱低频从左上角移动至中心位置
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

#频谱图像双通道复数转换为0-255区间
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))

#显示图像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

输出结果如图15-5所示,左边为原始“Lena”图,右边为转换后的频谱图像,并且保证低频位于中心位置。


五.OpenCV实现傅里叶逆变换

在OpenCV 中,通过函数cv2.idft()实现傅里叶逆变换,其返回结果取决于原始图像的类型和大小,原始图像可以为实数或复数。其函数原型如下所示:

dst = cv2.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]])

  • src表示输入图像,包括实数或复数
  • dst表示输出图像
  • flags表示转换标记
  • nonzeroRows表示要处理的dst行数,其余行的内容未定义(请参阅dft描述中的卷积示例)

完整代码如下所示:

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift = np.fft.fftshift(dft)
res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)
iimg = cv2.idft(ishift)
res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#显示图像
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图15-6所示,第一幅图为原始“Lena”图,第二幅图为傅里叶变换后的频谱图像,第三幅图为傅里叶逆变换,频谱图像转换为原始图像的过程。


六.总结

傅里叶变换的目的并不是为了观察图像的频率分布(至少不是最终目的),更多情况下是为了对频率进行过滤,通过修改频率以达到图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、压缩加密等目的。下一篇文章,作者将结合傅里叶变换和傅里叶逆变换讲解它的应用。

时也,命也。
英语低分数线一分,些许遗憾,但不气馁,更加努力。雄关漫道真如铁,而今迈过从头越,从头越。苍山如海,残阳如血。感谢一路陪伴的人和自己。

无论成败,那段拼搏的日子都很美。结果只会让我更加努力,学好英语。下半年沉下心来好好做科研写文章,西藏之行,课程分享。同时,明天的博士考试加油,虽然裸泳,但也加油!还有春季招考开始准备。

最后补充马刺小石匠精神,当一切都看起来无济于事的时候,我去看一个石匠敲石头.他一连敲了100次,石头仍然纹丝不动。但他敲第101次的时候,石头裂为两半。可我知道,让石头裂开的不是那最后一击,而是前面的一百次敲击的结果。人生路漫漫,不可能一路一帆风顺,暂时的不顺只是磨练自己的必经之路,夜最深的时候也是距黎明最近的时刻,经历过漫漫长夜的打磨,你自身会更加强大。

最后希望这篇基础性文章对您有所帮助,如果有错误或不足之处,请海涵!

(By:Eastmount 2019-04-23 周二下午6点写于花溪 https://blog.csdn.net/Eastmount )

2018-05-03 16:40:43 ssqqssqq 阅读数 1964
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    本课程教大家如何利用STM32CubeMX玩转STM32(STM32CubeMX支持的所有型号MCU都适用于本课程)。课程内容分为基础内容和扩展内容,例如:讲解串口时会扩展开讲Xmodem通信协议,讲解ADC/DAC时会扩展讲傅里叶计算,讲解完FLASH操作会扩展将bootloader的编写,讲解完M3的bootloader编写会扩展讲解M0的bootloader...... 内容绝对实在,对于学习以及工作都会有很大的帮助。最终的目的就是让大家学会快速开发STM32并收获与STM32有关的实用技术知识。

    783 人正在学习 去看看 李凯龙

分数阶傅里叶变换在信号检测与图像处理中的应用研究(李琼)

文章地址:paper
摘要:分数阶傅里叶变换是传统傅里叶变换的一种广义形式,很适合处理非平稳信号,尤其是chirp类信号,具有良好的时频域特性。通过对分数域中的图像能量和幅度相位分布的分析,将其应用到图像增强中,有效的提高图像的质量。

发展历史

  • Wiener等人最早开始研究分数阶傅里叶变换,他对傅里叶变换中的特征值进行了修正,从而使得其比普通傅里叶变换具有更加完善的形式,是分数阶傅里叶变换的最初理论。
  • 1937年, Condon 独自研究了分数阶傅里叶变换的基本概念,同时也是第一个直接研究FRFT定义的人;
  • 1961年,Bargmann讨论了FRFT的基本定义,并提出FRFT的两种等价的定义形式:Hermit多项式和积分变换;
  • 1980年,Namias从特征值域特征函数的角度,重新给出了FRFT的定义,并把FRFT定义为传统傅里叶变换的分数幂形式
  • 1993年,Mendlovic,Lohamann和Ozaktas给出了FRFT的光学实现并将其广泛应用于光学领域中,但因缺乏快速算法,始终未受到重视;
  • 1993年,Almeida提出FRFT可以解释维时频平面旋转;
  • 1996年,Ozaktas提出一种计算量与FFT相当的快速算法以后,FRFT才广泛引起研究者的注意

特性

  • 将信号从时域变换到时频平面,同时反映信号的时域和频域信息,有利于全面分析信号的局部细微特征
  • 是一种线性变换,用分数域中的单一变量表示信号的时频信息且没有交叉项的干扰
  • 可看作是信号在时频面上的坐标轴绕原点逆时针转动任意角度后所形成分数域上的表示
  • 保留傅里叶变换的优良特性,而且还兼有自身独特的优势
  • 线性,旋转相加性,可逆性,酉性,Parseval关系式、Wigner,时移特性,频移特性、尺度特性

二维分数阶傅里叶变换

二维离散分数阶傅里叶变换可分别由x,y方向的一维离散分数阶傅里叶变换共同实现,具体实现步骤:

  • 先对二维离散信号f的列向量做一维离散FRFT,得到F1
  • 对F1的行向量做一维离散FRFT,得到F2
  • 对F2转置,得到f的二维离散分数阶傅里叶变换

基于分数阶傅里叶变换的图像分析

任意阶次的FRFT都同时包含不同程度的时频信息,将其用于图像分析中,有助于在时频面上更加深入的分析图像的能量分布,幅度和相位信息。

分数阶变换域中图像的能量分布

分数域中图像能量分布的特点:从四周向中心聚积,聚积程度取决于阶次p接近傅里叶变换的程度(p=1)。
分布规律:

  • 随着p的增大,能量越来越集中,当p=0.7左右,分数域的能量在此中心区域已经达到了90%以上。
  • FRFT包含图像的时频信息,随着p的改变,能量在时频域的分配也发生变换,当p<0.5时,将近又50%的能量分散在时域,当p>0.5时,频域能量分布呈明显上升趋势,当p=1时,图像的能量聚集性达到最强。

分数阶傅里叶变换域中的图像的幅度和相位信息

相位:

  • 当阶次较小时(p趋近于0),可以明显看到图片的一些轮廓特征,随着变换阶次 不断增大,纹理信息逐渐减少。表明相位信息所包含的时域信息随着变换阶次的增大而减少,而频域信息随着变化阶次的增大而增大。

幅度:
当阶次较小时很明显的能看清图像的轮廓和细节信息,随着阶次变大,图像逐渐变得模糊,能量也越来越集中。

分数阶傅里叶逆变换之后的幅度和相位

相位:
从不同相位恢复的图像中均可以明显观察到原图像的轮廓边缘信息,随着阶次逐渐变大,图像的边缘信息越来越清晰,可理解为图像经过了不同截止频率的高通滤波器。
幅度:
从幅度恢复的图像中看不出与原图像时域相关的信息,图像的边缘信息主要包含在相位信息中,背景信息主要包含在幅度信息中。

在图像增强中的应用

分数阶本身具有丰富的时频信息和灵活的参数配置

图像增强

目的:增强图像中感兴趣的信息,减少或去除不感兴趣信息的处理方法,改善图像质量、增大不同物体特征的对比度、丰富细节信息、使得有用信息看起来更加清晰,更加容易识别。主要分为空域增强和频域增强:
空域增强:点运算(灰度变换法、直方图均衡法)、领域运算(图像锐化、图像平滑)
频域增强:低频和高频滤波、带通滤波、小波变换(优点:全局性,对图像的所有像素进行处理,能够更好的体现图像的整体特性)
分数阶傅里叶变换变换后图像边缘保持能力更高。

2019-09-28 16:21:13 qq_43294951 阅读数 193
  • 携手STM32CubeMX玩转STM32

    本课程教大家如何利用STM32CubeMX玩转STM32(STM32CubeMX支持的所有型号MCU都适用于本课程)。课程内容分为基础内容和扩展内容,例如:讲解串口时会扩展开讲Xmodem通信协议,讲解ADC/DAC时会扩展讲傅里叶计算,讲解完FLASH操作会扩展将bootloader的编写,讲解完M3的bootloader编写会扩展讲解M0的bootloader...... 内容绝对实在,对于学习以及工作都会有很大的帮助。最终的目的就是让大家学会快速开发STM32并收获与STM32有关的实用技术知识。

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任务要求

对给定的第照度照片进行灰度化,计算并显示以上低照度图像的灰度直方图和离散傅里叶变换频谱幅度图;对以上低照度图像分别进行直方图均衡化和同态滤波操作,并对两种算法的最终效果

本文给出对于直方图、二维离散傅里叶变换、同态滤波、二维傅里叶变换逆变换的源码实现

虽然说matlab上有现成的函数,对于初学者而言,通过自己编写这些函数,可以对数字图像的处理过程以及实现具体步骤更加理解

首先是直方图以及均衡化

直方图说白了就是各个灰度值所占的个数,对于这部分程序的实现,就可以通过遍历数字图像,循环计数就可以了,代码如下

function hist=count_hist(picture) %计算直方图,输入变量为灰度值,返回矩阵为直方图
    Sum=zeros(2,256);%第一行表示的是出现的次数,第二行表示的是0~255供给256个灰度值
    for i=1:256
        Sum(2,i)=i-1;
    end   %第二行的初始化过程
    for i=1:size(picture,1)
        for j=1:size(picture,2)
            Sum(1,picture(i,j)+1)=Sum(1,picture(i,j)+1)+1;%由于灰度图像值是0~255,但索引为1~256,所以索引的时候需要编程X(i,j)+1
        end
    end  %对第一行进行赋值
    hist=Sum;
end

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
上图是自己编写程序实现的直方图,下图是matlab自带函数imhist所显示的直方图

直方图均衡化,顾名思义就是想让图像的直方图看起来更加均衡,不至于在某一个灰度值出现过高的情况
在这里插入图片描述

可能这样子还是不好理解,我们举一个实例来演示一下直方图均衡化
比如现在有图像
在这里插入图片描述
那我们可以得到他的直方图
在这里插入图片描述
由此可以算出每个灰度的概率
在这里插入图片描述
然后我们进行概率的累加,可以认为计算灰度值小于等于i(当前灰度值)的概率,我们得到概率累积分布
在这里插入图片描述
也就是
HS=[0.12, 0.20, 0.36, 0.52, 0.56, 0.60, 0.76, 0.80, 0.88, 1.00]

我们对其乘255得
HS=[30.6000 51.0000 91.8000 132.6000 142.8000 153.0000 193.8000 204.0000 224.4000 255.0000]

然后再四舍五入,可以得到
HS=[31 51 92 133 143 153 194 204 224 255]

原图[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
原图和HS形成映射

得到映射后的图像为
在这里插入图片描述

代码的思路也是这样

function [new_picture,new_hist]=hist_equal(picture,hist)%直方图均衡化
    Y=hist(1,:)/(size(picture,1)*size(picture,2));%将得到的直方图求每个灰度值所对应的概率
    for i=2:length(hist(1,:))
        Y(i)=Y(i-1)+Y(i);      %这部分是变成概率密度函数,就是进行概率的累加
    end   
    Y=Y*255;%乘以灰度值255
    Y=round(Y);%取整
    new_picture=ones(size(picture,1),size(picture,2));%建立新的图像
    for i=1:size(picture,1)
        for j=1:size(picture,2)
            new_picture(i,j)=Y(picture(i,j)+1);   %同样,由于灰度图像值是0~255,但索引为1~256,所以索引的时候需要编程picture(i,j)+1
        end
    end
    new_picture=uint8(new_picture);%由于上面的到的类型是double行,imshow的时候需要unit8型的变量
    new_hist=count_hist(new_picture);%均衡化后的直方图
end

对题目中给出的图片,我们将其均衡化后得到
在这里插入图片描述

离散傅里叶变换

在这里我没有用到快速傅里叶变换,虽然这种耗时短
二维快速傅里叶变换的时间复杂度约为O(n2)
而普通的二维傅里叶变换就需要O(n4)
由于用的是matlab,我们可以通过进行矩阵操作来减少用时
我们可以由二维傅里叶表达式
在这里插入图片描述
将他换成矩阵
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
G3 G4分别为G1,G2的逆
同时,为了使得频谱图便于观察,我们将他进行中心化,也就是
f(x,y)*(-1)^(x+y)
代码如下

function FFT_picture=FFT(picture)  %变换并且中心化
    G1=zeros(size(picture,1),size(picture,1));   %前变换矩阵
    G2=zeros(size(picture,2),size(picture,2));   %后变换矩阵
    picture1=double(picture);   %将图像uint8格式转换成double型,便于进行复数相乘
    for i=1:size(picture,1)
        for j=1:size(picture,2)
            picture1(i,j)=picture1(i,j)*exp(complex(0,1)*2*pi*(i+j)/2);%对原图像进行中心化预处理
        end
    end
    for i=1:size(picture,1)   %前变换矩阵的赋值
        for j=1:size(picture,1)
            G1(i,j)=exp(-complex(0,1)*2*pi*(i-1)*(j-1)/size(picture,1));
        end
    end
    for i=1:size(picture,2)   %后变换矩阵的赋值
        for j=1:size(picture,2)
            G2(i,j)=exp(-complex(0,1)*pi*2*(i-1)*(j-1)/size(picture,2));
        end
    end
    FFT_picture=G1*picture1*G2;   %二维傅里叶变换并且进行了中心化,返回的是复数型矩阵,要是想进行显示...
                                  %需要在程序中运行   imshow(log(abs(FFT_picture)+1),[])
end

逆变换:

function IFFT_picture=IFFT(f_picture)  %逆变换并且退中心化
    G1=zeros(size(f_picture,1),size(f_picture,1));%前变换矩阵
    G2=zeros(size(f_picture,2),size(f_picture,2));%后变换矩阵
    for i=1:size(f_picture,1)   %前变换矩阵赋初值
        for j=1:size(f_picture,1)
            G1(i,j)=exp(complex(0,1)*2*pi*(i-1)*(j-1)/size(f_picture,1))/size(f_picture,1);
        end
    end
    for i=1:size(f_picture,2)  %后变换矩阵赋初值
        for j=1:size(f_picture,2)
            G2(i,j)=exp(complex(0,1)*pi*2*(i-1)*(j-1)/size(f_picture,2))/size(f_picture,2);
        end
    end
    IFFT_picture=G1*f_picture*G2;   %进行逆变换
    for i=1:size(f_picture,1)  %退中心化,但是这个时候的到的矩阵还是复数矩阵
        for j=1:size(f_picture,2)
            IFFT_picture(i,j)=IFFT_picture(i,j)/exp(complex(0,1)*2*pi*(i+j)/2);
        end
    end
%     IFFT_picture=uint8(IFFT_picture);  %变换成uint8格式,便于之间输出逆变换的图像
end

频谱图如下
在这里插入图片描述
再进行逆变换
在这里插入图片描述
其实这张图片就是A图的图像

同态滤波

直方图均衡化是在空域上进行的操作,对于人的视觉对比度不够强烈
我们希望能够增强对比度,进而我们寻求了一种在频域上进行增强的滤波方法
人之所以可以看到某个景物,是因为有光辐射能照在该景物上,经过景物的反射或透射作用之后,在人的视网膜上产生感知信号,该感知信号传送到大脑后形成对景物的理解。
按照光图像的成像原理,可以对一幅图像进行如下的简单建模:
在这里插入图片描述
即把图像亮度?(?,?)看成是由入射分量(入射到景物上的光强度)?(?,?)和反射分量(景物反射的光强度)?(?,?)组成

当灰度动态范围太大时,由于人眼可以分辨的亮度变化范围是有限的,往往会因为很高的灰度值区域的信号掩盖暗区的信号,使得目标区域的细节,特别是暗区的细节难以辨认。

一幅图像所表示的灰度变化的最大可能范围(即画面的动态范围)主要取决于入射光的强度,画面的对比度则主要取决于图像中的景物特性。

同态滤波是一种在频域中同时进行图像对比度增强和压缩图像亮度范围的滤波方法;
其基本思想是减少入射分量?(?,?),并同时增加反射分量?(?,?)来改善图像?(?,?)的显示效果;
?(?,?)在空间上变化缓慢,其频谱集中在低频段,?(?,?)反映图像的细节和边缘,其频谱集中在高频段。
在这里插入图片描述
对成像模型两边取对数:???(?,?)=???(?,?)+???(?,?)
两边取傅里叶变换:?(?,?)=?(?,?)+?(?,?)
用一频域函数?(?,?)处理?(?,?):
?(?,?)?(?,?)=?(?,?)?(?,?)+?(?,?)?(?,?)
反变换到空域:?_? (?,?)=?_? (?,?)+?_? (?,?)
两边取指数:
?(?,?)=???|?_? (?,?)|=???|?_? (?,?)|∙???|?_? (?,?)|

但是这种方法需要给定滤波器,而且滤波器要有高通性质,还要保存一些低频成分,需要不断地调节参数来改善视觉效果
本文给出的是高斯型滤波器,当然也可以采用巴特沃斯滤波器

function HF_picture=HF(picture)
    picture=double(picture);%对于原图像进行double化,方便后面进行复数运算
    LN_picture=log(picture+1);%取对数
    LNF_picture=FFT(LN_picture);%进行傅里叶正变换
    m=size(picture,1);
    n=size(picture,2);
    H=zeros(m,n);
    D0=10;
    rh=1.95;
    rl=0.5;
    c=1.5;
    for i=1:m
        for j=1:n
            H(i,j)=(rh-rl)*(1-exp(-c*((i-m/2)^2+(j-n/2)^2))/D0^2)+rl;  %同态滤波器的实现
        end
    end
    HFLNF_picture=LNF_picture.*H;  %频域滤波
    IFFTHFLNF_picture=IFFT(HFLNF_picture);%傅里叶逆变化
    HF_picture=exp(IFFTHFLNF_picture)-1;%在时域取指数,由于最初取对数的时候+1,取指数的时候需要进行减一操作
    HF_picture=uint8(HF_picture);%类型转换为八位无符号整数uint8
end

经过一系列的实验可以得到一组比较好的参数,结果如下图
在这里插入图片描述
整个任务也就完成了
下面是全部代码,已用matlab 2018a测试成功

clc,clear;
picture=imread('I:\A.jpg');%读取图像的信息
picture=rgb2gray(picture);%将图像信息进行灰度化
hist=count_hist(picture);%计算直方图
% stem(H(2,:),H(1,:),'.');%打印直方图
% ylim([0 2*10^4])%限制直方图的Y值的上界限
% imhist(Y)%matlab自带的直方图显示图
[new_picture,new_hist]=hist_equal(picture,hist);
% stem(new_hist(2,:),new_hist(1,:),'.');
% ylim([0 2*10^4])
FFT_picture=FFT(picture);
% imshow(log(abs(FFT_picture)+1),[])
IFFT_picture=IFFT(FFT_picture);

% F1=fft2(picture);
% F1=fftshift(F1);
HF_picture=HF(picture);
imshow(HF_picture)
function hist=count_hist(picture) %计算直方图,输入变量为灰度值,返回矩阵为直方图
    Sum=zeros(2,256);%第一行表示的是出现的次数,第二行表示的是0~255供给256个灰度值
    for i=1:256
        Sum(2,i)=i-1;
    end   %第二行的初始化过程
    for i=1:size(picture,1)
        for j=1:size(picture,2)
            Sum(1,picture(i,j)+1)=Sum(1,picture(i,j)+1)+1;%由于灰度图像值是0~255,但索引为1~256,所以索引的时候需要编程X(i,j)+1
        end
    end  %对第一行进行赋值
    hist=Sum;
end

function [new_picture,new_hist]=hist_equal(picture,hist)%直方图均衡化
    Y=hist(1,:)/(size(picture,1)*size(picture,2));%将得到的直方图求每个灰度值所对应的概率
    for i=2:length(hist(1,:))
        Y(i)=Y(i-1)+Y(i);      %这部分是变成概率密度函数,就是进行概率的累加
    end   
    Y=Y*255;%乘以灰度值255
    Y=round(Y);%取整
    new_picture=ones(size(picture,1),size(picture,2));%建立新的图像
    for i=1:size(picture,1)
        for j=1:size(picture,2)
            new_picture(i,j)=Y(picture(i,j)+1);   %同样,由于灰度图像值是0~255,但索引为1~256,所以索引的时候需要编程picture(i,j)+1
        end
    end
    new_picture=uint8(new_picture);%由于上面的到的类型是double行,imshow的时候需要unit8型的变量
    new_hist=count_hist(new_picture);%均衡化后的直方图
end

function FFT_picture=FFT(picture)  %变换并且中心化
    G1=zeros(size(picture,1),size(picture,1));   %前变换矩阵
    G2=zeros(size(picture,2),size(picture,2));   %后变换矩阵
    picture1=double(picture);   %将图像uint8格式转换成double型,便于进行复数相乘
    for i=1:size(picture,1)
        for j=1:size(picture,2)
            picture1(i,j)=picture1(i,j)*exp(complex(0,1)*2*pi*(i+j)/2);%对原图像进行中心化预处理
        end
    end
    for i=1:size(picture,1)   %前变换矩阵的赋值
        for j=1:size(picture,1)
            G1(i,j)=exp(-complex(0,1)*2*pi*(i-1)*(j-1)/size(picture,1));
        end
    end
    for i=1:size(picture,2)   %后变换矩阵的赋值
        for j=1:size(picture,2)
            G2(i,j)=exp(-complex(0,1)*pi*2*(i-1)*(j-1)/size(picture,2));
        end
    end
    FFT_picture=G1*picture1*G2;   %二维傅里叶变换并且进行了中心化,返回的是复数型矩阵,要是想进行显示...
                                  %需要在程序中运行   imshow(log(abs(FFT_picture)+1),[])
end

function IFFT_picture=IFFT(f_picture)  %逆变换并且退中心化
    G1=zeros(size(f_picture,1),size(f_picture,1));%前变换矩阵
    G2=zeros(size(f_picture,2),size(f_picture,2));%后变换矩阵
    for i=1:size(f_picture,1)   %前变换矩阵赋初值
        for j=1:size(f_picture,1)
            G1(i,j)=exp(complex(0,1)*2*pi*(i-1)*(j-1)/size(f_picture,1))/size(f_picture,1);
        end
    end
    for i=1:size(f_picture,2)  %后变换矩阵赋初值
        for j=1:size(f_picture,2)
            G2(i,j)=exp(complex(0,1)*pi*2*(i-1)*(j-1)/size(f_picture,2))/size(f_picture,2);
        end
    end
    IFFT_picture=G1*f_picture*G2;   %进行逆变换
    for i=1:size(f_picture,1)  %退中心化,但是这个时候的到的矩阵还是复数矩阵
        for j=1:size(f_picture,2)
            IFFT_picture(i,j)=IFFT_picture(i,j)/exp(complex(0,1)*2*pi*(i+j)/2);
        end
    end
%     IFFT_picture=uint8(IFFT_picture);  %变换成uint8格式,便于之间输出逆变换的图像
end

function HF_picture=HF(picture)
    picture=double(picture);%对于原图像进行double化,方便后面进行复数运算
    LN_picture=log(picture+1);%取对数
    LNF_picture=FFT(LN_picture);%进行傅里叶正变换
    m=size(picture,1);
    n=size(picture,2);
    H=zeros(m,n);
    D0=10;
    rh=1.95;
    rl=0.5;
    c=1.5;
    for i=1:m
        for j=1:n
            H(i,j)=(rh-rl)*(1-exp(-c*((i-m/2)^2+(j-n/2)^2))/D0^2)+rl;  %高斯滤波器的实现
        end
    end
    HFLNF_picture=LNF_picture.*H;  %频域滤波
    IFFTHFLNF_picture=IFFT(HFLNF_picture);%傅里叶逆变化
    HF_picture=exp(IFFTHFLNF_picture)-1;%在时域取指数,由于最初取对数的时候+1,取指数的时候需要进行减一操作
    HF_picture=uint8(HF_picture);%类型转换为八位无符号整数uint8
end


2019-07-03 14:00:02 weixin_42902413 阅读数 170
  • 携手STM32CubeMX玩转STM32

    本课程教大家如何利用STM32CubeMX玩转STM32(STM32CubeMX支持的所有型号MCU都适用于本课程)。课程内容分为基础内容和扩展内容,例如:讲解串口时会扩展开讲Xmodem通信协议,讲解ADC/DAC时会扩展讲傅里叶计算,讲解完FLASH操作会扩展将bootloader的编写,讲解完M3的bootloader编写会扩展讲解M0的bootloader...... 内容绝对实在,对于学习以及工作都会有很大的帮助。最终的目的就是让大家学会快速开发STM32并收获与STM32有关的实用技术知识。

    783 人正在学习 去看看 李凯龙

    傅里叶变换经常被用来分析不同滤波器的频率特性。可以使用2D傅里叶变换(DFT)分析图像的频域特性,实现DFT的一个快速算法被称为快速傅里叶变换(FFT)。

1. Numpy中的傅里叶变换

    函数np.fft.fft2()可以对信号进行频率转换,输出结果是一个复杂的数组。

  • 第一个参数是输入图像,要求灰度图;
  • 第二个参数是可选的,决定输出数组的大小;一般输出数组和输入数组一样大,但是如果输出图像比输入图像大,输入图像就需要在进行FFT前补0;如果小,输入图像会被切割。

1)将频率为0的部分(直流分量)从图像的左上角移动到图像中心

用np.fft.fftshift()实现,代码如下:

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv2.imread("/~/logo.jpg", 0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Magnititude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

结果图:
Numpy傅里叶变换

2)频域变换

    使用功能一个60*60的矩形窗口对图像进行掩模操作从而去除低频分量;然后在进行逆平移操作,最后进行FFT逆变换。代码如下:

rows, cols = img.shape
crow, ccol = rows//2, cols//2
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
#取绝对值
img_back = np.abs(img_back)
plt.subplot(131), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132), plt.imshow(img_back, cmap='gray')
plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133), plt.imshow(img_back)
plt.title('Result in IET'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

结果图:
频域变换

从结果图看,高通滤波其实是一种边界检测操作。且由于用矩形窗口滤波出现了振铃效应,所以实际应用中,最好用高斯窗口进行滤波。

2. OpenCV中的傅里叶变换

1)直流分量平移

dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('magnitude spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

在这里插入图片描述

2)逆DFT

  • 先实现HPF(高通滤波)
  • 再做LPF(低通滤波)将高频部分去除
rows, cols = img.shape
crow, ccol = rows//2, cols//2
#创建掩模,中心部分是1,其余为0
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1
# 逆DFT
fshift = dft_shift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv2.idft(f_ishift)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(img_back, cmap='gray')
plt.title('img back'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

在这里插入图片描述

cv2.dft() 和cv2.idft()要比Numpy快,但是Numpy更加用户友好。

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