相机坐标系_相机坐标系坐标归一化 - CSDN
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  • 世界坐标系、相机坐标系、图像平面坐标系

    万次阅读 多人点赞 2018-07-12 18:04:09
    一、四个坐标系简介和转换 相机模型为以后一切标定算法的关键,只有这边有相当透彻的理解,对以后的标定算法才能有更好的理解。...我觉得首先我们要理解相机模型中的四个平面坐标系的关系:像素平面坐标系(u,v...

    一、四个坐标系简介和转换

    相机模型为以后一切标定算法的关键,只有这边有相当透彻的理解,对以后的标定算法才能有更好的理解。本人研究了好长时间,几乎每天都重复看几遍,最终才会明白其推导过程。
         我觉得首先我们要理解相机模型中的四个平面坐标系的关系:像素平面坐标系(u,v)、像平面坐标系(图像物理坐标第(x,y)、相机坐标系(Xc,Yc,Zc)和世界坐标系(Xw,Yw,Zw),在每一篇介绍相机模型的文章中都有介绍。
         我刚开始理解时,看着那一堆的公式十分的头晕,我相信很多初学者和我一样,但仔细想想,只不过是,我们假设了一些参数,使四个坐标系之间的坐标联系起来,这样我们就可以从拍摄的图片上一个点坐标一路反推出世界中的那个点的坐标,这样就达到了我们的目的,三维重建。而那些我们假设的参数,就是我们要标定的内外参数。


    1、像素坐标与像平面坐标系之间的关系 
          确定他们的关系之前,我们可以假设每一个像素在u轴和v轴方向上的物理尺寸为dx和dy。仔细看下他们的模型可以推出以下公式(这个还是比较好理解的):






    解释:1、dx,dy,u0,v0其实都是我们假设出来的参数,dxdy表示感光芯片上像素的实际大小,是连接像素坐标系和真实尺寸坐标系的,u0,v0是图像平面中心,最终是要我们求的内外参数。
    得出这个公式后我们可以运用线性代数的知识把方程用矩阵形式表示:

    当然我们也可以用另一种矩阵形式表示:

    2、相机坐标系与世界坐标系之间的关系 

         这两个坐标系之间的关系我们可以旋转矩阵R和平移矩阵T来得到以下关系:


                                           

                                                                        公式4

       解释:1、 在这个公式中,R为3*3矩阵,T为3*1,0为(0,0,0),简化用Lw表示后为4*4矩阵。

    3、成像投影关系(相机坐标系与像平面坐标系) 


         在相机模型中我们可以得到以下公式:


                                           

                                                                     公式5

               解释:1、

    同样我们用矩阵形式表示:

                                              

                                                                           公式6


    4、得到公式


    而我们可以将以上公式综合一下就可以得到:

      

    因此,内参数矩阵可以表示为:

    =


    外参矩阵可以表示为:,由旋转矩阵R和平移向量T组成


    当然在好多资料上都有这种做法:



    上图中表示的情况是像素坐标系和图像物理坐标系的两个坐标轴不是平行的关系,像素坐标系的两个坐标轴也不是垂直90°的关系,而图像物理坐标系的两个坐标轴是垂直关系。所以,我们在转换两个坐标轴的坐标之间的关系时就必须考虑像素坐标系两个坐标轴之间的夹角了。就有了上面的不同的内参矩阵,理解了就好了。


    二、图像坐标:我想和世界坐标谈谈(B)

             玉米将在这篇博文中,对图像坐标与世界坐标的这场对话中涉及的第二个问题:谈话方式,进行总结。世界坐标是怎样变换进摄像机,投影成图像坐标的呢?

            玉米做了一个简单的图示,在这里做一个提纲。图中显示,世界坐标系通过刚体变换到达摄像机坐标系,然后摄像机坐标系通过透视投影变换到达图像坐标系。可以看出,世界坐标与图像坐标的关系建立在刚体变换和透视投影变换的基础上。为了奖励刚体变和透视投影变换沟通了“世界上最远的距离”,玉米在图上奖励了他们两朵小红花。哈哈


     首先,让我们来看一下刚体变换是如何将世界坐标系与图像坐标系联系起来的吧。这里,先对刚体变换做一个介绍:

            刚体变换(regidbody motion):三维空间中, 当物体不发生形变时,对一个几何物体作旋转, 平移运动,称之为刚体变换

    因为世界坐标系和摄像机坐标都是右手坐标系,所以其不会发生形变。我们想把世界坐标系下的坐标转换到摄像机坐标下的坐标,如下图所示,可以通过刚体变换的方式。空间中一个坐标系,总可以通过刚体变换转换到另外一个个坐标系的。转一转,走一走,就到另外一个坐标系下了。以前可能是面朝大海,经过平移旋转,最终可能只能面朝冰山了,哈哈


    下面让我来看一下,二者之间刚体变化的数学表达。


    其中,XC代表摄像机坐标系,X代表世界坐标系。R代表旋转,T代表平移。R、T与摄像机无关,所以称这两个参数为摄像机的外参数(extrinsic parameter)可以理解为两个坐标原点之间的距离,因其受x,y,z三个方向上的分量共同控制,所以其具有三个自由度。

             R则为分别绕XYZ三轴旋转的效果之和。如下面所示:



     R=r1*r2*r3.其由三个方向的θ控制,故具有三个自由度。

               好了,刚体变换就讲完了。大家应该都了解,世界坐标系到摄像机坐标系之间的转换过程了吧。

              接下来,让我们看看摄像机坐标下的坐标如何投影到图像坐标系下,最终变为照片中的一个像素。这其中包含两个过程:一是从摄像机坐标到“空间图像坐标”(x,y)所发生的透视投影;二是从“连续图像坐标”到“离散图像坐标”(u,v)。后者我们已经在第一篇博文中解释过。所以在这里,主要介绍一下透视投影。

             透视投影(perspective projection): 用中心投影法将形体投射到投影面上,从而获得的一种较为接近视觉效果的单面投影图。有一点像皮影戏。它符合人们心理习惯,即离视点近的物体大,离视点远的物体小,不平行于成像平面的平行线会相交于消隐点(vanish point)。

             啰嗦这么多,其实大家看看示意图,看看公式,秒懂。


      以图中B(XB,YB)点为例,在小孔成像摄像机模型下(几何分析的最常用模型)。这里的f为摄像机的焦距,其属于摄像机的内参数(intrinsic parameter)。其在成像平面上的投影点b(xb,yb)的坐标利用简单的相似三角形比例关系很容易求出:


    上面两式也阐明了摄像机坐标与图像坐标之间的透视投影关系。

                好吧,现在玉米已经把图像坐标与世界坐标之间的这场对话所需经历的三个波折的过程加以了解释。即:刚体变换、透视投影、(x,y)换(u,v)(ps.这个在上一篇博文中讲过)。接下来玉米用一张图把三个过程连接起来。实现从世界坐标(X,Y,Z)到(u,v)之间的转换。让图像坐标与世界坐标直接对话。

             下图中的转换关系,都是用齐次坐标表达的,大家会发现这样的表达非常整洁。

             其实这张图显示的过程还有一个名字:摄像机模型(camera model)。其实也就是摄像机的几何模型了。

             将三者相乘,可以把这三个过程和在一起,写成一个矩阵:


    P就是世界坐标到图像坐标的直接联系人,P就表示了一个投影相机,有下面公式:


    注意在表示齐次坐标时,需要在符号上面加个小帽子。除去齐次坐标控制位P23P具有11个自由度。


           摄像机模型及其中涉及的坐标系等,是弄清3D重建几何框架的基础。可以把它们视为基本运算关系。后面对于三维重建几何框架的推导,都是要用到三个基本坐标系和摄像机模型的。

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  • 图像处理、立体视觉等等方向常常涉及到四个坐标系:世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系。例如下图: 构建世界坐标系只是为了更好的描述相机的位置在哪里,在双目视觉中一般将世界坐标系原点定在左相机...

    转:https://blog.csdn.net/chentravelling/article/details/53558096

     

    1.正文

    图像处理、立体视觉等等方向常常涉及到四个坐标系:世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系。例如下图:
    这里写图片描述
    构建世界坐标系只是为了更好的描述相机的位置在哪里,在双目视觉中一般将世界坐标系原点定在左相机或者右相机或者二者X轴方向的中点。
    接下来的重点,就是关于这几个坐标系的转换。也就是说,一个现实中的物体是如何在图像中成像的。

    1.1世界坐标系与相机坐标系

    这里写图片描述

    于是,从世界坐标系到相机坐标系,涉及到旋转和平移(其实所有的运动也可以用旋转矩阵和平移向量来描述)。绕着不同的坐标轴旋转不同的角度,得到相应的旋转矩阵,如下图所示:
    这里写图片描述

    那么从世界坐标系到相机坐标系的转换关系如下所示:
    这里写图片描述

    1.2相机坐标系与图像坐标系

    从相机坐标系到图像坐标系,属于透视投影关系,从3D转换到2D。
    这里写图片描述
    此时投影点p的单位还是mm,并不是pixel,需要进一步转换到像素坐标系。

    1.3图像坐标系与像素坐标系

    像素坐标系和图像坐标系都在成像平面上,只是各自的原点和度量单位不一样。图像坐标系的原点为相机光轴与成像平面的交点,通常情况下是成像平面的中点或者叫principal point。图像坐标系的单位是mm,属于物理单位,而像素坐标系的单位是pixel,我们平常描述一个像素点都是几行几列。所以这二者之间的转换如下:其中dx和dy表示每一列和每一行分别代表多少mm,即1pixel=dx mm
    这里写图片描述

    那么通过上面四个坐标系的转换就可以得到一个点从世界坐标系如何转换到像素坐标系的。
    这里写图片描述

    其中相机的内参和外参可以通过张正友标定获取(戳这里查看张正友标定的资料)。通过最终的转换关系来看,一个三维中的坐标点,的确可以在图像中找到一个对应的像素点,但是反过来,通过图像中的一个点找到它在三维中对应的点就很成了一个问题,因为我们并不知道等式左边的Zc的值。
    关于三维重建不是我的方向,但是深度值的获取是我项目中的一个需要解决的问题,这将涉及到后面的立体视觉知识。

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  • 对于图像坐标系,相机坐标系和世界坐标系的学习和自己的一些理解,如果有错误欢迎指正和讨论。 图像坐标系 1.图像像素坐标系 原点:图像左上角P0点  单位:像素  横坐标u:图像数组中的列数  纵坐标v:图像...

    对于图像坐标系,相机坐标系和世界坐标系的学习和自己的一些理解,如果有错误欢迎指正和讨论。

    图像坐标系

    这里写图片描述

    1.图像像素坐标系

    原点:图像左上角P0点 
    单位:像素 
    横坐标u:图像数组中的列数 
    纵坐标v:图像数组中的行数

    2.图像物理坐标系 
    在图像像素坐标系下建立以物理单位(以下均假设为mm)表示的坐标系,使像素尺度具有物理意义。 
    原点:主点(相机光轴与图像平面的交点,一般位于图像平面中心,即图中O1点) 
    单位:mm/像素 
    横轴x轴:与像素坐标系下的u轴平行 
    纵轴y轴:与像素坐标系下的v轴平行

    3.图像像素坐标系与图像物理坐标系的转换关系:

    这里写图片描述

    其中: 
    dx为每个像素在横轴x上的尺寸,dy为每个像素在纵轴y上的尺寸。

    将其写成矩阵形式:

    这里写图片描述

    相机坐标系

    这里写图片描述

    图中:xy平面为图像平面

    原点:摄像机光心O点 
    Xc轴:与图像坐标系x轴平行 
    Yc轴:与图像坐标系y轴平行 
    Zc轴:摄像机光轴,与图像平面垂直 
    OO1=f(焦距)

    图像物理坐标系和相机坐标系的转换关系:

    这里写图片描述 
    这里写图片描述

    将其写成矩阵形式:

    这里写图片描述

    世界坐标系

    世界坐标系用来描述相机的位置,即相机坐标系原理图中的Ow-XwYwZw坐标系。

    相机坐标系与世界坐标系的转换关系:

    这里写图片描述

    其中: 
    R为旋转矩阵,是x,y,z三个轴向旋转矩阵的乘积,即R=Rx*Ry*Rz。 
    T为平移向量,表示三个轴向上的平移距离,即T=[Tx,Ty,Tz]T(上标表转置)。 
    Lw为由旋转平移构成的一个4*4的矩阵。

    由上述对三个坐标系之间的转换可以推导得到图像像素坐标系和世界坐标系的转换关系:

    这里写图片描述

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  • 从世界坐标系到相机坐标系

    千次阅读 2018-01-07 14:40:18
    依次有:物体坐标系,世界坐标系,相机坐标系,投影坐标系以及屏幕坐标系.我要讨论的就是这些坐标系间的转换。 这些坐标系不是凭空而来,他们都是为了完成计算机3D图形学最最最基本的目标而出现.计算机3D图形学最...

    〇.各种坐标系及其存在的原因:

    要谈坐标系变换,那么坐标系有哪些呢?依次有:物体坐标系,世界坐标系,相机坐标系,投影坐标系以及屏幕坐标系.我要讨论的就是这些坐标系间的转换。

    这些坐标系不是凭空而来,他们都是为了完成计算机3D图形学最最最基本的目标而出现.计算机3D图形学最最最基本的目标就是:将构建好的3D物体显示在2D屏幕坐标上.初看好像就是将最初的物体坐标系转换到屏幕坐标系就可以了呀,为什么多出了世界坐标系,相机坐标系,投影坐标系。这是因为:在一个大世界里有多个物体,而每个物体都有自己的坐标系,如何表述这些物体间相对的关系,这就多出了世界坐标系;如果只需要看到这个世界其中一部分,这就多出了相机坐标系;至于投影坐标系那是因为直接将3D坐标转换为屏幕坐标是非常复杂的(因为它们不仅维度不同,度量不同(屏幕坐标一般都是像素为单位,3D空间中我们可以现实世界的米,厘米为单位),XY的方向也不同,在2D空间时还要进行坐标系变换),所以先将3D坐标降维到2D坐标,然后2D坐标转换到屏幕坐标。

    对于整个“如何将3D物体投射并显示在2D屏幕上”这一过程而言,坐标系转换的顺序为:

    物体坐标系—>世界坐标系—>相机坐标系—>投影坐标系—>图像(像素)坐标系编号设为a. b. c. d. e

    当然,本篇的目的是说明如何将3D物体投射并显示在2D屏幕上,且难点也在于此(b,c,d,e过程)ab的过程不在本文讨论之内,不再赘述。如果很在意知识结构的完整性,请参考

    http://www.cnblogs.com/shanhaobo/articles/1065380.html

    该篇a.b过程十分详细。

     

    一.3D-2D投影基础:图像的投影几何:

    如何将空间中的点投射到2维图像中?这是一个问题。

    假设空间中的一个点的坐标是(X0, Y0, Z0) (这个坐标称作相机坐标系”(camera coordinate system)),相对应的2D投影点坐标(此处是投影坐标系”(projection coordinate) 。如果要进行成像等操作,还要将投影变换到图像坐标(image coordinate), 这些都在后面给出)

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)                     (1

    不用捉急,请看下图 (第一,第四幅图的ZY标反了):

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)

     

    其中,轴Z为光轴(optical axis);这个横截面Z=f被叫做图像平面(image plane)或投影平面(projection plane),与Z轴交点为图像位置(image position),该点被称为主点(principal point)(这两个个概念很重要,会影响到投影坐标系到图像坐标系的转换);原点称为投射中心(center of the projection)。如下图:

     

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)

    二.世界坐标系与相机坐标系(含转化问题):

    1、世界坐标系向相机坐标系映射流程:

      A. 世界坐标向相机坐标映射;

      B. 投影到投影平面;

      C. 从投影平面向pixel coordinate(就是image cooridnate)映射。

    2、具体操作

    A.相机外部参数(Camera extrinsic (or external) parameters

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)



     

    然后,有:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)                (2

    其中Cw就是图中的C,是相机中心在世界坐标中的3D点的坐标。R就是Rc<w所以,从世界坐标到相机坐标的转换就是4X4的平移矩阵与4X4的旋转矩阵的乘积,如下式:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)              (3

    旋转矩阵R和平移向量Cw便被称为相机的外部参数,也即相机在世界坐标中的朝向与位置(orientation and position)

    B投影矩阵: 三维到二维(Projection Matrix: 3D to 2D

    接下来,我们需要将相机坐标投影到图像平面(Z=f, image plane)。在第一部分中,本文给出了如何将相机坐标中的3D点投影到2D的过程,即(1)式:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)

    (x,y)写成齐次坐标的形式,有:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)

     

    知,如果Z不为0,有:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)

     

    因而,我们能够将从3D(X,Y,Z)(这个点是在相机坐标系中的)2D投影点(x,y)的投影过程用3X4的矩阵描述成 (4)式:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)                      (4)

    而此3X4的矩阵便为投影矩阵。关于此矩阵仍有一些讨论,比如Z0和不0,无穷有穷,是不是原点什么的,因为过于理论,对于搞工程的亲们,洒家就不再赘述了。

      C. 相机内部参数Camera intrinsic (or internal) parameters

    这一部分不太容易理解。不急,慢慢来。

    通常,通过之前的步骤,我们已经能够将3D点投影到2D图像平面 (image plane,也叫投影平面, projection plane) 上了。但是,这并不够。因为,这样一个在投影平面上的图像是在投影坐标系下的,它的单位还是物理单位,位置也是物理位置。比如其单位可能是米,厘米,毫米等。因而,下一步,我们需要将投影坐标系转换至图像(也叫像素,pixel)坐标系。需要从其真实的物理位置(physical positions)转换至像素位置(pixel positions)。这就需要有放缩(scaling)平移(translation)操作。

    假设,图像物理单位是mm(毫米)。放缩的目的是要确定一个mm中究竟有几个像素(因为通常情况下,一个mm并不精确对应1个像素);平移的目的是将图像原点移动到左下角(即通常情况下,图像左下角为(0,0)点,而投影坐标系中,图像是不满足这个要求的)。

    对于放缩操作,有下式:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)                 (5)

    其中,mx表示x方向上,一单位(此处我们假设是1mm)中所含有像素个数;同理,myy方向上的。需要注意的是,尽管mxmy数值上通常非常接近,但一般并不严格相等。

    对于平移操作,我们需要知道主点(在第一部分中有介绍)的物理位置,这个位置通常是固定的。举个例子,显示的图像(在图像坐标系中)必然是在显示在显示屏幕上的,而屏幕则是由像素构成。则主点的位置(也即图像位置,在第一部分有说明)便是在这个物理屏幕的中心。如果屏幕包含1536X2048列像素,则主点位置在(767.5, 1023.5)处。而我们的目的,就是将这个放缩好了的图像平移,使这个主点(也即目前的图像中心)移动至当前图像右上角处;而当前图像左下角移动至现在的主点位置,因而,当前的主点位置(767.5,1023.5)平移后便是(0,0)。这一段话够费解。我们再解释一二,后面跟张图,就清楚了。

    在图像坐标系中,我们假定主点的位置是(px,py),这个理论上就是上段中的(767.5, 1023.5),当然,他们之前可能会有细微的不用,比如像素不可能不是整数。因而要获得投影点(x,y)的像素坐标,我们需要在原来的投影矩阵中加入平移量:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)        (6)

    请看下图:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)

     

    我觉得这张图已经相当清楚了。不在赘述。

    而对于(6)式左侧的放缩平移矩阵,我们应当明白,这是相当理想的情况。理想状况自然就是不靠谱的情况,所以,我们还需要加入其它的参数s,这个参数叫偏度参数(skew parameter),控制了一定的错切(shear)变换因而原来的矩阵变为:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变) 

    通常,我们给予左侧3X3的部分一个特殊的名字,

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变) 

        这个K,我们叫做相机标定矩阵(camera calibration matrix),有时也写作:

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变) 

    这个东西,便是千呼万唤始出来的相机内部参数了。 

    三.世界坐标系到图像坐标系的综合。

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)

    从世界坐标系到相机坐标系(3D物体到2D图像的转变)

    K一般是给好的。所以在实际编程中,不被过分在意。

     

    至此。便讨论清楚了。

    如果仍有疑问或其他需求,请自行查阅网站:

    http://www.cim.mcgill.ca/~langer

    里面都是瑰宝。是加拿大麦吉尔大学(加拿大最nb的大学)教授的页面,里面很多内容。讲解详细清楚。

    很多网上的中文资料实在是令人遗憾。不是驴唇不对马嘴,就是简略抽象晦涩难懂。作为小白,为小白们服务义不容辞。

    改变这个状况。


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  • 世界坐标系和相机坐标系,图像坐标系的关系

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